Квадратный трехчлен и не только
Оценка 4.7

Квадратный трехчлен и не только

Оценка 4.7
Занимательные материалы
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математика
9 кл—11 кл +1
20.01.2020
Квадратный трехчлен и не только
Представлены задачи математических олимпиад разного уровня сложности по теме квадратный трехчлен, многочлены. Все задания доступны школьникам 9 класса.
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                                 ˚                   ßØ              ı º Ł                   º Œ

˙ 1. ˆ ŁŒŁ ı ºŁ Ø ßı Œ ŁØ æ º ß Œ, Œ Œ Œ Łæ Œ . ø æ ºŁ ŒŁ Łæº a, b Ł c, Ł Łı

Œ ŁØ æ º Ø y = ax + b, ª º Ø y = bx + c, º Ø y = cx + a?

            ˙                 2. ˝       Łæ     Œ 2 Ł    Æ             ß ª         ŁŒŁ        ı Œ                  ßı              ı º -

          .        ª       ºŁ          Æß              ı º                   ß ax2 + bx + c, bx2 + cx + a, cx2 + ax + b?

                                          —Łæ. 2                                                                   —Łæ. 3

            ˙                 3. ˝       Łæ     Œ 3 Ł    Æ             ß ª         ŁŒŁ        ı Œ                  ßı              ı º -

          .        ª       ºŁ          Æß              ı º                   ß ax2 + bx + c, bx2 + cx + a, cx2 + ax + b?

            ˙                4.            æ Ł        ß              Ł

.

            ˙                            5. Łæº a, b, c ŒŁ , (a+b+c)c < 0. ˜ Œ                       ,           b2 > 4ac.

˙ 6. ˇ º Ł º ß Łæº a1, b1, c1, a2, b2, c2 º æ . ˜ Œ Ł , 4(a1 + a2 + 7)(c1 + c2 + 2) >

(b1 + b2 + 1)2.

            ˙                 7. ˚                  ßØ          ı º                 P(x) = ax2+bx+c (a, b, c ºß , c

                         ) Ł                 ºß Œ         Ł.                  ºŁ P(2019) Æß

         ß       Łæº     ?

˙ 8. ˚ ßØ ı º ax2+bx+c Ł Œ ı º a3x2 + b3x + c3 Œ Ł Œ Ł?

Ł. ´                 ºŁ,

            ˙                 9. ˇ       Œ                ß             ı º          ß f1 Ł f2 Ł             æ

,                   Ł Ł

Œ      Ł,       f1 f2             Ł          . ˜ Œ       Ł     ,            f1 + f2 Ł             Œ

Ł.

            ˙                 10. ˇ      Ł              Ł           ß      ı     Łæ º      Œ        Ø

                                                        x2 + 2bx + c = 0       Ł            x2 + 2cx + b = 0,

ª       b Ł c            º       Ł     º      ß,                     Ł Ł        . ˝ Ø Ł            b Ł c.

ŁØ

            ˙                  11. ˚                   ßØ           ı º            x2 + ax + b Ł

         ºß    Œ       Ł,

              º         Æ º łŁ 2. ˜ Œ          Ł     ,             Łæº a + b + 1 æ æ

.

            ˙                  12. ˝ Ø Ł          æ           ß (a; b)      Øæ    Ł     º            ßı

Łæ º a Ł b,        ŒŁı,

Ł x2 + ax + b2 = 0 Ł x2 + bx + a2 = 0 Ł

          Œ    Ø    Ø

Ł           ÆøŁØ Œ           .

 

            ˙               13. — ææ             Ł

        æ  Œ                ß             ı º          ß

Ł          x2 + px + q æ

ºß Ł Œ      Ł Ł       Ł, Ł     ºß Œ            Ł?

Ł                  p + q = 30.          Œ º Œ

ŒŁı               ı º

            ˙                 14. ´                 Æ º

y = x2           Łæ                      ª º      ßØ

               ª º       ŁŒ ( . .

            łŁ ß              ª º       ŁŒ º

                             Æ º ), ªŁ                      Œ

           ª                 ºº º -

æŁ Ox. ˜ Œ                  Ł     ,

1.

ßæ                   ª º      ŁŒ ,          ø

                  ªŁ                   ,

            ˙                  15. ˛ Ł            Ł Œ

       Ø                  Ł          x12 abx + a2 = 0 Æ º ł                 ı.

˜ Œ            ,          |b| > 64.

            ˙                 16. — łŁ

Ł x3 − (√2 + 1)x2 + 2 = 0.

            ˙                  17. ˝ Ø Ł           æ

                     Ł     a Ł b,       ŒŁ ,             º      º Æ ª      x Ł         -

Œ [−1; 1] Æ                    ß      º

æ                      æ

|2x2 + ax + b| 6 1.

˙ 18. ˜ Œ Ł , Œ ß Łæº Œ º æ Ł æ º æŒ æ , æºŁ æ Ł , Œ ßØ Œ æ ø æ º æŒ æ Ł, º ø Ł Œ Ø Æ ºß.

˙ 19. ´ Ł Æ ºß y = x2 æ º ß Œ æ Ł ω1, ω2, ω3, ... Œ, Ł Œ n > 1 Œ æ ωn Œ æ æ Ø Æ ºß Ł

Œ                  æ Ł ωn−1 (æ . Łæ.). ˝ Ø Ł                Ł æ Œ              æ Ł ω2020, æºŁ Ł      æ      ,

Ł æ ω1 , Ł Œ æ æ Æ ºß … łŁ . ˙ 20. — ææŁ æ æ ß Æ ºß y = x2 + px +

+q,          æ Œ      øŁ æ æ æ

Ł Œ             Ł

                     ı         ºŁ       ßı          Œ ı. ˜ Œ       Ł     ,

             Œ             æ Ł,      Łæ        ß

Ł               Æø              Œ .

Œ º

ª º          ŁŒ æ          łŁ          Ł           Łı          Œ ı,

            ˙                 21. ˝        æŒ

Łæ        ß

ª        º                ß P(x) = x2+2 Ł Q(x) = x+1.

—         ł       æ          Łæ

挠    æ

,                 æ       ŁºŁ           Ł              Ł        º Æßı

ı Ł ß Łæ ßı ª º R(x) = x3 + 2.

æŒ

ª     º          .                 ºŁ           挠          Ł     æ

            ˙                  22. ˝ Ø Ł

ª         º      æ

ºß Ł Œ                   Ł Ł              Ł,     Œ Ø,       Æß

Łæº α = √3 2 + √3 3 Æߺ

ª Œ              .

 

            ˙                 23. ˜               ª     º           : f(x) = (x4 x − 1)25 + (x3 x + 1)25.

˝ Ø Ł æ æ ı Œ Ł Ł ª º : ) Ł ßı; Æ) Ł ßı æ ı x.

            ˙                24.        ø æ              ºŁ          ª     º       P(x) æ        ºß Ł Œ              Ł Ł              Ł

Œ Ø,            :

) P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985; Æ) P(1) = 19, P(19) = 85?

˙                     25. —

º

Ł

       ª     º     :

) x4 + 4

 

Ł

º ;

Æ) x8 + x4 + 1

 

Ł

Ł              º ;

) x5 + x + 1

 

 

Ł       º ;

ª) x10 + x5 + 1

2

 

Ł     º

æ      ºß Ł Œ              Ł Ł              Ł.

            ˙                 26. ˜                ª     º                        P(x) = x2n + x2n−1 + ... + x2 + x + 1, n > 2.

Ø

 

ª            æŒ º Œ (Æ º ł               ª ) Œ                  Ł Ł

 

Œ,

Æß

º             -

ßØ

ª

º

æ      º ºæ          Ł              Ł              Ł

ı

ª

º

æ          Ł

Æ º ł

 

Ø Œ

ßØ.

 

 

 

 

˙

 

27. ˚

            Ł Ł                  ß a, b, c Ł

x3 + ax2 + bx + c = 0

 

 

 

 

 

º

 

æı          2019.                 ºŁ

Ł Ł

 

Œ

, Æ º -

łŁØ 2020?

˙

28.

ª        º       P(x)        Ł     æ ı         ºßı x

Ł Ł

 

             ºß                -

Ł .                       ºŁ ı          Æß      Ł     Ł       ª Œ             Ł Ł                              æ    ?

            ˙                      29. ˚

                 ßØ          ı º         p(x) = ax2+bx+c

Œ   ,

 

Ł

p(x) = x          Ł

Øæ     Ł     º     ßı Œ          Ø. ˜ Œ       Ł     ,

       ª       Ł

 

Ł

p(p(x)) = x          Ł

          Øæ    Ł     º      ßı Œ         Ø.

 

 

 

            ˙                      30. ˇ

æ                        ª     º        x1985+x+1         Ł

Ł

Ł

ı

          ª     º         , æ

      Œ            ª Ł Œ            ßı                     ł 1.

 

 

 

 

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