Квадратный трехчлен и не только

Представлены задачи математических олимпиад разного уровня сложности по теме квадратный трехчлен, многочлены. Все задания доступны школьникам 9 класса.

˚ ßØ ı º Ł º Œ

˙ 1. ˆ ŁŒŁ ı ºŁ Ø ßı Œ ŁØ æ º ß Œ, Œ Œ Œ Łæ Œ . ø æ ºŁ ŒŁ Łæº a, b Ł c, Ł Łı

Œ ŁØ æ º Ø y = ax + b, ª º Ø y = bx + c, º Ø y = cx + a?

˙ 2. ˝ Łæ Œ 2 Ł Æ ß ª ŁŒŁ ı Œ ßı ı º -

. ª ºŁ Æß ı º ß ax²+ bx + c, bx²+ cx + a, cx²+ ax + b?

—Łæ. 2 —Łæ. 3

˙ 3. ˝ Łæ Œ 3 Ł Æ ß ª ŁŒŁ ı Œ ßı ı º -

. ª ºŁ Æß ı º ß ax²+ bx + c, bx²+ cx + a, cx²+ ax + b?

˙ 4. æ Ł ß Ł

˙ 5. Łæº a, b, c ŒŁ , (a+b+c)c < 0. ˜ Œ , b²> 4ac.

˙ 6. ˇ º Ł º ß Łæº a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂º æ . ˜ Œ Ł , 4(a₁+ a₂+ 7)(c₁+ c₂+ 2) >

(b₁+ b₂+ 1)². ˙ 7. ˚ ßØ ı º P(x) = ax²+bx+c (a, b, c ºß , c
) Ł ºß Œ Ł. ºŁ P(2019) Æß		ß Łæº ?
˙ 8. ˚ ßØ ı º ax²+bx+c Ł Œ ı º a³x²+ b³x + c³Œ Ł Œ Ł?		Ł. ´ ºŁ,
˙ 9. ˇ Œ ß ı º ß f₁Ł f₂Ł æ		, Ł Ł
Œ Ł, f₁− f₂Ł . ˜ Œ Ł , f₁+ f₂Ł Œ		Ł.
˙ 10. ˇ Ł Ł ß ı Łæ º Œ Ø x²+ 2bx + c = 0 Ł x²+ 2cx + b = 0, ª b Ł c º Ł º ß, Ł Ł . ˝ Ø Ł b Ł c.		ŁØ
˙ 11. ˚ ßØ ı º x²+ ax + b Ł		ºß Œ Ł,
º Æ º łŁ 2. ˜ Œ Ł , Łæº a + b + 1 æ æ		.
˙ 12. ˝ Ø Ł æ ß (a; b) Øæ Ł º ßı		Łæ º a Ł b, ŒŁı,
Ł x²+ ax + b²= 0 Ł x²+ bx + a²= 0 Ł		Œ Ø Ø
Ł ÆøŁØ Œ .
˙ 13. — ææ Ł	æ Œ ß ı º ß	Ł x²+ px + q æ
ºß Ł Œ Ł Ł Ł, Ł ºß Œ Ł?	Ł p + q = 30. Œ º Œ	ŒŁı ı º
˙ 14. ´ Æ º	y = x²Łæ ª º ßØ	ª º ŁŒ ( . .
łŁ ß ª º ŁŒ º	Æ º ), ªŁ Œ	ª ºº º -
æŁ Ox. ˜ Œ Ł , 1.	ßæ ª º ŁŒ , ø	ªŁ ,
˙ 15. ˛ Ł Ł Œ	Ø Ł x¹²− abx + a²= 0 Æ º ł ı.
˜ Œ , \|b\| > 64. ˙ 16. — łŁ	Ł x³− (√2 + 1)x²+ 2 = 0.
˙ 17. ˝ Ø Ł æ	Ł a Ł b, ŒŁ , º º Æ ª x Ł -
Œ [−1; 1] Æ ß º	æ æ

|2x²+ ax + b| 6 1.

˙ 18. ˜ Œ Ł , Œ ß Łæº Œ º æ Ł æ º æŒ æ , æºŁ æ Ł , Œ ßØ Œ æ ø æ º æŒ æ Ł, º ø Ł Œ Ø Æ ºß.

˙ 19. ´ Ł Æ ºß y = x²æ º ß Œ æ Ł ω₁, ω₂, ω₃, ... Œ, Ł Œ n > 1 Œ æ ω_nŒ æ æ Ø Æ ºß Ł

Œ æ Ł ω_n−1 (æ . Łæ.). ˝ Ø Ł Ł æ Œ æ Ł ω₂₀₂₀, æºŁ Ł æ ,

Ł æ ω₁, Ł Œ æ æ Æ ºß … łŁ . ˙ 20. — ææŁ æ æ ß Æ ºß y = x²+ px +

+q, æ Œ øŁ æ æ æ	Ł Œ Ł	ı ºŁ ßı Œ ı. ˜ Œ Ł ,
Œ æ Ł, Łæ ß Ł Æø Œ .	Œ º	ª º ŁŒ æ łŁ Ł Łı Œ ı,
˙ 21. ˝ æŒ	Łæ ß	ª º ß P(x) = x²+2 Ł Q(x) = x+1.
— ł æ Łæ	æŒ æ	, æ ŁºŁ Ł Ł º Æßı
ı Ł ß Łæ ßı ª º R(x) = x³+ 2.	æŒ	ª º . ºŁ æŒ Ł æ
˙ 22. ˝ Ø Ł	ª º æ	ºß Ł Œ Ł Ł Ł, Œ Ø, Æß
Łæº α = √³2 + √³3 Æßº	ª Œ .

˙ 23. ˜ ª º : f(x) = (x⁴− x − 1)²⁵+ (x³− x + 1)²⁵.

˝ Ø Ł æ æ ı Œ Ł Ł ª º : ) Ł ßı; Æ) Ł ßı æ ı x.

˙ 24. ø æ ºŁ ª º P(x) æ ºß Ł Œ Ł Ł Ł

Œ Ø, :

) P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985; Æ) P(1) = 19, P(19) = 85?

˙ 25. —	º	Ł	ª º :
) x⁴+ 4		Ł	º ;
Æ) x⁸+ x⁴+ 1		Ł	Ł º ;
) x⁵+ x + 1			Ł º ;
ª) x¹⁰+ x⁵+ 1	2		Ł º

æ ºß Ł Œ Ł Ł Ł.

˙ 26. ˜ ª º P(x) = x²ⁿ+ x²ⁿ⁻¹+ ... + x²+ x + 1, n > 2.

Ø		ª æŒ º Œ (Æ º ł ª ) Œ Ł Ł			Œ,	Æß	º -
ßØ	ª	º	æ º ºæ Ł Ł Ł	ı	ª	º	æ Ł
Æ º ł		Ø Œ	ßØ.
˙		27. ˚	Ł Ł ß a, b, c Ł x³+ ax²+ bx + c = 0
	º		æı 2019. ºŁ	Ł Ł		Œ	, Æ º -
łŁØ 2020?			æı 2019. ºŁ	Ł Ł		Œ	, Æ º -
˙		28.	ª º P(x) Ł æ ı ºßı x	Ł Ł		ºß -

Ł . ºŁ ı Æß Ł Ł ª Œ Ł Ł æ ?

˙ 29. ˚	ßØ ı º p(x) = ax²+bx+c	Œ ,		Ł
p(x) = x Ł	Øæ Ł º ßı Œ Ø. ˜ Œ Ł ,	ª Ł		Ł
p(p(x)) = x Ł	Øæ Ł º ßı Œ Ø.
˙ 30. ˇ	æ ª º x¹⁹⁸⁵+x+1 Ł	Ł	Ł	ı
ª º , æ	Œ ª Ł Œ ßı ł 1.

Квадратный трехчлен и не только

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20.01.2020