Лекция по математике на тему: Функциональные и степенные ряды

Лекция №9.   Тема занятия: Функциональные, степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена. Цель занятия: Научиться разлагать элементарные функции в ряд Маклорена, Фурье. Пусть   1 2 некотором множестве  Х. u x u x ( ), ( ),..., 9.1. Функциональные ряды. u x n ( ), ...   последовательность   функций,   определенных   на Определение.  Ряд вида ( ) u x 1  u x ( ) 2  .....  ( ) u x n  .....    u x n  1 n ( ),                (8) членами которого являются функции  nu  x  , n N   называется функциональным. , Каждому значению   0x X   соответствует числовой ряд   как сходящимся, так и расходящимся. Если ряд   точкой сходимости функционального ряда  (8).    1 n    1 n ( u x n 0 ).      Он может быть u x ( 0 n ).   сходится, точка   0x называется Множество  D  всех точек сходимости функционального ряда называется его  областью D   называется сходимости.   Сходимость   функционального   ряда   в   каждой   точке   0x поточечной сходимостью. Определение. Функциональный ряд (8) называется равномерно сходящимся в области  D 0   существует номер    0n ,  не зависящий от    x ,  такой, ( )S x , если для любого  к функции  что  r x ( ) n  ( ) S x   ( ) u x 2   ... ( ) u x n ,     ( ) S x n    n­я частичная сумма  ряда,  n n 0   x D , , где    ( ) S x  S x ( ) n  ( ) u x 1 lim ( ) S x n n    сумма ряда. Теорема      (признак   Вейерштрасса).  Если   члены   ряда   неравенствам   ( ) u x n  a n ,   n N ,   x D и   ряд      n 1 a n    1 n u x ( ) n   удовлетворяют ( a n  0)   сходится,   то функциональный ряд      n 1 ( ) u x n   сходится равномерно в области   D . 1 D Числовой ряд    n  1 a n , члены которого удовлетворяют неравенствам теоремы,  называется мажорантой (мажорантным рядом) для функционального ряда  D   ( ) u x n  1 n мажорируемым  на множестве   D . , а сам функциональный ряд называется в этом случае   Из признака Вейерштрасса следует, что условие мажорируемости ряда является достаточным для его равномерной сходимости. Сформулируем свойства равномерно сходящихся рядов: 1. (О непрерывности суммы функционального ряда) Если   на   множестве   D   функциональный   ряд   (8)   с   непрерывными   членами   сходится равномерно, то его сумма   ( )S x   непрерывна на  D . 2. (О почленном интегрировании) Если   функциональный   ряд   (8)   с   непрерывными   членами   сходится   к   функции   ( )S x ,a b ,   то   его   можно   почленно   интегрировать   на   любом   отрезке равномерно   на   отрезке   , ] x x 0[ a b [ , ]  , и справедливо неравенство: ( ) S t dt  x  x 0 x  x 0    k 1 u t dt k ( )       1 k x  x 0  u t dt k ( )  , причем ряд  x     01 k x  u t dt k ( )   сходится равномерно на отрезке   ,a b . 3. (О почленном дифференцировании) Если   функциональный   ряд   (8)   с   непрерывно   дифференцируемыми   на   отрезке   ,a b  членами сходится к функции  сходится равномерно на  справедливо неравенство: ( )S x , а ряд     n 1 ( )S x  непрерывно дифференцируемая функция, и ,a b , его сумма   сходится равномерно на  ,a b , то ряд (8) ( )n u t   ' ( ) S x     1 n ' u x ( ) n . 2       Определение    . Степенным рядом по степеням  x 0 x  называется ряд вида: 9.2.  Степенные ряды.  x   x 0  a 2  x  2  x 0  ...   a n x  n  x 0  ...     1 n  a n x  n ,  x 0            (9) , ... , a n , ...   действительные числа,  x  пробегает некоторый интервал.   где   0 x a a a , 1 2 0 , , Числа  na ( n  1,2, ...)  называются коэффициентами степенного ряда. Если   0 x     то получим ряд по степеням  х. 0, a 0  a x a x 1 2  2  ...  n a x n  ...     n 1 n . a x n                                         (10) Если степенной ряд   интервале   qх  0       0       .   х 0     х       1 n   х 0 9.3. Теорема Абеля. n    сходится в точке   0 x  , то он сходится абсолютно в 0 a x n   и   сходится   равномерно   на   отрезке   D q    ,   где x q Следствие.    Если   в   точке   x    степенной   ряд     1 0      1 n n a x n     расходится,   то   он расходится во всех точках  x , т. к.        х х   1   .  ;   ; R   x R U R R       ;  и расходятся для всех  Таким образом, всегда существует число R > 0 т. к. степенной ряд сходится абсолютно для всех R  ряд может как x сходиться, так и расходиться. Число   R   называется   радиусом   сходимости,   а   интервал   степенного ряда. Для   нахождения   интервала   сходимости   степенного   ряда   используют   достаточные   признаки сходимости   Даламбера   и   Коши.   Радиус   сходимости   можно   найти   по   одной   из   следующих формул:   интервалом   сходимости . В точках  x ;R R   R  lim n  n 1 a n ; R  lim n  a n a  n 1 . Пример 1.  Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда: а)    n 2 x  n 3  0 n ;  b)          1 n   3 n  5 x n n . 3 Решение.   а)         0 n n 2 x n 3   1 2 x 3  4 x 2 3  ... ;  x  u n  n 2 x n 3 . Для   нахождения   интервала   сходимости   воспользуемся   признаком   Коши   и   вычислим предел n u n  x  lim n   lim n  n n 2 x n 3  lim n  2 x 3  2 x 3 . Ряд сходится, если предел меньше единицы, т.е.  2 x        3 1. Решая полученное равенство, найдем интервал сходимости ряда:        3 3 3 x x x 2 3 . В точках   1,2 x   3 x  1,2 3   получаем расходящийся ряд      1 1 1 ... 1 ... . Таким   образом,   область   сходимости   степенного   ряда   интервал   сходимости    R   3. n   3 n  5 x n b)     1 n  x  3   5  2    3 x 2  2 5  3    3 x 3  3 5  ... .        3; 3  ,   радиус Найдем радиус сходимости данного ряда, для этого воспользуемся формулой R  lim n  a n a  1 n ;где a n  1  5 ; n n a n  1  1 .    1 5 n  1  n Тогда   R  n  1  n    1 5 n  5 n lim n   lim n   n    1 5 n  5. Интервал сходимости ряда найдем, решив равенство: 3 5 5 3 x x 5            x 8 . 2 n    1 n   имеем условно сходящийся  ряд     n  1 В точке    1  х     2  ,   а в точке    2  х   8       Таким образом, область сходимости данного ряда есть  1 n расходящийся гармонический ряд   полуинтервал [ 2; 8) Замечание.  Из   теоремы   Абеля   и   свойств   равномерной   сходимости   рядов   следует,   что   на интервале сходимости степенной ряд можно рассматривать как обыкновенный многочлен. , радиус сходимости  [ 2; 8) 1 n   . . 9.4. Ряды  Тейлора и Маклорена. 4    y  , a b ( ) f x . Допустим также, что функция  Рассмотрим   некоторую   функцию   x 0 любого порядка. Поставим функции   точки  0x  называется любой интервал, содержащий эту точку   f  y  f x 0   f     x 0 x   x 0  ,   определенную   на   интервале    f x  имеет в окрестности точки  0x ( ) f x ( )  ,a b ,   и   пусть  производные   в соответствие степенной ряд, (окрестностью  n  f x  f     n ! x 0   x  n  x 0  ...  f    0 n x 0    x    2  x 0  ... x  n .  x 0 x 0  x 0 2!  n   ,     n ! x 0   ), 0. (11)         0! = 1,  n! = 1234  n,      n    N . Такой ряд называется рядом Тейлора функции  ( ) f x  в точке   0x . Если   0 0 x  , то ряд Тейлор имеет вид:    0 2!   0 1!   0 x    f f f 2 x  ....   f n   n ! 0  n x     ...  n 0 0   f n   n ! n x              (12) и называется рядом Маклорена. Радиус   сходимости   ряда   Тейлора   может   быть   равен   нулю   или   отличен   от   нуля.   Причем,   в  f x . Если ряд последнем случае сумма ряда Тейлора     f x Тейлора   сходится   к   функции   разложима в ряд Тейлора в окрестности точки   0 x . Заметим, что частные суммы ряда Тейлора   f x ,   для   которой   он   составлен,   то   говорят,   что    S x может не совпадать с функцией     S n  x    f x 0   f     x 0 x   x 0   f    x 0 2! x  2   ....   n f   n ! x 0   x  n  x 0 x 0   f x   в точке   0 x . Если ряд сходится у представляют собой многочлены Тейлора функции   функции     f x ,  справедливо равенство   P x n     R x n   S n  x    R x n  , f  k x  x 0 где    P x n n   k 0 формулы Тейлора. Напомним, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в одном из следующих видов: nR x     остаточный   член     многочлен   Тейлора,  x 0      R x n   f   n n    1   1 !    x   x o n  1,   ( x o , x )   форма Лагранжа, 5  f x    k   k !  R x n    n   1 f  x 0 x   x 0      ! n x   x 0 n  1  1   n  ,где 0      форма Коши. 1 Имеет место необходимый и достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.  Теорема 1.  Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в окрестности точки    0 x ( ) f x  разлагается в ряд Тейлора в окрестности этой точки, необходимо и достаточно, функция  чтобы  R x n   0 lim n    x ( x 0  R x R  ; ), где   nR x    остаточный член формулы Тейлора,    R x n    f    k n k     1 x 0   1 ! k   k  1 x   x 0 , R  0. ; x   R x R   константой М, то ряд Тейлора сходится к функции  Теорема   2.  (Достаточный   признак   разложимости   функции   в   ряд   Тейлора).  Если   для  f x ,     ограничены   одной   и   той   же 0( x   все   производные   функции     f x  в интервале  |     х (   х Теорема 3.  Если степенной ряд по степеням     |   х о . R )    ),         х   0 сходится к функции     f x   в  f x   в окрестности этой   окрестности точки    0x ,   то он является рядом Тейлора функции    точки. Приведем примеры разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций: x e    1 x 2 x 2!  sin x   x 3 x 3! 3 x 3!   ... n x n !   ...    0 n n x n !   x R .  5 x 5!    ( 1) ... n  cos x   1 2 x 2!  4 x 4!    ( 1) ... n 2 n x  2 ! n   ...  n  ( 1) ... x n 2 2    n 1   1 !    0 n  n 1  1       1 x n n   ( 1)    0 n 2 n x  2 ! n    x . R n 2 x n 2  n 1   1 !    x . R ...     ( 1) , n  n 1     x n n 1  1    n 0  2 ... ! n  n  x     x ...,  1, 1 . ln(1  x )   x    ( 1) ...    ( 1, 1]. x 3 x 3  1 2  x 2     2!  1  x       1 x 2 x   ... arctg x   x 3 x 3  5 x 5  7 x 7    ( 1) ... n  1 x 2 2 n  n 1  1  ...    ( 1, 1]. x 9.5. Методы разложения функций в ряд Тейлора. Если для какой­нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный   ряд  представляет   данную  функцию  нужно,   либо   доказать,  что  остаточный   член 6 стремится к нулю, либо каким­нибудь иным способом убедиться, что данный ряд сходится к данной функции. Отметим, что для любой элементарной функции существуют числа    интервале  ( a R a R ,   )   она разлагается в ряд Тейлора. ,a R ,  такие, что в Рассмотрим некоторые методы разложения функций в ряд Тейлора на примерах. Пример 2.   ( ) f x  1  x 1 , 2 x 0  0. Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической  прогрессии S  a 1 ,  q 1 где   1a   первый член прогрессии,   q   знаменатель прогрессии.   x    Тогда при           1 1 2 1  x 3 x 2 Пример 3.  cos    ( 1) ... n  1 2 x n  ...     0 n  ( 1) n x 2 n   1 x 2 4  x , x  0 0.    ( 1, 1). x Решение.  Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции                      cos t   1 2 t 2!  4 t 4!    ( 1) ... n 2 n t  2 ! n   ...для     . t ,   Подставим   t  3 x 2 , получим  cos 3 x 2   1 2 2 3 x  2 2!  4 4 x 3 4  4! 2 Данное разложение имеет место для всех        ( 1) ... n n n 2 2 3 n 2 x    2 ! n  x    . , 2   ...для     . t ,   7