Лекция по математике на тему: Числовые ряды

Лекция №8.   Тема занятия: Ряды. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признаки сходимости. Знакопеременные  ряды. Абсолютная и условная сходимость. Цель занятия: Познакомиться с основными понятиями. Научиться определять сходимость числовых и функциональных рядов по признаку Даламбера; применять признак Лейбница для знакопеременных рядов. 8.1.  Числовые   ряды Если   каждому   натуральному   числу   n N   поставлено   в   соответствие   некоторое N , то говорят, что задана числовая последовательность. вполне определенное число  nx Числовую последовательность обозначают   n N x n    1 2, x x , ..... ,  , .... . x n Число   nx   называют   n ­м   членом   последовательности,   а   формулу   общего члена последовательности. Числовую последовательность можно рассматривать как числовую функцию, определенную на множестве натуральных чисел. Пусть задана числовая последовательность   n N     формулой a a 1 2, , ..... , , .... . ( ) f n a n a n nx    Определение. Выражение вида  a 1  a 2  .....  a n  ....                              (1) n a n  1 . называется числовым рядом, числа     1 2, a a (n­м)  членом ряда. Сумма конечного числа  n первых слагаемых числового ряда называется  n ­й частичной суммой данного ряда   членами ряда, а число    na   общим , ..... , .... a n S n  a 1  a 2  .....  a n . Таким образом, с каждым рядом связана последовательность частичных сумм  nS  ; .... ;       S 3 a 1 a 2 a S 2 ; 3 a 1 a 2 a 3 a 3 ; .... ; (2) S 1 a S ; 1 2 Если   последовательность   lim n S n   S   a 1 n n N S    частичных   сумм   ряда   (1)   имеет   конечный   предел , то ряд называется сходящимся, а число  S  суммой данного ряда:  S Если  предел последовательности   S называется расходящимся.  a a 1 2 n n N  .....  a n  .... .    не существует или равен бесконечности, то ряд Выражение вида  r n  a n  1  a n  2  .....      k n 1 a k  называется n­м остатком ряда   (1). Для того чтобы ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда стремился к нулю при   n   : 1 r n lim n   0                                                     (3) Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд  a n   сходится, то    1 n a lim n n   0                                                     (4) Заметим, что из выполнения условия (4) не обязательно следует сходимость ряда (1). Но если условие (4) не выполняется, т. е. предел  na  при  n    не равен нулю или не существует, то ряд (1) расходится. Таким образом, можно сформулировать достаточный признак расходимости ряда: Если предел общего члена ряда не равен нулю или не существует, то ряд расходится. Пример 1.  Исследовать на сходимость ряд     1 n n 2 2   5 2 n .  1 3 n Решение. Общий член данного ряда  a n  n 2 2   5 2 n .  1 3 n Найдем предел   na  при  n   : n 2 2   5 2 n lim n  3 n  lim n   1 2  1 5 / n  1/ 3 2 / n    1 3 0. 2 n Следовательно, данный ряд расходится. Свойства сходящихся числовых рядов сформулируем в виде теорем: Теорема 1. Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость.)  Теорема   2.  Если   ряды    сходятся,   и   их   суммы   равны     S иa S , b     a n  n 1  и        b n  1 n a n  b n   также сходится и   соответственно, то ряд     n 1     1 n  a n  b n   S a  S b . Теорема 3.  Если ряд            сходятся, и его сумма равна  S, то ряд    1 n a n    n 1 a n также сходится и     1 n     a S n   0,  R ,   Пример 2.   Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии со знаменателем   q  1. 2 Исследовать на сходимость ряд     n  1 aq    1 n   a aq aq  2 3  aq  .....  a q n  ... ( a  0). Решение. Найдем сумму   n первых членов ряда  S n   a aq aq  2 3  aq  .....  a q n  1   a  .  1  1 n q q    найдем   предел   n   ой  частной  суммы  при Учитывая,  что      n q   lim n  0,  ,  q q 1,  1, n   : S n  lim n  lim n   a n q  q  1  1     , a   1 q  1, q  1. , q Следовательно, данный ряд сходится при  q  , и его сумма равна  1 a q . 1 При   1q    ряд имеет вид:  a a a    ...        а a ... a , S n  n 1       a a a ... a 1 4 4 2 4 4 3 раз n na .  n S   n a lim n  lim n  q     получаем ряд: 1 Тогда   При        поэтому ряд расходится. ,     a a a ... n  1     1 a  ...  a     1 n  1 .    1 n Данный ряд расходится, так как последовательность частичных сумм:    не имеет предела.  nS  0, a , 0, a , ... Рассмотрим   числовой   ряд       с   неотрицательными   членами    1 n a n сформулируем достаточные признаки сходимости этого ряда. ,na    n N    и 3     8.2. Интегральный признак Коши.       имеют вид    1 n na a n  ,  f x   на   промежутке    f n то ряд   n N    , ;1  )     и  1 n a n Если   неотрицательная,   интегрируемая   функция   монотонно убывает, и члены ряда   несобственный интеграл   f x dx    1  сходятся или расходятся одновременно. Пример 3. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд     1 n 1  n ,  R . Решение. Исследование данного ряда начнем с необходимого признака сходимости:   1 lim n  n   0,      0. 0, , Таким   образом,   при   0      данный   ряд   расходится,   т.к.   нарушается   необходимое условие сходимости. Пусть  0  .  Рассмотрим   ( ) f x 1 x Функция    f x   монотонно убывает на промежутке    ( ) ;1  ) . Найдем несобственный интеграл.   1 dx  x  lim b  b  1 dx  x  lim b   1 x   1 b 1  1  1   1 lim b    1 b     1 При   1       1 dx x  lim b  b  1 dx x  lim ln b  x b 1   lim ln b  b   ln1   .  , 0 1   1 ,    1,   1. Следовательно, обобщенный гармонический ряд  расходится при  1  .    n 1 1  x сходится при    1   и  4                       8.3. Признак Даламбера (Д ‘Аламбера) Пусть для ряда     1 n a n ( a n  0)   существует предел a   l 1 n lim a n n ,                                                   (5) тогда: 1) при  < 1, ряд  2) при  > 1, ряд  a n    сходится;  1 n    расходится;  1 n a n 3) при   = 1, вопрос о сходимости данного ряда остается открытым. Пример 4.  Исследовать на сходимость ряд     1 3   4 9 9 27  16 81  ...... . Решение. Общий член данного ряда имеет вид  a  n 2 n n 3    . Тогда,   a  n 1    2  1 n  1 n 3 .   Найдем предел      lim n  a  1 n a n  lim n     1 n  n 1 3 2 n  3 2  n n  1 3 lim n   1  n 2   1 3 1. lim 1 n  2   n 3    1 2  n 1 3  lim n  2  n 1  Следовательно, данный ряд сходится по признаку Д 'Аламбера. 8.4. Признак сравнения Если   для   членов   ряда 0  a n  b n , n     то: N , n 0      1 n иn a     b n  1 n справедливо   неравенство 5           1) из сходимости ряда  b n 2) из расходимости ряда     следует сходимость ряда    1 n    следует расходимость ряда    1 n a n   ; a n  1 n   . b n  1 n  Предельный  признак  сравнения  Пусть даны знакопеременные ряды     n 1 иn a   . Если существует конечный и   n 1 b n a отличный от нуля   lim n n b n ,  то оба ряда сходятся или расходятся одновременно. При   использовании   признаков   сравнения   (III,   IV)   в   каждом   конкретном   случае необходимо   найти   соответствующий   вспомогательный   ряд,   про   который   точно   известно, сходится он или нет. В качестве таких рядов, используемых для сравнения, выбирают обычно:  1. Обобщенный гармонический ряд   1   сходится при   n n  1 1   и расходится при   1  ; 2. Ряд,   из   элементов   геометрической   прогрессии   q    и расходящийся при   1 q  . 1 n  1 , aq a  0,   сходящийся   при    1 n Пример 5. Исследовать на сходимость ряд     n n  1 1  2 . n Решение. Рассмотрим ряд с общим членом  обобщенным гармоническим рядом при      . 2 1 nb  1 2 n Найдем  lim n  a n n b  lim n  2 n 2  n n  1, 0 1    . .  Этот ряд сходится, т.к. является Ряд  na  1  2 n n  сходится, так как сходится ряд   nb  1 2 n . 6 Предельный  признак Коши. Пусть для ряда     1 n a n , a n    0, n N ,  существует предел  n n a  l                                                (6)  . lim n                  Тогда    1) при   <  1 ряд  2) при   >  1 ряд  a n    сходится;  1 n    расходится;  1 n a n 3) при   =  1 вопрос о сходимости данного ряда остается открытым. Пример 6. Исследовать сходимость ряда     43   2 9 2 3   ...  2 n n  1  n n 3  ... Решение. Общий член данного ряда имеет вид   2 n n . Найдем  n   1 n 3  n n lim n  n n a  lim n   lim n    1 n 3  n 2 n n    1 3 n n  1 3 lim 1 n   n 1  n   e 3 1. Следовательно, ряд сходится. В этом примере был использован второй замечательный предел n lim 1 n   1  n   e 2,7.... . Ряды,   содержащие   как   положительные,   так   и   отрицательные   члены,   называются знакопеременными.   Частным   случаем   знакопеременных   рядов   являются   знакочередующиеся ряды, т. е. такие ряды, все члены которых поочередно меняют знак. Знакочередующийся ряд может быть записан так      n 1  n  1   1  a n , a n  0.                                           (7) 7                               Пусть дан знакопеременный ряд   u    Тогда ряд, составленный из модулей членов .n  1 n   , является знакоположительным рядом.  1 n u n данного ряда   Теорема    . Если сходится ряд    ,  то сходится и ряд    1 n u n    1 n u n Для   знакочередующегося   ряда     теорема (признак Лейбница):     n 1 n  1    1  a n , a n  0   имеет   место   следующая  a n Если член знакочередующегося ряда (7) удовлетворяет условиям: a n lim n  1,   0,   n N            a n ;   1. 2. то ряд  сходится, а его сумма  S  не превосходит первого члена, т.е.       называется  абсолютно  1 n Определение.  Если   сходится   ряд     ,   то   ряд   u .  n S a 1    1 n    сходится, а ряд   n 1 u n u n    1 n u n расходится, то ряд       называется  1 n u n сходящимся. Если ряд   условно сходящимся. Исследование   знакочередующегося   ряда   на   сходимость   начинают   с   проверки   на абсолютную   сходимость.   Если   ряд,   составленный   из   модулей   членов   ряда,   расходится, применяют признак Лейбница. Пример 7. Исследовать на сходимость ряд      1 n  n  1   1 1  n . Решение.  Составим ряд из модулей       1 n u n       .  1 n 1 n Получим гармонический ряд, который расходится. Проверим признак Лейбница: 1. 1     ... 1 2 1 3 1 n  ... ; 2. lim n  u n  lim n  1 n  0.   Оба условия выполняются, следовательно, ряд сходится условно. 8