Математика _ 5 класс_ Делимость натуральных чисел сильных уч.docx

Приложение №

Задания на применение свойств делимости суммы и произведения для сильных учащихся.

1.Докажите, что сумма 333⁵⁵⁵+ 555³³³ делится на 37.

2.Выясним, принадлежит ли графику уравнения 15х + 25 y= 114 хотя бы одна точка, координатами которой являются целые числа.

3.Выясним, может ли целое число а, не равное нулю и не являющееся делителем 240, быть корнем уравнения 17х³ –10х² -6х + 240 =0.

4.Докажем, что если n - простое число, большее чем 3, то разность n² - 1 делится на 24.

Приложение №

Решение задач с применением свойств делимости суммы и произведения.

Пример 1

Докажите, что сумма 333⁵⁵⁵+ 555³³³ делится на 37.

Решение:

333⁵⁵⁵ + 555³³³= (3*111)⁵⁵⁵ +(5*111)³³³ = 111*(3⁵⁵⁵*111⁵⁵⁴ + 5³³³*111³³²). Так как 111 делится на 37, то данное выражение делится на 37.

Пример 2

Выясним, принадлежит ли графику уравнения 15х + 25 y= 114 хотя бы одна точка, координатами которой являются целые числа.

Решение:

Допустим, что график проходит через точку М (а; в), где а и в целые числа. Тогда верным является равенство 15а + 25в =114. В левой части этого равенства записана сумма, которая делится на 5, так как каждое слагаемое 15а и 25в делятся на 5. ТО число 114 на 5 не делится. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и на графике уравнения 15х + 25y = 114 нет ни одной точки с целочисленными координатами.

Пример 3

Выясним, может ли целое число а, не равное нулю и не являющееся делителем 240, быть корнем уравнения 17х³ –10х² -6х + 240 =0.

Решение: Допустим, что а – целый корень уравнения. Тогда верно равенство

17а³ – 10а² – 6а + 240 =0.

Левая часть представляет собой сумму, в которой каждое слагаемое, кроме одного, делится на а, и поэтому эта сумма не делится на а. Правая часть этого равенства делится на а, так как 0 делится на любое число, отличное от нуля. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и число а не может быть корнем данного уравнения.

Пример 4

Докажем, что если n - простое число, большее чем 3, то разность n² - 1 делится на 24.

Решение:

Имеем n² - 1 =(n-1)(n+1) . Из трех последовательных чисел n-1, n , n+1 хотя бы одно делится на 3. Однако число n на 3 не делится, значит, на 3 делится одно из чисел n-1 и n+1и, следовательно, их произведение (n-1)(n+1). Из условия ясно, что число n нечетное. Значит, n-1 и n+1 – два последовательных четных числа. Одно из таких чисел делится на 2, а другое - на 4, и поэтому их произведение делится на 8.

Итак, разность n² -1, где n – простое число и n>3, делится на 3 и на 8. А так как 3 и 8 взаимно простые, то эта разность делится на 24.