математика

Урок- исследование

по теме

« Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений»

Цели:

1. Образовательная: Вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел. Сформировать умение практически их применять.

2.  Развивающая: развитие математического мышления, творческо-поисковой деятельности учащихся, математической речи, память, интерес к математике, умение рассуждать.

3.  Воспитательная: воспитание познавательной деятельности учащихся, активности, внимательности, самостоятельности.

(6 слайд )

Оборудование: Урок проводится с использованием компьютерной техники, геометрических фигур, карточки с заданиями для контроля, кубика с заданиями.

План урока.

1.     Орг момент.(Рефлексия)

2.     Мотивационно - ориентировочный этап.

3.     Актуализация опорных знаний. Групповая работа.

4.     Сравнительный анализ и вывод формулы.(работа в группах)

5.     Геометрический смысл.

6.     Физкультминутка

7.     Закрепление.

8.     Задание на дом. (разноуровневое)

9.     Итог урока. Выставление отметок.

Ход урока .

1.

Здравствуйте ребята. Садитесь.

Рефлексия (1 слайд)

2. Сегодня у нас с вами не совсем обычный урок, поэтому и начнем мы его не обычно.

Эпиграф нашего урока

Китайская мудрость гласит,

«Я слышу –        я забываю,

я вижу – я запоминаю,         (2 слайд)

         я делаю – я понимаю»

сегодня мы попробуем следовать ее указаниям.

Прочитайте следующие выражения.

 Прочитайте  выражения.

а)  х + у                  в)    р – у           д) (а –b)²       (3 слайд)

б)  с² + р²                г)    с² – х²            е) (к + 1)²  

А что значит вот это выражение в квадрате ?

-значит, оно умножается на себя два раза.

Как бы вы стали упрощать данное выражение?

-Умножать многочлен на многочлен.

Введение.  

Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Первые общие утверждения о тождественных преобразованиях встречаются у древнегреческих математиков, начиная с шестого века до н.э. Среди математиков Древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо сложения чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника. Отказ от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского, жившего в 3 веке. В его работах появляются зачатки буквенной символики и специальных обозначений. Формулы квадрата суммы и разности двух выражений знали еще в Древнем Вавилоне, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование.

 Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько. Сегодня  вам предстоит сыграть роль исследователей и «открыть» две из этих формул.

(4 слайд)

Итак, тема нашего урока - «Квадрат суммы и разности двух выражений».

 - А как вы думаете для чего нужны формулы?

Правильно они упрощают вычисления.

Еще с помощью формул которые вы выведете можно  возводить большие  числа в квадрат и довольно быстро.

 Но чтобы их открыть нам необходимо, вспомнить, что мы знаем и умеем.

3. Актуализация опорных знаний.

(5 слайд)

 Устные  упражнения.   

1.     Найдите  квадраты  выражений.

b ;  - 3 ;  6а ;  7х² у³.      13а   как найти квадрат 13? Правильно в таблице квадратов

2.     Найдите  произведение  5 b  и  3 с.

3.     Чему  равно  удвоенное  произведение  этих  выражений?

4.     Как найти площадь квадрата со стороной а? Площадь прямоугольника со сторонами а и в?

    5. Представьте в виде квадрата

36;    49;   25с²;   х²у²;   с⁴х⁶; 9у⁴      

6.      Перемножьте  данные  многочлены.

( 4 – а) · (3 + а). 

    7. Как умножить многочлен на многочлен?

(7,8,9 слайд)

4. Новый  материал.

(10 слайд)

Исследовательская работа.

Для исследовательской работы учащиеся объединяются в группы. В них входят ребята с разной математической подготовкой.  Каждой группе предлагается заполнить на доске три строки таблицы, перемножив пары двучленов, приведённых в этой строке. После того как ребята справились с заданиями, один из них выходит к доске и записывает в правом столбце таблицы полученный ответ. Средняя часть таблицы закрыта.

Задание:  Найти  произведение  данных  многочленов

Вопросы:  1) Есть  ли  нечто  общее  в  условиях  и  ответах?

                   2) Можно ли  выражения  в  I  cтолбце  записать  короче?

 Получив ответы, учитель открывает II столбец.                 

( Открыть  II  столбец)

- Вы  уже  приступили  к  исследованию  темы  урока,  поскольку  находили  произведение    двух  одинаковых  двучленов (1 столбец таблицы),  т.е.  возводили  в  квадрат  сумму  и  разность  двух  выражений (2 столбец таблицы).

Обсуждение полученных результатов

(10 слайд)

Анализ  III  столбца:

1)    После  приведения  подобных  членов  подсчитайте,  сколько  получилось  членов  в  каждом  многочлене?    (ответ:  трёхчлен)

2)    Что представляет  собой 1^й, 2^й  и  3^й  члены  по  сравнению  с 1-м  и  2-м  выражениями, стоящими  в  основании  соответствующей  степени?

1-й  член – квадрат  первого  выражения.

2-й  член – удвоенное  произведение  первого  и  второго  выражений.

3-й  член – квадрат  второго  выражения.

Итог. (10 слайд)

Учащиеся записывают общую формулу квадрата суммы двух чисел и дают словесное описание.

(а + b)² =  а ² + 2аb + b²  - формула  сокращённого  умножения.

(подчёркивается, что эта формула в дальнейшем будет применяться для возведения в квадрат суммы двух выражений).

Исследование начинается с вопросов:

1) Изменяется  ли  результат, если  возвести  в  квадрат  не  (а + b)², а  (а – b)²?

2) Как можно проверить наше предположение?

Учащиеся (проверка происходит в группах)  проверяют  результат  и  выясняют, что  « - »  стоит  только  перед  удвоенным  произведением.

(а – b)² =  а ² – 2аb + b²                                                 

(11,12  слайд)

5. Геометрическая интерпретация

 Геометрическое истолкование. Используя геометрические фигуры выполняют учащиеся под руководством учителя.

Используемые геометрические фигуры: квадрат со стороной в, квадрат со стороной а, два прямоугольника со сторонами а и в.

 Геометрическое истолкование формулы (а+в) ²=  а ² + 2аb + b²

объясните геометрический смысл выражения (а+в)²

Ответ: площадь квадрата со стороной а+в. Смоделируем данный квадрат.

Чему равна площадь данного квадрата?

Ответ: Сумме площадей квадрата со стороной а, двух площадей прямоугольника со сторонами а и в и площади квадрата со стороной в.

Задание: Сформулируйте  эти  две  формулы, а  затем  прочитайте  по  учебнику  на  стр. 152 – 153.

(13 слайд)

6. Физкультминутка

Мы все вместе улыбнемся,

Подмигнем слегка друг другу,

Вправо, влево повернемся ( повороты влево- вправо)

И кивнем затем по кругу. (наклоны влево-вправо)

Все идеи победили,

Вверх взметнулись наши руки. ( поднимают руки вверх- вниз)

Груз забот с себя стряхнули

И продолжим путь науки. ( встряхнули кистями рук)

 7. Закрепление  нового  материала

Работа с учебником:

№ 799 а),б),д),ж),и)

№ 803 а),б),д)-з)

№ 805 (с коментарием учителя)

Групповая работа. Каждая группа работает  самостоятельно, получив тестовое задание.

Выбрать  правильный  ответ.

(14 слайд)

Результаты работы с тестами учащиеся записывают на доске.

(15 слайд)

Если остается время кубик –зкзаменатор с заданиями

Игра  «Кубик – экзаменатор».

На каждой грани, записан квадрат суммы или разности двух выражений.  Вызванный по желанию ученик, подбрасывает кубик и комментирует выпавшую ему на верхней грани часть формулы, называет многочлен, в который можно преобразовать данный квадрат двучлена.

8.Итог урока:

-Молодцы! Как вы считаете вы справились с исследовательской деятельностью?

- Кто может сказать какие формулы вы сегодня вывели? Какой материал нужно повторить?

-       Как звучат правила в словесном описании?

-       Все ли было понятно?В чем были затруднения?

Оценки за урок.

(16 слайд)

9. Давайте запишем домашнее задание. (17 слайд)

Рефлексия. (18 слайд)