Поделиться
линии 1го и 2го порядка.pptx
Линии первого и второго порядка
Впервые линии второго порядка изучались Менехмом.
Немного из истории
Если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы образованного ими угла, то получится конусная поверхность.
Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
Линии первого порядка
К линиям первого порядка относятся те линии, для которых задающее их уравнение содержит переменные X и У только в первой степени
𝑨𝒙+𝑩𝒚+𝑪=𝟎
Где А, В и С — постоянные числа
Переменная У как функция от аргумента Х при В ≠ 0
Уравнение прямой с угловым коэффициентом K
𝑦=𝑘𝑥+𝑏
Где K = tg φ,
φ — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох.
Линии первого порядка
Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом K, проходящей через заданную точку
𝑦− 𝑦 0 =𝑘(𝑥− 𝑥 0
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости
𝑦− 𝑦 1 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 (𝑥− 𝑥 1
Кроме "классического" уравнения прямой следует знать еще две его разновидности
Линии первого порядка
Угол между прямыми
𝑡𝑔𝜑= 𝑘 2 − 𝑘 1 1+ 𝑘 1 𝑘 2
Расстояние от точки до прямой
𝐷= 𝐴 𝑥 0 +𝐵 𝑦 0 +𝐶 𝐴 2 +𝐵 2
Если прямые параллельны, то 𝐤 𝟏 𝐤𝐤 𝐤 𝟏 𝟏𝟏 𝐤 𝟏 = 𝐤 𝟐 𝐤𝐤 𝐤 𝟐 𝟐𝟐 𝐤 𝟐
Если прямые перпендикулярны, то 𝐤 𝟐 𝐤𝐤 𝐤 𝟐 𝟐𝟐 𝐤 𝟐 =− 𝟏 𝐤 𝟏 𝟏𝟏 𝟏 𝐤 𝟏 𝐤 𝟏 𝐤𝐤 𝐤 𝟏 𝟏𝟏 𝐤 𝟏 𝟏 𝐤 𝟏
Линии второго порядка
Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:
a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0
Три наиболее используемых вида линий:
Эллипс
Гипербола
Парабола
Линии второго порядка
Эллипс.
уравнение эллипса в его основной форме:
𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1
Где А и B — полуоси эллипса
Директрисы эллипса -прямые, перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии a/e от центра.
(где e=c/a=√1−b2/a2 (0≤e<1) называется эксцентриситетом эллипса)
Теорема. (Директориальное свойство эллипса) Эллипс является множеством точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно e.
Линии второго порядка
Гипербола.
уравнение гиперболы:
𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1
Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является Эксцентриситет — величина, определяемая отношением
𝜀= с 𝑎
Где С- фокус эллипса
Линии второго порядка
Парабола.
уравнение параболы:
𝑦= 2 𝑝𝑥
Нетрудно увидеть, что перемена осей координат приводит к более привычному уравнению параболы вида У = Ах2, где А — постоянное число.
Линии второго порядка
Исследование вида линий второго порядка может быть проведено без приведения общего уравнения к нужному виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов линии второго порядка — выражений, составленных из коэффициентов уравнения 2-й степени, значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат
S = a11 + a22
(aij = aji).
Примеры задач
Пример. 1
Пример. 2
Построить эллипс 9x2+25y2=225. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.
решение
решение
Презентация окончена
Спасибо за внимание
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
