Конспекты уроков по алгебре в 10 классе по теме: " теория вероятности"

УРОК №1 ТЕМА: ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЦЕЛЬ: повторить основные элементы комбинаторики; рассмотреть этапы развития теории  вероятностей как науки. ФОРМА УРОКА: обзорная лекция. ОБОРУДОВАНИЕ: презентация «ver_Urok№1» в рамках проекта. Организационный момент. ХОД УРОКА. Повторение.  I. II.  Устная работа.  Основные элементы комбинаторики. СЛАЙД 1­2. 1) Размещение  Am n  n !  mn ( )!           Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n. nP ).   Если  m  =  n,   то   эти   размещения   называются 2) Перестановки   ( перестановками. !n Pn  3)  Сочетания ( m nC ) – это любое подмножество из m – элементов, которые  принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов. C m n       Следствие.  Число   сочетаний   из  n  элементов   по  n  –  m  равно   число сочетаний из n элементов по m, т.е.  mnm  mn n ! n  C C )! (! m n .  Практическая работа. СЛАЙД 3­9. A 4 10 Задача.1.  Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр? Решение: 1)  2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти   A 3)  3 9 !9 !6  5040 A 3 9 !10 !6 .  5040 4536 504 504 4 A 10  . . Задача.2.  Пусть   имеется   множество,   содержащие   4   буквы:   {А,В,С,Д}. Записать   все   возможные   сочетания   из   указанных   букв   по   три. Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются. C  .4 3 4 !4  )!34(!3 Задача.3.  Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом? Решение:  если   обозначить   4   определенные   книги   как   одно   целое,   то получается 6 книг, которые можно переставлять. P 6*5*4*3*2*1!6 6 можно переставлять   правилу умножения будет    переставляются,   4   определенные   книги . Тогда всего перестановок по  . 17280 4*3*2*1!4 PP 720 6  720 P 4  24 24* * 4 Задача.4. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать? Решение: C .210   4 10 !10  10(!4 )!4 !10 !6!*4 . 4 б !10 !6!*4 !5 Задача.5.  Имеется   10   белых   и   5   черных   шаров.   Сколькими   способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных. Решение:  Белые шары  C  210  3 ч 4 10 7   ш   3 5 C 4 10  10 * 3 5 C !2!*3  Черных шаров  C Тогда    В   размещении   учитывается   порядок   элементов   при   выборе,   а   в сочетаниях – не учитывается. 10*20 2100 Задача.6. Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на 2 подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5, а во второй – не более 9 человек. Решение: Первая подгруппа может состоять либо из 3, либо из 4, либо из 5 человек. 12C ,  12C ,  12C ,  1507 5 C 12 4 C 12 3 C 12    . 4 3 5 Задача.7.  Десять   команд   участвуют   в   разыгрывание   первенства   по футболу, лучшие из которых занимают 1­е, 2­е и 3­е места. Две команды, занявшие последние места не будут участвовать в следующем таком же первенстве. Сколько разных вариантов результата первенства может будут учитывать, если только положение первых трех и последних 2­х  команд? Решение:  1­е   три   места   может   будут   распределены:   способов. Остается 7 команд, две из которых выбывают из следующего первенства т.к.   порядок   выбывших   команд   не   учитывается   =>   21 способом. Тогда число возможных результатов =  A 3 10 CA 3 10 !10 !7 15120 C * 2 7 !5!*2 720  !7 2 7 . Задача.8.  Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни один из них  не будет вызван дважды и на занятии может будет опрошено любое количество учащихся, порядок опроса не важен. Решение: 1) может не спросить ни одного, т.е.  2) если только 1, то  если только 2­х то  Тогда он всего опросит  11C  и т.д.  11C , 11С , ...С С С С   1 2 0 11 11 0 11 1 11 2 11 III. Новый материал. Проект «Предмет теории вероятностей». ИСТОРИЯ СЛАЙД 10­17. Развитие теории вероятностей, а с нею и развитие понятия вероятности можно разбить на  следующие этапы. СЛАЙД 10. 1.   Предыстория   теории   вероятностей.   СЛАЙД   11.   В   этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные   задачи,   которые   позже   будут   отнесены   к   теории вероятностей.   Никаких   специальных   методов   в   этот   период   не возникает.   Этот   период   кончается   работами   Кардано,   Пачоли, Тарталья   и   др.   С   вероятностными   представлениями   мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других   античных   ученых   и   мыслителей   мы   находим   глубокие предвидения   о   строении   материи   с   беспорядочным   движением мелких   частиц   (молекул),   мы   встречаем   рассуждения   о равновозможных исходах (равновероятных) и т. п.  Д. Кардано Еще   в древности делались попытки сбора и анализа некоторых статистических   материалов   —   все   это   (а   также   и   другие проявления внимания к случайным явлениям} создавало почву для выработки   новых   научных   понятий,   в   том   числе   и   понятия вероятности. Но   античная   наука   не   дошла   до   выделения   этого   понятия.   В философии   вопрос   о   случайном,   необходимом   и   возможном  всегда   был   одним   из   основных.   Философская   разработка   этих проблем   также   оказывала   влияние   на   формирование   понятия вероятности. В   целом   в   средневековье   мы   наблюдаем   только   разрозненные попытки осмыслить встречающиеся вероятностные рассуждения.  Н. Тарталья 2. Возникновение теории вероятностей как науки.  СЛАЙД 12­13. К середине, XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистической практике, в практике страховых   обществ,   при   обработке   результатов   наблюдений   и   в   других   областях, привлекли  внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь это   относится   к         Б.   Паскалю,   П.   Ферма   и   X.   Гюйгенсу.   СЛАЙД   5.   В   этот   период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность   (в   форме   отношения   шансов),   устанавливаются   и   используются   первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности. 3.   Следующий   период   начинается   с   появления   работы   Я.   Бернулли   "Искусство предположений"  (1713),   в   которой   впервые   была   строго   доказана   первая   предельная теорема   —   простейший   случай   закона   больших   чисел.   СЛАЙД14.   К   этому   периоду, который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др.   В   центре   внимания   в   это   время   стоят   предельные   теоремы.   Теория   вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают   применяться   различные   понятия   вероятности   (геометрическая   вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности. 4.   Следующий   период   развития   теории   вероятностей   связан   прежде   всего   с Петербургской математической школой.  СЛАЙД 15.  За два столетия развития теории вероятностей главными ее достижениями были предельные теоремы. Но не были выяснены границы их применимости и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с огромными  успехами, достигнутыми теорией вероятностей в предыдущий период, были выявлены и существенные недостатки в ее обосновании, это в большой мере относится к недостаточно четким представлениям о вероятности. В   теории   вероятностей   создалось   положение,   когда   дальнейшее   ее   развитие   требовало уточнения   основных   положений,   усиления   самих   методов   исследования.   Это   было осуществлено русской математической школой во главе с П. Л. Чебышевым. Среди ее крупнейших представителей мы видим А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. В этот период в теорию вероятностей входят оценки приближений предельных теорем, а также происходит расширение класса случайных величин, подчиняющихся предельным теоремам. В это время в теории вероятностей начинают рассматривать некоторые зависимые случайные величины (цепи Маркова). Понятие вероятности получило  большое распространение в естественных науках, в первую очередь это относится к физике. Появляются работы Максвелла, а затем Больцмана и Д. Гиббса. Их трудами создается статистическая физика. Но это внедрение вероятностных методов   и   понятий   в   физику   шло   в   довольно   большом   отрыве   от   достижений   теории вероятностей. Развитие  теории  вероятностей  в начале  ХХ в. привело  к необходимости  пересмотра  и уточнения ее логических  основ, в первую очередь понятия вероятности. Следует иметь в виду и то, что к началу ХХ в. аксиоматический метод стал проникать во многие области математики (работы Д. Гильберта, Пеано и др.), что также оказало влияние на теорию вероятностей. В результате всего этого возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия — вероятности. 5.   Современный   период   развития   теории   вероятностей  начался   с   установления аксиоматики.   СЛАЙД   16­17.   Этого   прежде   всего   требовала   практика,   так   как   для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также  в технике  и военном деле  необходимо  было  уточнить  и привести  в стройную систему   ее   основные   понятия.   Благодаря   аксиоматике   теория   вероятностей   стала абстрактно­дедуктивной   математической   дисциплиной,   тесно   связанной   с   другими математическими   дисциплинами.   Это   обусловило   небывалую   широту   исследований   по теории вероятностей и ее применениям, начиная от хозяйственно­прикладных вопросов и кончая   самыми   тонкими   теоретическими   вопросами   теории   информации   и   теории случайных процессов. Первые работы этого периода связаны с именами С. Н, Бернштейна, Р. Мизеса, Э. Бореля. Окончательное установление аксиоматики произошло в 30­е годы ХХ в. Анализ тенденций развития   теории   вероятностей   позволил   А.   Н.   Колмогорову   создать   общепринятую аксиоматику. В   этот   период   понятие   вероятности   проникает   почти   во   все   сферы   человеческой деятельности, становясь одним из основных понятий современной науки. Возникают самые различные определения вероятности, несводимые друг к другу. Многообразие определений основных понятий — существенная черта современной науки, и понятие вероятности не исключение. IV. Домашнее задание. СЛАЙД 18. 1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу? Решение:  2. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими  P 9 362880 . !9 способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)? Решение:  3. В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно  22*23*24*25*26 7893600 . A 5 26  выбрать из них 3 набора? Решение:  C 3 8  56  способов.  678  321 4.   Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать: а) двух  дежурных, б) старосту и его заместителя?