Квадратные уравнения

Цель:

Узнать, как можно больше о квадратных уравнениях, способах их решения, применении квадратных уравнений в жизни и математике.

1) Узнать историю возникновения квадратных уравнений.
2) Изучить различные способы решения квадратных уравнений.
3) Выявить случаи использования квадратных уравнений в нашей жизни.
4) Решение практических задач из КИМов ОГЭ.
5) Квадратные уравнения в олимпиадах .

Введение

Для нас, девятиклассников тема “Квадратные уравнения ” очень важна .Так как при изучении курса «Алгебра 8-9» мы очень часто сталкивались с квадратными уравнениями, их использовали при решении задач и более сложных уравнений.
В учебниках по алгебре рассматриваются только три способа решения квадратных уравнений, а может быть есть другие? А как раньше решались квадратные уравнения? Когда люди научились их решать? Какие ученые занимались этим раньше? Все это нас очень заинтересовало.
В этом году нам сдавать экзамены и при подготовке к ним мы заметили, что там много заданий, связанных с этой темой. Поэтому для своей исследовательской работы мы и выбрали тему « Квадратные уравнения».

История квадратных уравнений

Вавилон.
Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений , изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

История квадратных уравнений

Решением квадратных уравнений занимались и в Древней Греции такие ученые как Диофант, Евклид и Герон.

Диофант
Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры. Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в 13 книгах.

Евклид.
Евклид древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике
Герон.
Герон – греческий математик и инженер впервые в Греции в I век н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения

История квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ax2 + bх = с, а> 0. (1)
В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

История квадратных уравнений

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам
Всласть поевши, развлекалась Стали прыгать, повисая
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче уравнение Бхаскара пишет под видом
x2 - 64x = - 768
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
x2 - б4х + 322 = -768 + 1024,
(х - 32)2 = 256,
х - 32= ±16,
x1 = 16, x2 = 48.

История квадратных уравнений

Квадратные уравнения у Ал - Хорезми.
В алгебраическом трактате Ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах2 + с = bх.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

История квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Европе >XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу Ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

История квадратных уравнений

О теореме Виета.
Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г.
Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения

Методы решения квадратных уравнений

1) Метод выделения полного квадрата

Рассмотрим уравнение: x2+2x-80=0
Выделим в левой части полный квадрат
Х2+2x=x2+2x*1+1-1=(x+1)2-1,
тогда x2+2x-80=(x+1)2-1-80, таким образом
(x+1)2-81=0
(x+1-9)(x+1+9)=0
(x-8)(x+10)=0
x-8=0 или x+10=0
x1=8 x2=-10
Ответ x= 8 ; -10

Методы решения квадратных уравнений

Методы решения квадратных уравнений

Решим уравнение X2-9x+20=0
D= 81-80=1>0 , тогда X1+X2=9, X1*X2=2
поэтому X1=4, X2=5
Ответ : 4; 5.

Методы решения квадратных уравнений

Графический метод решения
Рассмотрим уравнение: x2+px+q=0 , x2=-px-q
В одной системе координат строим графики y=x2 и y= -px-q
y=x2 – графиком является парабола, ветви вверх и проходит через начало координат
y= -px-q – графиком является прямая
Возможны 3 случая :
А)Прямая и парабола имеют две точки пересечения – уравнение имеет 2 корня – это абсциссы этих точек
Б) Прямая и парабола касаются – уравнение имеет 1 решение
В) Прямая и парабола не имеют общих точек , т.е. уравнение не имеет решения
Решим этим методом уравнение: x2-3x+2 =0 .
В одной системе координат строим графики y=x2и y=3x-2
х=1 и х=2
Ответ:1;2.

Методы решения уравнений, сводящихся к квадратным

1.Метод введения новой переменной
ad2(x) +bd(x)+c=0
А) Замена d(x) = t
Б) Решение уравнения: at2+bt+c=0
В) Решение уравнения d(x) = t
Рассмотрим следующее уравнение
(x2+3)2-11(x+3)+28=0
Пусть x2+3=t ,Тогда t2-11t+28=0. По формулам Виета имеем t1=4 t2=7 => x2+3=4 x2+3=7
X2=1 x2=4
X1,2= ±1 x3,4= ± 2
Ответ -2;-1;1;2.

Методы решения уравнений, сводящихся к квадратным

2.Биквадратное уравнение
аx4+bx2+c=0; x2=t; at2+bt+c=0
Рассмотрим ур-е y4-6y2+8=0. Пусть y2=t, тогда t2-6t+8=0, по формулам Виета имеем:
t1,2=4 , t3,4=2
Y2=4 y2=2
Y1,2= ±2 y3,4=
Ответ: -2;-;2

Методы решения уравнений, сводящихся к квадратным

3.Рациональное d(x) = q(x) , где d(x) и q(x) – дробные выражения
A) Найти общий знаменатель всех дробей
Б) Заменить данное уравнение другим, умножив обе части на общий знаменатель
В) Решить полученное ур-е
Г) Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Применение квадратных уравнений в жизни

Квадратное уравнение широко распространено. Оно применяется во многих расчетах, сооружениях, спорте, а также и вокруг нас.
Рассмотрим и приведем некоторые примеры применения квадратного уравнения .
Спорт. Прыжки в высоту: при разбеге прыгуна для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета используют расчеты, связанные с параболой.
Также подобные расчеты нужны в метании. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения.
Астрономия. Траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения.
Полет самолета. Взлет самолета главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускорения взлета.
Также квадратные уравнения применяются в различных экономических дисциплинах, в программах для обработки звука, видео, векторной и растровой графики.

Вывод

В результате проделанной работы выяснилось, что квадратные уравнения привлекали ученых еще в глубокой древности, они уже сталкивались с ними при решении некоторых задач и пробовали их решать.
Рассматривая различные способы решения квадратных уравнений, мы пришли к выводу, что не все они просты. На наш взгляд самым лучшим способом решения квадратных уравнений является решение по формулам. Формулы легко запоминаются, этот метод универсальный.
Наша гипотеза, что уравнения широко применяются в жизни и математике подтвердилась.
Изучив тему , мы узнали много интересных фактов о квадратных уравнениях , их использовании , применении, видах, решениях.
И мы с удовольствием продолжим наше изучение.
Надеемся, что это поможет нам хорошо сдать экзамены.

Спасибо за внимание!