МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИ РЕШЕНИИ
ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Топчий А. А.
учитель физики,
МАОУ «Лицей №29», г. Тамбов
Данная работа посвящена рассмотрению математических приёмов при решении физических задач. Изучая математику, мы не всегда задаёмся вопросом: в каких конкретных случаях нам предстоит применять полученные знания? А решая задачи по физике, считаем, что кроме физических законов нам ничего не потребуется. Но физика тесно связана с математикой: при решении задач применяются преобразования формул; геометрические построения; устанавливаются функциональные зависимости, связывающие физические величины. Для физика-исследователя математическая и физическая части решения задачи не являются отдельными и независимыми, физик должен в совершенстве владеть математическим аппаратом.
Цель работы – выявление класса задач по физике, тесно связанных с математикой. В школьной программе данные задачи рассматриваются на уроках физики с 8 по 10 класс, но они могли бы решаться и на уроках математики, демонстрируя межпредметные связи и помогая усвоить одновременно материал по двум предметам.
Работа должна быть интересна учащимся, готовящимся к углубленному изучению физики, а также учителям – для внеурочной работы по предмету.
§1. Векторные величины. Действия над векторами
Мы знаем, что в физике много векторных величин. Выбрав систему отсчёта, мы сможем выполнять действия над векторами: складывать, вычитать, находить проекции на оси. При выполнении этих действий нам поможет знание правил работы с геометрическим вектором, а также теоремы геометрии.
Задача 1
С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолёт, чтобы за время, равное 1 часу, пролететь точно на север путь 180 км, если во время полёта дует северо-западный ветер под углом 30 градусов к меридиану и со скоростью 8м/с?
Дано:
t = 1ч = 3600с
S = 180км = 1,8 ∙
α = 30°
=8 м/с
Найти:
-?
∠ OMN - ?
Решение:
Самолёт участвует в двух
движениях: со скоростью V
относительно воздуха и со скоростью вместе с воздухом
относительно земли. По условию задачи, скорость
направлена на юго-восток
под углом 30° к меридиану.
Скорость самолета
относительно Земли =
50м/с.
Вектор скорости направлен на север (по условию).
По правилу
сложения векторов: .
Из чертежа видно, что самолет должен держать курс на северо-запад под углом OMN к меридиану.
Применим теорему косинусов для треугольника OMN:
=
+
=
+
∙
м/с
Теперь вычислим угол OMN (курс самолёта) по теореме синусов:
Ответ:
м/с,
.
Задача 2
Самолёт
летит горизонтально со скоростью 360 км/ч на высоте 490 м. Когда он пролетает
над точкой А, с него сбрасывают груз. На каком расстоянии от точки А груз
упадёт на Землю? С какой скоростью и под каким углом к горизонту груз упадёт на
землю?
Дано: = 360км/ч
= 490м
Найти: АВ - ?
V - ?
α - ?
Решение:
Направим ось ОX – горизонтально, ОY – вертикально, начало координат поместим в точку А.
Уравнения движения груза:
OX:
x = t
OY:
y = ,где
= h
Т.е. движение груза состоит из равномерного движения в горизонтальном направлении и свободного падения в вертикальном направлении.
С точки зрения математики, мы решаем систему уравнений.
Для точки В уравнения примут вид:
Теперь найдём скорость
падения: (выполнили переход от
векторных величин к скалярным), при этом
.
Угол падения на землю определяется из соотношения в прямоугольном треугольнике:
≈45°.
Вывод: при решении задачи нам пригодилось знание законов движения и правила работы с векторными величинами, а также нахождение угла в прямоугольном треугольнике.
Ответ:
расстояние АВ = м/с, α
= 45°.
Рассмотрим ещё одну задачу, в которой также требуется разложение вектора и расчёт углов.
Задача 3
Бомбардировщик пикирует
на цель под углом 60 градусов к горизонту со скоростью =540 км/ч и сбрасывает
бомбу на высоте h = 600 м.
На каком расстоянии S от цели в горизонтальном направлении надо сбросить бомбу, чтобы она попала в цель? Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано:
= 540 км/ч
h = 600м
α = 60°
Найти: S – ?
Решение:
Выберем систему координат, как показано на рисунке.
Начальные условия:
= 0,
= 0,
=
,
=
.
Как и в предыдущей задаче, зависимость координат бомбы от времени можно выразить системой уравнений:
Бомба попадет в
цель в некоторый момент времени , при этом y
= h, x
= S.
Получим: h
=t
+
,
с точки зрения математики, нами получено квадратное уравнение относительно переменной t.
g + 2
- 2h
= 0
Решая его, получим:
(нам подходит только
данный корень, т.к.
)
Подставив полученное
значение в первое уравнение
системы, получим:
x
= S = ≈ 490 м
Ответ: S ≈ 490 м.
При решении физической задачи нам могут потребоваться формулы площадей и объёмов геометрических фигур.
Задача 4
Определить
скорость и ускорение точки, находящейся на поверхности Земли на широте 54
градуса, принимая во внимание только вращение Земли вокруг оси. Радиус Земли – 6400
км.
Дано:
R
= 6400 км = 6.4 м
φ = 54°
T = 24 ч = 86400 с
Найти: V – ? а – ?
Решение:
Пусть данная точка М находится на окружности радуиса r, тогда
V
= , r
– радиус окружности сечения земной сферы плоскостью, проходящей через точку М с
широтой 54° перпендикулярно вращению оси Земли;
- траектория движения; Т
– время одного полного оборота Земли.
По рисунку: r = R cos φ.
Тогда V
==
м/с.
Ускорение точки М: а ==
м/с2.
При решении задачи мы использовали геометрический материал: сечением сферы является окружность. Т.к. к любому такому сечению существует перпендикулярный ему радиус сферы, то есть формула, выражающая радиус сечения через радиус сферы.
Ответ:
.
§2. Математический анализ в физике
При решении задач по физике мы также сталкиваемся с исследованием функции.
Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции из математического анализа являются прикладными. Чаще всего мы их встречаем с геометрическим или экономическим содержанием, но есть также задачи с физическим смыслом, которые легко решаются средствами высшей математики.
Задачи, которые будут представлены, можно решить и без применения понятия производной и определённого интеграла. Но в старших классах можно представить данные решения, как альтернативные и более удобные.
Задача 5
Санки
с грузом общей массой m
нужно сдвинуть с места. Какую наименьшую силу необходимо приложить?
Дано:
m – масса санок
Найти:
Решение:
Отложим векторы всех сил, действующих на санки, от их центра масс, как показано на рисунке. Чтобы санки сдвинулись с места, силы должны уравновешивать друг друга, сила F – результирующая.
Выберем координатные оси, как показано на рисунке, и найдём проекции силы F на данные оси:
= F cos α,
= F sin α.
Fтр – сила трения, N – сила реакции опоры, mg – сила тяжести.
Получим уравнения относительно каждой из координатных осей:
OX: F cos α – Fтр = 0,
OY: F sin α + N – mg = 0.
По формуле Fтр = kN выразим N из второго уравнения: N = mg – F sin α.
Тогда Fтр = kN (mg – F sin α) и подставим в первое уравнение:
F cos α – kmg + k F sin α = 0.
Получим функцию для силы F, относительно угла, под которым она приложена:
F
.
Областью
определения функции служит отрезок .
Исследуем функцию на наименьшее значение с помощью производной
Воспользуемся формулой сложения гармонических колебаний:
.
На области определения производная может обратиться в ноль только
при .
Если изобразить график
функции , можно заметить, что
функция принимает отрицательные значения на промежутке (0;
т.е.
α
= является точкой минимума
функции, и т.к. она единственная на области определения, то наименьшее значение
будет достигаться в ней.
Вывод
, т.
е. силу F необходимо приложить под
углом
к положительному
направлению оси OX.
Ответ:
Задача 6
Зависимость
ускорения тела от времени показана на рисунке.
Начертите графики зависимости скорости, перемещения тела от времени, если начальная скорость тела х0 = - 3 м/с, и начальная координата тела х0 = 2 м.
Пользуясь графиками, найдите среднюю скорость перемещения Vср и среднюю путевую скорость V за время t = 6 с движения.
Решение:
Рассмотрим каждый из временных промежутков:
1)
2)
3)
Средняя скорость вычисляется по правилу: весь путь делится на всё затраченное на него время. Также заметим, что путь вычисляется как площадь фигуры, полученной под графиком скорости. Т. к. путь – это скорость, умноженная на время, получается, что каждая ординта равна перемещению в данный момент времени, а сумма таких ординат на каждом отрезке и образует площадь фигуры (т.е. при подсчёте применяется понятие определённого интеграла на указанном отрезке).
Теперь построим графики зависимостей скорости и перемещения от времени: законы для скорости – линейные зависимости, для перемещения – квадратичные функции.
)
Ответ: 3, 2м/с; 2,7 м/с.
Заключение
В работе на примере небольшого набора задач показано, насколько широко применяется математика в физике; как можно проанализировать физическую задачу и решить её математическим путём. В работе намерено берутся задачи среднего уровня сложности, при решении которых не требуется знаний углубленного курса изучения математики, но необходимо понимание физических процессов с точки зрения математики и её законов. Тем самым, наглядно демонстрируются элементарные приёмы решения.
Рассмотрение таких вопросов позволяет в комплексе подходить к изучению наук естественно-математического цикла, углублять знания, не выучивать алгоритмы решения, а понимать суть процессов.
Цели, поставленные в начале исследования, были достигнуты: обозначен круг задач по физике, которые решаются с помощью элементарных знаний по математике; также показано применение средств математического анализа для решения более сложных задач.
При работе над данной темой были использованы сборники задач и методические пособия по физике, учебник по алгебре и математическому анализу для углубленного изучения, статьи и методические рекомендации.
Вопросы, которые возникают при решении физических задач, остаются открытыми: насколько математика проникает в физику, а физика в математику? В каких учебниках и на уроках по какому предмету они должны решаться? В работе показана лишь небольшая часть того, что зачастую остаётся вне школьных уроков.
Эта работа позволяет внимательнее подойти к изучению практико-ориентированных задач более высокого уровня сложности, заинтересовать учащихся в дальнейшем исследовании и углублении знаний. Полученные результаты рекомендуется рассмотреть на занятиях математического кружка.
Список использованных источников
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.