Курсовой проект на тему "Приемы быстрого устного счета"

Приемы быстрого устного счёта Оглавление 1.Введение 2. Как люди научились считать 3. Таблица умножения на «пальцах» 4. Умножение для числа 9 5. Умножение для числа 8 6. Приемы быстрого счета 7. Заключение 8. Список литературы Введение В  наше  время   при   появлении  новых  технологий  многие   думают,  что производить сложные вычисления в уме уже утратило своей актуальности, но это не так. Сейчас пользование устным счетом является предметом гордости людей,   так   как   можно   быстро   посчитать   простые   и   более   сложные вычисления. Это вызывает откровенное удивление. Если ты научился считать в  уме,  то   эти   навыки   могут   помочь   в  учебе,   в  быту,  в  профессиональной деятельности. Польза устного счета в том, что это настоящая гимнастика для ума, помогающая в короткое время находить решения.  По моему мнению, каждый ученик должен уметь быстро и правильно   не   пользуясь производить   элементарные   и   простые   вычисления, вычислительной   техникой.   В   повседневной   жизни   людям   могут   помочь приёмы быстрого устного счета, а ученикам успешно и быстро осуществлять вычисления в процессе изучения математики.  Основная цель работы – создать коллекцию разнообразных методов и приемов быстрого устного счета.   Задачи: 1.Изучить   основную   и   дополнительную   литературу   по   теме исследования 2.Найти,   обобщить   и   систематизировать   наиболее   универсальные методы и приемы быстрого устного счета. Как люди научились считать Как появилось число? Как человек начал считать? Мы постараемся дать подробный ответ на данные вопросы. Человек много лет назад ходил на охоту, ловил рыбу, сооружал каменные топоры и ножи. Для этого ему приходилось считать   различные   предметы,   с   которыми   он   встречался   в   повседневной жизни.   Так   при   возникновении   важных   вопросов,   например,   сколько   надо сделать ножей, человек сам не замечая начал считать и вычислять. Сначала он научился   выделять   единичные   предметы. представление о числе два и так далее.   Постепенно   появлялось   Для счета люди использовали пальцы рук, ног. И правда, маленькие дети тоже начинают учиться считать по пальцам. Но таким способом можно было считать только в пределах 20. Они придумали, что можно считать до 10, а потом начинать сначала. Так развился пальцевой счет. Так же при помощи пальцев рук они научились выполнять сложения и вычитания. С умножением и делением, конечно же, было сложнее. Были придуманы разные способы, такие как: «шахматный», «галерой или лодкой» назван он так в силу того, что при делении   чисел   этим   способом   получалась   фигура,   похожая   на   лодку   или галеру.   Упоминались   еще   такие   способы,   как   «загибание»,   «решеткой», «треугольником» и так далее. Но есть более быстрые и надежные способы. Таблица умножения на «пальцах» Знать   таблицу   умножения   в   нашей   жизни   необходимо.   Надо элементарно ее заучить. Со временем это дается очень легко. Чтобы было легко   считать   и   не   забывать   таблицу   умножения,   был   придуман   метод «ручного»   умножения.   Овладев   им,   мы   с   легкостью   можем   забыть   про калькулятор. Но надо помнить, что этот метод   работает только для чисел от 2 до 9, умножаемых на числа от 1 до 10. Ниже мы рассмотрим несколько таких примеров. Умножение для числа 9 9*1,9*2,…,9*10 такие действия легко выветривается из памяти. Однако метод «ручного» умножения легко воспроизводится для числа 9. Суть метода: надо растопырить пальцы на обеих руках и повернуть руки ладонями от себя. Мысленно присвоить пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки.  Рассмотрим   пример.   Мы   хотим   умножить   9   на   6.   Загибаем   палец   с номером,   равным   числу   6.   Количество   пальцев   слева   от   загнутого   пальца показывает   количество   десятков,   количество   пальцев   слева   показывает количество единиц. Получается, что слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа­4 пальца. Следовательно,у нас получилось 9*6=54. Все очень просто. Умножение для числа 8 8*1,8*2,…,8*10 такое действие похоже на умножение для числа 9. Но есть некоторые изменения. Так как для числа 8 нам не хватает двойки до 10, то нам необходимо, во­первых, загибать по два пальца плюс еще один палец, следующий за ним. Во­вторых, после того как мы загнули пальцы, нам надо загнуть еще столько же, сколько осталась не загнутых пальцев слева. Но этот способ работает только для чисел от 1 до 5.   Рассмотрим   пример:   мы   хотим   умножить   8   на   4.   Загибаем   палец   с номером 4 и за ним палец с номером 5 (4+1). Слева осталось 3 не загнутых пальца,   получается   нам   необходимо   загнуть   еще   3   пальца   после   пальца   с номером  5 (6,7,8).  Осталось  3  пальца   не   загнуто   слева   и  2  пальца­справа. Получилось, 8*4=32. Приемы быстрого счета Приемом быстрого устного счета обладали многие ученые такие как Андре Ампер и Карл Гаусс. Но и многие люди, чья профессия была далека от математики, тоже умели быстро считать.  Профессор математики Я.Трахтенберг в годы второй мировой войны разработал некоторые приемы быстрого устного счета. Это была более научно обоснованной и подробно разработанной системой. В 1941 году Трахтенберг попал в концлагерь, и чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях, он начал разрабатывать   принципы   быстрого   счета.   Так   после   войны   он   создал   и возглавил Цюрихский математический институт. Дети и взрослые постепенно изучили быстрый счет.  Умножение двузначного числа на 11. 1.  Умножение на 11, сумма цифр которого не превышает 10. Чтобы   умножить   на  11  числа,  сумма   цифр   которого   меньше  10  или равное 10, надо раздвинуть данные цифры и поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю оставить без изменения.  Пример:  72*11=7(7+2)2=792 35*11=3(3+5)5=385 2. Умножение на 11, сумма цифр которого больше 10. Чтобы   умножить   на   11   числа,   сумма   цифр   которого   больше   10  или равное 10, надо раздвинуть данные цифры и поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю оставить без изменения. Пример:  78*11=7(7+8)8=7(15)8=858 94*11=9(9+4)4=9(13)4=1034. Умножение на 11 (по Трахтенбергу) Правило. 1. 2. Написать последнюю цифру числа в качестве правой цифры Каждая последующая цифра числа складывается со своим правым соседом и записывается в результат. 3. Первая цифра числа становится левой цифрой  Рассмотрим пример: 663*11 1. 2. В числе 663 последняя цифра­ 3. Ставим ее справа. Складываем последние две цифры 3+3=6. И ставим перед 3 число 6. Получается 63. Надо применить еще раз правило и складываем 6+3=9. Ставим перед числом 63. Получается 963. 3.Первая цифра числа 6 становится левой цифрой. Получилось 6963. Ответ:6963 Умножение на число 111, 1111 и т.д, зная правила умножения двузначного числа на число 11 Если   сумма   цифр   первого   множителя   меньше   10,   надо   мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее   количество   раз  их  сумму  между  раздвинутыми  цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1. Пример: 24*111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов ­ 2) 24*1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов ­ 3) При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме. 72*111111 = 7999992 (количество шагов ­ 5) Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6. Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.61*11111111 = 677777771 Эти вычисления можно легко произвести в уме. Умножение на двенадцать (по Трахтенбергу) Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа». Пример:  63247 * 12 Необходимо записывать  цифры множимого через интервал  и каждую цифру   результата   писать   точно   под   цифрой   числа   63247,   из   которой   она образовалась. 63247 * 12     дважды 7 будет = 14, переносим 1 4 063247 * 12     дважды 4 + 7 + 1 = 16, переносим 1 64 063247 * 12 дважды 2 + 4 + 1 = 9 964 Следующие шаги аналогичны. Окончательный ответ : 063247 * 12 758964 Умножение на 22, 33, ..., 99 Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙  11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11. •  Пример 1.   24 ∙  22 = 24 ∙  2 ∙  11 = 48 ∙  11 = 528 •  Пример 2.  23 ∙  33 = 23 ∙  3 ∙  11= 69 ∙  11 = 759 Умножение на 25 Чтобы умножить какое­нибудь число, нужно данное число разделить 4.   Ответ ­ полные сотни, остаток – неполные (1, 2, 3 или 25, 50, 75).   Пример. 135 ∙ 25=(135:4=100:4+35:4)=33 сотни, остаток 3 (или неполная сотня – 75)=3375. Умножение на 5, на 50, на 25, на 125 При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими  выражениями:    a ∙ 5=a ∙ 10:2   a ∙ 50=a ∙ 100:2    a ∙ 25=a ∙ 100:4  а ∙ 125=а ∙ 1000:8 Пример1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85  Пример 2. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150 Пример 3. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675 Пример 4. 96 ∙ 125=96:8 ∙ 1000=12 ∙ 1000=12000 Возведение в квадрат чисел , оканчивающихся цифрой 5 Для того чтобы возвести в квадрат число оканчивающееся на 5, надо найти  значение выражения: 100∙количество десятков числа ∙ (количество десятков+1)+25. Пример.       185^2 =100 ∙ 18 ∙ (18+1)+25=34225. Умножение на число, оканчивающиеся на 5 Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5,  можно применить следующее правило. Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой  уменьшить во столько же раз, произведение не изменится. Примеры: 44 ∙  5 = (44 : 2) ∙  5 ∙  2 = 22 ∙  10 = 220; 28 ∙  15 = (28 : 2) ∙  15 ∙  2 = 14 ∙  30 = 420; 32 ∙  25 = (32 : 2) ∙  25 ∙  2 = 16 ∙  50 = 800. При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе  второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется  потрудиться и перемножить двузначные числа: Примеры: 48 ∙ 65 = (48 : 2) ∙  65 ∙  2 = 24 ∙  130 = (24 ∙  10 + 24 ∙  3) ∙  10 =  (240 + 72) ∙  10  = 312 ∙  10 = 3120; 36 ∙  85 = (36 : 2) ∙  85 ∙  2 = 18 ∙  170 = (18 ∙  10 + 18 ∙  7) ∙  10 =  (180 + 126) ∙  10 = 306 ∙  10 = 3060. Деление на 5, на 50, на 25 При делении на 5, на 50, на 25 можно вос­пользоваться следующими  выражениями:    a:5=a ∙ 2:10           a:50=a ∙ 2:100     a:25=a ∙ 4:100 Примеры: 35:5=35 ∙ 2:10=70:10=7 3750:50=3750 ∙ 2:100=7500:100=75 6400:25=6400 ∙ 4:100=25600:100=256 Заключение Существуют   способы   быстрого   сложения,   вычитания,   умножения, деления,  возведения   в  степень …Мы   рассмотрели   лишь   немногие   способы быстрого счета.  Все   рассмотренные   нами   методы   устного   вычисления   говорят   о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые   из   этих   методов   на   уроках   или   дома   можно   развить   скорость вычислений,  добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления.   Вычислительная   техника   совершенствуется   и   по   сей   день,   но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни. Система быстрого счета по Трахтенбергу основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить на 11, 12, 6 и т. д. надо знать алгоритм выполнения. Этим система неудобна, надо в памяти держать много правил быстрого счета, но система Трахтенберга показывает как красива математика, если   человек   открывает   тайны   ее   закономерностей,   изучает   их   и   учится применять на практике. Как мы видим, быстрый счет это уже не тайна, а научно разработанная система. Раз есть система, значит ее можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладеть. Мне было интересно работать над проектом. Пока только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета.   Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений. Список литературы 1. Бантова М. А. Система формирования вычислительных навыков. //Нач. шк ­ 1993.­№ 11.­с. 38­43. 2. Белошистая А. В. Приём формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. ­ 2001.­ № 7 3. Берман Г. Н. Приемы счёта, изд. 6­е, М.: Физматгиз, 1959. 4. Воздвиженский   А.   Умственные   вычисления.   Правила   и   упрощённые примеры действий с числами. ­ 1908. 5. Демидова   Т.   Е.,   Тонких   А.   П.   Приёмы   рациональных   вычислений   в начальном курсе математики // Начальная школа. ­ 2002. ­ № 2. ­ С. 94­ 103. 6. Катлер Э. Мак­Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. ­ М.: Учпедгиз.­ 1967. ?150с. 7. Мартель Ф. Приемы быстрого счёта. ­ Пб. ?1913. ?34с. 8. Сухорукова   А.  Ф. Больше  внимания  устным  вычислениям. //Нач.  шк. ­ 1975.­№ 10.­с. 59­62.