Лабораторная работа по информатике и ИКТ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 РАБОТА С ПАКЕТОМ MATHCAD. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ MATHCAD

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Познакомится с возможностями пакета MathCAD.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Однако такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью (не более значения заданного системной переменной TOL).

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

Для простейших уравнений вида   (  ) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root.

Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Аргументы: f(х1, x2, …) – функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения. х1 – имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня. a, b – необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b.

Приближенные  значения  корней  (начальные  приближения)  могут

быть:

1.                 Известны из физического смысла задачи.

2.                 Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных.

3.                 Найдены графическим способом.

Наиболее распространен графический способ определения начальных

приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f(x) = 0 – это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

·        Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

·        Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, ³ и £.

·        Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х, у).

Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов

должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое–либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

·        Ограничения со знаком ¹.

·        Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.

·        Неравенства вида a < b < c.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга,

каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find.

Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия:

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn:

В   соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде Ах = b,

где:

.

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных

в     соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы,

называется матрицей правой части или просто правой частью системы.

Матрица-столбец х, элементы которой - искомые неизвестные, называется

решением системы.

Если матрица А - неособенная, то есть det A ¹ 0 то система, или эквивалентное ей матричное уравнение, имеет единственное решение.

В   самом деле, при условии det A ¹ 0 существует обратная матрица А^-1. Умножая обе части уравнения на матрицу А^-1 получим:

Формула дает решение уравнения и оно единственно.

Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления. Чем больше этих формул в ядре, тем надежней работа символьного процессора и тем вероятнее, что поставленная задача будет решена, если такое решение существует в принципе (что бывает далеко не всегда).

Ядро символьного процессора системы MathCAD — несколько упрощенный вариант ядра известной системы символьной математики Maple V фирмы Waterloo Maple Software, у которой фирма MathSoft (разработчик MathCAD) приобрела лицензию на его применение, благодаря чему MathCAD стала системой символьной математики. Символьные вычисления выполняются столь же просто (для пользователя), как вычисление квадрата х.

ВЫДЕЛЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ СИМВОЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны производиться, т. е. надо выделить выражение. Для ряда операций следует не только указать выражение, к которому они относятся, но и наметить переменную, относительно которой выполняется та или иная символьная операция. Само выражение в таком случае не выделяется.

Таким образом, для выполнения операций с символьным процессором нужно выделить объект (целое выражение или его часть) синими сплошными линиями.

Символьные операции разбиты на пять характерных разделов. Первыми идут наиболее часто используемые операции. Они могут выполняться с выражениями, содержащими комплексные числа или имеющими решения в комплексном виде.

СИМВОЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ

ОПЕРАЦИИ С ВЫДЕЛЕННЫМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ

Если в документе есть выделенное выражение, то с ним можно

выполнять различные операции, представленные ниже:

Расчеты — преобразовать выражение с выбором вида преобразований из подменю;

Символические [Shift] F9 – выполнить символьное преобразование выделенного выражения;

С       плавающей запятой… – вычислить выделенное выражение в вещественных числах;

Комплексные – выполнить вычисления в комплексном виде; Упростить — упростить выделенное выражение с выполнением таких

операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т д.; Расширить — раскрыть выражение [например, для (Х + Y) (Х - Y)

получаем

X²-Y²];

Фактор — разложить число или выражение на множители [например,

X ²- Y ² даст (Х + Y) (Х - Y)];

Подобные — собрать слагаемые, подобные выделенному выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного выражения);

Коэффициенты Полинома — по заданной переменной найти коэффициенты полинома, аппроксимирующего выражение, в котором эта переменная использована.

ОПЕРАЦИИ С ВЫДЕЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Для ряда операций надо знать, относительно какой переменной они выполняются. В этом случае необходимо выделить переменную, установив на ней маркер ввода. После этого становятся доступными следующие операции подменю Переменные:

Вычислить — найти значения выделенной переменной, при которых содержащее ее выражение становится равным нулю;

Замена — заменить указанную переменную содержимым буфера обмена;

Дифференциалы — дифференцировать выражение, содержащее выделенную переменную, по этой переменной (остальные переменные рассматриваются как константы);

Интеграция — интегрировать все выражение, содержащее переменную, по этой переменной;

Разложить на составляющие... — найти несколько членов разложения выражения в ряд Тейлора относительно выделенной переменной;

Преобразование в Частичные Доли — разложить на элементарные дроби выражение, которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной.

ОПЕРАЦИИ С ВЫДЕЛЕННЫМИ МАТРИЦАМИ

Операции с выделенными матрицами представлены позицией подменю Матрицы, которая имеет свое подменю со следующими операциями:

Транспонирование — получить транспонированную матрицу;

Инвертирование — создать обратную матрицу;

Определитель — вычислить детерминант (определитель) матрицы.

Результаты символьных операций с матрицами часто оказываются

чрезмерно громоздкими и поэтому плохо обозримы.

ОПЕРАЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В             позиции Преобразование содержится раздел операций преобразования, создающий подменю со следующими возможностями:

Фурье — выполнить прямое преобразование Фурье относительно выделенной переменной;

Фурье Обратное — выполнить обратное преобразование Фурье относительно выделенной переменной;

Лапласа — выполнить прямое преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат — функция переменной s);

Лапласа Обратное — выполнить обратное преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат — функция

переменной t);

Z     — выполнить прямое Z-преобразование выражения относительно выделенной переменной (результат — функция переменной z);

Обратное Z — выполнить обратное Z-преобразование относительно выделенной переменной (результат — функция переменной n) .

СТИЛЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛЕНИЙ

На     наглядность     вычислений     влияет     стиль     представления     их

результатов. Следующая команда позволяет задать тот или иной стиль:

Стиль    Вычислений...     —     задать     вывод    результата    символьной

операции под основным выражением, рядом с ним или вместо него.

ПРИМЕРЫ СИМВОЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В КОМАНДНОМ РЕЖИМЕ Большинство символьных операций легко выполняются, так что ниже

мы остановимся лишь на некоторых примерах. Символьная операция Расчеты обеспечивает работу с математическими выражениями, содержащими встроенные в систему функции и представленными в различном виде: полиномиальном, дробно-рациональном, в виде сумм и произведений, производных и интегралов и т. д. Операция стремится произвести все возможные численные вычисления и представить выражение

в     наиболее простом виде. Она возможна над матрицами с символьными элементами. Производные и определенные интегралы, символьные значения которых вычисляются, должны быть представлены в своей естественной форме.

Особо следует отметить возможность выполнения численных вычислений с повышенной точностью — 20 знаков после запятой. Для перехода в такой режим вычислений нужно числовые константы в вычисляемых объектах задавать с обязательным указанием десятичной точки, например 10.0 или 3.0, а не 10 или 3. Этот признак является указанием на проведение вычислений такого типа.

Здесь слева показаны исходные выражения, подвергаемые символьным преобразованиям, а справа — результат этих преобразований.

Операция Расчеты одна из самых мощных. Она позволяет в символьном виде вычислять суммы (и произведения) рядов, производные и неопределенные интегралы, выполнять символьные и численные операции с матрицами.

Эта операция содержит подменю. Команда Символические тут наиболее важная. Назначение других команд очевидно: они нужны, если результат требуется получить в форме комплексного или действительного числа. К примеру, если вы хотите вместо числа p получить 3.141..., используйте команду С плавающей запятой…. В режиме символьных

вычислений результат может превосходить машинную бесконечность системы — см. пример на вычисление ехр(1000.0). При этом число точных значащих цифр результата практически не ограничено (или, точнее говоря, зависит от емкости ОЗУ).

Операция Разложить на составляющие... возвращает разложение в ряд Тейлора выражения относительно выделенной переменной с заданным по запросу числом членов ряда n (число определяется по степеням ряда). По умолчанию задано n = 6. В разложении указывается остаточная погрешность разложения. На рисунке представлено применение этой операции для

малых х (см. графическое представление функции и ее ряда).

ОПЕРАТОРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

Для вычисления пределов функций в систему введен символьный оператор limit. Помимо ввода с наборной панели Матанализ, его в трех формах можно ввести нажатием следующих комбинаций клавиш:

[Ctrl] L — ввод шаблона оператора вычисления предела функции при х, стремящемся к заданному значению,

[Ctrl] A — ввод шаблона вычисления предела функции слева от заданной точки,

[Ctrl] B — ввод шаблона вычисления предела функции справа от заданной точки.

На рисунке показаны примеры вычисления пределов. При вычислении пределов нужно заполнить шаблоны, входящие в главный шаблон для вычисления пределов, а затем ввести функцию, имя переменной, по которой ищется предел, и значение переменной — аргумента функции.

Для получения результата установите после блока вычисления предела стрелку с острием, направленным вправо. Предел (если он существует) будет вычислен и появится в шаблоне у острия стрелки. Если функция не имеет предела, вместо результата появится надпись Undefine.

ЗАДАНИЕ

Упражнение 1. Построить график функции   (  ) и приблизительно

определить один из корней уравнения. Решить уравнение   (  ) = 0 с точностью e = 10⁻⁴ с помощью встроенной функции Mathcad root, оператора solve и блока решения.

функцию Find и матричным способом и используя функцию lsolve.