Методическая разработка открытого занятия по теме "Решение показательных уравнений"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ «КРАСНОДОНСКИЙ ПРОМЫШЛЕННО – ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Методическая разработка открытого занятия Номинация: «Авторские разработки открытых учебных занятий по математике» г. Краснодон – 2017 Автор: Салюк Елена Николаевна – преподаватель математики,  специалист высшей категории, старший преподаватель. Рецензент: Каранда Ольга Николаевна–заместитель директора по учебной  работе, преподаватель экономических дисциплин ГОУ СПО ЛНР  «Краснодонский промышленно – экономический колледж», специалист  высшей категории. Методическая разработка занятия по дисциплине «Математика» на  тему: «Решение показательных уравнений» для специальности 13.02.07   «Электроснабжение» (по отраслям)» выполнена в соответствии с рабочей  программой. Цель данной методической разработки – изучение и систематизация  материалов из школьных учебников по алгебре и началам анализа разных  авторов по теме «Показательные уравнения». Разработка открытого занятия  по теме «Решение показательных уравнений» содержит обширную подборку  заданий, в частности для работы в группах и с  дифференцированными  карточками. При проведении занятия используются различные формы и  методы обучения. Акцентируется внимание на мотивацию учебной деятельности и  практическое применение материала занятия. Работа может быть использована преподавателями образовательных  учреждений СПО. 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………….……………………………..4 Ход занятия…………………………………………………………………5 1 2 Организационный момент………………………………………….6 Постановка цели и задач…………………………………………..6 3 Мотивация учебной деятельности…………………………………6 4 Актуализация опорных знаний……………………………………7 5 Изложение нового материала……………………………………..7 6 Закрепление изложенного материала……………………………...9 7 Подведение итогов занятия……………………………………….12 8 Рефлексия…………………………………………………………..12 9 Домашнее задание………………………………………………….13 Заключение………………………………………………………………..14 Литература…………..…………………………………………………….15 Приложение…..…………………………………………………………..16 3 ВВЕДЕНИЕ Изучение различных уравнений занимает значительную часть учебного  времени в курсе школьной математики. Культура решения уравнений  развивается так же, как и культура вычислений, на основе прочных знаний  свойств операций над объектами (числами, векторами, многочленами и т. д.) и алгоритмов их выполнения.  Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам  анализа в 10­11 классах. Целью работы является разработка методики изучения студентамитемы «Решение показательных уравнений». Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие  задачи:  проанализировать действующие учебники алгебры и начала  математического анализа для выявления представленной в них  методики решения показательных уравнений;  изучить стандарты образования по данной теме;  подобрать теоретический материал, связанный с решением  показательных уравнений;  рассмотреть основные методы и приемы решением показательных  уравнений;  подобрать примеры решением показательных уравнений для  демонстрации излагаемой теории. Актуальность указанной темы обусловлена важностью усвоения темы  «Решением показательных уравнений», так как является одним из сложных  разделов алгебры, изучаемых в школьной программе. Практическая направленность работы заключается в том, что  изложенные в ней материалы могут быть полезны в педагогической  практике  преподавателями образовательных учреждений СПО. 4 ХОД ЗАНЯТИЯ ЦЕЛИ:  образовательные:    актуализация опорных знаний при решение показательных уравнений; обобщение знаний и способов решения;  контроль и самоконтроль знаний. развивающие:      развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; развитие   навыков   реализации   теоретических   навыков   в   практической деятельности; развитие   умения   сравнивать,   обобщать,   правильно   формулировать   и излагать мысли; развитие интереса к предмету через содержание учебного материала. воспитательные:    воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; воспитание   культуры   общения,   умения   работать   в   коллективе, взаимопомощи; воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях. ТЕХНОЛОГИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ НА УРОКЕ:   технология дифференцированного и разно­уровневого обучения; технология обучения в сотрудничестве, индивидуально­групповая  технология. ОБОРУДОВАНИЕ:  доска,   ПК,   мультимедийная   установка,   портреты математиков, оценочные листы, раздаточный материал. ТИП ЗАНЯТИЯ: лекция с практическим закреплением. 5 1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ Занятие начать притчей: “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: «Я принимаю радость в мою жизнь, но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку», ­ ответил   юноша.   «Произнеси   это   5   раз.».   «Я   выбираю   ложку»,   послушно произнес   юноша   5   раз..   «Вот   видишь»,   ­сказал   мудрец,   «повторяй   хоть миллион   раз   в   день,   она   не   станет   твоей.   Надо…»   Что   же   надо?   Надо протянуть руку и взять ложку.  Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике. 2. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ И ЗАДЧИ ЗАНЯТИЯ Тема   занятия   «Решение   показательных   уравнений».А   эпиграфом   к нашему занятию станут слова С. Коваля:  «Уравнения – это золотой ключ,  открывающий все математические сезамы».  Т.е.  другими словами можно сказать, что если вы будите уметь решать уравнения, то экзамена по математике вам не стоит бояться.  А какие вообще виды уравнений вы знаете? Рациональные, дробно – рациональные, И так как тема нашего занятия «Решение показательных уравнений».    тригонометрические,   иррациональные,   показательные). 3. МОТИВАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ. Мы будем учиться решать показательные уравнения и, у вас возникает  вопрос, зачем они нужны. Можно привести много примеров задач по физике,  биологии, экономики, которые сводятся к показательных уравнений. Одна из  таких задач, которая имеет непосредственное отношение ко всем нам, я хочу  вам предложить. 26 апреля исполнилось 30 лет аварии на Чернобыльской  атомной электростанции (в это время на экране демонстрируются  документальные видеоматериалы об аварии), в результате которой  6 территория Украины была загрязнена радиоактивным веществом. Из физики  известно, что отношение начальной до конечной количества радиоактивного  вещества рассчитывается по формуле (на экране демонстрируется формула): x T 2 N 0  N где  время после аварии; период полураспада радиоактивного вещества.       Одним из самых опасных является атомы радона. Для него  4 суток. На  экране появляются условия задачи. Задача: Через какое время после аварии количество радиоактивных  атомов радона уменьшится в 1024 раза, то есть  ? x 24  1024       Решение задачи сводится к решению показательного уравнения. Студенты  решают задачу в тетрадях, затем решение демонстрируется на экране.  x 4 x 4  1024  2 10  10  40 2 2 x 4 x 4. АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ ЗНАНИЙ. Устныйопрос. 5. ИЗЛОЖЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА 7 Сегодня   на   занятии   мы   рассмотрим   4   основных   типа   показательных уравнений: Исходя из заданий, которые выполняла 3 группа видно, что  , таким образом  , таким образом  5x 0x 2 x 52 2 x 02 , таким образом  x 32 2 Первый тип, к которому приводятся все остальные 3x , где  , где x – неизвестное число  а  x а b a  ,0  1 а Это  уравнение решается с помощью свойства степени, состоящего в том, что  степени с одинаковым основанием   равны тогда и только тогда, когда  a  ,0  1 а равны их показатели. Таким образом,  . Второй тип: bx  , где    cx 1 а   cx а 2 b  а  a ,0 а  ,1 b 8 Это уравнение решается вынесением в левой части общего множителя за  скобки (наименьшей степени). Третий тип: 2 x bа  x ca  0 d Это уравнение решается с помощью замены  , при этом данное  аx  t 2 bt  0 ct d уравнение сводится к квадратному Четвертый тип: а  x b x Это уравнение решается делением обеих частей уравнений на , после чего  исходное уравнение приводится к первому виду. xb x x а b  а  b   1 0 x      а b    Итак,  Тип Уравнения 1 тип 2 тип 3 тип 4 тип а  x а b  cx 1 а   cx а 2 b  а 2 x bа  x ca  0 d а  x b x 9 Метод  решения bx  вынесением в левой части общего множителя за скобки (наименьшей степени). с помощью замены , при этом делением обеих частей уравнений на , после аx  t данное уравнение сводится к квадратному 2 bt  ct d 0 xb чего исходное уравнение приводится к первому виду. 6.  ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗЛОЖЕННОГО МАТЕРИАЛА М.В.Ломоносов   говорил   «Теория   без   практики   мертва   и   бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения».  И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных   уравнений.   Посмотрите,   пожалуйста,   на   доску,   и   скажите: каким способом были решены уравнения. Работа в группах.  Из каждой группы по одному человеку выходят к доске,   выбирают   уравнения,   комментируют   решения   и   указывают,   каким способом решается уравнение. Оценки в оценочный лист. Древнегреческий   поэт   Нивей   утверждал,   что   «математику   нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». Поэтому будем сейчас работать самостоятельно. 10 Самостоятельная работа (дифференцируемая) Самостоятельная работа (дифференцируемая) 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. Уровень 1. Вариант – 2 (16 25)х+3 =(125 64 )2 7х+1−3∙7х=28 2х−3=3,5х−3 2∙52х−5х−1=0 Уровень 1. Вариант – 1 10х2+х−2=1 2х−2=3х−2 32х−2∙3х−3=0 7∙5х−5х−2=−90 Уровень 0. 3х=27 (2 3)х =1 1. 3. Уровень 2. Вариант – 2 100х−80∙10−1−20=0 √2х+2= 4 √2 7∙5х−5х+1=2∙5−3 2∙4х−5∙6х+3∙9х=0 Уровень 2. Вариант – 1 22х+14∙2х+1−29=0 6х+1+35∙6х−1=71 2х+2+8х=5∙4х √7х+1=49 √7 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 2. 4. 5х−2=25 10х2=10 Уровень 0 на «3» Уровень 1 на «4» Уровень 2 на «5» 11 Самостоятельно проверить правильность решения уравнений по ключу с ответами на доске, и поставить себе оценку в оценочный лист. А.   Эйнштейн   говорил   так:   «Мне   приходится   делить   время   между политикой   и   уравнениями.   Однако   уравнения,   по–моему,   гораздо   важнее. Политика   существует   только   для   данного   момента,   а   уравнения   будут существовать   вечно.   И   решать   их   нужно   правильно».   (Портрет   ученого вывешивается на доску). Преподаватель предлагается решить уравнения на карточках.  КАРТОЧКИ. (Приложение 1) Работа в группах. Самостоятельно в группах решить уравнения. Итак, корнями последних уравнений стали числа 11 и 19, 15 и 21. Об этих числах можно сказать следующее:  11 часов ­ время наивысшей трудоспособности;  15 часов ­ время наибольшего утомления;  19 часов ­ вечерний подъем трудоспособности;  21 час ­ время прекращения всякой трудоспособности. Использование   полученных   знаний   о   биологических   ритмах   при составлении   режима   позволит   достичь   максимальной   трудоспособности   и повысить сопротивляемость организма к утомлению, так что «будьте здоровы и не утомляйтесь!». РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИЗ ГИА 12  х 4 3)1  4)2;9  2 х  4)3;16 2 х  17  1 64 )4;  х 5 36 3 х  12 )5    1 2     1 8 )6;    1 9 7  х    5)7;3  27 х 2 х  25 )8;  1 6    1 10 7  х    10 х Несколько учеников решают с обратной стороны доски, остальные  выборочно по 3 уравнения. Взаимопроверка. Оценки в оценочный лист. 7. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ ЗАНЯТИЯ.  В заключение урока хочется процитировать слова великого математика Г.   Лейбниц:   «Метод   решения   хорош,   если   с   самого   начала   мы   можем предвидеть   –   и   далее   подтвердить   это,   ­   что   следуя   этому   методу,   мы достигнем цели». Мне хотелось бы вам пожелать , чтобы каждый из вас нашел в жизни свой «золотой ключик», с помощью которого перед вами открывались любые двери. Достигнуты ли цели урока? Оценка работы класса и каждого ученика в отдельности, проверка оценочных листов и выставление оценок. 8. РЕФЛЕКСИЯ Учителю   необходимо   знать,   насколько   самостоятельно   и   с   какой уверенностью решал ученик задания. Для этого ученики ответят на вопросы теста (опросный лист), а затем учитель обработает результаты. ОПРОСНЫЙ ЛИСТ № Вопрос Варианты ответа (поставьте галочку) 1На уроке я работал 2Своей работой на уроке я 3Урок для меня показался активно   пассивно  доволен  не доволен  коротким  длинным 13 4За урок я 5Моё настроение  не устал  устал   стало лучше стало хуже 6Материал урока мне был 7Домашнее задание мне кажется  понятен  не понятен  полезен  бесполезен  интересен  скучен легким трудным    интересным  не интересным 9. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ §2 , главы VI, № 21(2,4), 22(2,4), 23(2,4), 24(2,4), 26(2,4).  Для интересующихся математикой:    5   2,0  3 x  ;25 2 x 2 x  2  5 6    1 5    14 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе на основе анализа литературных источников рассмотрены  характерные особенности и основные виды решение показательных уравнений. Тема   «Решение   показательных   уравнений»,   является   одной   из   часто используемых   в   вычислениях   и   решении   различных   задач.   В   работе   были приведены задания, разные по сложности и по содержанию, с использованием решения показательных уравнений. Данные задания могут быть использованы для   проведения   контрольных   или   самостоятельных   работ   проверки   знаний студентов. Работа имеет практическое значение, поскольку ее материал может  быть использован в педагогической  практике преподавателями  образовательных учреждений СПО для формирования у студентов навыков  решения показательных уравнений, так же по моему мнению, работа  выполнена в рамках методики преподавания математики и может быть  использована как наглядное пособие дляпреподавателей образовательных  учреждений СПО. 15 ЛИТЕРАТУРА: Основные источники: 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. (В 3­х  томах)Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Дрофа, 2004. –  512 с.  2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. (В 3­х  томах)    Т.3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.  Функции комплексного пер еменного. М., Дрофа, 2004. ­ 512 с.  3.  Грибанов В.М., Крамарь Н.М., Швед О.П. Высшая математика.  Курс лекций (часть I, II, III).­Луганск: Изд­во ВНУ им. В.Даля, 2003. 4. Н.Д. Владыкина, А.И. Ермаков, С.С. Курчанова, Г.И. Хмеленко. –  Луганск: изд. Восточноукр. Нац. ун­та им. В. Даля, 2002. ­ 100 стр.  Методические указания по курсу высшей математики. Часть 1. Дополнительные источники: 1. Роева Т.Г., Хроленко Н.Ф. Алгебра в таблицах, 10­11 класс:  Учеб.пособие.­ Х.: Издательская группа  «Академия». 16 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 КАРТОЧКИ «Показательные уравнения»  Решение показательных уравнений  Вариант 1 (1 уровень) Решить уравнение: Вариант 1* (2 уровень) Решить уравнение: х  ;750 5   х 5 ;24 2 2   х  ;27   2 х 3  6 х  ;2  32  5  2 х  1 5)1 5)2 х х 2 3)3 2 х 3)4 2)5   )6  1 2 2 х  2  ;0 графически х   1  х 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  2 5х ;2 1 х 2 ;2 2 2 х ;8 2 12 х ;8 х 22 х  25 4 0  х 43 2 25 х ; ;0 3 х  1    1 2     25,0  2 . Решение показательных уравнений  Вариант  2 (1 уровень) Вариант  2*                             (2 уровень) 17 Решить уравнение: х  2 3)1 7)2 х х  ;10 3   х 7 ;6 2 1   х   3 х 2)3 2 х 4)4 4)5   )6  1 3 2  ;32  х 43 х 62  ;1  ;0 х   1  9 х х графически Решить уравнение: 1)  3 5х ;3 1 х 2 ;3 3 3 х ;81 3 12 х ;27 ; х 32 х  34 3 0  х 92 3 35 х ;0 2)  3)  4)  5)  6)  7)  3 х  1    1 3     75  2 .5 Решение показательных уравнений  Вариант 3 (1 уровень) Вариант 3*                                ( 2 уровень) 18 Решить уравнение: 5)1 5)2 х х  1 х  ;150 5   х 5 ;120 2 2   х 3   ;243    х 1 3 ;2   х х х 36 ;163 3)3 2 х 3)4 812)5 х   х  1 2 )6    1 графически Решить уравнение: 1)  2 3х ;2 1 х 5 ;2 2 2 х ;16 2 2 х ;16 ; х 22 х  26 8 0  х 42 2 23 х ;0 2)  3)  4)  5)  6)  7)  3 х  1    1 2      2 .5,0  Решение показательных уравнений  Вариант 4 (1 уровень) Вариант 4* (2 уровень) 19 Решить уравнение: х  2 3)1 7)2 х х  ;90 3   х 7 ;42 2 1   х  1  ;64  х 43 х 62  1  43 ;1 х х 2)3 2 х 4)4 9)5   )6  1 3 ;0  х   х  1 графически Решить уравнение: 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  3 2х ;3 1 х 3 ;3 3 3 х ;243 3 12 х ;243 ; х 32  10  х 9 3 0  х 93 10  х 3 3 ;0 3 х  1    1 3     225   2 .5 Решение показательных уравнений  Вариант 5 (1 уровень) Вариант 5* (2 уровень) 20 Решить уравнение: 3)1 7)2 х  3 х  х 2)3   х 2 2  ;28 3  х 7 ;48 1 8  23   2 х 5 3  ; 2 2 х   х 2 3    22)4  х 35)5 х  1  3    )6   ;1   4 х 5 х  3 ; 10  х графически Решить уравнение: 1)  2)  3)  4)  5)  6)  7)  3 4х ;3 1 х 4 ;3 3 3 х 1 9 ; 22 х ;9 3 ; х 32  12  х 27 3 0  х 92 17  х 9 3 ;0 3 х  1    1 3      1 .545 Решение показательных уравнений  Вариант 6 (1 уровень) Решить уравнение: 1)  2 7х ;2 Вариант 6* (2 уровень) Решить уравнение: 21 3)3 2 х 3)4   )5    )6  2 3 1 2  ;2  х 5,19 х     х   х  5 2)  3)  4)  5)  6)  7)  1 х 7 ;2 2 32 х ;2 2 ; х 22 х  22 8 0  х 42 4 27 х ;0 2 х  1    1 2      2 .5,0 х  1 6)1 5)2 х х  ;252 6   х 5 ;120 2 2   х  ;27   2 х 3  5  8 ;0 графически 22