Математический тренажёр по темам уравнения и неравенства содержащие знак модуля помогает обучающимся глубже понять данную тему, которая как правило вызывает затруднения на экзаменах при раскрытии знака модуля. В тренажёре представлены все виды уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Первый лист с ответами(для учительского контроля), а следующий для обучающихся.
ТЕМА «Модуль. Уравнения, содержащие
неизвестное под знаком модуля. Неравенства,
содержащие неизвестное под знаком модуля»
МОУ СОШ№13, г. Подольск, Московская область
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.Т
ема «Модуль» актуальна, так как, к сожалению, материала в
школьных учебниках по данной теме недостаточно, да и в
общеобразовательной программе очень мало учебных часов
отводится на рассмотрение темы «Модуль».
Но эта тема как, правило, интересует учащихся, которые хотят
научиться мыслить, думать и решать любые задания, в том числе
уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком
модуля.
Данный практикум направлен на расширение знаний учащихся,
повышение уровня математической подготовки.
Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
Ӏ |А| = b
А – многочлен; b число
если b > 0 то |А| = b <=> A = b,
A = b.
если b < 0 то х € Ø
1.1. |х + 1| = – 4 1.1. Ø
1.2. |х – 3| = 2 1.2. 1;5.
1.3. |х2 – 3х + 1| = 1 1.3. 0; 1; 2; 3.
1.4. |х2 – 2х – 4| = 4 1.4. – 2; 0; 2; 4.
1.5. |(5х + 2) / (х – 1) | = 5 1.5. 0; 3.
1.6. |(х2 + 6х + 3) / (х2 – 3)| = 1 1.6. – 3; – 1; 0.
1.7. |2х2 + 3х – 5| = – 5 1.7. Ø
1.8. |2х – 3| = 1 1.8. 1; 2.
1.9. |3х + 2| = 4 1.9. – 2;
1.10. |1001х + 14| = – 1 1.10. Ø
.⅔
1.11. |125х – 34| = – 2 1.11. Ø
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.1.12. |х2 – х| = 0 1.12. 0; 1.
1.13. |х2 + х| = 0 1.13. –1; 0.
1.14. ||х – 1| – 4| = 3 1.14. – 6; 0; 2; 8.
1.15. ||х + 3| – 4| = 1 1.15. –8; – 6; 0; 2.
1.16. |||х – 3| – 3| – 3| = 3 1.16. – 6; 0; 6; 12.
1.17. |1 – |4х + 1|| = 2 1.17. – 1; 0,5.
1.18. |||х + 1| – 2| – 3| = 4 1.18. – 10; 8.
1.19. |6 – |3 – |х||| = 5 1.19. ± 2; ± 4; ± 14.
1.20. |||2х + 1| – 4| – 1| = 2 1.20. – 4; – 1; 0; 3.
II А, В многочлены
|А| = B <=> B ≥ 0
A = B,
A = B.
2.1. |х – 3| = 2х – 3 2.1. 2.
2.2. |х – 2| = х + 4 2.2. – 1.
2.3. ||2х – 3| – 1| = х 2.3.
; 4.⅔
2.4. ||3х + 2| – 4| = х 2.4. ½; 1.
2.5. |6 – х2| = 6 – х 2.5. – 4; 0; 1; 3.
2.6. |х2 – 3х – 16| = – 3х 2.6. – 4; – 2.
2.7. х2 – 4х + |х – 3| + 3 = 0 2.7. 2; 3.
2.8. х|3х + 5| = 3х2 + 4х + 3 2.8. 3.
2.9. |х2 – 2х – 35| = 35 + 2х – х2 2.9. [ – 5; 7]
2.10. |х2 + х – 3| = x 2.10. 1; √ 3.
2.11. |х2 – х – 8| = – х 2.11. – 2; – 2√ 2.
2.12. |х2 + 5| = 6х 2.12. – 4; 3.
2.13. |х2 – 2x| = 3 – 2x 2.13. – √ 3; 1.
2.14. |х| = х2 + х – 2 2.14. – 1 – √ 3; √ 2.
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.2.15. 2|х2 + 2х – 5| = х – 1 2.15. (– 5 + √113) / 4; 3/2.
2.16. |х2 + 2х + 3| = 3x + 45 2.16. – 6; 7.
2.17. |3х – 5| = 5 – 3x 2.17. ( – ∞; 5/3]
2.18. |7 – 4x| = 7 – 4x 2.18. ( – ∞; 7/4]
2.19. |х – |4 – x|| = 2x + 4 2.19. 0.
2.20. |х + |4x + 1|| = 2 2.20. – 1; 0; 2.
2.21. ||2х – 3| + x| = 2 2.21. 1; 5/3.
2.22. |x + 1 + | – x – 6|| = x + 6 2.22. – 13/3; – 1.
2.23. ||x2 – 3x| – 5| = x + 1 2.23. 2; 1 + √ 5; 2 + √ 10
2.24. ||x3 + x2 – 1| – 4| = x3 – x2 + 3 2.24. 0; 1; 2.
III А, В – многочлены
|А| =|B| <=> A = B, или |А| =|B| <=> А2 = В2
A = B.
; 2. ⅔
3.1. |2х| = |х + 2| 3.1. –
.⅝
3.2. |5х + 6| = |3х – 1| 3.2. – 3,5; –
3.3. |6х – 2| = |х + 3| 3.3. – 1/7; 1.
3.4. |4x| = |3х + 1| 3.4. – 1/7; 1.
3.5. |x + 3| = |2x2 + x – 5| 3.5. ± 2; (1 ± √ 5) / 2.
3.6. |3x2 – 6x – 1| = 2|3 – x| 3.6. – 1; 1; 5/3; 7/3.
3.7. | x2 + 2x| = |x + 6| 3.7. – 3; 2.
3.8. | x2 – 2x + 8| = |х – 10| 3.8. – 1; 2.
3.9. | x2 – 3x – 1| = |2х – x2 + 2| 3.9. – 0,5; 1; 3.
3.10. |3x2 – 3x + 5| = |2x2 + 6x – 3| 3.10. 1; 8.
IV |А| + |B| = 0 <=> A = 0,
B = 0.
4.1. |x2 + 7x + 12| + |6 – x2 – x| = 0 4.1. – 3.
4.2. |x2 – 9x + 20| + |2x2 + 7x – 4| = 0 4.2. 4.
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.4.3. |x2 + 5x – 14| = – |x2 – 6x + 8| 4.3. 2.
4.4. |x2 – x – 6| = – |x2 – 7x + 12| 4.4. 3.
4.5. |x2 – 6x + 5| = – |x2 + 2x – 3| 4.5. 1.
4.6. |x2 – 8x + 7| = – |x2 + x – 2| 4.6. 1.
4.7. |x2 – 2x – 3| + |x2 + 3x + 2| = 0 4.7. – 1.
4.8. |x2 – 4x – 5| + |x2 + 4x + 3| = 0 4.8. – 1.
4.9. |x2 + 3x – 10| + |x2 + x – 20| = 0 4.9. – 5.
4.10. |x2 + 2x – 8| + |x2 + x – 12| = 0 4.10. – 4.
4.11. |x2 – 9x + 8| + |x2 – 7x + 6| = 0 4.11. 1.
4.12. |x2 + 2x – 3| + |x2 + 3x – 4| = 0 4.12. 1.
V Если уравнение содержит несколько различных
модулей, то решаем методом интервалов.
5.1. |х| + |х + 1| = 3 5.1. – 2; 1.
5.2. |х – 1| + |х + 3| = 3 5.2. 0,5; 3,5.
5.3. |2х – 3| + |х – 2| = 5 5.3. 0; 3 . ⅓
5.4. |9 – х| + |х – 4| = 2x 5.4. 3,25.
5.5. |х + 4| + |х – 2| = 6 – x 5.5. – 8; 0.
5.6. |2 – х| + |х + 1| = |2x + 3| 5.6. 0.
5.7. |2х + 1| + |х + 3| = |x + 5| 5.7. – 1,5; 0,5.
5.8. |х| + |х2 – 4x + 3| = 3 5.8. 0; 2; 3.
5.9. |х2 – 3x| + |х + 2| = 2 5.9. 0.
5.10. |х2 – 4x + 3| + |х2 – 5x + 6| = 7 5.10. (9 ± √ 65) / 4.
5.11. |х2 – 1| + |9 – х2| = – 8x 5.11. –5; – 1.
5.12. (|х + 3| – x) / |х – 1| = 3 5.12. 0; 2.
. ⅓
5.13. (1 – 2x) / (3 – |х – 1|) = 1 5.13. –
5.14. |х – 1| + |8 – x| + 2|х – 3| = 4 5.14. Ø
5.15. |3х – 5| – 2х = |х + 2| 5.15. – 2.
.⅓
5.16. |2х + 3| – |3х – 4| + x = 1 5.16.
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.5.17. |х + 1| + |5 – x| = 20 5.17. – 8; 12.
5.18. |х – 1| + |5 – x| = 18 5.18. – 6; 12.
5.19. |8 + х| + |7 – x| = 10 5.19. Ø
5.20. |3х – 4| + |2х – 6| = |х2 – 2x| + 4 5.20. (– 3 – √ 33) / 2; 1; 2.
5.21. |9 – х| + |1 + x| = 8 5.21. Ø
5.22. |х – 1| + |х + 2| = 3 5.22. [ – 2; 1]
5.23. |х – 3| + |х + 1| = 4 5.23. [ – 1; 3]
5.24. |1 + 3х| – |х – 1| = 2 – x 5.24. – 4; 0; 4.
VI Замена переменной
6.1. х2 – 7|х| + 12 = 0 6.1. ± 3; ± 4.
6.2. (х2 – |х| + 3) / (2 – |х|) = 3 6.2. – 1; 1.
6.3. 8 / (|х + 1| – 2) = |х + 1| 6.3. – 5; 3.
6.4. (|х – 2| – 2) / (5 – |х – 2|) = 2 6.4. – 2; 6.
6.5. |3 – |х + 1|| = |х + 1| – 1 6.5. – 3; 1.
VII «Завуалированные» модули
7.1. √ 9х2 – 12x + 4 – √ 4х2 – 20x + 25 – x = 2 7.1. – 5/2; 9/4.
7.2. √ х2 + 2x + 1 + x = 5 – √ х2 7.2. – 6; 4/3.
7.3. √ 4х2 – 12x + 9 – √ 9х2 + 24x + 16 = x + 7 7.3. ( – ∞; –
7.4. √ 81 + х2 – 18x + √ х2 + 16 – 8x = 2x 7.4. 3¼.
] ⅔
VIII
8.1. |2x + 3| + |5 – 2x| = 8 8.1. [ – 1,5; 2,5]
8.2. |x + 2| + |x – 1| = 3 8.2. [ – 2; 1]
8.3. |x + 3| – |2x – 1| = |x – 4| 8.3. [0,5; 4]
8.4. (1 + x) |x + 2| + x |х – 3| = 6x + 2 8.4. [– 2; 3]
8.5. |x – 1| – 2|x – 2| + 3|x – 3| = 4 8.5. [1; 2] U {5}
8.6. |x2 – 5x + 4| – 9x2 – 5x + 4 + 10x|х| = 0 8.6. {– 1} U [1; 4]
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.Неравенства, содержащие неизвестное под знаком
модуля.
А, В – многочлены; b – положительное число
b – отрицательное число.
Ӏ |А| ≤ b
х € Ø
1.1.
1.2.
1.3.
|х – 6| ≤ – 2 1.1. Ø
|3х2 + 4х – 7| ≤ – 1 1.2. Ø
|(х2 – 9) / (x + 7) – 8| < – 4 1.3. Ø
II |А| ≥ b
х € R
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
|х + 5| ≥ – 4 2.1. R
|3х2 + 7х – 9| ≥ – 1 2.2. R
|3 – x| ≥ – 2 2.3. R
|5х2 + 4х – 7| ≥ – 3 2.4. R
III |А| ≤ b <=> A ≥ b
A ≤ b
b b
3.1.
|х – 2| ≤ 2 3.1. [ 0; 4]
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
|х + 3| ≤ 4 3.2. [ – 7; 0]
|х2 – х – 1| < 1 3.3. ( – 1; 0) U ( 1; 2)
|х2 – 5х + 3| ≤ 3 3.4. [ 0; 2] U [ 3; 5]
|(2х – 3) / (х + 4)| ≤ 1 3.5. [–
; 7] ⅓
|(х2 – 5х + 4) / (х2 – 4)| ≤ 1 3.6. [ 0; 1,6] U [2,5; + ∞)
||х + 2| – 4| ≤ 3 3.7. [ – 9; – 3] U [ – 1; 5]
||х2 – х – 6| – 2| ≤ 4 3.8. [ – 3; 0] U [ 1; 4]
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.3.9.
|||х + 1| – 2| – 1| ≤ 1 3.9. [ – 5; 3]
||||х – 1| – 20| – 3| – 5| ≤ 9 3.10. [ – 36; – 2] U [ 4; 38]
3.10.
IV |А| ≥ b <=> A ≤ b
A ≥ b
b b
4.1. |x + 3| ≥ 5 4.1. ( – ∞; – 8] U [2; + ∞)
4.2. |x2 + 12x + 10| > 10 4.2. (– ∞; – 12) U (– 10; – 2) U (0; + ∞)
4.3. |x2 – 6x + 4| ≥ 4 4.3. ( – ∞; 0] U [ 2; 4] U [ 6; + ∞)
4.4. |(x – 3) / (x – 4)| ≥ 2 4.4. [ 11/3; 4) U ( 4; 5]
4.5. |4 – |x + 5|| ≤ 1 4.5. [ – 10; – 8] U [ – 2; 0]
4.6. |3x – 5/2| ≥ 2 4.6. ( – ∞; 1/6] U [ 3/2; + ∞)
V |A| ≤ B <=> A ≥ B
A ≤ B
B B
5.1. 2|x + 1| ≤ x + 4 5.1. ( – ∞; – 2] U [ 2; + ∞)
5.2. |x – 2| ≤ 12 – 3x 5.2. ( – ∞; 3,5]
5.3. |x2 – 5x| < 6 5.3. ( – 1; 2) U ( 3; 6)
5.4. |x2 – 2x| ≤ x 5.4. [ 1; 3]
; 2⅔ ]
5.5. ||2 – x| – 2x| ≤ 4 5.5. [ –
5.6. |2x + 1 – |4x + 1|| ≤ x + 2 5.6. [ – 4/7; 2]
5.7. ||2x2 – x| – 3| ≤ 2x2 + x + 5 5.7. [ – 4; + ∞)
VI |А| ≥ B <=> A ≤ B
A ≥ B
B B
6.1. |x – 4| > 4x 6.1. ( – ∞; 0,8)
6.2. 2|x + 1| > x + 4 6.2. ( – ∞; – 2) U ( 2; + ∞)
6.3. |x – 4| > 2x – 1 6.3. ( – ∞; 5/3]
6.4. 3|x – 1| + x2
≥ 7 6.4. ( – ∞; – 1] U [ 2; + ∞)
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.6.5. ||3x + 1| +x + 1| ≥ 2 6.5. ( – ∞; – 1] U [ 0; + ∞)
6.6. x2 – 5x + 9 ≤ |x – 6| 6.6. [1; 3]
6.7. ||3x + 1| + 2x – 5| ≥ 6x – 5 6.7. ( – ∞; 1]
6.8. |x3 – 1| ≥ 1 – x 6.8. ( – ∞; – 1] U [ 0; + ∞)
VII |A| >=< B <=> A2 >=< B2
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
|x + 2| ≤ |3x – 1| 7.1. (– ∞; – ¼] U [1,5; + ∞)
|x + 5| > |3x + 4| 7.2. (– 2,25; 0,5)
|1 / (x – 3)| < 3 / |x + 1| 7.3. (– ∞; – 1) U (– 1; 2) U (5; + ∞)
1 / |x + 2| ≤ 2 / |x – 1| 7.4. (– ∞; – 5] U [– 1; 1) U (1; + ∞)
|x – 2| ≤ |x + 4| 7.5. x ≥ – 1
|x – 6| > |x2 – 5x + 9| 7.6. ( 1; 3)
|x2 – 5x| ≤ |5x – 9| 7.7. [ – 3; 1] U [ 3; 9]
|x2 – 3x + 5| ≤ |5 – 4x| 7.8. [ – 1; 0] U [ 2; 5]
|x2 – 2x – 2| > |x + 2| 7.9. (– ∞; – 1) U (0; 1) U (4; + ∞)
VIII Замена переменной
8.1. x2 – |x| ≤ 6 8.1. [ – 3; 3]
8.2. 1 / (|x| – 1) ≥ 1 8.2. [– 2; – 1) U ( 1; 2]
8.3. 6 / (|x – 1| + 1) > |x – 1| 8.3. ( – 1; 3)
8.4. (|x + 1| + 2) / (|x + 1| – 3) ≥ 2 8.4. [– 9; – 4) U ( 2; 7]
8.5. |x + 2| ≤ (|x + 2| – 15) / (3 – |x + 2|) 8.5. [ – 7; –5) U (1; 3]
IX Метод интервалов
9.1. |x – 2| + |x + 1| ≤ 4 9.1. [ – 1,5; 2,5]
9.2. |x| + |x – 3| > 10 9.2. (– ∞; – 3,5) U (6,5; + ∞)
9.3. |x| + |2x – 5| ≤ 4 9.3. [1; 3]
9.4. |x – 1| + |2 – x| > 3 + x 9.4. (– ∞; 0) U (6; + ∞)
9.5. |2x + 5| + |3x – 7| ≤ |4x + 1| 9.5. [2.2; 3]
9.6. |x + 1| + |x + 2| + |x – 4| ≤ 9 9.6. [ – 8/3; 2]
9.7. |x2 – 6x| + |2x – 6| ≤ 26 9.7. [ – 2; 8]
9.8. |x2 + 2x| + |2x – 6| ≤ 6 9.8. {0}
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.9.9. |x2 + x – 2| + |x + 4| ≤ x2 + 2x + 6 9.9 [– 6; – 1] U [0; + ∞)
Учитель математики высшей квалификационной категории
Шачнева Людмила Анатольевна.
САЙТ Ур. и нерав. с модулем2013.doc
