Математика _ 5 класс_ Делимость натуральных чисел_ Теория.docx

Приложение №2

Теоретический материал

Рассмотрим произведение чисел 24⋅73=1752.

Один из множителей в этом произведении делится на 3, т.е. 24:3.

Можно убедиться, что и всё произведение делится на 3, т.е. 1752:3=584.

В произведении 25⋅58=1450 множитель 25 делится на 5.

Также можно сделать вывод, что всё произведение делится на 5, т.е. 1450:5=290.

Итак, признак делимости произведения: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Значит, если a делится на некоторое число с, то и ab также делится на это число с.

Пример:

Рассмотрим сумму чисел 12 и 21, т.е. (12+21).

В этой сумме каждое из слагаемых делится на 3. Проверяя делимость суммы на 3, получим, что сумма 33 тоже делится на 3.

Итак, свойства делимости суммы и разности чисел:

Свойство 1.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число, т.е.,если a делится на b, и c делится на b, то (a+c) делится на b.

Свойство 2.

Если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое слагаемое не делится на это число, то и вся сумма не делится на это число, т.е.,если a делится на b, а c не делится на b, то (a+c) не делится на b.

Пример:

12 делится на 3, а 22 не делится на 3, то (12+22) не делится на 3. 

Свойство 3.

Если одно слагаемое делится на некоторое число и сумма делится на это же число, то другое слагаемое тоже делится на это число, т.е.,если a делится на b, и (a+c) делится на b, то c делится на b.

Пример:

12 делится на 3 и (12+21) делится на 3, то 21 делится на 3.

Свойство 4.

Если одно число делится на некоторое другое число, которое делится на третье число, то первое число делится на третье число, т.е., если a делится на c, и c делится на b, то a делится на b.

Пример:

48 делится на 12, и 12 делится на 3, то 48 делится на 3.

Свойство 5.

Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число.

Пример:

Разность (35−20) делится на 5, т.к. 35 делится на 5, и 20 делится на 5.

При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел. Например:

Одно из п последовательных целых чисел делится на п;

Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;

Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;

Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.