Лучевая оптика

§ 2. ЛУЧЕВАЯ ОПТИКА Законы распространения света.   Оптические приборы 1. З а к о н ы   о т р а ж е н и я : угол падения равен углу отражения; а) б) лучи   падающий,   отраженный   и   нормаль,   восставленная   из точки   падения   луча   к   отражающей   поверхности,   лежат   в   одной плоскости. 2. З а к о н ы   п р е л о м л е н и я : а) отношение синуса угла падения к синусу угла преломления  для данных двух сред есть величина постоянная и равная отношению скоростей света в двух   данных   средах;   это   отношение   называют   показателем   преломления второй среды относительно  первой:  v 1 v 2  ;  c c v 2 v 1 i i r 1 n 2 n 1  const  n 21 sin sin i 1 i 2 n 21  = Формула   сферического   зеркала   (для   параксиальных   лучей,  или                                             sini n где  с  —   скорость   света   в   вакууме;  п1  и  п2  —   абсолютные   показатели преломления первой и второй сред; б)   лучи   падающий,   преломленный   и   нормаль,   восставленная  из   точки падения луча к преломляющей поверхности, лежат в одной плоскости. 3.  Законы лучевой оптики справедливы при условии:  = ;  1 где λ  — длина волны используемого света; р — радиус входного отверстия оптического прибора (оптического стекла); r — радиус волнового фронта. 4. т. е. лучей, образующих малый угол с осью зеркала): 1 f  (здесь / — расстояние от зеркала до источника света; f1 — расстояние от зеркала до изображения;  R  — радиус зеркала). 5. Увеличение вогнутого зеркала: H 1 H где Н1 — поперечные размеры   изображения;  Н — размеры предмета.  6. Формула призмы (рис. 2.1):    где  а1  — угол  падения  луча   на  грань  призмы;  а2  — угол  выхода;  А  — δ преломляющий угол призмы;   — угол отклонения луча приз МИН, если γ1 = γ2 и если а1 = а2 = а, δМИН = 2а — A, откуда  = 6δ  R f  1 R f    2 R 1 f 1 мой. a 1  a 2  A 1 F sin   A мин 2 A 2 . n 1 f 1 n 2 f  . n k sin Мера дисперсии вещества: n c n  (здесь п — показатель вещества призмы относительно окружающей среды). 7.   n где пс и пk — показатели преломления вещества для определенных длин волн в синей и красной частях спектра. Преломление   света   на   сферической   границе   раздела   двух  сред   (для параксиальных пучков) происходит в соответствии с формулой:     (здесь  R1  —   радиус   сферической   границы   раздела;  f1  —   расстояние  от границы раздела до светящейся точки; f — расстояние от границы раздела до изображения точки; п1 и п2 — показатели преломления сред). Правило знаков: все отрезки отсчитывают от границы раздела; по ходу луча отрезки считают положительными, против хода луча — отрицательными. 9.   где   f1  — расстояние от линзы до предмета;  f2 — расстояние от  линзы до изображения; R{ и R2 — радиусы кривизны поверхностей, Формула тонкой линзы: ) 1 R 2  . FD 1 ( R n 1 2 1 1)( n 2 n 1 n 1 1 R 1       ) . 1 f 2 1 f 1 ( ограничивающих линзу;      n 2 n   ­    показатель преломления вещества  линзы 1 относительно окружающей среды; D — оптическая сила линзы. Правило знаков для отсчета отрезков то же, что в предыдущем пункте. 10. Поперечное увеличение линзы: W   поп h 2 h 1 f 2 f 1  (здесь h2 и h1 — поперечные размеры изображения и предмета; f2 и f1 — их расстояния от линзы) 11. Продольное увеличение линзы: прод df 2 df 1 W  где d f2 — перемещение изображения, вызванное перемещением предмета d f1 вдоль оптической оси. 12. Продольное и поперечное увеличения связаны формулой: W 13. Оптическая   сила   центрированной   системы   двух   тонких линз: D df 2 df 1 W прод    f 2 f 1 поп 2 2 D D  2 1   2 1 (  1 2 1 )f f 2   ним  1  2 rLd D D D dD D 2   —   расстояние   между   задним   фокусом   первой   линзы   и   перед где   фокусом второй (по ходу светового луча), или  где d — расстояние между линзами. Освещенность изображения,  создаваемого  объективом: E kLd где  L  — яркость объекта;  k  — коэффициент прохождения, зависящий от свойств оптической системы; dω1 — телесный угол, под которым видна линза объектива с площадки ds1 являющейся объектом; dω2 — телесный угол, под которым видна линза с площадки ds2, являющейся изображением. Светосила объектива фотоаппарата: L  где d — диаметр отверстия линзы; F — фокусное расстояние объектива. 16. Угловое увеличение лупы:  ( )d F  2 δ tga tga 0 L F   tga tga 0  L F F 1 2 где а и а0 — соответственно углы, под которыми рассматривают предмет с лупой   и   без   лупы;  L  —  расстояние   наилучшего   зрения:  F  — фокусное расстояние лупы. Угловое увеличение микроскопа:  где F1 и F2 — фокусные расстояния объектива и окуляра; ∆ — расстояние между фокусами объектива и окуляра.  Угловое увеличение телескопа:   где Ft и F2 — фокусные расстояния объектива и окуляра. tga tga 0 F 1 F 2  ВОПРОСЫ                 на   ли   покрытого       закон   предмет       гладкой     законы полу границе Гюйгенса, света   принцип преломления Используя чите двух сред. Получите   при   помощи   принципа   Ферма   отражения   света от   границы раздела двух сред. Какой   физический   смысл   имеет   относительный показатель преломления? Может   ли   возникнуть     явление     полного   отражения, если   свет  проходит  из воды в стекло? Как будет меняться положение изображения предмета, если   сам     будет   перемещаться   из бесконечности     к  вершине:   а)   выпуклого   зеркала;   б) вогнутого зеркала? Если смотреть на отражение уличного фонаря от слоя рябью, воды,   чем то   оно   нам   кажется   более   вытянутым,   отражение   от     поверхности.     Как объяснить это явление? Можно сфотографировать изображение   предмета,   полученное   мощью рассеивающей линзы? дает Несимметричная   на   своей изображение   точечного   объекта   оси.   Изменится   ли       положение       изображения,   если линзу   перевернуть,   т.   е.   преломляющие   поверхности поменять местами? На   рисунке     на   границе   двух   сред.   сред скорость света больше? 10.   перемещается вдоль оптической оси собирающей (рассеивающей) линзы к из линзе; как перемещается изображение точки? Выведите и поперечным увеличением линзы. На собирающую линзу падает пучок лучей из точки S, расположенной в фокальной     2.3). Как пойдут эти лучи после линзы?   рассеивающую   На   ход   луча   из     этих   2.2   показан   мнимое     по бесконечности   плоскости   Светящаяся       точка       линзы       (рис.     продольным   В   какой     линзу     тонкая   линза       падает     с   между           связь лучей пучок в   фокальной   плоскости   Как­ пойдут эти лучи после линзы?   из   точки       5,     линзы     (рис. расположенной   2.4). 2.5).   Где     изображение получится На собирающую линзу   падает   пучок   лучей,   ограниченный лучами 1 и 2 (рис. источника света? На   собирающую   линзу   падает   пучок, 3 и 4 (рис. 2.5). Где соберутся эти лучи после линзы? При   падении   на   плоскую   границу   раздела   двух   сред   луч частично отражается и частично преломляется. Как связан с оптическими свойствами   сред   угол   падения   луча,   при   котором   отраженный   луч перпендикулярен преломленному? Каково минимальное расстояние между предметом и экраном, при котором возможно изображения предмета с помощью собирающей линзы, имеющей оптическую силу D?   ограниченный   лучами действительного   получение Примеры решения задач 1. Какой высоты нужно взять выпуклое зеркало радиусом R, чтобы человек видел  себя  во весь  рост?  Высота  человека  h, расстояние,  на  котором   он находится от зеркала, d. Р е ш е н и е Человек   увидит  себя  в  зеркале   в  полный  рост,  если   после   отражения   от зеркала в его глаз попадут лучи, дающие мнимое изображение головы и ног. Луч 1 (рис. 2.6), идущий от глаза человека так, что после   отражения   от   зеркала   его   продолжение попадает в центр зеркала, отразится обратно в глаз человека.  Для построения изображения точки  A берем   произвольный  луч 2 и, используя свойство побочной оптической оси, найдем его  направление после отражения. Изображение точки A (точка A') получится   на   пересечении   продолжений отраженных лучей 1 и 2. Лучи, идущие из точки В (ноги человека), тоже после отражения  должны попасть в его глаз. Пусть оптическая ось делит предмет пополам, тогда луч 3, падающий на вершину зеркала, после отражения попадет в точку  A, т. е. человек видит и свои ноги. Для построения изображения точки В можно опустить перпендикуляр из точки А' на оптическую ось, и его пересечение с продолжением отраженно­ го луча 3 дает изображение точки В (точку В'). Пренебрегая малой кривизной зеркала, из подобия ∆АОК  и   ∆MON,      в которых   АК = Рис 2.6 H , MN=h, KO=d, ON= 2 получим,  2H h R R d   H 2 R  R d h откуда,                                     2.   Оптическая   ось   зеркала,  светящаяся   точка  S  и   ее   действительное изображение  S' расположены так, как показано на  рисунке 2.7. Найдите построением положение вершины зеркала и его центра. Р е ш е н и е ак как изображение светящейся точки S' действительное и располагается ближе к оптической оси, чем сама точка, то, следовательно, изображение   точки   получено   в   вогнутом   зеркале,   вершина   которого расположена правее точки и ее изображения. Для определения положения центра зеркала воспользуемся тем  свойством, что   всякий   луч,   падающий   на  зеркало   так,   что   он   или   его  продолжение проходит через центр зеркала, отражается в том же направлении. Проводим прямую  SS'; точка пересечения прямой с оптической осью даст нам  положение  центра зеркала 0.  Чтобы  определить  положение   вершины зеркала, применим закон отражения. Если на  вершину зеркала из точки  S падает луч под некоторым углом к оптической оси, то отразится этот луч под таким же углом и обязательно попадет в точку S'. Для построения опускаем из точки  S  перпендикуляр на оптическую ось и симметрично точке  S  на перпендикуляре наносим вспомогательную точку A. Проводим прямую через точки A и S', ее пересечение с оптической осью (точка В) и есть вершина зеркала. 3. Человек, стоящий на берегу пруда, смотрит на камень, находящийся на дне.   Глубина   пруда  h  =   1м.   Определите,   на   каком   расстоянии  h’  от поверхности воды находится кажущееся положение камня, если луч зрения составляет   с   нормалью   к   поверхности   воды  угол  i  =   60°.   Показатель преломления п = 1,33. Р е ш е н и е Так   как   лучи,   идущие   от   камня   к   глазу   человека,   на границе вода — воздух претерпевают преломление, а глаз не может следить  за ломаным ходом лучей, получается кажущееся   смещение   предмета   —   он   как   бы приближается   к   глазу   наблюдателя.   Поясним   это  на чертеже   (рис.   2.9).   Для   того   чтобы   в   глазу   человека получилось  изображение   какой­либо   точки,   необходимо два луча, идущие от данной  точки   под   малым   углом   и попадающие в глаз  человека: их   пересече ­ создает  в глазу изображение точки. Пусть от точки  А  идут два луча  под углом ∆r  друг к другу. На границу раздела вода — воздух они попадают под углами г и г + Дг и выходят в воздух под углами r и r + ∆r. Наблюдателю же будет казаться, что лучи, попадающие к нему в глаз, выходят не из точки A, а из точки A', в которой '  '   i tgr i 2 i r   '   tgi    ) )  sin cos i i  h ' h  r 2 cos    )    )  1, ≈ a sin ∆i   ≈ ∆i, получаем: пересекаются  продолжения   лучей,   попавших   в  глаз,   т.   е.   ему   будет казаться, что точка A находится не на глубине h, а на глубине h'. Для определения ' найдем сначала ВС:  sin( i i BC h tg i (  i i cos( Проделав элементарные математические преобразования и учитывая, что угол ∆i мал, т. е. что cos ∆i  BC h  i 2 cos С другой стороны,  BC h tg r r ( Следовательно, h На основании закона преломления запишем: n   откуда после математических преобразований получим: i sin sin r Или  1 Помножив числитель и знаменатель формулы (1) на cos i cos r, получаем:  h  r cos 2 cos i   1  cos  cos cos cos  i i  r r  sin cos r cos sin  r r r ;  sin sin i r  cos sin i sin i r sin i cos i sin  i  i i  r r sin( i r sin(  ) i  r ) , sin r sin sin i r    n (1) r   r r sin i i  i h '  h 2 2 cos cos  i r  r i cos cos cos cos i i r r  h 3 cos 3 cos i r   1 n h n 3 cos 2sin  (1 2 n i i 3 2 ) Вычисления дают h' = 0,215 м. Проанализируем    полученный    результат h '  h n 3 cos 2sin  (1 n i i 3 2 ) если   угол   i,   под  которым    рассматривают   предмет,   лежащий    на дне, увеличивается,   то   кажущаяся   глубина   уменьшается   и   предмет   как  бы приближается к поверхности воды. И наоборот, если угол i уменьшается и в пределе   стремится   к   нулю,   т.   е.   когда   луч,   попадающий   в   глаз,     перпендикулярен поверхности воды, то кажущаяся глубина становится максимальной:  h ' h  . n A≥2r0. 4. При каких условиях луч, падающий на первую грань стеклянной призмы в плоскости,   перпендикулярной   ребру   преломляющего  угла  A,   проходит сквозь   вторую   грань   (рис.   2.10).   Рассмотреть   случаи:   а)  A≥2r0  (r0  — предельный угол для стекла); б) А = r0; в) A < r0. Р е ш е н и е Свет пройдет через вторую грань призмы лишь при условии, что угол падения на эту грань меньше r0. Для всех случаев справедливо соотношение А = r1 + r2. а) В этом случае  r1  +  r2  ≥2r0, и, для того чтобы  r2  был меньше  r0, нужно, чтобы r1 был больше r0, но это невозможно, так как для . Следовательно, если преломляющий этого нужно, чтобы  i1  был больше   2 угол   призмы  A≥2r0,   то   ни   при   каком   угле   падения  i1  не   может  быть выхода луча через вторую грань. б) Так   как  А  =  r1  +  r2  =  r0,   то,   чтобы  r2  был   меньше  r0,   угол  r1  должен удовлетворять условию: 0 ≤ r1≤ r0. Это возможно в том случае, если  0 ≤  r1≤  показана на рисунке 2.11 (штрихами),  в) А = r1 + r2 < r0. Пока угол падения на первую грань i1 будет меняться от  0,   угол  r1  будет   меняться   от  r0  до   0,   а  r2  не   будет   превышать  r0 (рис.   2.12).  Затем   падающий   луч   переместится   по   другую   сторону через перпендикуляра грань будет   возможен   до   тех   пор, не   станет   пока равным r0 (это предельный случай) Тогда в треуголь­   (i1  — угол падения на первую грань). Область изменения угла 2 вторую  r2   до 2 А = r0.     и   выход i 1  n sin i 1 + r1,   =A +  2    будет   внешним   и   r0 +  2 Рис. 2.11 Рис. 2.12  нике ОВС угол r0 +  2 r1= r0 – A. Угол падения i1 может быть найден из закона преломления:  sin sin i1 = n sin (r0 — A), откуда i1 = arcsin [n sin (r0  ­ A)]. Следовательно, угол  до {— arcsin [n sin (r0   ­ падения на первую грань может меняться от   2 A)]  (знак   «минус»   соответствует   переходу   луча   по   другую   сторону перпендикуляра). 5.  С   помощью   тонкой   собирающей   симметричной   линзы   с   показателем преломления  п1  =  3/2  получено действительное изображение на расстоянии 10 см от линзы. После того как предмет и линзу поместили в воду, не меняя расстояния между ними, изображение предмета получилось на расстоянии 60 см от линзы. Найдите оптическую силу линзы в воздухе, если показатель преломления воды п2 ­ 4/3. Р е ш е н и е Оптическая сила тонкой линзы в воздухе и в воде может быть представлена соответственно выражениями:   1 f 1   1 f 1 1 f 2 1 ' f 2    ( n n 0  n n 1 2 n 2 1)  2 R ( R n 2 0  ; 1) Из  этих  соотношений  можно  определить   f1 — расстояние от предмета до линзы:   f1 = 0,9 м. Тогда D = 1,1 дптр. 6. Солнечные лучи, падая нормально на экран, создают освещенность  Е1  = 104 лк. Перед экраном на расстоянии а = 20 см от не­  2        из   падает линзу   ) (  d F a F лучей,   расходящимся, а   линзы,       пу ста продолжения собирают   который   после параллельный   линзы   d ;   этот   поток   распределяется   на   экране   на   площади, 4 го помещают тонкую линзу с оптической силой  D  =  —2 дптр. Определите освещенность   экрана   в   тени   от   линзы   и   в  светлом   кольце   вокруг   тени. Поглощением света в линзе   можно   пренебречь. Р е ш е н и е На чок   новится лучей, вышедших ся в ее фокусе (рис. 2.13). Освещенность линзы, очевидно, такая же, как и экрана в отсутствие линзы, т. е. E1 Тогда    световой    поток,    приходящийся    на    линзу,    равен Ф   =  Е1  π  ограниченной конусом лучей, вышедших из линзы. Диаметр этого круга d1 можно выразить через диаметр линзы d: d 1 где, F — фокусное расстояние линзы. Следовательно, освещенность в тени линзы:  E 2 Вычисления дают Е2 = 5000 лк. Вокруг   «тени»   от   линзы   будет   существовать   светлое   кольцо,  где освещенность создается и теми лучами, которые прошли линзу,  и лучами, идущими непосредственно от Солнца, т. е. Е3 = Е1 + Е2= 15* 103 лк. 7. Оптическая   система   состоит   из   собирающей   и   рассеивающей линз;   на   рассеивающую   линзу   падает   луч  1  (рис.   2.14).   Найдите построением направление этого луча после собирающей линзы. Р е ш е н и е Продолжим   луч   до   пересечения   с   фокальной   плоскостью   рассеивающей линзы и проведем через точку пересечения побочную ось (рис. 2.15); луч l из рассеивающей линзы выйдет параллельно этой оси (луч 2). Через точку пересечения луча 2 с фокальной плоскостью собирающей линзы F‘2  проведем   побочную   ось.   После   собирающей   линзы   луч  3  пойдет параллельно этой оси. 8. установлена на бесконечность. Какое увеличение дает труба, если Труба   Кеплера   с   оптической   силой   объектива  D1  —  2   дптр   E d F 1 2   d F a 4 (  4 2  d 1 2 E F 1  F a 2 ) (  2 2  4 2 ) оптическая сила окуляра D2 = 10 дптр? Как следует передвинуть окуляр трубы, чтобы можно было видеть предметы, находящиеся на расстоянии 50 м? Р е ш е н и е Зрительная труба,     как и все   оптические   приборы,     работающие с глазом, служит для увеличения угла зрения.    Увеличение   α  и α0— соответственно углы, под которыми рассматривают предмет с помощью оптического прибора и без него. Для   где   tg  tg 0  трубы Кеплера имеем:     D 1 D 0 =5. Чтобы отчетливо увидеть предмет, находящийся на расстоянии 50 м от трубы,   следует   окуляр   отодвинуть   так,   чтобы   изображение,   даваемое объективом, попало в фокальную плоскость окуляра. Значит, изображение должно находиться от объектива на расстоянии a Пользуясь формулой линзы 1 f 1 1  a   a   1 F 1  F 1 2 F 1 определим  a :  a  = 2 F 1 F 1 f 1 Вычисления дают:  a  = 5­10­3 м. Задачи для самостоятельного решения Плоское   зеркало   и   некоторый   предмет  А   В  расположены так,   как   показано   на   рисунке   2.16.   Где   должен   располагаться   глаз наблюдателя, чтобы предмет был виден целиком?   Как   изменится Точечный   источник  S  освещает   поверхность  MN. освещенность   в   точке   Л,   находящейся   непосредственно   под источником,   если   сбоку   на   таком   же   расстоянии,   как   освещаемая поверхность,   поместить   зеркальце  z,   плоскость   которого   составляет  с поверхностью   угол   в   45°   (рис.   2.17)?  Коэффициент   отражения   принять равным единице. Ответ  E 0 E 1   1 2 2  2  2 1   1,12.         от     отраженный   2.3. Луч   света,     зеркальца гальванометра,       падает       на       центральное   деление шкалы,     расположенной  на   расстоянии   1,5   м   от зеркальца перпендикулярно к направлению   падающего луча.   При   пропускании   тока   через   гальвано­ метр светлое пятно переместилось на 2 см. На какой угол повернулось зеркальце?  Ответ  0,0133, tg   23 .    2         падает     поставлены     луч,     к     образованного   2.4. Два   зеркала     под   уг лом  а  =   60°   друг   к   другу;   на   одно   из   зер кал     лежащий   в   плоскости,       перпендикулярной     двугранного   ребру   угла, зеркалами.   Какой   угол составляют падающий луч и луч, отражен­ ный от обоих зеркал?  Ответ    2 .       под    r    =     =   от  а см    32°, линии на рас пересечения На каком расстоянии х друг от дру­ 2.5. Небольшой    предмет   расположен между двумя  плоскими   зеркалами,   пос­ углом тавленными стоянии   10 зеркал ближе к одному из зеркал. а) га находятся первые мнимые  изображения       предмета в зеркалах? б) Как    сместится    середина    отрезка  прямой,   соединяющей   два   изображения предмета, если предмет сдвинуть на l = 2 см так, чтобы его расстояние от линии пересечения зеркал осталось неизменным?   Ответ  б)   сместиться   в   противоположном   направлении   на   расстояние y Ось   сферического   зеркала,   светящаяся   точка  S  и   ее   изображение  S' расположены   так,   Найдите построением  вершины зеркала и его центра.   как   показано   на   рисунке   2.18. rсм 2 sin l  cos 10,6 ) a x .см 1,    7 . Ответ 2.6­2.9 Указание.  Построения в  зеркалах   следует проводить с использованием вспомогательных лучей, проходящих через центр зеркала. Найдите  построением изображение точки,  лежащей на оптической  оси выпуклого зеркала.  Постройте   изображения   предметов  А   В  и  CD  в   вогнутом зеркале (рис. 2.19).   Найдите       направление       отраженного       от       зеркала   луча     2, если известен ход луча 1 (рис. 2.20, а, б).  Сходящийся   пучок   лучей   падает   на   вогнутое   зеркало   с радиусом   кривизны  R  =   60   см   так,   что   их   продолжения   пересе каются   на   оси   зеркала   на   расстоянии   20   см   от   его   вершины.       На каком   расстоянии   от   зеркала   сойдутся   эти   лучи   после   отражения от него?  Ответ 12 см. На   вогнутое   зеркало   радиусом   40   см   падают   лучи   от   точки  S, расположенной   на   оптической   оси   на   расстоянии  f1  =   3   см от вершины зеркала. На каком расстоянии от вогнутого зеркала следует  расположить плоское  зеркало,  чтобы  лучи  после  отражения  от зеркал снова вернулись в точку S?  Ответ Плоское зеркало должно находиться посредине между точкой S и ее изображением в вогнутом зеркале. Каков   радиус   вогнутого   зеркала,   если   человек,   находящийся   на расстоянии   видит   изображение своего лица в 1,5 раза большим, чем в плоском зеркале, находящемся на том же расстоянии от него?   f1  =  20   см   от   зеркала, Ответ Rсм 120 .   предмета   в     вогнутом   зеркале   получилось Изображение   вдвое   большим,     чем   сам   предмет;     расстояние   между     предметом и   изображением  l  =   15   см.   Определите   оптическую   силу   и   радиус кривизны зеркала.  Ответ  Dдптр R 10  ,  м 0,2 . Точечный   источник   света   находится   на   расстоянии   30   см от   выпуклого   сферического   зеркала   радиусом   60   см.   Найдите   осве­ щенность на расстоянии 60 см от поверхности зеркала, если на расстоянии 120 см она равна 200 лк.  Eлк 1684 . Ответ  Указание.   Оснащенность   экрана   определяется   световым   потоком, идущим от источника, и потоком, отраженным от зеркала. При идеально отражении поток, падающий на зеркало, и поток,   отраженный от него, равны. Освещенность   изображения   Солнца,   полученного   на   оптической   оси вогнутого   зеркала,   в  k  раз   больше,   чем   экрана,   на   который непосредственно падают солнечные лучи. Определите площадь зеркала, если   его   фокусное   расстояние   угловой   диаметр Солнца   Р?    (Экран   небольших   размеров   расположен   перпендикулярно оптической оси.)  Ответ  В       центре       вогнутого       сферического       зеркала       радиусом R1 =80 см находится вершина выпуклого зеркала с фокусным расстоянием F2 =   40   см.   Между   фокусом   и   центром   вогнутого   зеркала   на F  2.    F, 2 S k 4 расстоянии   50   см   от   его   вершины   расположен   предмет   высотой   2   см перпендикулярно   оптической   оси.   Определите   положение   и   величину изображения в выпуклом зеркале, создаваемого лучами, отраженными от вогнутого зеркала.  90 ; 60 расстояние от вершины выпуклого зеркала до изображения а   от   предмета   до   изображения   в   выпуклом   зеркале , hсм Ответ  8 2 bсм в   нем   2 Lсм . Два   одинаковых   вогнутых   зеркала   радиусом   80   см   имеют общую   оптическую   ось   и   их   фокусы   совпадают.   На   расстоянии   60   см от   вершины   одного   из   них   помещен   точечный   источник   света.   Где получится  изображение после отражения лучей от обоих зеркал?  hсм Ответ    Величина изображения   1 же точке,  где находится источник. 4 . Изображение получится в той На   поверхностях   плоскопараллельной   стеклянной   пластинки толщиной h=3 мм нанесены метки. Пластинку рассматривают в микроскоп так, что отчетливо видна метка, нанесенная на верхней поверхности. Чтобы отчетливо   видеть   метку   на   нижней   поверхности,   тубусмикроскопа пришлось   переместить   на   2   мм.   Определите   показатель  преломления стекла.  Ответ п = 1,5. У к а з а н и е .  Следует учесть, что каждая пара лучей, идущих от ниж­ ней   метки   и   создающих   изображение   точки   в   глазу   человека, составляет между собой малый угол. Предмет   находится   на   расстоянии  l  =   15   см   от   плоско параллельной   стеклянной   пластинки.   Наблюдатель   рассматривает его   через   пластинку,   причем   луч   зрения   нормален   к   ней.   Найдите расстояние между изображением предмета и ближайшей к наблюдателю гранью. Толщина пластинки h = 4,5 см; показатель преломления стекла п = 1,5.  Ответ  x Определите   угол   между   красными   и   фиолетовыми   лучами, получившимися   при   разложении   белого   света   стеклянной   призмой, преломляющий   угол   которой  А   =  60°,   если   угол   падения   белого света   на   призму  i1  =   45°.   Показатели   преломления   для   красного и фиолетового света соответственно равны пкр = 1,610, /nф = 1,632.  h   lсм n 18  . Ответ  5 . o Оптическая           сила           тонкой           двояковыпуклой       симмет ричной     линзы   в   воздухе   D1  =  5 дптр;     в   некоторой     жидкости D2  = —1,65 дптр.     Определите     радиус     кривизны     поверхностей, ограничивающих линзу,  и показатель преломления жидкости.  Ответ  Rм n 0,21 ,  1,83. Фокусное   расстояние   объектива   микроскопа  F1  =   3   мм, фокусное   расстояние   окуляра  F2  =   5   см.   Предмет   находится   перед объективом   на     расстоянии  f1  =   3,1     мм.     Определите   увеличение микроскопа. Ответ  150.  Каково   кажущееся   уменьшение   глубины   реки   для   чело века,   смотрящего   на   лежащий   на   дне   предмет,   если   угол,   составля емый   лучом   зрения   с   нормалью   к   поверхности   воды,   равен   70°. Показатель  преломления  воды п = 1,333.  h    h  12 . h n 3 cos 3 cos i r Ответ  Указание.   См. решение задачи на стр.  15.   Водолаз   находится   на   дне   водоема   на   глубине  h  —   15   м. На   каком   расстоянии  l  от   водолаза   расположены   те   участки   дна, которые   он   видит   наиболее   яркими   благодаря   отражению   света   от поверхности воды?  Ответ  32 . lм         на     падает     плоскопараллельную   Луч     плас тинку   толщиной  h  =   3   см   под   углом  i  =   70°.   Определите   смещение луча   внутри   пластинки.   (Смещение   считать   по   перпендикуляру   к направлению падающего луча.)  Ответ    стеклянную   2,02 xсм . Световой   луч   падает   на   квадратную   стеклянную   пластин ку   (рис.   2.21).   Каким   должен   быть   показатель   преломления   стекла, если полное отражение происходит от вертикальной грани?  Ответ  1,41. n  Определите ной пластинкой толщиной h = 10 см вдоль ее смещение   луча     плоскопараллельной   стеклян грани, если угол падения луча i = 70°. Ответ  d  1 htgiсм  cos  2 i sin 2 n  i  8,2 . 2.28.  Каков   преломляющий   угол   стеклянной призмы,   если       угол       наименьшего       отклонения равен   преломляющему углу?  Рис 2.21 Ответ   (п — показатель преломления стекла); А = 80°48'.  80 48 .  2 cos A A   2 n o 2   преломления   Показатель 2.29. для света   данной   длины   волны  п=  1,6.   Каким   дол                                  жен   быть   наибольший   угол   падения   этого   луча     на призму,   чтобы при выходе  луча из призмы не наступило явление полного отражения?  Ответ  стекла  10 10 . макс                          i o ,δ В   каких   пределах   может   меняться   угол   отклонения   который   может   дать   стеклянная   призма   с   преломляющим   углом А = 60°?  o Ответ  39  59 33 .    o Призма   с   преломляющим   углом  А  —   50°   дает   угол   наимень шего   отклонения   δмин  =   35°.   Каким   будет   этот   угол,   если   призму погрузить в воду?  Ответ    o 11 . o 16 . макс  Тонкостенная   полая   призма   из   прозрачного   плексигласа с   преломляющим   углом  А  =   60°   находится   в   воде.   Определите   угол наибольшего отклонения.  Ответ    2.33.   Как     следует     расположить     две     одинаковые     стеклянные призмы   с   преломляющим   углом   Л,   каждая   из   которых   дает   угол наименьшего   отклонения   δмин,   чтобы   после   прохождения   луча   через две призмы он отклонился бы на угол 2δмин?  Ответ Под углом    2.34.  В   сосуд   с   жидкостью   опущена   стеклянная   призма   так, что   ее   основание   лежит   на   дне   сосуда.   Что   произойдет   с   лучом   бе лого света,     входящим в       призму     параллельно     ее     основанию A   .мин       3,75 .  0,24 x ; )  .мин A   V мм ) a dмм б (рис.   2.22,   а)?   (Кривые   зависимости   показателя   преломления   от длины   волны   для   стекла   и   для   жидкости   показаны   на   рисунке 2.22, б.)  Ответ Под углом    2.35.   Тонкостенная   равносторонняя   призма   наполнена   жидко  δмин  = стью,   при   этом   она   дает   угол   наименьшего   отклонения     =  23°16'. Какой  экстремальный   угол даст  эта  призма,  будучи  пустой, если ее поместить в жидкость, которая в первом случае заполняла ее? Определите показатель преломления этой жидкости.  Ответ    2.36.  На   тонкостенную   сферическую   колбу,   наполненную   жид костью,   падает   параллельный   пучок   лучей   света,   диаметр   сечения которого   значительно   меньше   диаметра   колбы.   На   противоположной стороце колбы пучок света освещает кружок, диаметр которого­в два раза меньше диаметра пучка, падающего на колбу. Определите показатель преломления жидкости.  Ответ    2.37.  Тонкая   вогнуто­выпуклая   стеклянная   линза   имеет   оптическую силу  D  = 4 дптр. Определите радиусы поверхностей, ограничивающих линзу,   что   один   радиус   больше   другого в 2 раза.  Ответ n=1,33.   2.38.   Тонкая   стеклянная   линза   имеет   в   воздухе   оптическую   си лу  D1  =   5   дптр.   Какова   будет       оптическая   сила   этой   линзы,     если ее погрузить в воду?  Ответ  см 2   если   известно, Rсм R 1 6,25  o  15 44 . макс 12,5  , . линзы, помощью   2.39. С   оптическая сила которой  D  = 4 дптр, получено изображение свечи в натуральную величину. На   какое   свечу от линзы, чтобы изображение уменьшилось в пять раз?  Ответ 1м   расстояние     отодвинуть   нужно                         на находится   тонкую     При   одном   2.40. Предмет   90   см   от   экрана.   Между   предметом   перемещают   линзу.   экране   получается   увеличенное   изображение,   другом — уменьшенное. Определите фокусное расстояние линзы, если линейные размеры первого изображения в 4 раза больше размеров второго?  Ответ F=20см. расстоянии   и   экраном   собирающую   линзы   на     при   положении     2.41. Как изменится освещенность   бумаги солнечными лучами,   если   на   ней   при   помощи   тонкой   линзы   с оптической силой D = 4 дптр и диаметром оправы d — 6 см получить изображение  Солнца  (поглощением света в линзе пренебречь)?  Ответ  где Rзс — расстояние от Земли   до   Солнца;    d R D E 2 E 1 зс d    , 2 2 c Солнца;  E 2 E 1  660.  диаметр             тонкой  Найдите   построением     2.42.   Найдите   построением     ход   произвольного   луча после собирающей линзы (рис. 2.23).  Ответ   ход   луча   2   2.43. после тонкой линзы, если известен ход луча 1 (рис. 2.24).  Ответ 2.42—2.53.     У к а з а н и е .   использованием побочных оптических осей.     Л, находящейся    на оптической оси  рассеивающей линзы (рис. 2.25).    Найдите       если после   тонкой   известен   ход   луча   1   (рис.   2.26).  На   рисунке     2.27,   а,  б  показаны     Все   построения   выполняются   с   построением   ход   луча   2   рассеивающей   изображение Постройте   линзы, точки оси   ее    точки оптической и    S  построением   линзы положения  Найди MN, те тонкой линзы и ее   фокусов; в) положение  главной оптической оси линзы.  На показана рисунке линза   изображение  А'В' предмета. Найдите   построением положение предмета.    и   мнимое изображения положения тонкой центра 2.30  S’                                 рисунке На линза   изображение предмета. Найдите   построением положение предмета.    и   мнимое 2.31                   показана  А'В'   Собирающая  и    рассеивающая линзы   расположены   так, как показано на рисунке 2.32.   Найдите построением ход луча 1 в  этой системе линз.    часть Средняя линзы   заклеена   черной   бумагой. построением мета А В (рис. 2.33).  изображение     рассеивающей   Найдите пред   2.53. Постройте предмета А В (рис. 2.34).            изображение Фокусные   расстояния   объектива   и   окуляра микроскопа соответственно равны Fx = 1 м и F2 = 3 см. Расстояние     фокусом объектива и передним  фокусом окуляра А = 15 см. Какое увеличение дает  микроскоп?  Ответ    между   задним   1250.          труба       длину   9­кратного Галилеева увеличения   имеет    l=   60   см. При замене объектива и окуляра трубы собирающими линзами     ее увеличение не изменилось. Определите  объектива фокусные           расстояния       и  F2      трубы, а    также     фокусные      расстояния  F1    галилеевой    окуляра F1'  и   F2'  тех линз,  которыми заменили окуляр  и объектив трубы.  Ответ  45 Fсм F 1  ' см F 36 1  см F 5 2  ' см 2  4 , , , . Рис. 2.34   следует   линзы   Как   кие =   была равна D = 8 дптр?  Ответ На расстоянии 8 см друг от друга.   оптическими чтобы с дптр, 5       расположить   силами оптическая     две  D1  сила   = тон  D2= системы   двумя  тонки­     между Расстояние ми линзами, образующими телескопичес­ кую систему, равно 12 см, системы равно 5. Какова будет оптическая сила системы этих линз,   если их сложить вплотную?  Ответ D = 60 дптр 2.58. Какое   увеличение   дает   лупа,   состоящая     из   двух   линз с   фокусными     расстояниями  F1  =  5   см   и  F2  =   7   см?     Линзы   сложены вплотную.  Ответ  8,5.   2.59.  Зрительная       труба     с     фокусным       расстоянием       объектива F1  =   50   см   установлена   на   бесконечность.   На   какое   расстояние   надо переместить   окуляр   трубы,   чтобы   ясно   видеть   предметы,   удаленные на 50 м?  Ответ     0,5 см.       2.60.   Зритель   с   нормальным   зрением   смотрит   на   сцену,   находящуюся   на расстоянии  L  =  15  м,  через  бинокль.  Фокусные расстояния   линз   бинокля соответственно   равны Какое расстояние должно быть между линзами, чтобы зритель наиболее ясно видел сцену?  Ответ 15,3см. =   20   см, =   5   см.   F2   F1  2.61.   Тонкая   плоско­вогнутая   линза   опущена   в   воду   вогнутой R  =   15   см.   Радиус   вогнутой   поверхности поверхностью вниз, так что пространство под ней заполнено воздухом (рис. 2.35).   Определи те фокусное расстояние этой системы.  Ответ F=­39,9см 2.62Тонкая    двояковыпуклая   линза положена   на   плоское зеркало.  Где нуж­     но   поместить   точечный   источник света,              изображение чтобы темой, было самим источником?    действительным даваемое   совпадало сис с этой его, и                 Ответ В фокусе линзы.     зеркала,   радиус 2.63. Оптическая   система  состоит из вогнутого   торого R = 20 см, и собирающей линзы с оптической силой D = 5 дптр.   ТочечныйРис. 2.35 источник расположен на оптической оси системы на расстоянии  40 см от линзы, зеркало  находится на расстоянии 30 см по другую сторону линзы. Определите положение изображения источника и выполните соответствующие графические  построения.    кривизны     ко­   Ответ Изображение получится на расстоянии 25 см от линзы.