КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Квадратное уравнение как математическая
модель текстовой задачи

Цели: ввести понятие «математическая модель», выделить этапы решения задач алгебраическим методом; формировать умение составлять квадратное уравнение по условию задачи и решать его.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Найдите сторону квадрата, если его площадь равна:

а) 81 см²; б) 0,49 дм²;               в)  м²;

г)  м²; д) 225 см²;                е)  м².

III. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.

а) 3х² – 7х = 0;                                       в) 2х² – 1 = 0;

б) х² – 2х + 1 = 0;                                   г) х² + 3х + 3 = 0.

2. Решите уравнение:

а) 5х² + 14х – 3 = 0;                              в) 7х² + 8х + 1 = 0;

б) х² – 2х + 2 = 0;                                   г) х – 3х² – 2 = 0.

В а р и а н т  2

1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.

а) 6х² – 5х = 0;                                       в) 3х² – 4 = 0;

б) х² – 4х + 4 = 0;                                   г) х² – 4х + 5 = 0.

2. Решите уравнение:

а) 5х² + 8х – 4 = 0;                                 в) 7х² + 6х – 1 = 0;

б) х² – 6х + 11 = 0;                                г) 4х – 3х² – 2 = 0.

IV. Развивающее задание.

– Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

а) 1 и 3;            б)  и  –;            в) 1 – ; 1 + .

V. Объяснение нового материала.

Объяснение следует начать с решения конкретной (с. 124 учебника) задачи. В процессе её решения учащиеся открывают  н о в ы й   ф а к т: корень уравнения, составленного по условию задачи, может не удовлетворять этому условию. В то же время полученные при решении квадратного уравнения два различных корня могут одновременно отвечать условию задачи. Поэтому возникает необходимость интерпретации полученного решения.

Важно,  чтобы  учащиеся  осознали  значимость  новой  ситуации  и вместе с учителем чётко выделили этапы решения задачи алгебраическим методом:

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели текстовой задачи).

3. Решение уравнения, полученного при построении математической модели.

4. Интерпретация полученного решения.

Четвёртый этап решения задачи алгебраическим методом является принципиально новым для учащихся, поэтому на нём следует заострить внимание. Можно попросить учащихся привести примеры ситуаций, когда полученный корень уравнения может противоречить условию задачи.

В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить несколько самых распространённых ситуаций:

1) Корень уравнения является отрицательным числом, когда за неизвестное принята какая-то мера, которая может выражаться только положительным числом (н а п р и м е р, длина, площадь, объём и т. п.).

2) Корень уравнения является числом из более широкого множества, чем то, которое описывается в задаче (н а п р и м е р, получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о целых числах).

3) Несоответствие  полученных  положительных  размеров  с  реальными (н а п р и м е р, скорость пешехода равна 80 км/ч и т. п.).

При решении задач учащиеся могут в процессе интерпретации полученных решений соотносить ситуации с тремя выделенными.

VI. Формирование умений и навыков.

1. № 559, № 561.

2. № 563.

Р е ш е н и е

Пусть х см – длина одного катета прямоугольного треугольника, тогда (23 – х) см – длина второго катета. Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и составляет 60 см², составим уравнение:

 · х · (23 – х) = 60;

х (23 – х) = 120;

23х – х² – 120 = 0;

х² – 23х + 120 = 0;

D = (–23)² – 4 · 1 · 120 = 529 – 480 = 49;    D > 0;    2 корня.

x₁ =  = 15;

x₂ =  = 8.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 8; 15.

3. № 564.

В задаче встречается понятие «последовательные натуральные числа». Нужно убедиться, что учащиеся понимают, о чём идёт речь.

4. № 566.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х см – ширина листа картона, тогда длина оставшейся части картона равна (26 – 2х) см, а её площадь равна х (26 – 2х) см². Зная, что площадь оставшейся части картона равна 80 см², составим уравнение:

х (26 – 2х) = 80;

26х – 2х² – 80 = 0;

х² – 13х + 40 = 0;

D = (–13)² – 4 · 1 · 40 = 169 – 160 = 9;    D > 0;    2 корня.

x₁ =  = 8;

x₂ =  = 5.

И н т е р п р е т а ц и я  (чертёж в масштабе 1 : 2).

1-е  р е ш е н и е:

2-е  р е ш е н и е:

О т в е т: 5 см; 8 см.

5. № 568 (самостоятельное решение).

Р е ш е н и е

Пусть х – число рядов в кинотеатре, тогда (х + 8) – число мест в ряду. Количество мест в кинотеатре равно х · (х + 8). Зная, что всего в кинотеатре 884 места, составим уравнение:

х · (х + 8) = 884;

х² + 8х – 884 = 0;

D₁ = 4² – 1 · (–884) = 16 + 884 = 900;    D₁ > 0;    2 корня.

x₁ = –4 +  = –4 + 30 = 26;

x₂ = –4 –  = –4 – 30 = –34 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 26 рядов.

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Что понимается под математической моделью текстовой задачи?

– Какие этапы решения задачи алгебраическим методом выделяют?

– В чём состоит интерпретация полученного решения задачи?

– Приведите примеры, когда полученное решение противоречит условию задачи.

Домашнее задание: № 560, № 562, № 565, № 567.