Мастер-класс по решению задания № 7 из ЕГЭ. Профильный уровень

ЕГЭ. Профильный уровень.

Задание № 7.
(Задачи прикладного содержания)


Учитель математики МАОУ СОШ №17
г. Краснодар
СМЫЧКОВА ЛЮБОВЬ АНАТОЛЬЕВНА

Мы рассмотрим случаи, когда задача будет сведена к решению:

рационального уравнения;
иррационального уравнения;
тригонометрического уравнения;
логарифмического уравнения;
показательного уравнения.

Задача №1.1

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v0 =20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 5 м/с2 . За t секунд после начала торможения он прошёл путь  . Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Поставляем данные в формулу и находим время:





Получили два значения. Так как необходимо определить время, прошедшее от момента начала торможения и до того момента, когда автомобиль остановиться проехав 30 метров, то понятно, что верным будет ответ через 2 секунды. С точки зрения здравого смысла понятно, что автомобиль остановившись через 2 секунды, ещё раз остановиться через 6 секунд не может. Значение 6 секунд для данной задачи не имеет физического смысла.
Ответ: 2

Задача №1.2

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана может изменяться в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено следующее соотношение .
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Расстояние от линзы до лампочки - это по условию d1. Выразим d1 через остальные переменные:
По условию величина d1 должна принимать наименьшее значение, следовательно, обратная ей величина 1/d1 должна принимать наибольшее значение.
Посмотрим, при каких условиях правая часть равенства    принимает наибольшее значение.
1/f -  фиксированная величина, 1/f  = 1/30.
1/30 – 1/d2- принимает наибольшее значение, когда 1/d2  принимает наименьшее значение, и, значит, обратная величина d2 должна принимать наибольшее значение, то есть d2=180.
Перенесём все числа направо и с помощью пропорции найдем переменную d1.
Получаем:
d1=180/5=36
Ответ: 36.

Задача №1.3

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в Кельвинах) от времени работы:
,
где t — время в минутах, Т0 = 1400 К, а = -10 К/мин2,
b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Подставляем коэффициенты в формулу и величину 1760 К (эту температуру мы должны отследить) тоже подставляем в формулу.
1760=1400+200t - 10t2
Решаем квадратное уравнение.
10t2-200t+360=0 / :10
t2-20t+36=0
t1=18, t2=2.
Строим параболу. Выше, чем 1760 К прибор сломается. Значит ответ 2.
Ответ: 2

Задача №2.1

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением а км/ч2. Скорость (в км/ч) вычисляется по формуле
v= , где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.

Подставим в уравнение v= все имеющиеся числа, получим
100=√2∙1а
Возводим обе части уравнения в квадрат и получаем уравнение без квадратного корня
10000=2а /: 2
а=5000.
Ответ: 5000.

Задача № 3.1

Небольшой мячик бросают под острым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой H= (v02/4g)(1−cos2α), где v0 = 20 м/с ‐ начальная скорость мячика, а g ‐ ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с2). При каком наименьшем значении угла α (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Высота Н=4+1=5. (Высота стены + запас)
Получаем 5=(202/4*10)(1-cos 2α)
5=(400/40)(1-cos 2α)
1-cos 2α=0,5.
cos 2α=0,5
Для cos α=0,5 arccos= 600.
2α=600
α=300 Это наименьший острый угол, под которым запущенный мячик перелетит через стену.
 Ответ: 300

Задача № 4.1

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени ϑ=3 моль воздуха объёмом V1=8 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением 
α=5,75Дж/(моль∙К) – постоянная, а Т = 300 К – температура воздуха. Найдите, какой объём V2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?

В данной задаче мы найдём V2, подставив все известные значения в формулу:








Воздух станет занимать 2 литра.
Ответ: 2

Задача № 5.1

В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону:
mo— начальная масса изотопа,
t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T — период полураспада в минутах.
В начальный момент времени mo = 40 мг изотопа, период полураспада которого T=10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг?

Уравнение m (t)=m0∙2–t/T описывает закон изменения массы изотопа в зависимости от времени. Необходимо найти время, в течение которого масса изотопа будет равна 5 мг. Задача сводится к решению уравнения:
5=40∙ 2^(-t/10) / : 40
1/8= 2^(-t/10)
2-3= 2^(-t/10)
3=t/10
t=30
В течение 30 минут масса изотопа будет равна 5 мг.
Ответ: 30