Лекции на повторение школьного курса математики

Билет №1.

Теория. Числовая окружность.

Пример. Найдите все числа , которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие дугам:  (где , соответственно, середина первой и третьей четверти числовой окружности).

Билет №2.

Теория. Числовая окружность на координатной плоскости.

Пример.  Найдите  координаты точек  числовой окружности, если    ;   ;    ;  .

Билет №3..

Теория. Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента.

Пример.  Вычислить ,, и , если

 ; ; ;.

Билет №4.

Теория. Радиан, радианная мера угла. Тригонометрические функции углового аргумента

Пример. 1) Переведите из градусной меры в радианную и расположите в порядке возрастания: , ,,.

 2) Переведите из радианной меры в градусную и расположите в порядке убывания:, , , .

Билет №5.

Теория. Функция , ее график.

Пример.  Построить график функции . Решить графически уравнение .

Билет №6.

Теория. Функция ,  ее график.

Пример. Построить график функции . Решить графически уравнение .

Билет №7.

Теория. Периодичность функций и .

Пример.  Найдите основной период функций: , , , .

Билет №8.

Теория. Функции  и , их графики.

Пример. Построить график функций . Решить графически уравнение .

Билет №9.

Теория.  Свойства функции .

Пример. Построить в одной системе координат и прочитать график  функций  и .

Билет №10.

Теория. Свойства функции.

Пример. Построить в одной системе координат и прочитать график функций  и .

Билет №11.

Теория. Свойства функций и .

Пример. Построить в одной системе координат и прочитать график функции   и .

Билет №12.

Теория. Формулы приведения.

Пример.  Упростить выражения:

.

Билет №13.

Теория. Тригонометрические функции числового аргумента.

Пример.  Известно, что  и  . Найти соответствующие значения, и .

Билет №14.

Теория. Функция , ее свойства и график.

Пример. Постройте график функции  и опишите свойства.

Билет №15.

Теория.  Функция , ее свойства и график.

Пример.  Постройте график функции  и опишите свойства.

Билет №16.

Теория. Гармоническая функция, ее график.

Пример. Постройте график функции и опишите свойства.

Карточка №1

№26, 45, 69, 106, 181, 125, 186

Карточка №2

№27, 46, 70, 121, 185, 126, 210

Карточка №3

№28, 47, 71, 122, 208, 127, 228

Карточка №4

№42, 48, 72, 123, 209, 165, 270

Карточка №5

№43, 49, 83, 161, 225, 166, 271

Карточка №6

№44, 73, 102, 162, 265, 167, 211

Вариант №1

Вариант №2

1. Вычислите:

1) , , ,  ;

2)

3)

1) , , , ;

2)

3)

2. Упростить выражение

1)

2)

1)

2)

3. Известно, что , . Вычислите , , .

3. Известно, что , . Вычислите, , .

4. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции:

1) на отрезке ;

2)  на отрезке.

1) на отрезке ;

2)  на отрезке.

Вариант №1

Вариант №2

1.Доказать тождество:

1) ;

2) .

1) ;

2) .

2. Упростить выражение

1) ;

2) ;

3) .

1) ;

2) ;

3) .

3. Решите уравнение и покажите решение на окружности:

1) , ;

2) , .

1) , ;

2) , .

4. Исследуйте функцию на четность-нечетность:

1) ; 2) .

1) ; 2) .

5. Постройте график функции:

1) ;

2) .

1) ;

2) .

Вариант №1

Вариант №2

1. Расположить в порядке возрастания:

1; ; ; .

; ; ; .

2. Решите неравенство и покажите решение на окружности:

1)  и ;

2) и .

1)  и ;

2) и .

3.Известно. Докажите, что

.

3.Известно. Докажите, что

.

4. Постройте график функции:

1) ;  2)

1) ;  2)

А1. Формулы приведения. Стандартные значения.

Ответы

А1.1 Вычислите:      -  +

A)   B) -  C) -   D)  0,5 +    E)  2

C

А1.2 Вычислите:  + +

 A) 1       B)  -1    C)   -2     D) - 1    E)   + 1

B

А1.3 Вычислите:    + +

A) 0     B)– 1     C) 1 +        D) -1        E) 1

E

А1.4 Укажите неверное равенство.

A)    B)   

C)   D)

E)

A

А1.5 Упростите выражение  

A)     B)     C)      

D)        E)      

B

А1.6 Упростите выражение:    .

A)   B) -   C) -     D)     E) -

B

А1.7 Упростите выражение: 

A) -     B)      C)    

   D) -    E)

C

А1.8 Упростите: 

A)       B)        C)         D)      2   E)      1

E

А1.9 Упростите выражение:     

A)        B)      C)    

D)                   E)

A

А1.10 Упростите: 

A)    B)    C)    D)    E) 1

A

А2. Знак тригонометрической функции. Сравнение значений

Ответы

А2.1  Какое из следующих чисел отрицательное?

A)        B)      

C)D)E)   

B

А2.2  Какое из нижеследующих чисел отрицательное?

A) B)

C)D)E)  

D

А2.3  Какие из следующих чисел , ,  и отрицательные?

A)     B)     C)    D)      E)  таких нет   

E

А2.4  Расставьте в порядке убывания числа:

,    и 

A)      q > p > r   B)      p > q > r   C)      p > r > q

D)      r > q > p   E)      q > r > p

E

А2.5 Расположите числа в порядке возрастания:

,,, .

A)      q < m < p < n   B)    m < n < p < q   C)    q < n < p < m

D)      p < m < q < n   E)      q < m < n < p

A

А2.6 Среди указанных чисел найдите наибольшее.

A)    B)     C) 

D)    E)

E

А2.7 Расположите числа ,,

 в порядке возрастания.

A)      b < a < c   B)      a < b < c  C)      a < c < b

D)      b < c < a   E)      c < b < a

A

А2.8 Какое из следующих неравенств ложно?

A)      sin65⁰ > cos35⁰    B)      tg17⁰ < ctg27⁰

C)      cos15⁰ > cos35⁰   D)      cos40⁰ > sin80⁰

E)       <

D

А2.9 Какая разность отрицательна?

A)      sin140⁰ - sin150⁰     B)      cos10⁰ - cos50⁰

C)      tg87⁰ - tg85⁰            D)      ctg45⁰ - ctg40⁰  

E)       - sin10⁰

D

А2.10 Расставьте в порядке возрастания числа k = , t = cos32⁰ и q = sin112⁰.

A)  q < t < k   B)  k < t < q   C)  t < k < q   D)  t < q < k

 E)  k < q < t

D

А3. Основные тригонометрические формулы.

Ответы

А3.1 Упростите выражение .

A)   -  B)   -  C)    D)    E)

E

А3.2 Упростите выражение:      

A)     B)    C)    D)    E) 

D

А3.3 Упростите: 

A)  0        B)  4       C)  2sin2     D)  1        E)  1 + 2sin2

A

А3.4 Упростите выражение

A)     B)  1 +    C)         D)  1 +       

E)  +

B

А3.5 Вычислите

A)          B)  1,5        C)          D)  1        E) 

A

А3.6 Упростите:   sin⁶x + cos⁶x + 3sin²xcos²x

A)      -1   B)      0   C)      1   D)      2   E)      4

C

А3.7 Упростите: 

A)     B)    C)      D)     E)

A

А3.8 Упростите выражение:  

A)  B)      C) 2      D)        E)

A

А3.9 Упростите выражение:  

A)    B)      C)     D)   E)   

A

А3.10 Упростите    

A)  B)  C)  D) E)

A

А4. Множество значений тригонометрических выражений

Ответы

А4.1 Укажите наименьшее значение функции  на промежутке  .

A)    -1/2        B)    -1      C)   0     D)   -     E)    -

E

А4.2 Найдите наименьшее значение функции  на отрезке  [].

A)   0        B)        C)   2 -       D)   1     E)   2 -

D

А4.3 Найти множество значений функции

A)  [3; 5]      B)  [4; 5]      C)  [2; 5]     D)  [-1; 5]      E)  [1; 5]

E

А4.4 Найдите множество значений функции f(x) = 16 – 6sin2x.

A)  (0; 22)  B)  (10; 22)  C)  [0; 16]   D)  [10; 22]   E)  (0; 22]

D

А4.5 Найдите область изменения функции .   A)          B)  [-1; 0]     

 C)  [-1; -0,25]        D)  [-0,25; 0]        E) 

C

А4.6 Найдите наименьшее значение

A)      0   B)      1   C)         D)         E)     

C

А4.7 Какое наименьшее значение может принимать выражение   ?

A)         B)         C)         D)         E)     

C

А4.8 Каково наибольшее значение функции  f(x) = ?

A)  1,4        B)          C)          D)  1,6        E)  1

B

А4.9 Найдите наименьшее значение выражения .

A)  12        B)  15        C)  13        D)  17        E)  14

C

А4.10 Найти наибольшее значение ? 

A)      1,2   B)      1,4   C)      1,6   D)      2   E)      1,8

D

А5. Период тригонометрических .функций

Ответы

А5.1 Укажите период функции: 

A)     B)   C)    D)  E) правильного ответа нет

A

А5.2 Определите наименьший положительный период функции  

A)         B)       C)         D)         E)     

A

А5.3 Найдите наименьший положительный период функции     

A)  2p        B)          C)          D)          E)  p

D

А5.4 Найти отношение наименьших положительных периодов функций   и ?

A)      12   B)      14   C)      10   D)      18   E)      16

E

А5.5 Найдите наименьший положительный период функции     .

A)     B)         C)         D)         E)     

B

А5.6 Укажите наименьший положительный период функции   .

A)  2p       B)  p      C)        D)        E)  нет периода

C

А5.7 Найдите наименьший положительный период функции    .

A)  2p        B)  p        C)          D)          E) 

C

А5.8 Найти наименьший общий положительный период для функций  , ,  и .

A)           B)           C)           D)         E)    

A

А5.9 Найти наименьший общий положительный период для функций , ,   и 

.

A)      B)      C)           D)           E)     

C

А5.10 Найдите наименьший положительный период функции:      

A)      12   B)      12   C)      2   D)      24   E)      24

E

В1. Формулы приведения. Стандартные значения.

Ответы

В1.1  Решите уравнение

A)    8      B)   4       C)   2      D)   16      E)   1

A

В1.2 Решите уравнение

A)          B)  Æ        C) 2        D)          E) 

B

В1.3 Решите уравнение .

A)  0,2        B)  0,3        C)  0,4        D)  0,6        E)  0,8

B

В1.4 Решите неравенство 

A)  (-¥; 0)    B)  (0; ¥)    C) (0; 0,5)     D)  (1; ¥)     E)  (0; 1)

A

В1.5 Найдите наибольшее целое решение неравенства     A)  2    B)  5    C)  6     D)  9    E)  1

A

В1.6 Упростите× – ×.

A)  0        B)  1        C)  -1        D)          E)  -

A

В1.7 Найдите значение , если a - b = .

A)     B)        C)       D)  1     E)  2

D

В1.8 Упростите .

A)        B)       C)  -    D)       E)

A

В1.9 Упростите

A)        B)          C)       D)         E)  1

A

В1.10 Вычислите значение выражения:

, если    и 

A)            B)      1      C)      3     D)      -1     E)      -3

A

В2. Знак тригонометрической функции. Сравнение значений

В2.1 Какое выражение (число) положительно?

A)     B)        C)        D)         E)      

C

В2.2 Какое число положительно?

A)    B)    C)    D)    E)

A

В2.3 Расположите числа x = sin60⁰,  y = и

 z =   в порядке убывания.

A)      z > x > y   B)      x > y > z   C)      y > z > x

D)      z > y > x   E)      y > x > z

A

В2.4  Расставьте в порядке убывания числа:

  ,    и 

A)  x > y > z       B)  y > x > z         C)  x > z > y  

D)  y > z > x       E)  z > y > x

D

В2.5 Расставьте в порядке убывания числа:

   ;     и   

A)      z > y > x   B)      x > z > y   C)      y > x > z

D)      x > y > z   E)      y > z > x

A

В2.6 Расставьте в порядке возрастания числа:

  и 

A) x < y < z   B) y < x < z   C) x < z < y    

D) y < z < x   E) z < y < x

B

В2.7. Расположите числа  в порядке их убывания.

A)  a > b > c        B)  a > c > b        C)  c > b > a     

D)  c > a > b        E)  b > c > a

A

В2.8. Расположите числа a = sin1; b = sin2; c = sin3; d = sin4 и e = sin5 в порядке убывания.

A) a > b > c > d > e          B)  e > d > b > c > a 

C)  b > c > a > d > e        D)  c > b > a > d > e 

E)  b > a > c > d > e

E

В2.9. Расположите числа в порядке убывания:

m = sin75⁰;  n = cos75⁰;  p = tg75⁰;  q = ctg75⁰

A)   p > m > q > n   B)      p > m > n > q   C)      p > n > m > q

D)      m > p > q > n   E)      q > p > m > n

A

В2.10 Среди приведенных чисел найдите наибольшее.

A)   B)   C)   D) E)

E

В3. Основные тригонометрические формулы.

Ответы

В3.1 Упростите выражение:    

A)      2sin   B)      2   C)        D)      1   E)     3

D

В3.2 Упростите выражение:    

A)      3   B)      2   C)      1   D)         E)      1

E

В3.3 Выразите   через  p, если

A)   p² - 2   B)   -p² + 2   C)   p² + 2   D)   p² - 1   E)   p² + 1

A

В3.4 Найдите  , если  a (a > 0)

A)     B)  a – 2   C)     D)  a + 2 E)

A

В3.5 Выразите   через  p, если

A)  -p³ - 3p  B)   p³ - 3p   C)   p³ + 3p   D)  3p - p³     E) 3p³ - p

B

В3.6 Найдите  , если 

A)      7   B)      8   C)      9   D)      11   E)      6

D

В3.7  

A)      7   B)      -3   C)      3   D)      -7   E)      2

D

В3.8    Если , найти 

A)      -3   B)      3   C)      -9   D)      9   E)    

C

В3.9   Найдите , если

A)          B)  -        C)          D)          E)  -

E

В3.10  Вычислите , если .

A) –0,7        B)  -0,5        C)          D)  -     E)  -

A

В4. Множество значений тригонометрических выражений

Ответы

В4.1 Если  - переменная величина, то чему равно наибольшее значение выражения  ?

A)      9,5   B)      7   C)      8   D)      6,5   E)      7,5

C

В4.2 Чему равно наименьшее значение выражения               ?

A)   -1    B)  1    C)     D)     E)

C

В4.3 Найдите наибольшее значение выражения

 A)  1      B)      C)  2       D)        E)   

D

В4.4  Сколько простых чисел содержится в области значений функции ?

A)  12        B)  14        C)  6        D)  7        E)  3

C

В4.5 Какое наименьшее значение может принимать выражение

A)  0   B)  1    C)  -1    D)      E)  невозможно определить

A

В4.6  

Чему равно наибольшее значение выражения  x ?

A)      5   B)      2   C)      3   D)      6   E)      4

E

В4.7 Найдите число простых чисел, принадлежащих области значений функции .

A)  2        B)  4        C)  5        D)  6        E)  7

C

В4.8 Найдите область значений функции

.

A)  [-5; 5]    B) [-4; 4]     C) [-3; 3]     D) (-4; 4)     E) (-5; 5)

A

В4.9 Найдите область значений функции

    .

A)  [-10; 10]   B) [-14; 14]   C) D)  [0; 6]   E) [0; 8]

A

В4.10 Найдите наименьшее значение функции

.

A) -14        B)  -21        C)  -64        D)  -128        E)  -3⁷

D

В5. Период тригонометрических функций

Ответы

В5.1 Какая из нижеследующих функций имеет наименьший положительный период?

A)      B)       C)         

D)       E) 

C

В5.2 Найдите наименьший положительный период функции

A)  6p        B)          C)  8p        D)  10p        E)  12p

E 

В5.3 Чему равен наименьший положительный период функции

A)  22p        B)  28p        C)  26p        D)  30p        E)  24p

E

В5.4 Укажите наименьший положительный период функции  

A)      B)      C)   непериодическая   D)      E)   3

C

В5.5  Какая функция непериодическая: 1) ;  2) ;  3) ;  4) y = sin²x + 1?

A)  1; 3        B)  1; 2        C)  2; 3        D)  1; 4        E)  3; 4

A

В5.6 Какая функция непериодическая?

A)          B)          C)          

D)           E) 

A

В6. Свойства сложных функций

Ответы

В6.1 Чему равно наибольшее значение функции

A)  B)  C)  D)  E)

D

В6.2 Найдите область значений функции .         A)   B) (0; ] 

 C) (0; 3]     D)  (-¥; 3]   E)

C

В6.3 Найдите наибольшее значение функции.

A)  sin1        B)  1        C)          D)  0        E) 

A

В6.4 Какое наибольшее значение может принимать выражение            .

A)      1,8   B)      1,5   C)      1,4   D)      2   E)      2,5

C

В6.5 Найдите наибольшее значение  

A)  8        B)  12        C)  15        D)  16        E)  24

D

В6.6. Найдите наибольшее значение выражения 

.    A)  5  B)  3   C)  -3   D)    E)  2,5

D

В6.7 Найдите наименьшее значение функции . A)   B)   C)    D)     E) 

A

В6.8 Найдите наименьшее значение функции  

.   A)  5   B) 3 C)  2  D  1  E)  -5

A

В6.9 Найдите наименьшее значение функции . A)  -   B)     C)    D)  -  E)   1

A

В6.10 Найдите область определения функции . 

 A)  [0; 2]     B)  [0; 1)     C)  (0; 1) È (1; 2)      

 D)  [0; ) È (; 2]        E) [0; ) È (; 2]

C

В6.11 Какая из следующих функций четная ?

A)    B)   

C)   f(x) = x²ctgx     D)      E)

B

В6.12 Какая из следующих функций нечетна ?

A)     B)  

C)    D)  f(x) = |x|ctgx   E)  

D

В6.13 Какая из следующих функций нечетная ?

A)      B)      

C)       D)       E)    

B

В6.14 Какая из функций нечетная ?

A)       B)       

C)     D)      E)

A

В6.15 Какая функция нечётная?

A)    y = sin3x     B) y = sin( x +      C) y  = | sin2x|

D) y = sin|2x|      E) y = sinx + 1

A

В6.16 Какая из следующих функций нечетная?

A)  f(x) =      B)  f(x) =   

C)  f(x) =     D)  f(x) =      E)  f(x) = x⁴cosx

C

В6.17 Какая функция нечетная?

A)  x³ + x + 4        B)    C)         

D)          E) 

E

В6.18 Найдите область значений функции 

A)  [0; 1]     B)  [0; 2]     C)  [1; 2]      D)  [1; 4]     E)  [0; 4]

C

В6.19 График какой из указанных функций изображен на рисунке ?

A)       B)       C)       

D)  нет ответа      E)  -

E

В6.20 График какой из указанных функций изображен на рисунке?                                    

A)  -   B)  -  

C)    D)   E)  -

D

С.  Тестовые задания по теме «Тригонометрические функции»

Ответы

С1 Найдите ,   если

A)      1,5k   B)      2k     C)           D)      - k     E)       

E

С2 Выразите    через  a, если 

A)  B)  C)   D)  E) 

A

С3 Вычислите: , если 

A)      5   B)      4,5   C)      81   D)      4   E)      14,4

E

С4 Решите уравнение .

A)  3        B)          C)  -        D)  -3        E) 

A

С5 Определите число целых корней уравнения

sin(10p/x) = 0

A)  Ни одной  B)  8   C) 16  D)  24     E) Бесконечно много

B

С6 Какое из указанных чисел не является корнем уравнения    ?

A)      5   B)      1996   C)      1   D)      9   E)      65

B

С7 Какое из указанных чисел не является корнем уравнения  ?

A)      1996   B)      3   C)      4   D)      40   E)      100

B

С8 Сколько корней имеет уравнение  на отрезке

[0,05; 0,1]?         A)  5  B)  1   C)  2   D)  3   E)  4

A

С9 Сколько корней имеет уравнение  на отрезке [-2p; 2p]?   A)  Æ   B)  1  C)  2   D)  3  E)  4

A

С10 Какая функция в промежутке   принимает положительные значения?

A)  B) C)  

D)     E)   

A

С11 Решите неравенство .

A)  (, n  Z   B) ( 

C)   (0;   D) (0;  Е) 

E

С12 Решите неравенство: 

A)      B)          

C)      D)          

E)  .   Везде .

B

С13 Укажите верное неравенство

A)    B)   C)  - 

D)     E) .

A

С14 Найдите абсциссы точек касания графика функции

 с осью Ox

A) Î Z  B) 2Î Z  C)  Î Z

D) Î Z         E) +2Î Z

A

С15 Сколько корней имеет уравнение

A)  Æ     B)  1    C)  2      D)  4       E)  бесконечно много

B

С16 Сколько корней имеет уравнение   на отрезке ?

A)    Æ     B)      1   C)      2   D)      3   E)      4

A

С17 Сколько корней имеет уравнение  на отрезке?

A)    Æ     B)      1   C)      2   D)      3   E)      4

B

С18 Решите неравенство

A)  Æ        B)  (-+2pn; +2pn), nÎZ        C)  [-p; p]       

D)  [ -+2pn; +2pn], nÎZ        E)  (-¥; ¥)

E

С19  Сколько целых значений входит в область определения функции       .

A)      3   B)      4   C)      5   D)      2   E)      1

C

С20  Сколько целых чисел из отрезка [-13; 18] принадлежат области определения функции ?

A)  31        B)  32        C)  22        D)  63        E)  24

B