Конспект урока: "Алгебраические действия над комплексными числами"

Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы «Школа №2120»

Конспект урока по алгебре и началам анализа

по теме:

"Комплексные числа и алгебраические действия над ними"

Выполнила:

учитель математики

Шапалина Наталия Алексеевна

Стаж работы: 24 года.

Урок по алгебре и началам анализа по теме: "Комплексные числа и алгебраические действия над ними"

Цели урока:

• Образовательные – познакомить учащихся с историей комплексных чисел;

формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами;  формировать навыки пользования компьютером для выполнения обучающих и контролирующих тестов.

• Развивающие – развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством выполнения тестовых заданий;

способствовать формированию навыков  самостоятельной работы и работы в мини-группе; развивать интерес к предмету через включение в план урока исторического материала и практических заданий; 
развивать интерес к роли личности в становлении математической науки; 
развивать творческие способности в ходе выполнения исследовательской работы.

• Воспитательные – воспитывать у  учащихся способность подходить к изучаемым проблемам с позиции исследователя;  воспитывать чувство личной ответственности за достижение положительных результатов при самостоятельной работе и в группе.

План урока.

• Актуализация знаний.
• Постановка цели урока.
• Решение заданий на выполнение действий с комплексными числами.
• Проведение обучающего и контрольного теста.
• Подведение итогов.

Ход урока.

Конспект урока.

- Сегодня на уроке мы с вами продолжим знакомство с полем комплексных чисел. Тема нашего урока «Алгебраические действия над комплексными числами». (Презентация).
- "Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием". Писал Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646 - 14.11.1716) - немецкий математик, физик и философ. 
- Мы с вами на уроке попытаемся снять дух мистики,  привнесенный Лейбницем, да и другими математиками, в математическую науку, и не только осознаем необходимость введения комплексных чисел для решения многих задач, но и будем выполнять с ними алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. 

- Восстановить историческую картину нам помогут учащиеся, которые нашли ответ на такой вопрос: «Как же происходило развитие представления о числе?» А также познакомят нас с понятием комплексного числа. (Выступления учащихся).

- Многовековая история развития представлений человека о числах  - одна из самых ярких страниц развития человеческой культуры. В стремлении расширить мир чисел трудноразгадываемым  образом переплелись разнообразные мотивы. 
- Дроби появились очень рано – уже у египтян и вавилонян – по-видимому, в связи с переходом к более мелким единицам измерения. Их связь с делением натуральных чисел понималась более смутно и вторично.
- Греки осознавали числа через процесс геометрического измерения: именно так они себе уяснили существование иррациональных чисел (несоизмеримость диагонали квадрата и его стороны) и построили теорию «величины» (как мы сказали бы сегодня, теорию положительных действительных чисел).
- Отрицательные числа появились в 5-6 веках в индийской  и арабской  математике, где на первый план выдвинулась вычислительная сторона дела. При этом вычислители рассматривали отрицательные числа как «воображаемые», ненастоящие числа, которыми удобно пользоваться в промежуточных вычислениях  как результатом вычитания, когда оно невыполнимо в области положительных чисел. Ни о каком равноправии отрицательных чисел с положительными речь не шла: в окончательном ответе, кроме простейших ситуаций, отрицательные числа не появлялись. Об отношении к ним выразительно говорят разные варианты их названий: «ложные», «фиктивные», «абсурдные», «невозможные», «мнимые».
- Впрочем, последний термин позднее пришлось «уступить» другому классу чисел, который удивительным образом появился в европейской математике одновременно с первым серьезным рассмотрением отрицательных чисел.

- История возникновения комплексных чисел была самой сложной среди других видов чисел. Первое их упоминание в истории, можно отнести к 50 веку до нашей эры. Тогда студент Герон из Александрии, пытаясь вычислить объем пирамиды, столкнулся с тем, что должен был взять квадратный корень из разности 81-144. Но тогда он посчитал это невозможным и очень быстро сдался. «Звездный час» комплексных чисел настал в 1545 году, когда итальянский математик Джироламо Кордано предложил создать новый вид чисел. Он предположил, что система уравнений, не имеющая решений в области действительных чисел, вполне может иметь решением числа новой природы. Только нужно было условиться, как всем действовать над такими числами. Но даже сам Кордано считал эти числа бесполезными и всячески старался их не использовать.

- История возникновения комплексных чисел получила свой новый виток уже в 1552 году, когда итальянский математик Рафаэль Бомбелли в своей книге установил первые правила арифметических операций над такими числами.

- Сам термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. История возникновения комплексных чисел после этого начала набирать свои обороты. Многие математики признали и стали изучать их. И на самом деле, с комплексными числами можно совершать гораздо больше математических действий и применять их гораздо чаще, чем мы думаем.

Итак, что же это за числа?

Определение: Комплексными числами называют выражения вида a+bi,где a и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что i² = -1. 

- Итак, наши представления о числах стали более широкими. Теперь будем грамотно учиться, выполнять действия с комплексными числами.
- Вспомним основные правила для выполнения алгебраических действий над комплексными числами.
- Действия над комплексными числами в алгебраической форме. (Презентация).
- Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример. Даны комплексные числа z₁ = 2 + 3i, z₂ = 5 – 7i . Найти:
а)z₁ + z₂;    б) z₁ – z₂;    в) z₁z₂.

Решение.

а) z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;

б) z₁ – z₂ = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;

в) z₁z₂ = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i² =  10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i

(здесь учтено, что i² = – 1).

Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Пример. Выполнить действия:

а) (2 + 3i)²;    б) (3 – 5i)²

Решение.

а) (2 + 3i)² = 4 + 2×2×3i + 9i² = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;

б) (3 – 5i)² = 9 – 2×3×5i + 25i² = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;

так как i² = – 1.

Рассмотрим теперь применение формулы
(a + b)(a – b) = a² – b².     (*)

Пример. Выполнить действия:

а) (5 + 3i)(5 – 3i);  

б) (1 + i)(1 – i).

Решение.

а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 5² – (3i)² = 25 – 9i² = 25 + 9 = 34;

б) (1 + i)(1 – i) = 1² – i² = 1 + 1 = 2.

- Обратим внимание на то, что при использовании формулы (*) всегда получается частный случай комплексного числа – действительное число, а комплексные числа, которые мы умножаем, являются сопряженными.
- Определение. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
- Мы видим, что произведение двух сопряженных чисел всегда равно действительному числу. Воспользуемся этим свойством для выполнения деления двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

Пример. Выполнить деление:

Решение.

Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:

(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i² = – 11 + 29i;

(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i² = 25 + 49 = 74.

Итак,
=+

Тренировочные упражнения. Выполняются учащимися в парах за рабочими местами (задания формируются из предложенных ниже)

Упражнения записаны на карточках.

№1. Произведите сложение комплексных чисел:

1)(3 + 5i) + (7 – 2i).
2) (6 + 2i) + (5 + 3i). 
3) (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
4) (5 – 4i) + (6 + 2i).

 №2. Произведите вычитание комплексных чисел:

1) (3 – 2i) - (5 + i).
2) (4 + 2i) - (– 3 + 2i).
3) (– 5 + 2i) - (5 + 2i).
4) (– 3 – 5i) - (7 – 2i).

№3. Произведите умножение комплексных чисел:

1) (2 + 3i)(5 – 7i). 
2) (3 – 2i)(7 – i). 
3) (– 2 + 3i)(3 + 5i).
4) (3 + 2i)(1 + i).
№4. Выполните действия:

1) (3 + 5i)².
2) (2 – 7i)².
3) (6 + i)².
4) (1 – 5i)².

№5. Выполните деление:

1)  ;

2) ;

 3) ;

4) .

 Каждому человеку важно знать, какого уровня он достиг в том или ином виде деятельности. Так как главной деятельностью ученика является учебная, то результатом работы будет грамотное выполнение заданий по теме урока.
Выполнение теста (Приложение ).

 Дифференцированное домашнее задание.

Учащиеся записывают в тетрадь. (Презентация)

Подведение итогов урока. (Презентация)

 «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых  или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью». Симон Стевин (1548-1620) - нидерландский математик и инженер. Родился в Брюгге. Преподавал в Лейденском университете, служил инженером в армии принца Оранского. Как инженер Стевин сделал значительный вклад в механику. Важнейшие из его работ в области математики: "Десятина" (1585г.) и "Математические комментарии", в 5-ти томах (1605-1608гг.)

Карточка №1

№1. Произведите сложение комплексных чисел:

        (3 + 5i) + (7 – 2i).

№2. Произведите вычитание комплексных чисел:

         (3 – 2i) - (5 + i).
№3. Произведите умножение комплексных чисел:

        (2 + 3i)(5 – 7i). 
№4. Выполните действия:

        (3 + 5i)².
№5. Выполните деление:

           ;

Карточка №2

№1. Произведите сложение комплексных чисел:

        (6 + 2i) + (5 + 3i).

№2. Произведите вычитание комплексных чисел:

         (4+ 2i) - (-3 +2 i).
№3. Произведите умножение комплексных чисел:

        (3 - 2i)(7 – i). 
№4. Выполните действия:

        (2 - 7i)².
№5. Выполните деление:

Карточка №3

№1. Произведите сложение комплексных чисел:

        (-2 + 3i) + (7 – 2i).

№2. Произведите вычитание комплексных чисел:

         (-5+ 2i) - (5 +2i).
№3. Произведите умножение комплексных чисел:

        (– 2 + 3i)(3 + 5i).
№4. Выполните действия:

        (6 + i)².
№5. Выполните деление:

          ;

Карточка №4

№1. Произведите сложение комплексных чисел:

        (5 – 4i) + (6 + 2i).

 №2. Произведите вычитание комплексных чисел:

         (– 3 – 5i) - (7 – 2i).

№3. Произведите умножение комплексных чисел:

        (3 + 2i)(1 + i).
№4. Выполните действия:

        (1 – 5i)².

№5. Выполните деление:

Скачано с www.znanio.ru