Лекция по математике на тему:"Множества и операции над ними. Числовые множества. Целые и рациональные числа. Действительные числа."

Лекция

Тема: Множества и операции над ними. Числовые множества. Целые и рациональные числа. Действительные числа.

Количество часов: 2 часа

Цель: дать обучающимся понятие о множествах и подмножествах, операциях над множествами; сформировать умения работать с новой информацией по теме, различать и классифицировать числовые множества.

План:

1.       Понятие «множества» и «подмножества». Элемент множества.

2.       Операции над множествами.

3.       Числовые множества. Округление чисел.

4.       Целые и рациональные числа. Иррациональные числа.

5.       Операции над обыкновенными и десятичными дробями.

6.       Действительные числа. Числовая прямая. Сравнение действительных чисел.

Вопрос 1. Понятие «множества» и «подмножества». Элемент множества.

Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т. д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый студент вашей группы есть элемент множества студентов колледжа.

Множества обычно обозначают большими буквами: A, B, C, N, ..., а элементы этих множеств − аналогичными маленькими буквами: a, b, c, n, ...

Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут:

Существуют стандартные обозначения для некоторых множеств. Например,

Обозначения числовых множеств:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Множество считается заданным, если для любого объекта можно определить, принадлежит ли этот объект множеству или нет.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .Если A есть пустое множество, то пишут: A =

Если любой элемент множества A является элементом другого множества B, то говорят, что A есть подмножество множества B, и пишут: .

Если , а , то пишут А = В и говорят, что множества А и В равны.

В математике часто приходится иметь дело с числовыми множествами. Приведём определения и обозначения множеств, которые имеют общее название числовых промежутков.

Пример 1

Задайте перечислением множество B = {x: x2 − 2x + 1 = 0}. Это стандартная запись для задания множества, читается она так: множество элементов x таких, что x2− 2x + 1 = 0.

Решение

Так как уравнение x2 − 2x + 1 = 0 имеет единственный корень x = 1, то множество B состоит из одного элемента B = {1}.

Ответ. B = {1}

Вопрос 2. Операции над множествами.

Рассмотрим некоторое множество E, которое будем называть основным, и не будем интересоваться его природой. Будем считать, что все множества, которые рассматриваются в данном пункте, являются подмножествами основного множества.

Объединением двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B называется множество , которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.

Пример 2

Пусть A = [−2; 1] и B = (0; 3). Найти  и .

Решение

= [−2; 3),  = (0; 1].

Вопрос 3. Числовые множества. Округление чисел.

Число́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N, то есть N = {1, 2, 3,…} (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N = {0, 1, 2, 3,…}).

Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Важным подмножеством натуральных чисел являются простые числа P. Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Ряд простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…Любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения степеней простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей.

Например, 121968=2⁴·3²·7·11².

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z = {…-2. -1. 0. 1, 2,…}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представимые в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q (от англ. quotient).

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R включает множество иррациональных чисел I, не представимых в виде отношения целых.

Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами.

Комплексные числа C, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство .

Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других.

Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим.

Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение:

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123....

Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых - после запятой две цифры; до тысячных - три цифры и т.д.

Вопрос 4. Целые и рациональные числа. Иррациональные числа.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z = {…-2. -1. 0. 1, 2,…}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Или: натуральные числа, противоположные им числа и нуль называются целыми числами.

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами. Число 0 противоположно самому себе.

Рациональные числа — числа, представимые в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число.

В частном случае, когда n = 1, полагают . Таким образом, множество всех рациональным чисел содержит в себе как часть множество всех целых чисел.

Поэтому можно дать более общее определение: совокупность целых и дробных чисел как положительных, так и отрицательных, а так же нуль называется множеством рациональных чисел.

Результаты измерений геометрических и физических величин не всегда удается выразить рациональными числами.

Классический пример – отношение длины окружности к своему диаметру (число ) – бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Если дан прямоугольный треугольник с катетами а = 1, b = 1, то длина гипотенузы определяется формулой , т.е. .

Дроби подразделяются на обыкновенные и смешанные.

Если m<n, то дробь называется правильной; если , то дробь называется неправильной. Правильная дробь меньше 1, а неправильная – больше или равна 1.

Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q (от англ. quotient).

Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами.

Или: числа, которые не являются рациональными, то есть являются целыми, ни представимыми в виде дроби вида , где m – целое число, а n – натуральное, называются иррациональными.

Таким образом, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Вопрос 5. Операции над обыкновенными и десятичными дробями.

Действия над дробями:

1)               сложение ;

2)               вычитание ;

3)               умножение

4)               деление .

Вопрос 6. Действительные числа. Числовая прямая. Сравнение действительных чисел.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R.

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте понятие «множеству» и «подмножеству»

2. Какое множество называется числовым?

3. Какие операции можно выполнять над множествами?

      4. Дать определение целым и рациональным числам.

5.     Перечислить операции, выполняемые над обыкновенными и десятичными дробями.

Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:

1.      Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.  Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни  – М.: Просвещение, 2014. – 431 с.: ил.

2.      Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М: Книга по требованию, 2013.-513с.

3.      Материалы по математике Материалы в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов: http://school_collection.edu.ru/collection/matematika/

4. Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет – школа http://www.bymath.net

Скачано с www.znanio.ru