Ko’rsatkichli funksiya. Uning aniqlanish va qiymatlar sohasi.

Mavzu: Ko’rsatkichli funksiya. Uning aniqlanish va qiymatlar sohasi. Darsning maqsadi:  a)  ta’limiy:  O’quvchilarning  algebra fanidan olgan nazariy   bilim   va   malakalarini   mustahkamlash, amalda qo’llay olishusullarini o’rgatish; b)  tarbiyaviy:  O’quvchilarni   insonparvarlik   va vatanparvarlik   ruhida   barkamol   inson   qilib tarbiyalash; c)  rivojlantiruvchi:  O’quvchilarning   ijodiy   va mustaqil   fikrlash   qobiliyatini   rivojlantirish,   ularni kashfiyotchilik, ixtirolar yaratish sari chorlash; d)  kasbga   yo’naltirish:  O’quvchilarda   kasb tanlashda   qiziqish   uyg’otish.   Ularga   kasblarning kundalik turmushda va texnika rivojlanishida tutgan ahamiyatini tushuntirish; e) mafkuraviy: Ulug’ mutafakkirlarning ilm­fan va ishlab chiqarish rivojiga qo’shgan hissalariga hurmat tuyg’usini oshirish. Dars tipi:  Noananaviy, aralash.    Dars usuli:  Og’zaki, ko’rgazmali. Amaliy interfaol. Dars uslubi:  Munozara,   savol­javob,   didaktik   o’yinlar,   misollar yechish. Guruhlar bilan ishlash.  Darsning boshqa  fanlar bilan bog’liqligi:  Kimyo, fizika, tarix. Darsning jihozi: Darslik,   o’quv   qo’llanmalar,   tarqatma   materiallar, texnika vositalari va formulalar. Foydalanilgan adabiyotlar: 1. A.Meliqulov, P.Qurbanov, P.Ismoilov “Matematika” II­qism. Kasb­ hunar kollejlari uchun o’quv qo’llanma. Toshkent. “O’qituvchi”. 2. A.A.Abduhamidov,   H.A.Nasimov,   U.M.Nosirov,   Z.H.Husanov “Algebra   va   matematik   analiz   asoslari”   II­qism.   A.l.   u­n   sinov dasturi. Toshkent. “O’qituvchi”. 2011y. 3. A.H.Kolmogorov “Algebra va analiz asoslari” o’rta maktabning 9­10 sinf uchun o’quv qo’llanma. Toshkent. “O’qituvchi” 1978y.  4. R.H.Vafoyev,   Z.H.Husanov,   Yn.Y.Hamroyev “Algebra   va   analiz   asoslari”,   Akademik   letsiy   va   kasb­hunar kollejlari uchun. Toshkent. “O’qituvchi” 2003y.    K.H.Fayziyev. 5. Yosh matematikalar qobusnomasi. Darsning borishi:  Tashkliy qism.  O’tilgan mavzuni so’rash.  O’tilgan mavzularga doir misollar yechish.  Tezkor savollar.  Qiziqarli va mantiqiy savollar.  Didaktik o’yin. I. II. III. IV. V. VI. VII.  Yangi mavzu bayoni. VIII. Darsni mustahkamlash. IX.  O’quvchilarni baholash va uyga vazifa berish. Sinfda   psixologik   muhit   yaratish.  Navbatchi   o’quvchi   davomatini tinglash. Uy vazifasini so’rab o’quvchilarni baholash. Dars uch guruhning munozarasi, savol­javob asosida olib boriladi. I­guruh:  II­guruh: ­ Al Xorazmiy hayoti va fan borasida qilgan ishlari haqida ma’lumot beradi. ­ Al beruniy haqida ma’lumot beradi.   III­guruh: ­ M.Ulug’bek haqida ma’lumot beradi.   O’tilgan mavzuni so’rash. 1.  2.  3.  4.  sin(    ); sin(    ); cos(    );  nimaga teng. cos(  );    sin( ) cos sin 1)   cos  . sin 2)  3)  4)  sin( cos( cos(  )  )  )      sin cos cos       cos cos cos cos sin sin  .  .  . sin sin sin 5.  t (  ), 1.  tg 2.  tg tg    ( )  nimaga teng? (  )   tg  .   1 tg   tg  .   1 tg tg tg tg tg  ( )    6.    sin 2 , 2sin cos 2 ,   sin2   2tg   cos .  nimaga teng? 1.  2.  cos  2  cos 2   2 sin  . 3.  tg  2  1 2  tg tg  . 2 III. O’tilgan mavzularga doir misollar yechish. 1. Ayniyatni isbotlang: a)   . sin 2        sin   cos   (sin  1   )   ) cos  sin2 (sin cos cos   1 2 2 2 2  .2sin  b)  1       cos sin 2   2 2   cos 2  . cos   cos 2 2   2 sin   2 cos  . 2. Tenglamani yeching: a)  3 2 2 2 sin 2 x  x sin3  sin x x  cos x 3 cos (cos 3  sin233 sin20  x sin x 0 2 2  . sin 33 x   x x sin2  x sin23) 2 .3 . x .x 2 x  sin2 sin2  sin2  x  x x 2 2 x sin 2  sin21 x 25  x  1 x  .1 cos 2 2 2 2 sin  x  x  x x cos sin cos sin sin211  sin22  x 1  x x  2 sin  2 b) (   cos tg ) 3. Hisoblang: 1)   2)  3)   ctg   )    cos( cos  cos sin( sin 2 2  (   sin  cos   cos   ) sin   )   (cos   4)   tg  (  ctg )  (  )  2 cos  (  )   2 sin   .211  sin    cos   sin   sin   sin   .0 (     sin )(cos cos sin sin      sin  cos   2 cos sin sin  )  cos   cos   2 cos  .   cos sin )     cos       sin 1   .  sin 2 cos   IV. O’tilgan mavzularga doir tezkor savollar. 1) Kompleks sonlar deb nimaga aytiladi? 2) Kvadrat tenglama deb nimaga aytiladi? 3) Birhad deb nimaga aytiladi? 4) Ko’phad deb nimaga aytiladi? 5) α burchakning sinusi? 6) α burchakning kosinusi? 7) α burchak tangensi? 8) α burchak atangensi? 9) y = sinx davri nimaga teng? 10) y = cosx davri nimaga teng? 11) y = sinx funksiya toqmi juftmi?  12)  13) Trapetsiya. 14) Uchburchak. 15) Trapetsiya o’rta chizig’i.  funksiya davri nimaga teng?  , tgx ctgx y y V. Qiziqarli va jumboq savollar.  1) Bir varaqqa 5 ta to’g’ri chiziq va ularning ustiga 10 ta shashkaning donalarini   shunday   qo’yib   chiqingki   har   bir   to’g’ri   chiziqda   4   ta shashka yotsin. 2) O’zbekistonda biror son bilan ataladigan joy nomlarini ayting? 1. To’rtko’l 4. Uchtepa 7. Ettitaxta 10. Ellikqa’la 2. Oltiariq 5. Uchquduq 8. Qirqtosh 11. Mingbuloq. 3. Beshrabot 6. Uchqo’rg’on 9. Qirqqiz 3)   Bir   varaq   qog’oz   oling   undan   tomonlari   9sm   va   4sm   ga   teng bo’lgan  to’g’ri  to’rtburchak  kesib   oling.   Bu   to’g’ri   to’rtburchakni qaychi bilan shunday uchta to’g’ri to’rtburchakka ajratingki ulardan bitta kvadrat yasash mumkin bo’lsin. 4) 45 ta yong’oqni 9 ta likobchaga shunday qo’yib chiqingki har bir likobchadagi yong’oqlar soni har xil bo’lsin. 5) 9 ta gugurt cho’pi yordamida 100 sonini ifodalang. 6) Sher qo’yni 2 soatda yeb bo’ladi. Bo’ri esa 3 soatda, it 6 soatda yeydi. She’r, bori va it birgalikda qo’yni necha soatda yeydi. (1 soatda) 7) Uchta o’quvchi shashka o’ynadi. 3­partiya shashka o’ynaldi xolos. Har  biri necha partivadan shashka o’ynagan? Javob: Har biri 2 martadan o’ynagan. 8) Kutubxonada 3200 ta kitob bor. Ulardan 40%ni ta’mirlash kerak. Kitoblardan nechtasini ta’mirlash kerak?  Javob: 1280 tasini.       9) Ikki kalla, ikki go’l, olti oyoq, yurishda esa to’rt oyoq, bu nima  bo’lishi mumkin? Javob: Otda ketayotgan otliq.   VI. Didaktik o’yin. (Rebus o’yini) VII. Mustaqil ish.  VIII. Yangi mavzu bayoni. Reja: 1. Ko’rsatkichli funksiya. 2. Ko’rsatkichli funksiya aniqlanish sohasi. 3. Ko’rsatkichli funksiya qiymatlar sohasi. 4. Ko’rsatkichli funksiya xossalari. Ta’rif: y = a* ko’rinishdagi funksiya ko’rsatkichli funksiya deyiladi,  bunda a > 0, a ≠ 1. y     M:  ,3x y  ,2 x y y x x    1 2       1 3    Biz natural, nol, manfiy butun, musbat va manfiy kasr ko’rsatkichli darajalar   haqida   tushunchalarga   egamiz.   Ko’pgina   amaliy   masalalarni yechishda haqiqiy (irratsional) ko’rsatkichli daraja tushunchasini kiritib, u bilan ish ko’rishga to’g’ri keladi. Fizikada   ko’pgina   jarayonlar  ax  ko’rinishdagi   ifoda   bilan tavsiflanadi.   Masalan,   radioaktiv   yemirilish   formula   bilan ifodalanadi.   Bunda  m(t)  va  m0  —  radioaktiv   moddaning   mos   ravishda t va t = 0 paytdagi massasi, T — yarim yemirilish davri.  1  0 2  tm )(    m 1 T Havo   bosimining   dengiz   sathidan   balandlikka   bog’liq   ravishda  ≈ 2,718) formula bilan tavsiflanadi. Bu yerda p0 — o’zgarishi p = p0e­kh (e  havoning   dengiz   sathidagi   bosimi,  p  esa   havoning   dengiz   sathidan  h balandlikdagi bosimi, k — proporsionallik koeffitsienti. Bunday misollarni ko’plab keltirish mumkin. Nol, manfiy butun, kasr va irratsional ko’rsatkichli darajalar shunday kiritiladiki, natural ko’rsatkichli daraja ustida bajariladigan barcha amallar istalgan  haqiqiy ko’rsatkichli  daraja  ustida bajariladigan  amallar  uchun ham   yaroqli  bo’lib  qolsin.   Shunday  ekan  darajaning   asosiy   xossalarini eslatib o’tamiz. a > 0, b > 0, x, x1, va x2 — istalgan haqiqiy sonlar bo’lsin. U holda: 1)   a 3)  5)  7) agar a > 1, x > 0 bo’lsa, ax > 1; a 2)  a 4)  ( ab 6) ax > 0;  a b a  a   b  ba  (    ;x ;2 ;2 a a a a ) ) ; ; x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x x x x x x x 8) a0 = l (a ≠ 0),   0x = 0 (x > 0); 9)  a n  1  a a ( n );0 10)  m n a  n  (a > 0); m a m n a  11)  , 1 m n a  (a > 0), n, m   N;ε 12) 1x = 1 (x   Rε ); 13) agar a > 0 va a ≠ 1 bo’lsa, u holda istalgan b son uchun shunday faqat bitta x haqiqiy son mavjudki, ax = b (b > 0) tenglik o’rinli bo’ladi; 14) agar ax1 = ax2  (a > 0, a ≠ 0) bo’lsa, u holda x1 = x2 bo’ladi. Shuni   qayd   qilamizki,   nolning   manfiy   darajasi,   manfiy   sonning maxraji   juft   son   bo’lgan   qisqarmas   kasr   ko’rsatkichli   darajasi   va, shuningdek, manfiy sonning irratsional ko’rsatkichli darajasi (ax ifodaning a manfiy bo’lgan holi) haqiqiy sonlar to’plamida ma’noga ega bo’lmaydi. 1—5­ xossalar nol, natural, manfiy butun, musbat va manfiy kasr, shuningdek,   irratsional   ko’rsatkichli   darajalarning   ta’riflari   va   natural daraja   uchun   teoremalardan   foydalanib   isbotlanadi.   Masalan,   1­xossani butun manfiy daraja uchun isbotlaylik. x1 = ­m,  x2  =  ­n bo’lsin, bunda  m, n  N, a x1  ∙ ax2 = ax1+x2  bo’lishini ε ko’rsataylik, bu yerda a — istalgan haqiqiy son va a ≠ 1. Manfiy butun ko’rsatkichli darajaning ta’rifiga ko’ra x 1 a x  a 2  m aa  n 1  a 1 a m n . Kasrlarni ko’paytirish va natural darajalarni ko’paytirish qoidalariga ko’ra quyidagini olamiz: 1 a m 1  a n 1 aa nm 1  nm . a Manfiy ko’rsatkichli darajaning ta’rifiga ko’ra 1 nm  a  a  ( nm  )  a  ( m  () n ) munosabatni olamiz. ­m ni x1 ga, ­n ni esa x2 ga almashtirsak, 1­ xossaning ifodasini olamiz: a ( m  a 1 n x ) a x ,2  ya’ni  a x 1 x  a a 1 2 x x .2 1—14­ xossalardan matematikada keng foydalaniladi. 1.  y   =   ax  funksiyaning   aniqlanish   sohasi   barcha   haqiqiy   sonlar to’plami R dan iborat. Agar a < 0 bo’lsa, ax funksiya faqat x ning butun sonlar va maxraji toq son bo’lgan kasr sonlardan iborat bo’lgan qiymatlarida aniqlangan. Agar a = 0 bo’lsa, 0x ifoda x > 0 bo’lganda aniqlangan. Agar a > 0 bo’lsa, u holda ax funksiya x ning barcha haqiqiy qiymatlarida aniqlangan. a = 1 bo’lganda 1x < 1 bo’ladi, ya’ni funksiya o’zgarmas songa teng bo’ladi. Biz bundan keyin ax ko’rsatkichli funksiya uchun a > 0 va a ≠ 0 bo’lgan holni qaraymiz. 2.   Ko’rsatkichli   funksiyaning   qiymatlar   to’plami   barcha   musbat haqiqiy   sonlar   to’plamidan   iborat   bo’ladi.   Bunga   ishonch   hosil   qilish uchun  ax  = b (a >  0, a  ≠  1) tenglama  b ≤  0 bo’lganda ildizlarga ega emasligini, istalgan  a <  0 da esa ildizga ega bo’lishini ko’rsatish kerak. Agar b ≤ 0 bo’lsa, darajaning 6­ xossasiga ko’ra bu tenglama ildizga ega emas. b > 0 bo’lganda esa bu tenglama ildizga ega bo’lishini y = b to’g’ri chiziqning y = ax funksiya grafigi (ax  >  0 bo’lishi e’tiborga olinsa) bilan kesishishi tasdiqlaydi. Grafiklar kesishish nuqtasining abssissasi ax = b tenglamaning ildizi bo’ladi. 3. y = ax funksiya a > 1 bo’lganda barcha haqiqiy sonlar to’plamida o’suvchi bo’ladi, 0 < a < 1 bo’lganda esa kamayuvchi bo’ladi. Haqiqatan ham,  a >  1 va  x2  >  x, bo’lsin.  y  (x2)  > y(x1),  ya’ni  ax2  > ax1  bo’lishini ko’rsataylik.  x2  >  x, bo’lgani uchun  x2  –  x1  > 0 bo’ladi va darajaning 7­ xossasiga ko’ra ax2 –  x1  > 1, ya’ni   ga ega bo’lamiz. Bundan ax1 > 0 bo’lishini e’tiborga olsak, ax2 > ax1 ni olamiz. x a a 1 1 2 x Endi 0 <  a <  1  va  x2  >  x1  bo’lsin.  y  (x2) <  y  (x1), ya’ni  ax2  < ax1  bo’ladi va shuning bo’lishini ko’rsataylik. 0 < a < 1 bo’lgani uchun  1 x x 1 2  1 a 1 a 1 a 1 a    uchun          a < 1 va 0 < a < 1 bo’lgan hollar uchun ko’rsatkichli funksiyaning grafiklari rasmda tasvirlangan. Agar  x  < 0 bo’lsa va kamaysa, u holda grafik Ox o’qiga jadal yaqinlashadi (lekin uni kesib o’tmaydi); agar x > 0 bo’lsa   va   o’ssa,   u   holda   grafik   yuqoriga   jadal   ko’tariladi.  y   =   ax x 2 x 1 1  a  bo’lib, bundan ax2 < ax1. funksiyaning   grafigi   (0;   1)   nuqtadan   o’tadi   va  Ox  o’qidan   yuqorida joylashadi. 4.   Shuningdek,   ko’rsatkichli   funksiya   darajaning   asosiy   xossalari bo’lgan 1—5­ xossalarga ham ega. Ko’rsatkichli funksiya xossalari. 1º.   Ko’rsatkichli   funksiyaning   aniqlanish   sohasi   barcha   haqiqiy   sonlar toplamidan iborat. 2º. Ko’rsatkichli funksiya faqat musbat qiymatlarni qabul qiladi. 3º. Agar a >1 bo’lsa, bu holda x > 0 bo’lganda ax > 1 bo’ladi. x < 0 bo’lsa, ax < 1 bo’ladi. Agar a < 1 bo’lsa, aksincha x > 0 bo’lganda ax < 1, x < 0 bo’lganda esa ax > 1 bo’ladi. 4º. Agar x = 0 bo’lsa, a  ga bog’liq bo’lmagan holda ax = 1 bo’ladi.   5º. a > 1 bo’lganda y = ax ko’rsatkichli funksiya monoton o’suvchi, a < 1 bo’lganda esa monoton kamayuvchi funksiya bo’ladi.  6º. y = ax (a > 0, a ≠ 1) ko’rsatkichli funksiyaning o’rganish sohasi barcha musbat sonlar toplamidan iboratdir.    VIII. Darsni mustahkamlash:       2  1 2  8 2  16   3  1 3 1 3 2 .3            Misollar. Hisoblang:   1      3    1       3  5 8 5 y 2 2 x y   2  va   8  2  .3 3  va  .8y 22 .5  5 8 2 x 3 2 x x x 1y 3  4       1 3  4  3 4 .81 1)  2)  3)  4)        5) x 3 x 3 x    1 3 3 .1 1  x  1 va    4 1y 16 . 6)  y             x x     1 1  4 16    1 1    4 4  .2 x 2    y 7)     x      x x   1  va y = 9.     3   1  3    1 3    .2 2  IX. O’quvchilarni baholash va uyga vazifa berish. Mavzuni o’qib o’zlashtirib kelish.