Конспект урока математики "Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений" (8 класс)

Конспект урока разработан учителем математики

Прокоповой Е.С.

 

 

Тема урока: Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Цели и задачи урока:

Образовательные:

o   закрепление понятия дробного рационального уравнения;

o   продолжить формирование умений решать дробные рациональные уравнения;

o   совершенствовать навык составления уравнения по условию задачи, уметь проверять соответствие найденного решения условиям задачи;

o   сформировать умение решать задачи прикладного характера с помощью дробных рациональных уравнений.

Развивающие:

o   развитие памяти обучающихся;

o   развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач;

o   развитие любознательности;

o   развитие логического мышления, внимания, умений анализировать, сравнивать и делать выводы;

o   развивать интерес к предмету.

Воспитательные:

o   формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, порядочность, правдивость;

o   содействовать  формированию системы знаний, представлений, понятий;

o   воспитание познавательного интереса к предмету;

o   воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

o   воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

 

Тип урока: изучение нового материала.

 

Форма проведения: урок-практикум.

 

Форма организации учебно-познавательной деятельности: коллективная.

 

Оборудование урока: ПК, проектор, файл MS Excel, содержащий тестовые задания, презентация.

 

 

План урока:

1. Организационный момент;

2. Актуализация опорных знаний;

3. Этап изучения нового материала;

4. Физкультминутка;

5. Решение задач на закрепление пройденной темы;

6.Подведение итогов, рефлексия, Д/З.

 

Ход урока:

1.     (Подготовка обучающихся к восприятию учебного материала) Приветствие, ориентация класса на работу, изложение плана работы на уроке.

Здравствуйте, ребята. Ещё начиная с начальной школы,  вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым методам и способам решения. Сегодня мы познакомимся с задачами, решение которых сводится к дробным рациональным уравнениям.

2.     Эпиграфом нашего урока я взяла слова Генри Форда  « Залогом успеха является, в первую очередь, хорошая подготовка»; они имеют отношение не только к предпринимательской деятельности, но и к учебной, в том числе и к изучению математики. Для того чтобы успешно решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений, необходимо хорошо знать теорию решения этих самых уравнений. Поэтому повторим необходимые в дальнейшем понятия и формулы.

-Какие уравнения называются дробными рациональными?

 

 -Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

 

1. Найти  общий знаменатель дробей,  входящих в уравнение.

2. Умножить  обе части уравнения на общий знаменатель.

3.Решить получившееся уравнение.

4. Исключить проверкой из корней уравнения те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

 

 

 

(Проведение самостоятельной тестовой работы)

 

 

1.Среди данных уравнений выберите то, которое не является дробным рациональным: 1) ;   2)     3)  . (3)

2.При каких значениях переменной  х  уравнение                 не имеет смысла:   1) -2; 2) -2 и -1; 3) всегда имеет смысл.  (-2)

3.Сколько корней имеет уравнение                      1) 1 корень; 2) не имеет корней; 3) 2 корня.  (не имеет корней)

4. Найти корни уравнения                        1) х=-⅓; 2) х=⅓ или х=-3; 3) х=-⅓ или х=3. (x=-)

5.Укажите общий знаменатель:   1)  х-3;   2) х(х-3);  3) (5х-7)(4х-3). (х(х-3))

                                                                                             

Учитель:  Проверьте свой результат (на экран выводится таблица с правильными ответами). Если работа выполняется в программе MS Excel, то компьютер сам ставит оценку ученику.

                       Давайте сверим ответы с ответами на доске.  На листочках ставим «+» или «-», в зависимости от правильности выполнения. Поставьте себе оценки:

                       все сделано правильно – «5»;

                       одна ошибка – «4»;

                       сделано две ошибки - «3»;

                       выполнено менее 3-х заданий – «2».

 

Давайте сделаем вывод: итак, вы научились решать дробные рациональные  уравнения. Решать эти уравнения вы научились не зря, а для решения большого аппарата задач.

3.     Запишите тему нашего урока «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений». Перед нами стоит задача: совершенствовать навык составления уравнения по условию задачи и умение проверять соответствие найденного решения условиям задачи.

Рассмотрим применение дробных рациональных уравнений при решении следующей задачи (задача записана на карточках, лежащих на столах у учеников):

 

Катер прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения. Скорость течения реки 3 км/ч . Найдите собственную скорость катера, если на путь по течению он затратил то же время, что и на путь против течения реки.   

 

Для начала, давайте вспомним основные этапы решения задачи на составление уравнения. Нам известны три этапа. Какие это этапы?

 

Ученик: 1. Анализ условия, составление математической модели.

               2. Работа с моделью.

               3. Запись ответа.

 

Возвращаемся к нашей задаче.

Будем решать с помощью уравнения.

Обратите внимание на следующую таблицу (таблица выводится на экран. Слайд №5).

Обучающиеся постепенно заполняют таблицу, пользуясь знаниями из курса математики. 

 

 

скорость	путь	время
V= S/ t	S= V t	t= S/ V

 

 

 

 

Теперь давайте дадим полное пояснение нашим действиям (записывают в тетрадь):

 

Пусть x км/ч – собственная скорость катера.

Тогда (x+3)км/ч – скорость катера по течению, (x-3)км/ч – скорость катера против течения, 108/(х+3) ч - время движения катера по течению, 84/(х-3)ч - время движения против течения. Зная, что время движения по течению равно времени движения против течения, составим и решим уравнение: (слайд №6)

 

Решение:

108(х-3) = 84(х+3)

108х  - 324 = 84х + 252

108х - 84х = 252+324

24х = 576

х = 24

ОДЗ: (х+3)(х-3) ≠ 0

          х ≠ -3  и   х ≠3

х = 24 (км/ч) – собственная скорость катера

Ответ: 24 км/ч.

 

 

4.ФИЗКУЛЬТМИНУТКА (видео)

Исходное положение-стойка ноги врозь. На счёт «раз» - руки отводятся назад. На счёт «два» - руки развести в стороны, на счёт «три» - поднять руки вверх, стать на носки. На счёт «четыре» - расслабляя плечевой пояс, руки опустить с небольшим наклоном вперёд. Повторить 4-6 раз в медленном темпе.

 

5.Решение задач.

Самостоятельное решение задачи с последующей записью решения на доске.

Задача 2.

Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби увеличить на 1, а знаменатель уменьшить на 4, то дробь увеличится на 1/3. Найти данную дробь.

Ответ: 12/19.

 

А теперь мне хочется показать вам пример решения  задачи  прикладного характера (демонстрация с помощью презентации) – задача на совместную работу (слайды 8-9).

 

Задача 3.

      Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За какое время может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если второй бригаде на это необходимо на 12 ч больше, чем первой?

 

          Решение:

Пусть x ч – время выполнения работы 1-ой бригадой.

Тогда (x+12)ч – время выполнения работы 2-ой

бригадой,

      - производительность 1- ой бригады,

          -  производительность 2-ой бригады.

 

Зная, что совместная производительность бригад 1/8, составим и решим уравнение:

х₁=12, х₂ =-8 (не удовлетворяет условию задачи)

12ч – время работы 1 бригады, (12+12)=24(ч) – время работы 2 бригады.

Ответ: 12ч, 24ч.

 

6. Итак, в нашем распоряжении несколько минут, поэтому давайте подведем итоги.

    Вы, наверное, обратили внимание, что были решены задачи разного характера, и решение каждый раз сводилось к решению дробных рациональных уравнений.

На ваших столах лежат «Листы самооценки». Заполните их.

А закончить наш урок хотелось бы словами великого ученого А.Эйнштейна: «Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а   уравнения будут существовать вечно».                     

          Для дальнейшего совершенствования навыка составления уравнений по условию задачи в качестве домашнего задания предлагаю вам решить следующую задачу:

 

     Расстояние между двумя селами, равное  120 км, один мотоциклист проезжает на 30 мин быстрее, чем второй. Найти скорость каждого мотоциклиста, если известно, что скорость второго на 20 км/ч меньше скорости первого.

 

Решение:

Пусть х км/ч  – скорость второго мотоциклиста, тогда (х+20) км/ч– скорость первого, 120/х ч – время движения второго мотоциклиста, 120/(х+20) ч – время движения первого мотоциклиста.  Зная, что первый мотоциклист проезжает на 30 мин быстрее, чем второй, и 30 мин = ½ ч, составим и решим уравнение:

 

 

Решение:

120*2х – 120*2(х-20)=х(х-20)

240х-240х+4800=х² -20х

х²-20х-4800=0

D=19600

х₁=80, х₂ =-60

ОДЗ: 2х(х-20) ≠0

х≠0 и х≠20

Корень уравнения -60 не удовлетворяет условию задачи.

80км/ч – скорость второго мотоциклиста.

80+20=100 (км/ч) – скорость первого мотоциклиста.

Ответ: 80км/ч, 100км/ч.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                               

 

 

 

 

Задача 1.

 

Катер прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения. Скорость течения реки 3 км/ч . Найдите собственную скорость катера, если на путь по течению он затратил то же время, что и на путь против течения реки.   

 

 

___________________________________________________________________________

 

Задача 2.

Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби увеличить на 1, а знаменатель уменьшить на 4, то дробь увеличится на 1/3. Найти данную дробь.

 

____________________________________________________________________________

 

 

 

Задача 3.

      Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За какое время может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если второй бригаде на это необходимо на 12 ч больше, чем первой?

 

 

__________________________________________________________________________

 

 

Домашнее задание

 

Расстояние между двумя селами, равное  120 км, один мотоциклист проезжает на 30 мин быстрее, чем второй. Найти скорость каждого мотоциклиста, если известно, что скорость второго на 20 км/ч меньше скорости первого.