Логарифмическая функция

Тема «Логарифмическая функция»

Тема «Логарифмическая функция» входит в кодификатор элементов контрольно-измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена. В базовый уровень включены задачи на преобразование логарифмических выражений, решение простейших логарифмических уравнений и неравенств. Профильный уровень содержит, кроме названных задач, задачи с прикладным характером, содержащие логарифмическую функцию, исследование логарифмической функции с помощью производной и смешанные задания.

Это означает, что задания по теме «Логарифмы» требуют от учащихся глубоких знаний и свободное владение навыками их решения. Отсюда следует актуальность темы исследования.

При изучении темы «Логарифмические уравнения и неравенства» в учебнике алгебры и начал анализа должны быть освещены следующие понятия и вопросы:

1.         Понятие логарифма.

2.         Свойства логарифмов.

3.         Десятичные и натуральные логарифмы.

4.         Формула перехода от одного основания к другому.

5.         Правила действия с логарифмами.

6.         Тождественное преобразование логарифмов.

7.         Логарифмическая функция и ее свойства.

8.         Решение логарифмических уравнений.

9.         Решение логарифмических неравенств.

10.       Решение систем логарифмических уравнений.

Используя определение логарифма, свойства логарифмической функции (область определения, возрастание и убывание), а также свойства логарифмов, формулу перехода от одного основания к другому учащиеся должны уметь решать простейшие логарифмические уравнения, неравенства и системы уравнений.

Весь материал рассматривается на примерах.

        Пример 1. Решите уравнение

log₂ (x²+4x+3) =3

Решение: ОДЗ: x²+4x+3˃0; ОДЗ: х˂ -2 или х ˃ -1

x²+4x+3=8

x²+4x-5=0

x₁=1 входит в ОДЗ; x₂=-5 входит в ОДЗ.

Ответ. 1; -5.

           Пример 2. log₅ (2x+3) = log₅ (x+1)

Решение: ОДЗ:      x>-1

2x+3= x+1

x=-2 не входит в ОДЗ.

 Ответ: корней нет

        Пример 3. log_x (x²-2x+2) =1

Решение: ОДЗ: x>0; x≠1

x²-2x+2=x

x²-3x+2=0

x₁=1; x₂=2

x₁=1 – не входит в ОДЗ.   Ответ:2

Пример 4.

Решение: ОДЗ: x>0

Приведем  к основанию 5

log₅x = t

t²- 2t – 3 = 0

t₁=3;         t₂=-1

log₅x=3 ;   log₅x=-1

x=125;        x=0,2

Ответ: 0; 0,2.

        Пример 5.  5^1-3x =7

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5

и получим 1-3х = log₅7 

x=

        На уроке рассматриваются решения логарифмических неравенств, предварительно повторив возрастание (убывание) логарифмической функции и вырабатывается навык в их решении.

Тема «Логарифмическая функция» входит в кодификатор элементов содержания по математике для составления контрольно-измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена, представленного в таблице 1.

Таблица 1

Элементы содержания темы «Логарифмическая функция» в спецификации заданий ЕГЭ профильного (базового) уровня

В общей сложности в базовый уровень задания по теме «Логарифмическая функция»       могут быть в базовом уровне включены в 3 задания из 20, и в профильном уровне - в 8 заданий из 19, включая смешанные уравнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ: Поскольку старшие подростки предъявляют повышенные требования к окружающим и к себе, то системе обучения старших школьников нужна продуманная во всех деталях модель современной учебной и педагогической деятельности по проектированию, организации и проведению учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для учащегося.

При решении логарифмических уравнений их приводят к решению алгебраических уравнений, используют свойство логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа.  Отдельные логарифмические уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям с помощью ввода новой неизвестной величины. Отдельные уравнения решаются методом почленного логарифмирования, в случае необходимости применяют формулу для перехода от одного основания логарифмов к другому