Лекция по математике «ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМЫ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ»

«ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ И Лекция 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМЫ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ» 1.1. Расширение множества действительных чисел. 1.2. Понятие комплексного числа. 1.3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.    1.4.  Геометрическое изображение комплексного числа.         1.5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Определение.  Комплексным   числом  z  называется   выражение   ,   где  a  и  b  – z  a ib действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: 2 i  ;1 i  .1 При этом число  a  называется  действительной частью  числа  z  (a  =  Re  z), а  b­ мнимой частью (b = Im z). Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным. Определение.  Числа     и   z  a ib z  a ib называются  комплексно   – сопряженными. Определение.  Два   комплексных   числа   z 1  a 1 ib 1   и   z 2  a 2   называются ib 2 равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: a 1  a 2 ; b 1  b 2 ; Определение.  Комплексное число  равно нулю,  если соответственно  равны  нулю действительная и мнимая части. a .0b Понятие   комплексного   числа   имеет   геометрическое   истолкование.   Множество комплексных   чисел   является   расширением   множества   действительных   чисел   за   счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел. Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами   которой   будут   соответственно   действительная   и   мнимая   части комплексного   числа.   При   этом   горизонтальная   ось   будет   являться   действительной числовой осью, а вертикальная ­ мнимой осью.        у A(a, b) 5 r                   b        0 a      x Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY  – чисто мнимые. С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме. Тригонометрическая форма числа. Из   геометрических   соображений   видно,   что   a  r cos  ; b  r sin  .   Тогда комплексное число можно представить в виде: z  ib a r cos  ir sin  r (cos  i sin  ) Такая   форма   записи   называется  тригонометрической   формой   записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  ­ аргументом комплексного числа. r  ; z  zArg . Из геометрических соображений видно: r  ib a 2 a  b ;2  zArg  arctg b a ; Очевидно,   что   комплексно   –   сопряженные   числа   имеют   одинаковые   модули   и противоположные аргументы. z  z ; zArg  zArg . Действия с комплексными числами. Основные   действия   с   комплексными   числами   вытекают   из   действий   с многочленами. 1) Сложение и вычитание.  6 z  z z ( a 1 1 2 ib 1 )  a ( 2 ib 2 )  a ) ( a 1 2 ( bi 1  b 2 ) z  ( a 1  a 2 2 )  b 2 ( b 1 2 )  a 1 ( ib 1 )( a 2  ib ) 2  aa 21  bia 21  aib 21  2 bbi 21 2) Умножение.  z zz 21 z  zz 21  ( aa 1 2  bb 21 )  bai ( 21  ab 1 2 ) В тригонометрической форме: z 1  r 1 (cos  1 i sin  ) 1 ,  z 2  r 2 (cos  2 i sin  ). 2 z  zz 21  rr 21 (cos(  1 ) 2 i sin(  1 2 )) С случае комплексно – сопряженных чисел: ib )  zz ib )( a a  (  2 2 b a z 2 z 2 . 3) Деление. z  z 1 z 2 a 1 a 2   ib 1 ib 2  x iy z  ( a 1 a ( 2   ib 1 ib 2 a )( 2 )( a 2   ib 2 ib 2 ) ) ( aa 21   bb 21 a ) 2 2  bai ( 12  2 b 2  ba 21 ) z  aa 21 2 a 2   bb 21 2 b 2  i ba 12 2 a 2   ba 21 2 b 2 В тригонометрической форме: z 1 z z  2 r 1 r 2 (cos(  1 ) 2 i sin(  1 2 )) 4) Возведение в степень. Из операции умножения комплексных чисел следует, что 2 z  zz r 2 (cos  2 i  )2sin В общем случае получим: 7 n z n  r (cos  n i sin  n ) , где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик) Формулу   Муавра   можно   использовать   для   нахождения   тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов. Пример. Найти формулы sin2 и cos2. Рассмотрим некоторое комплексное число  z  r (cos  i sin  ). Тогда с одной стороны  2 z 2  r (cos 2  2 i cos  sin  2 sin  ) . По формуле Муавра:  2 z 2  r (cos  2 i  )2sin Приравнивая, получим  cos  2 i 2sin  cos 2  2 sin  2 i cos  sin  Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то cos  2 cos 2  2 sin  2sin  sin2  cos  Получили известные формулы двойного угла. 5) Извлечение корня из комплексного числа. n z  n r (cos  i sin  ) (cos  i sin  ) Возводя в степень, получим:  n (cos  n i sin  n ) r (cos  i sin  ) Отсюда:   rn ;  n k 2 ; k  Z . n z  n r (cos  i sin  ) n r    cos  2 k n  i sin  2 k n    Таким образом, корень  n  – ой степени из комплексного числа имеет  n  различных значений. 8 Показательная форма комплексного числа. Рассмотрим показательную функцию   ew z ; z  x iy . Можно показать, что функция w может быть записана в виде: ew   x iy x  e (cos y  i sin y ) Данное равенство называется  уравнением Эйлера.  Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ). Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства: 1)  2)  3)  z 1 e  z 2 z ee 1 z ;2 z 1  z 2 e z 1 z 2 e e ; ( e mz ) mz  e ;   где m – целое число. Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем: eiy  cos  y i sin y Для комплексно – сопряженного числа получаем:  e iy cos y  i sin y Из этих двух уравнений получаем: iy e cos y  iy e sin y        e  2  e i 2  iy  iy Этими   формулами   пользуются   для   нахождения   значений   степеней тригонометрических функций через функции кратных углов. Если представить комплексное число в тригонометрической форме: z  r (cos  i sin  ) и воспользуемся формулой Эйлера:  ei  cos i sin  9 z  ire Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа. Вопросы для самоконтроля. 1. Какое число называется комплексным? Привести примеры комплексных чисел. 2. Дайте определение  мнимой единицы.  3. Какие комплексные числа называются равными? 4. Привести примеры сопряженных чисел. 5. Как   выполняются   действия   сложения,   вычитания,   умножения,   деления   комплексными числами в алгебраической форме? 6. Как   выполняются   действия   сложения,   вычитания,   умножения,   деления     с   с комплексными числами в тригонометрической форме? 7. Что называется модулем комплексного числа? 8. По какой формуле вычисляется аргумент комплексного числа? 9. Записать тригонометрическую форму комплексного числа.  Список литературы Основные источники: 1 Апанасов П.Т., Орлов М.И. «Сборник задач по математике».– М. Высшая школа, 2 2011 г. Гриф Минобрнауки.  С.Г.Григорьев, С.В.Иволгина «Математика» под редакцией проф. В.А. Гусева – М Издательский центр «Академия» 2012 3 Математика для техникумов. (Под редакцией Г.Н. Яковлева ч.1­М.: Наука, 2010 г.). Гриф Минобрнауки. 4 Математика для техникумов. (Под редакцией Г.Н. Яковлева ч.2­М.: Наука, 2010 г.). Гриф Минобрнауки. 5 М.И.Башмаков     Математика.   –   М   .Издательский   центр   «Академия».2012.   Гриф ФИРО. Дополнительные источники: 1. Афанасьев О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. «Математика для техникумов». – М., Наука, 2010г.  2. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д.  «Математика для техникумов на базе средней школы».– М., Наука, 2010г.  10