Конспект урока по теме "Комбинаторика"

Конспект урока по теме «Комбинаторика» Предмет: математика.  Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.  Тема: решение комбинаторных задач  Продолжительность: 1 урок ­ 45 минут. Класс: 9 класс. Цели урока:  Повторить и закрепить правила и формулы комбинаторики.  Способствовать выработке навыков и умений при решении задач на нахождение  количества различных комбинаций.  Развивать логическое мышление учащихся. Оборудование: ПК или ноутбук, проектор, экран. Программное  обеспечение: ОС Windows, MS Power Point, презентация к уроку. Дидактический   материал:   презентация   урока   (прил.   диск),  карточки   (приложение   к уроку). План урока:  № Этап урока 1 Организационный  момент 2 Проверка домашнего  3 4 6 задания Самостоятельная  работа Тренировочные  упражнения 5 Подведение итогов  урока Сообщение домашнего  задания № слайдов Содержание 1 – 2 Нацелить учащихся на урок 3 Коррекция ошибок Проверить осознанность усвоения решать простейшие задачи 4 ­ 5 6 ­ 10 Формировать умение решать задачи,  используя формулы комбинаторики 11 ­ Обобщить сведения, полученные на уроке Разъяснить содержание домашнего  задания Время (мин) 1 5 12 20 5 2 Ход урока. 1. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.  Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения комбинаторных  задач. Рассмотрим различные  задачи по комбинаторике,  которые можно решить разными  способами: каждый из Вас должен высказать свою точку зрения на решение задач. Девиз  нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею».   2. Проверка домашнего задания.  На дом были предложены задачи из сборника Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова  "Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе". Ответы можно  проверить, используя презентацию урока.  20 3. Самостоятельная работа. Вариант 1 Сколько трехзначных  чисел можно составить, используя цифры  1,2,3. одна и та же цифра в  числе повторяется. по дереву  возможных  вариантов Вариант 2 Сколько различных трехзначных чисел можно записать,  используя цифры 2, 7, 9, если  цифры в этих числах могут  повторяться. по дереву  возможных  вариантов Здание школы имеет 5  запасных выходов.  Сколькими способами  можно войти и выйти из здания школы? По правилу  умножения  55=25  способов. В коробке лежат  четыре шара: белый,  красный, зеленый. Из  нее вынимают два шара. Сколько существует  способов сделать это? Бк, бс, бз, кс,  кз, сз.  Ответ 6. 4. Тренировочные упражнения.  В меню столовой предложено на  выбор 5 первых, 8 вторых и 4  третьих блюда. Сколько  различных вариантов обедов,  первого, второго, третьего  блюда, можно составить из  предложенного меню? В коробке лежат четыре шара:  два белых, красный и зеленый.  Из нее вынимают два шара.  Сколько существует различных  способов вынуть два шара  разного цвета? По правилу  умножения  584 = 160 обедов. Бб, бк, бз, кз. Ответ: 3 1. Классу предлагается ответить на теоретические вопросы: a) Что понимаем под понятием «перестановки»? b) Как найти «перестановку» из n элементов? c) Что понимаем под понятием «сочетание»? d) Что понимаем под понятием «размещение»?  e) Как отличить, какая задача на «перестановки»,  «сочетания», «размещения»? 2. Задания, которые класс решает устно Вычислите:       2!        (2)      5!/4!                                                4!      (24)      5!/3!                                                 5!      (120) Важен ли порядок в следующих выборках:       а)  капитан волейбольной команды и его заместитель; (да)       б) 6 человек останутся убирать класс; (нет)       в) 2 серии из просмотра нового многосерийного фильма; (да)     Учитель задаёт  вопросы, слушает и  корректирует ответы  учащихся. После  обсуждения  теоретических  вопросов  демонстрируется  таблица «Типы  комбинаторных задач»,  где сосредоточен весь  нужный материал.  Показать, решая  задачи,  различия в  задачах данных типов. Далее: Учитель предлагает учащимся прочитать задачи и предложить способы её  решения. Учащиеся участвуют в обсуждении задачи и записывают решение в тетрадь.  Задачи № 3, 4 можно решить, комментируя запись в тетради. 21    Задачи № 5, 6, 7 решить, используя запись на доске. Необходимо рассмотреть  несколько способов решения задач. Задачу №8 ученики решают самостоятельно, с последующей проверкой. Задачи № 9, 10, 11 предложить для решения сильным учащимся. 3. В турнире участвуют  четыре человека.  Сколькими способами  могут быть распределены  места между ними? 4. В турнире участвуют  десять человек. Сколькими способами  могут быть распределены  места между ними? 5. Сколько рукопожатий  делают юноши каждое  утро, учитывая, что их 7  человек? 6. Девочки нашего класса  дежурят в столовой.  Сколькими способами  можно выбрать 2­х  дежурных из 5 девочек? 7. Девочки нашего класса  решили обменяться  фотографиями. Сколько  нужно сделать  фотографий, учитывая, что их 5 человек?    Сколько различных  упорядоченных наборов мы  можем составить, имея  некоторое число элементов,  каждый из таких  упорядоченных наборов,  есть перестановка. Первое место может занять  любой из четырех участников.  Второе место ­ любой из трех  оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, на  четвертом месте остается  последний участник.  4 . 3 . 2 . 1 = 24.             Р = 4!       Ответ: 24. 10 .  9  .  8 . 7 .  6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =  = 3 628 880 Произведение первых десяти  натуральных чисел  обозначают 10! Каждый из 7 человек пожимает руку 6, т. к. сам с собой не  здоровается. Значит всего 7∙ 6 = 42 рукопожатий. При таком  подсчете каждое рукопожатие сосчитано дважды, один раз  при подсчете рукопожатий первого ученика, а другой раз при подсчёте рукопожатий второго ученика,  учитывая  одинаковые пары,  имеем    Для еще большего  количества элементов уже  будет сложно подсчитать  число перестановок    или       67  2 21 С 2 7  !7 !2)!2  !7 !2!5   76 2 7(   21 Ответ: 21 рукопожатие На первое место – можно поставить любую из пяти девочек, а на второе место – любую из 4. По правилу произведения  имеем,  5∙4=20, но при таком подсчёте, одна и та же пара  подсчитана дважды (пара 12 и 21). Тогда ответ,     45  2 10 или    С 2 5  !5 !2)!2  !5 !2!3   54 2 5(   )в(10 .     Ответ: 10 вариантов В классе 5 девочек, каждая подарит 4 фотографии, то общее  количество фотографий 5∙4= 20  (или: важно, кто кому  подарит фотографию, то  имеем дело с размещением  ). А2 5  54 )в(20 ;       А2 5  !5  )!2 5(  54 !5 !3 . )в(20 22 8. Составляя расписание на понедельник в 7 классе,  завуч может поставить 6  уроков: алгебра, физика,  биология, труд, история,  физкультура.  Сколько  существует вариантов  расписания? Дополнительные задачи. 9. Сколько  экзаменационных  комиссий, состоящих из 7  человек, можно создать из  14 преподавателей? 10. В футбольной команде  11 человек, нужно выбрать  капитана и его заместителя. Сколькими способами это  можно сделать? 11. Сколькими способами  можно составить  расписание на день из пяти  различных уроков, если  изучается 14 предметов? Ответ: 20 вариантов Имеем дело с перестановками из 6 элементов , если «зафиксировать» один элемент, то  P6  !6 720 )в( перестановка из 5 элементов. P5  !5 120 Дополнительный вопрос: сколько будет вариантов, если  третий урок алгебра? С14 7= !14  14(!7  !14  !7!7  )!7 1098!7  11  !7!7 1213  14  3432 . 1=11. Каждый из оставшихся 10 членов команды может  Каждый из 11 человек команды может стать капитаном.  С11 стать заместителем капитана. С10 способов будет 10 1=10. Поэтому всего  11  .110 Ответ: 110 способов = = !14 !9 !14  14( )!5 5 14А = =  10!9  13 11 14 12 !9  14 11 10 13 12 240240 . 5. Подведение итогов урока.  Подводя итоги урока, предлагается  учащимся продолжить предложение: «Мне  очень понравилась задача …» Учитель подводит итоги урока, говорит о важности данной темы и о возможности  самостоятельного ее изучения, комментирует оценки учащихся. 6. Домашнее задание.  12. Сколькими способами  9 учащихся могут встать в очередь в школьном  буфете? Присвоим каждому учащемуся номер (от 1 до 9). Тогда  каждый способ расположения этих учащихся в очереди будет  представлять собой последовательность из 9 цифр, порядок  которых может меняться. Р9=9!=123456789=362880.  23 13. Сколько существует  способов выбрать троих  ребят из 11 желающих  дежурить по школе? 14. Сколькими способами  могут занять первое,  второе и третье места 8  участниц финального  забега на 100м?                                                    Ответ: 362880 способов Количество сочетаний из 11 по 3 (порядок выбора не имеет  значения) равно:  . С 3 11 !11  !8!3   10 11 9  321  165                                                             Ответ: 165 способов. Выбор из 8 по 3 с учётом порядка:  3 8А  678 336 !8 !5 способов.                                                      Ответ: 336 способов. Общие замечания к проведению урока.  Устные упражнения с просмотром презентации позволяют ускорить темп работы,  усилить интерес учащихся, способствуют развитию сообразительности, смекалки,  внимания и воспитанию дисциплинированности. При анализе самостоятельной работы с условием и решением на экране,  осуществляется повторение ранее изученного материала:   репродуктивный метод поможет проверить умения связно отвечать; частично­поисковый метод позволит проверить осознанность усвоения вычисления,  способствует развитию умения сопоставлять, анализировать и обобщать; необходимо поощрять творческую работу учащихся, и рассматривать задачи  практической направленности.  Через использование частично­поискового метода и через индивидуальные и  групповые способы организации познавательной деятельности происходит повторение и  закрепление правил и формул комбинаторики. Создание проблемных ситуаций делает процесс обучения активным,  дифференцированным, обеспечивает связь с жизнью. Работа каждого должна быть оценена, тогда учебно­воспитательный момент  положительно повлияет на конечный результат урока.  Приложение к уроку №1 Карточки для групповой и индивидуальной работы Самостоятельная работа Вариант 1 Вариант 2 24 1. Сколько трехзначных чисел можно  составить, используя цифры  1,2,3. одна и та же цифра в числе повторяется. 2. Здание школы имеет 5 запасных выходов.  Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы? 3. В коробке лежат четыре шара: белый,  красный, зеленый. Из нее вынимают два  шара. Сколько существует способов сделать это? 1. Сколько различных трехзначных чисел  можно записать, используя цифры 2, 7, 9,  если цифры в этих числах могут  повторяться. 2. В меню столовой предложено на выбор 5  первых, 8 вторых и 4 третьих блюда.  Сколько различных вариантов обедов,  первого, второго, третьего блюда, можно  составить из предложенного меню? 3. В коробке лежат четыре шара: два белых,  красный и зеленый. Из нее вынимают два  шара. Сколько существует различных  способов вынуть два шара разного цвета? Решить задачи 3. В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? 4. В турнире участвуют десять человек. Сколькими способами  могут быть распределены места между ними? 5. Сколько рукопожатий делают юноши каждое утро, учитывая, что их 7 человек? 6. Девочки нашего класса дежурят в столовой. Сколькими способами можно выбрать 2­х  дежурных из 5 девочек? 7. Девочки нашего класса решили обменяться фотографиями. Сколько нужно сделать  фотографий, учитывая, что их 5 человек? 8. Составляя расписание на  понедельник в 7 классе, завуч может поставить 6 уроков:  алгебра, физика, биология, труд, история, физкультура.  Сколько существует вариантов  расписания? Дополнительные задачи 9. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно создать из 14  преподавателей? 10. В футбольной команде 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя.  Сколькими способами это можно сделать? 11. Сколькими способами можно составить расписание на день из пяти различных уроков,  если изучается 14 предметов? 12. Сколькими способами 9 учащихся могут встать в очередь в школьном буфете? Домашнее задание 25 13. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по  школе? 14. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц  финального забега на 100м? 26