Математика

 

 

ТЕМА  УРОКА:

 

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ». Слайд 1

 

Тип урока: урок изучения нового материала (урок-исследование)

 

Вид урока: проблемно-поисковый.

 

Цели урока: Слайд 2

Образовательные:

-вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел.

-сформировать умение учащихся практически применять эти формулы для упрощения выражений.

Развивающие :

-развивать логическое  мышление, внимание, память, сообразительность, культуру математической  речи и культуру общения;

Воспитывающие:

-воспитывать ответственное отношение к деятельности, высокой познавательной активности и самостоятельности;

-воспитывать  интерес к математике как учебному предмету через современные  технологии преподавания;

- воспитывать  чувство ответственности, культуры диалога.

Формы организации познавательной деятельности:

фронтальная, индивидуальная, групповая, коллективная.

 

Методы и приёмы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемно-поисковый, исследовательский, словесный, наглядный (демонстрация компьютерной презентации), практический.

 

Оборудование :

-компьютер, мультимедийный проектор, экран, портрет Евклида, набор геометрических фигур, раздаточный материал.

 

Средства обучения:

 

Программное обеспечение:

Microsoft Office Word 2007                  Microsoft Office Word 2010

Microsoft Office Power Point 2007        Microsoft Office Power Point 2010

План урока Слайд 3

• Организационный момент.
• Актуализация опорных знаний  (устная работа).
• Изучение нового материала (исследовательская работа)
• Первичное закрепление материала.
• Геометрический смысл формул квадрата суммы двух выражений.
• Физминутка.
• Закрепление изученного материала.
• Проверка усвоения изученного материала (первичный контроль знаний).
• Домашнее задание.
• Подведение итога урока.

 

Ход  урока.

I.       Организационный момент. Вступительное слово учителя.

Эпиграф урока: 

Знание только тогда знание,

 когда оно приобретено усилиями

своей мысли, а не памятью.

Слайд 4  (Л.Н.Толстой)

 

 «Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько. Сегодня  вам предстоит сыграть роль исследователей и «открыть» две из этих формул».

   Итак, тема нашего урока квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Чтобы  открыть формулы  нам необходимо, вспомнить, что мы знаем и умеем.

 

II. Актуализация опорных знаний  (устные  упражнения)        

 

1.Прочитайте  выражения.     Слайд 5         

а)  а + b ;                   г)  x – у ;                   б)  n² + m²  ;              д)  (z –a)²;

            в) (c + d)² ;               е)  b² – c²;                  ж) 2ху.      

-  что значит:  (c + d)² ; (z –a)²     (значит, выражение  умножается на себя два раза)

2.  Найдите  квадраты  выражений:   a; - 2 ;  5b ; 4х²,  6х² у³. Слайд 6         

(вспомнить правило возведения в степень произведения).

 

3.  Представьте в виде квадрата:  64;  100;  36а²;   25x⁴ ;  49 b²c²;  х⁶с⁸. Слайд 7        

 

4.  Найдите  удвоенное  произведение  выражений: Слайд 8        

     а)  а  и  b;        б)  3b  и  -5с;        в)  0,4х  и 2х²;            г)   и  6 .

(вспомнить правило умножения степеней с одинаковыми степенями).

 

5. Перемножьте  данные  многочлены: Слайд 9        

а) (x +2) ·(y - 1)                         б) ( 3 – c) · (4 + b)

 (вспомнить правило умножения многочлен на многочлен)

 

6.Вычислить значения выражений 25²+250+5²;   13²- 78+3². Слайд 10       

 2 ученика  считают у доски. Учитель предлагает вычислить, используя калькулятор.

- Возможно ли сосчитать устно? (В конце урока ответим на этот вопрос)

 

III. Изучение нового материала (Исследовательская работа).

 

1. Упростите выражения   I столбца,  запишите ответы в III столбце, проанализируйте результат. Слайд 11       

 1 вариант  -1), 2), 3)                                                               2 вариант - 4), 5), 6)

Ученики раскрывают скобки по  правилу умножения   многочлена на многочлен (столбец I), полученные ответы  записывают в Ш столбце таблицы. II часть таблицы закрыта.

№	I	II	III
1)  2)  3)  4) 5) 6) 7) 8)	(y + b) (y +b)  (с + d ) (c +d)  (х + 2)(х+2)  (x – y) (x – y) (m - n) (m- n) (a – 2) (a – 2) (6х +y) (6x+y) (5 – 4b) (5 – 4b)	(y +b)2  (c + d)2 (х+2)2   (x – y)2 (m-n)2  (a – 2)2	y 2 + 2yb + b2 c2 + 2cd + d2 х2 + 4х + 4 x2 – 2xy + y2 m2 – 2mn + n2 a2 – 4a + 4

 

-Ребята, посмотрите внимательно на I и  III столбики. Слайд 12      

-Есть  ли  в них  нечто  общее? Можно ли  выражения   I  cтолбца  записать  короче? (Ответы учащихся)  (Открыть  II  столбец). Слайд 12      

-Что получается  в результате умножения суммы и разности двух выражений?

-Результатом умножения является трехчлен, у которого:

1-й  член – квадрат  первого  выражения;

2-й  член – удвоенное  произведение  первого  и  второго  выражений;

3-й  член – квадрат  второго  выражения.       

- Мы с вами нашли наиболее простой способ умножения  суммы  и разности двух выражений на себя, т.е. вывели формулы возведения в квадрат суммы  и разности двух выражений.

-Записать ответы  заданий 7) и 8) столбца  I  в столбцах II и  III найденным способом. Слайд 13  

-Скажите, как проще и быстрее вам было работать: перемножая многочлен на многочлен или применяя формулы?

-Попробуйте записать формулы, которыми будем пользоваться для возведения в квадрат суммы и разности двух выражений. Слайд 14       

             (а+b)² =а²+2аb+b²                                        (a-b)²=a²-2ab+b²

- Чем они отличаются? (знаком перед удвоенным произведением).

-Сформулируйте эти формулы словесно. Слайд 15       

-Эти формулы называются формулами сокращенного умножения, они применяются для упрощения выражений, для рационального решения некоторых числовых  выражений.

Примеры применения формул. Слайд 16       

 

2. Чтение правил по учебнику, парный пересказ правил .

 

3. Первичное закрепление .

Заполнить таблицу. Слайд 17     

Выражение	Квадрат 1 выражения	Удвоенное произведение	Квадрат 2 выражения	Итог
(а + 4)2
(8 - х)2
(2y + 1)2
(0,5b - 2)2

 

4.  . Вставьте пропущенные одночлены: Слайд 18    

 ( *  – 1)² = 9х² -  * х + 1;                          (5а +  * )² =  * а² + 40а + 16                        

 

5. Геометрическое истолкование формулы  (а+b)². Слайд 19     

  -Некоторые правила сокращённого умножения были известны ещё около 4 тыс. лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Тогда они формулировались словесно или геометрически.

   У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а²», а «квадрат на отрезке а», не «а∙b», а «прямоугольник, содержащийся  между отрезками а и b». Например, тождество  (а + b)² = а² + 2аb + b²  во второй  книге «Начал» Евклида (3 в до н.э.) формулировалось так: «Если отрезок как-либо разбит на  два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всем отрезке, равна  сумме площадей квадратов, построенных на каждом из двух отрезков, и удвоенной площади пря-моугольника, сторонами которого служат эти два отрезка». Доказательство опиралось на геометрическое соображение.

   А теперь давайте и мы с помощью рисунка  объясним геометрический смысл формулы (а + b)² = а² + 2аb + b².

-Объясните геометрический смысл выражения  (а+в)²  (квадрат со стороной  a+b). (У каждого ученика – вырезанные из бумаги 2 квадрата со сторонами а и b и 2 прямоугольника со сторонами  a и b). Каждый моделирует свой квадрат.

- Чему равна площадь полученного квадрата? (Сумме площадей квадрата со стороной а, двух площадей прямоугольника со сторонами а и в и площади квадрата со стороной в).

                              

III. Физминутка. Слайд 20      

IV.Закрепление  изученного   материала. Слайд 21                                                      Работа у доски и в тетрадях. При выполнении заданий -  проговаривать правила.

1 .№ 862 (а, г, е, з).

 

2.Вычислить:

(30+1)²   ;  51²    ;        (30-1)²    ;   49² . Слайд 22     

 

3. Преобразовать выражения : (а-7)² ;  (7-а)² ;   (5+х)² ;      (-5-х)²

Учащиеся сами приходят к выводу:    (а - b)² =(b - а) ² , (-а - b)² =(а + b) ² Слайд 23      

 

4. А теперь  вернемся к числовым выражениям, которые в начале урока вычислялись учащимися с помощью калькулятора и решались по действиям в тетради. Делается вывод, что рационально можно найти значения данных выражений  используя выведенные на уроке формулы сокращенного умножения. Слайд 24 (гиперссылка к слайду 10)

V. Этап предварительного контроля. (карточки)

1.Соедините пары тождественно равных выражений. Слайд 25                                           (вспомнить определение тождественно равных выражений)

1.	( 3а + с) 2	5.	( y - в) 2
2.	( а – 2в) 2	6.	x2 – 2xв + в2
3.	( x – в) 2	7.	а2 – 4ав + 4в2
4.	y 2 – 2yв + в2	8.	9а2 + 6ас + с2

 

2. Выбрать  правильный  ответ. Слайд  26     

 

	(y - 9)2	(5x+4y)2	(2a – 0,5x)2
1	y2 - 9y +81	25x2  - 20xy +16 y2	4a2  - 2ax +0,25 x2
2	y2 + 18y +81	25x2 + 40xy +16 y2	4a2  + 2ax +0,25 x2
3	y2 -18y +81	25x2 +20xy +16 y2	4a2  - ax +0,25 x2
4	y2 + 9y +81	25x2 - 40xy +16 y2	4a2  + ax +0,25 x2

 

3.  Вычислить : 61², 59²   Слайд 27     

 

VI. Домашнее задание:  п. 31, доказать  геометрический  смысл  формулы (a-b)²,

№863(а, б, в, д); 866, №869(д, е). Слайд 28     

VII. Итог  урока. Слайд 29   

 

-С какими формулами мы познакомились сегодня на уроке?

-Почему эти формулы называются формулами сокращенного умножения?

-Чему равен квадрат суммы двух выражений?

-Чему равен квадрат разности двух выражений?

-Как вы думаете, зачем нужны нам эти формулы и стоит ли их запоминать?

(С помощью формул результат можно получить гораздо проще и быстрее).

 

Рефлексия. Выставление отметок.

Учащиеся анализируют свою работу на уроке, обсуждают, высказывают свое мнение.