Линии 1 и 2 порядка (презентация)

Впервые линии второго порядка изучались Менехмом.

Если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы образованного ими угла, то получится конусная поверхность.

Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

К линиям первого порядка относятся те линии, для которых задающее их уравнение содержит переменные X и У только в первой степени

Где А, В и С — постоянные числа

Переменная У как функция от аргумента Х при В ≠ 0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом K

Где K = tg φ,

φ — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох.

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом K, проходящей через заданную точку

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Кроме "классического" уравнения прямой следует знать еще две его разновидности

Расстояние от точки до прямой

Линии второго порядка, плоские линии, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:

a11x2 + a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a11 = 0

.

Три наиболее используемых вида линий:

Эллипс

Гипербола

Парабола

уравнение эллипса в его основной форме:
𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1
Где А и B — полуоси эллипса

Директрисы эллипса -прямые, перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии a/e от центра.
(где e=c/a=√1−b2/a2 (0≤e<1) называется эксцентриситетом эллипса)

Теорема. (Директориальное свойство эллипса) Эллипс является множеством точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно e.

уравнение гиперболы:
𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1

Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является Эксцентриситет — величина, определяемая отношением
𝜀= с 𝑎
Где С- фокус эллипса

уравнение параболы:
𝑦= 2 𝑝𝑥

Нетрудно увидеть, что перемена осей координат приводит к более привычному уравнению параболы вида У = Ах2, где А — постоянное число.

Исследование вида линий второго порядка может быть проведено без приведения общего уравнения к нужному виду. Это достигается совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов линии второго порядка — выражений, составленных из коэффициентов уравнения 2-й степени, значения которых не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат

Пример. 1
Найти угол между прямыми, заданными уравнениями У = 2X - 5 и У = -3X + 4.

Пример. 2
Построить эллипс 9x2+25y2=225. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.

решение

решение