Математика и музыка

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение  «Центр образования № 28 с углубленным изучением иностранных языков» г. Владивостока Математика – музыкальна,  Музыка – математична Составитель: Капианидзе Диана Владимировна 7 А класса  МБОУ ЦО №28  Руководитель: Хулап Елена Александровна, учитель математики г. Владивосток, 2018 г Содержание Глава 1.Связь математики с музыкой………………………………………..3 1.1. Введение…………………………………………………………….......3 1.2.  История исследования связи музыки с математикой…………….…4 1.3. Что придумал Пифагор и идеи Веркмейстера…………………….…6 1.4. Пифагоров строй и его конфликты…………………………………..11 1.5. Исследование музыкальных произведений………………………....15 1.6. Математическая модель музыкальных произведений……………..16 Заключение ……………………………………………………………18 1.7. Глава 2 Исследование творческих способностей ребят по дате рождения, с  использованием нотной грамоты………………………………………… Литература……………………………………………………………………. 2 Глава 1. Связь математики с музыкой «Музыка есть таинственная арифметика души; Она вычисляет, сама того не подозревая» Г. Лейбниц 1.1. Введение Математика   и   музыка   –   два   школьных   предмета,   два   полюса человеческой   культуры.   Слушая   музыку,   мы   попадаем   в   волшебный   мир звуков   и   открываем   в   ней   совершенство,   простоту   и   гармонию.   Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. Не задумываясь   о   том,   что   мир   звуков   и   пространство   чисел   издавна   тесно связаны  друг с другом. А ведь еще немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц   сказал:   "Музыка   есть   таинственная   арифметика   души.   Она вычисляет, сама того не подозревая". И действительно, оказывается, что в музыке незримо, но повсеместно присутствует математика: звуковые частоты представляют собой геометрическую прогрессию, а музыкальный ритм вовсе делит время на единицы, между которыми устанавливаются числовые связи. Повсюду   вокруг   нас   господствует   идея   числа   и   отношения.   Нет такой   области   музыки,   где   числа   не   выступали   бы   конечным   способом описания происходящего: в ладах есть определенное число ступеней; ритм делит время на единицы и устанавливает между ними числовые связи и пр. В математике красота и гармония ведут за собой творческую мысль так же, как в   музыке.   Занимаясь   музыкой,   человек   занимается   математикой.   Хороший математик   ­   это   всегда   хороший   музыкант,   потому   что   логика   чисел,   с которой   постоянно   общаются   математики,   связана   с   логикой   развития музыкальных   фраз.   Композиторы   часто   признаются,   что   их   метод   схож   с математическими, о том же пишет выдающийся  дирижер  Эрнест Ансерме: «Между музыкой и математикой существует безусловный параллелизм. И та и другая представляют собой действие в воображении, освобождающее нас от случайностей практической жизни». Он подчеркнул абстрактный, не имеющий прямых   и   реальных   аналогов   характер   музыкальной   и   математической материи, ее обобщенность. 3 1.2. История исследования связи музыки с математикой Многие   выдающиеся   музыканты   блистали   математической одаренностью: только что упомянутый Эрнест Ансерме  – профессиональный математик   и   лучший   исполнитель   Стравинского,   Леонид   Сабанеев   – выпускник   математического   факультета   Московского   университета, прекрасный пианист, композитор. Композитор  Эдисон Денисов  преподавал математику   в   Томском   университете.   Выдающийся   виолончелист   Карл Давыдов   закончил   физико­математический   факультет,   и,   как   вспоминают современники,   имел   «блистательные   способности   к   чистой   и   прикладной математике». И говоря о связи музыки и математики, нельзя забывать о такой науке, как табулатура. Табулатура ­ это один из самых старых способов записи музыки, в которых   вместо   нот,   для   сокращения   записи,   используют     изображения расположений   пальцев   на   инструменте,   в   виде   букв,   цифр   и   специальных символов.   Она   появилась   приблизительно   с   1500   года   и   впервые использовалась для лютни и инструментов лютневого семейства (это струнные щипковые   музыкальные   инструменты,   с   ладами   на   грифе   и   овальным корпусом). Такое представление нот и по сей день популярно. Недостаток табулатур в том, что они не показывают с какой длительностью играть ту или иную   ноту.   Существует   несколько   типов   табулатур:   органная,   клавишная, старонемецкая, новонемецкая, лютневая и гитарная. Табулатура очень удобна и ее может использовать любой человек, даже ребенок, знающий цифры и не знающий музыкальной грамоты. В Европе расцвет табулатурной нотации пришёлся на XVI — XVII века.   В   современной   инструментальной   практике   удержалась   только табулатура для 6­струнной гитары. Табулатура представляет собой 6 линий, обозначающих струны, причем первая (самая тонкая) изображена сверху, а шестая, соответственно, снизу. Слева обычно указываются либо номера струн, либо ноты, которые струны издают в открытом состоянии. Иногда ничего не указывается. Табулатура читается слева направо. Цифра, указанная на струне, показывает, какой лад мы должны зажать на ней. Если стоит цифра "0", то дергать мы должны открытую струну (то есть не зажатую). Длительность нот в   табулатурах   не   прописывают.   Вместо   этого   между   цифрами   оставляют свободное пространство разной длины. Разберем на примере песню группы «Король и Шут»  "Он не знает, что такое жить": 4 E|­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­|    H|­­­­­­­­­7­7­­5­5­­­­­­­­­­­­7­7­­8­8­­7­5­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­|    G|­­­­4­4­­­­­­­­­­­­7­6­­4­4­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­|    D|­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­|    A|­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­|    E|­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­|  Итак, первая цифра ­ 4, она стоит на 3­ей струне. Значит, дергаем 3­ ю струну, зажатую на 4­ом ладу. Дернуть ее мы должны два раза подряд, так как следующая цифра ­ тоже 4. За ней следует цифра 7, стоящая на 2­ой струне, поэтому дергаем 2­ую струну на 7­ом ладу. И далее по такому же принципу.   Как   видим,   благодаря   математическим   знакам,   цифрам табулатурой может воспользоваться любой желающий. Математика   ­   самая   абстрактная   из   наук,   а   музыка   ­   наиболее отвлеченное   из   искусств,   это   высшие   выразители   науки   и   искусства.   Нет такой   области   музыки,   где   числа   не   выступали   бы   конечным   способом описания происходящего: в ладах есть определенное число ступеней, которые характеризуются   определенными   зависимостями   и   пропорциональными отношениями; ритм делит время на единицы и устанавливает  между ними числовые связи; музыкальная форма основана на идее сходства и различия, тождества и контраста, которые восходят к понятиям множества, симметрии и формируют квазигеометрические музыкальные понятия. К тому же музыка процессуальна, а математика берется описать самые разнообразные процессы в абстрактных категориях — категория производности и непроизводности, на которых построено все музыкальное формообразование, крайне математична. В математике красота и гармония ведут за собой творческую мысль так же как в музыке. В математике только то верно, что прекрасно.      1.3. Что придумал Пифагор и идеи Веркмейстера Одним   из   первых,   кто   попытался   выразить   красоту   музыки   с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета – музыку и математику. Оба эти предмета выступают как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством. Пифагор был   не   только   математиком   и   философом,   но   и   теоретиком   музыки.   Он 5 занимался поисками музыкальной гармонии, поскольку верил в то, что такая музыка необходима для очищения души и врачевания тела и способна помочь разгадать любую тайну. Пифагор создал свою школу мудрости, положив ее в основу два искусства ­ музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления   и   дополняют   друг   друга.  Все   дошедшие   до   нашего   времени сведения   о   возникновении   в   древней   Греции   математического   учения   о музыкальной гармонии определённо связывают это возникновение с именем Пифагора.   Однажды, размышляя над проблемой гармонии, Пифагор проходил мимо   мастерской   медника,   который   склонился   над   наковальней   с   куском металла. Заметив различие в тонах между звуками, издаваемыми различными молоточками   и   другими   инструментами   при   ударе   о   металл,   и   тщательно оценив гармонию и дисгармонию, получающуюся от комбинации этих звуков, Пифагор   получил   первый   ключ   к   понятию   музыкального   интервала   в диатонической шкале. Он вошел в мастерскую и после тщательного осмотра инструментов и,  прикидывания  в уме их веса, вернулся в собственный дом, сконструировал балку, которая была прикреплена к стене, и приделал к ней через равные интервалы четыре струны, во всем одинаковые. К первой из них прикрепил вес в двенадцать фунтов, ко второй ­ в девять, к третьей ­ в восемь, и к четвертой ­ в шесть фунтов. Эти различные веса соответствовали весу молотков медника. Пифагор обнаружил, что первая и четвертая струны, когда звучат вместе, дают гармонический интервал октавы, потому что удваивание веса   имело   тот   же   эффект,   что   и   укорачивание   струны   наполовину. Натяжение первой струны было в два раза больше, чем четвертой струны, и, как говорят, их соотношение равно 2:1, или двукратное.  6 Подобным же рассуждением он пришел к заключению, что первая и третья струны дают гармонию  диапенте, или квинту (музыкальный интервал шириной   в   пять   ступеней,   например   «до­соль»,     обозначается   цифрой   5). Натяжение   первой   струны   было   в   полтора   раза   больше,   нежели   третьей струны, и их соотношение было 3:2, или полуторное. Подобным же образом вторая и четвертая струны, имея то же соотношение, что  первая  и третья, давали гармонию  диапенте. Продолжая это исследование, Пифагор открыл, что первая и вторая струны дают гармонию  diatessaron, или терцию (третья ступень диатонической гаммы, а так же интервал между первой и третьей ступенью   гаммы,   например   «до­ми»),   натяжение   первой   струны   на   треть больше,   чем   второй,   их   соотношение   4:3,   или  sesquitertian  (перенесение основного   тона   необращенного   трезвучия   на   октаву   вверх).   Третья   и четвертая струны, имея то же соотношение, что и первая и вторая, дают ту же гармонию.   Вторая   и   третья   струны   имеют   соотношение  8:9,   или  epogdoan Пифагор первым догадался о существование природного звукоряда, но это необходимо   было   доказать.   Тогда   для   своих   экспериментов   Пифагор построил полуинсрумент, полуприбор­ монохорд.   7 Это был продолговатый ящик с натянутой поверх него струной. Под струной, на верхней крышке ящика, Пифагор расчертил шкалу, чтобы было зрительно   удобнее   делить   струну   на   части.   Множество   опытов   проделал Пифагор с монохордом и в конце концов описал математически поведение звучащей струны. Опыты Пифагора легли в основу науки, которую мы сейчас называем музыкальной акустикой. Прежде чем перейти к описанию этого закона надо вспомнить, что такое   звук.   Согласно   акустике,   звук   распространяется   в   воздухе волнообразно.  Это  значит,  что   с  того   момента  как   зазвучали   музыкальные инструменты, от них по всему залу расходятся звуковые волны. Колебания передаваемые   через   воздух,   заставляют   вибрировать   наши   барабанные перепонки, в результате чего мы и улавливаем звук. Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струны (в музыке это явление называют консонансом). Одни считали, что это зависит от натяжения струны, другие вывели ответ в том, что длина струны ­ причина того или иного звучания, третьи определяли консонанс с помощью высоты тона. Ясность в этом вопросе наступила после Архита (4 в. до н.э.), который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения, т.е. скорости ударения струны по частичкам воздуха. Сегодня   эта   скорость   движения   носит   название   «частота   колебания струны».   Архит   установил,   что   высота   тона   (частота   колебания   струны) обратно пропорциональна ее длине. Архит был последним из пифагорейского союза.  1. Две звучащие струны определяют консонанс ( гармоничное звучание, слияние   тонов   при   их   совместном   звучании,   а   так   же   созвучия   в которых тоны сливаются друг с другом)  если их длины относятся как 8 целые   числа,   образующие   треугольное   число   10=1+2+3+4,   т.е.   как 1:2,2:3,3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n/( n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получившийся интервал.  2. Частота   колебания  w  звучащей   струны   обратно   пропорциональна   ее длине I*w=a/I, (a­коэффициент, характеризующий физические свойства струны) В  дальнейшем   потребуются   несколько  понятий   теории   музыки.  В частности гаммы, интервала между тонами, лада.  Гаммой, или  звукорядом, называется   последовательность   звуков,   расположенных   от   основного   тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.  Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а  интервальными коэффициентами двух тонов ­ отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего: w1/w2. Интервальные   коэффициенты   и   соответствующие   им   интервалы   в средние   века   были   названы   совершенными   консонансами   и   получили следующие  названия:   октава  (w2/w1= 2/1,  l2/l1=1/2);   квинта  (w2/w1=3/2,  l2/l1= 2/3); кварта (w2/w1=4/3, l2/l1 = 3/4). Звуки в музыкальной гамме связаны между собой определенными зависимостями. Одни из них являются неустойчивыми и тяготеют к другим, устойчивым. В каждой гамме есть наиболее устойчивый, основной тон. Он называется тоникой, и с него начинается данная музыкальная система.  Лад  ­   приятная     для   слуха   взаимосвязь   музыкальных   звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых и имеющая определенный   характер   звучания.   Математическое   выражение   системы звуковысотных соотношений ­ лада называется музыкальным строем. Основой музыкальной шкалы­гаммы пифагорейцев был интервал ­ октава.   Она   является   консонансом,   повторяющим   верхний   звук.   Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали   устройство   гаммы   со   средними   величинами:   арифметическим, геометрическим, гармоническим. Составим среднее арифметическое для тоники (тоника — основная, наиболее устойчивая ступень лада, к которой в конечном счёте тяготеют все остальные) и ее октавного повторения.  9 Т.к.  w2=2w1,   то  w3=(w1+w2)/2=3w1/2   или  w3/w1=   3/2.   Среднее арифметическое   частот   колебаний  w1  и  w2  помогает   найти   еще   один совершенный консонанс – квинту (интервал в пять ступеней, три с половиной тона). Длина струны  l3  по второму закону Пифагора­Архита будет средним гармоническим длин струн  l1  и  l2  =1/2l1;  l3=2l1l2/(l1+l2)=2/3 >=  l3/l1=2/3. Взяв далее среднее гармоническое частот основного тона w1 и октавы w2, получим w4=2w1w2/(w1+w2)=4w1/3   >=  w4/w1=4/3.   В   результате   находим   еще   один совершенный   консонанс   ­  кварту.   Определим,   как   связаны   длины   струн найденных   частот.   Выполняя   последовательно   преобразования  w4=2w1.w2/ (w1+w2); получим, что l4=(l1+l2)/2=3/4l1; l4/l1=3/4. Это значит, что длины струн l1, l2 и l4 связаны между собой средним арифметическим. Квинта является средним арифметическим частот основного тона w1 и октавы  w2, а кварта ­ средним гармоническим  w1  и  w2. Или иначе: квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2, а кварта ­   среднее   арифметическое  l1  и  l2.   Это   лишь   незначительная   часть   тех прекрасных   пропорций,   которые   были   воплощены   в   пифагорейской музыкальной   гамме.   Гармонию   звуков   пифагорейцы   считали   лишь проявлением   более   глубокой   гармонии   ­   красоты   окружающего   мира. Пифагорейцы известны в истории эстетики благодаря еще одной теории. Она также была связана с музыкой, но имела иной характер. Если первая теория, как мы убедились, была построена на математических пропорциях, то вторая теория   провозглашала   музыку   силой,   способной   воздействовать   на   душу. Хорошая   музыка   может   улучшить   душу,   а   плохая   ­   испортить   ее.   Такое музыкальное действие греки называли психагогией, или управлением душами. Пифагору   принадлежит   и   математическое   объяснение   основ гармонии.   Следуя   собственной   теории   совершенства   малых   чисел,   он определял  суть гармонии так: наиболее естественно воспринимаются  ухом частоты, которые находятся между собой в простых числовых соотношениях. Вот откуда и октава 1:2, и трезвучие 4:5:6. Древнегреческие музыканты ввели пять   дополнительных   звуков   и   убедились,   что   проблема   все   же   осталась, Пифагор  взялся  за   решение   уже  не  теоретической,  а  сугубо  практической задачи: как настроить инструмент, чтобы не увеличивать количество звуков в каждой   октаве   сверх   двенадцати   и   в   то   же   время   дать   возможность музыкантам свободнее переходить из тональности в тональность и из лада в лад?  Внутри октавы наиболее слитно с начальным звуком воспринимается квинта,   которая   составляет   с   ним   тоже   простейшее   после   октавы соотношение ­ 3:2. Пифагор поэтому взял квинту за основу строя и вывел удивительно  красивую  формулу  ­ полюбуйтесь  ею. Но  поскольку  внешняя красота пока мало о чем говорит, восстановим расчеты Пифагора. Пусть вас 10 не   смущают   показатели   степени   в   формуле   ­   все   опять   же   сводится   к арифметике.  1.4. Пифагоров строй и его конфликты Подставляем   вместо   единицы   частоту   384   ­   правую   границу   уже хорошо   знакомой   нам   октавы.   Условно   обозначаем   ее  до.   Вправо   от  до квинта,   то   есть   пятый   звук,   считая   только   основные,   а   вместе   с дополнительными восьмой, будет  соль. Частота его ­ три вторых от 384, то есть 576. Квинта от соль ­ ре. Частота три вторых от 576­864. И так далее, вплоть до фа­диез.  Влево от до квинта ­ фа. Частота две трети от 384­255,9. Квинта от фа ­ си­ бемоль. Частота две трети от 255,9­170,6. И так до соль­бемоль. Мы получили ряд из тринадцати частот. Тринадцати, а не двенадцати, потому что крайние справа и слева частоты принадлежат одному и тому же звуку: фа­диез ­ то же самое, что соль­бемоль. 11 Вверху ­ уже знакомая нам «чистая» октава. Внизу ­ октава, к которой пришел Пифагор.   Видно,   что   немного   изменились   три   частоты.   Зато   настраивать инструменты   стало   значительно   проще.   В   пунктирных   клеточках   даны частоты дополнительных звуков. Этот ряд частот, который охватывает почти весь   музыкальный   диапазон,  нам   предстоит   свести   в  одну   октаву,   то   есть последовательным умножением или делением на два (отчего, как мы знаем, название звука не меняется) уложить в промежуток между 192 и 384. Если какая­то частота после умножения или деления на два не улеглась в границы октавы,   нужно   еще   раз   умножить   или   разделить   ее   на   два.   После   этих действий мы получим октаву, к которой пришел Пифагор. Рассматривая ее основные частоты, вы увидите небольшие расхождения с прежним, идеально чистым строем. Вместо частоты 240 появилась частота 243, вместо 320­324, а 360   превратилось   в   364,5.   Эти   незначительные   изменения   произвели революцию в музыкальном строе. Интервалы более или менее выровнялись. Определились точные частоты дополнительных звуков. Музыканты, пользуясь теми же двенадцатью звуками в октаве, получили возможность переходить из тональности   в   тональность   гораздо   свободнее.   Поэтому   Пифагоров   строй продержался   больше   двух   тысяч   лет.   Прежний   конфликт   музыканта   с инструментом был улажен. Однако наметился новый. Обратите внимание на то, что в Пифагоровом строе между фа и соль стоят   две   частоты.  Когда   мы   последовательным   делением   на   два   привели крайнюю правую частоту фа­диез в нашу октаву, получилось одно число. А когда последовательным умножением на два привели в нашу октаву крайнюю левую частоту си­бемоль, получилось   другое. Это было попутное открытие Пифагора: пониженный звук не равен повышенному предыдущему. В нашем примере   соль­бемоль   не   равно   фа­диез.   Если   вы   продлите   по   квинтам формулу Пифагора вправо еще на четыре элемента ­ до­диез, соль­диез, ре­ диез   и   ля­диез   ­   и   самостоятельно   проделаете   все   знакомые   уже арифметические операции, то убедитесь, что это открытие справедливо для любого  дополнительного звука. Но  чтобы не  добавлять  новые  струны, это противоречие разрешили просто: усреднили две частоты и оставили, как и 12 было, между двумя основными звуками один дополнительный. Усреднение это   стало   традиционным,   так   что   и   сейчас,   например,   пианист   вынужден пользоваться одной черной клавишей там, где, согласно точным акустическим расчетам, их должно быть две. А вот скрипач может по­разному взять соль­ бемоль   и  фа­диез,  как   и  другие   повышенные   и  пониженные   звуки.  Может взять их по­разному и тромбонист ­ кулиса его инструмента передвигается совершенно   свободно.     Усреднение   двух   близких   частот   совершенно незаметно   для   слушателя   с   обычным   слухом,   и   не   в   этом   суть   нового конфликта. Он выявится, если мы подойдем к расчетам Пифагора с другой стороны.  Располагая   звуки   по   квинтам,   самая   левая   частота   соль­бемоль получилась   у   нас   33,7,   а   самая   правая   частота   фа­диез   ­   4374.   Давайте попробуем   пройти   от   первого   ко   второму   октавами,   то   есть последовательным умножением на два. После семи умножений получим число 4313,6. Как видим, оно существенно расходится с 4374 ­ на шестьдесят герц. А ведь мы имеем дело с одним и тем же звуком. Выходит, целое число квинт не   укладывается   в   целое   число   октав.   Это   расхождение   называется Пифагоровой коммой. Комма и привела к конфликту.  О лютнистах эпохи Возрождения шутливо говорили так: если они живут шестьдесят лет, то двадцать из них настраивают свой инструмент. Эта шутка основана на действительном явлении. На грифе лютни первое время не было   врезанных   намертво   порожков,   гриф   просто   перевязывался   в определенных   местах   тонким   шнурком   или   жилами.   Эти   перевязки   и образовывали   порожки,   которые   могли   передвигаться   по   грифу.   И   вот музыканты,   так   и   этак   передвигая   порожки,   искали   наилучшее   их расположение,   чтобы   не   так   сказывалась   Пифагорова   комма.   Причем   это нельзя   было   сделать   раз   и   навсегда,   потому   что   играли   ведь   не   в   одной тональности.   Вот   и   приходилось   каждый   раз   перед   концертом приспосабливать лютню к нужным в данном выступлении тональностям. А настройщики органов, сохраняя чистыми октавы, квинты, а потом и терции, кое­как распределяли Пифагорову комму по другим интервалам, которые от этого получались не совсем чистыми. Музыкант должен был знать заранее, как   именно   распределена   комма   и   в   какой   тональности   его   подстерегают фальшивые звуки. Искусные настройщики умели выходить из положения так. Обычно   при   игре   в   двух­трех   самых   употребительных   тональностях некоторые   дополнительные   звуки,   представленные   черными   клавишами,   не используются вообще, остаются как бы в стороне от исполнения. Вот по этим­ то звукам и рассовывали комму. Но беда органисту, если он вдруг забудется и возьмет при импровизации какой­нибудь из таких звуков. Тотчас раздается режущая ухо фальшь. Не мудрено, что эти фальшивые звуки были прозваны «волками». Конечно, музыкантам трудно было смириться с раздражающим 13 неудобством.   Особенно   досадовали   органисты:   ведь   органу   присуща уникальная длительность звука. Одно дело фальшь на лютне, там звук быстро затухает,   и   совсем   другое,   когда   «волком   воет»   орган!   Не   удивительно поэтому,   что   именно   органист   предложил   следующую   и   пока   последнюю реформу   музыкального   строя.   Было   это   в   конце   семнадцатого   века.     Все равны! Андреас Веркмейстер был не только органистом, но и теоретиком музыки. Он сформулировал задачу так. Первое: нужно сохранить в октаве двенадцать традиционно устоявшихся звуков. Второе: все соотношения между соседними   частотами   должны   быть   абсолютно   равными.   Третье:   никакой коммы   не   должно   быть.   Поставленная   таким   образом   задача   имеет единственное   решение:   каждая   последующая   частота   будет   относиться   к предыдущей   так,   как   корень   двенадцатой   степени   из   двух   относится   к единице.   А   если   говорить   проще,   Веркмейстер   равномерно   распределил Пифагорову   комму   между   всеми   звуками   внутри   каждой   октавы.   Комма рассосалась, растворилась, стала почти незаметной. Но досталось это дорогой ценой: не осталось ни одного чистого интервала внутри октавы. Веркмейстер не   пощадил   даже   квинту   —   этот   интервал,   тысячелетиями   считавшийся незыблемым, стал чуть короче. Как вы догадываетесь, ровно настолько, что теперь   двенадцать   квинт   точно   укладывалось   в   семь   октав.   Сама   октава вышла из этой передряги без потерь — она единственная осталась чистой. 1.5. Исследования музыкальных произведений «Музыка — это бессознательное упражнение души в арифметике». Так считал немецкий философ, математик и физик Готфрид Лейбниц. Если соотнести эти слова с обилием музыки в наше время, можно смело утвер­ ждать, что мы, сами того не осознавая, упражняемся в арифметике каждый день. Музыканты обратили внимание на то, что сочетания некоторых трех звуков между собой воспринимаются особенно естественно и приятно. Потом выяснилось, что это были частоты, относящиеся друг к другу как 4:5:6. В природной октаве есть только одно такое сочетание — в нашем примере это 192:240:288.   А   музыканты   настраивали   свои   инструменты   так,   что   весь звукоряд   превращался   в   сплошную   цепь   приятных   для   слуха   трезвучий   с соотношением   частот   4:5:6.   Чтобы   убедиться   в   этом,   выйдем   за   пределы нашей октавы, добавив справа и слева частоты из соседних октав. Как это сделать,   вы   уже,   наверно,   догадываетесь:   вправо   каждая   восьмая   частота удваивается,   влево   каждая   восьмая   делится   на   два.   Правый   конец   нашей октавы — восьмой звук от 192. Значит, следующая частота будет восьмой от 14 216, то есть 432. Левый конец октавы — восьмой звук от 384. Следующий влево   будет   восьмым   от   360,   то   есть   180.   Придерживаясь   этого   правила, припишем слева еще три частоты. Теперь взгляните на получившуюся таблицу — каждая частота в ней связана с двумя другими частотами соотношением 4:5:6. Видите, как изменился природный звукоряд от небольших поправок, внесенных   человеком!   И   сколько   бы   мы   ни   продолжали   музыкальный звукоряд   —   это   сплошная   цепь   приятных   для   слуха   трезвучий   с соотношением   частот   4:5:6.   В   пунктирных   клеточках   даны   частоты   из соседних октав.    Этот   ряд   вправо   и   влево,   сколькими   бы   звуками   ни   обладал музыкальный инструмент, все они образуют непрерывную последовательность приятных для слуха трезвучий. Этот ряд, родившийся еще в Древней Греции, в   разных   странах   называется   хоть   и   по­разному,  но   удивительно   схоже:   в переводе на русский язык получается «согласие», «порядок», «стройность» и даже   «мир».   А   в   самом   русском   языке   такая   упорядоченная последовательность звуков называется прекрасным словом «лад».  Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики,   такие   как:   Рене   Декарт   (   его   первый   труд   ­   “Compendium Musicae”   в   переводе   “Трактат   о   музыке”   )   ,   Готфрид   Лейбниц,   Христиан Гольдбах,   Жан   Д’Аламбер,   Даниил   Бернулли   и   другие.   Раздумывая   об искусстве и науке, об их взаимосвязях и противоречиях, я пришла к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая и духовная   деятельность   человека.   Что   между   ними   размещается   все,   что «человечество   создало   в   области   наук   и   искусства»   –   писал   Г.   Нейгауз. Изучив   работы   ученых,   мною   было   установлено,   что   в   прошлом   были неоднократные   попытки   рассматривать   музыку,   как   один   из   объектов изучения математики. Таким образом, многие учёные в древности считали, что гармония чисел является сродни гармонии звуков и дополняет друг друга, музыку и математику.  15 1.6. Математическая модель музыкального произведения Произведение Г. Гладкова «Бременские музыканты» Попробуем сделать математическую модель этого произведения:  каждой ноте мы присвоили номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2 – II ,3 – III,  4 – IV, 5 – V ,6 – VI ,7 – VII, 8 – I, 9 – II ,0 – III. Переложили ноты на числа и  получили при этом такой ряд чисел: 11123313 / 535 / 44432246 / 545 / 3353 / 666716 / 22217572 / 176 / 4561 / 7672 /  321117 / 176213 / 444443 / 22221 /. Черта между цифрами служит тактовой четой, то есть делит их на такты, так как сделано в произведении. В музыке есть понятие – устойчивые ступени, на которых строится тоническое трезвучие (Т5/3): 1, 3, 5 ступени. Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность. В первом такте сумма равна 13 (1+1+1+3+3+1+3),  во II – тоже 13 (5+5+3),  в III – 3 (3)  в IV – 10 (5+5)  в V – 14 (3+3+5+3), в VI – 1  в VII – 6 (5+1)  в VIII – 1  в IX – 6 (5+1)  в X – 0 в XI – 6 (3+1+1+1)  в XII – 4 (1+3), в XIII – 3 в XIV – 1.  Получили ряд чисел: 13, 13, 3, 10, 14, 1, 6, 1, 6, 0, 6, 4, 3, 1. 16 Вывод: Следовательно, наблюдаем, что в произведении повторяется  группа цифр: 14, 13, 10, 6, 4, 3 ,1, 0. Теперь попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.  Получили числа в соответствии с номерами тактов: I. 54 (1*1*1*2*3*3*1*3). II. 75 (5*3*5) III. 18432 (4*4*4*3*2*2*4*6) IV.100 (5*4*5) V. 135 (3*3*5*x3) VI. 9072 (6*6*6*7*1*6) VII. 3920 (2*2*2*1*7*5*7*2) VIII. 12 (1*7*6) IX. 120 (4*5*6*1) X. 288 (7*6*7*2) XI. 336 (3*2*2*2*2*7) XII. 252 (1*7*6*2*1*3) XIII. 3072 (4*4*4*4*4*3) XIV. 16 (2*2*2*2*1) Имеем следующий ряд чисел: значения в тактах получились разные  за счет того, что количество нот в них различное.  I (11123313)  II (535);  III (44432246) XIII (444443)  VI (666716)  VIII (176)  XIV (22221)  XI (322227)  IX (4561)  VII (22217572)  17 Классическое   произведение  И. С.  Баха Хорошо  темперированный клавир «Прелюдия №1» Рассмотрим шесть тактов этого произведения. Получили следующий ряд чисел:  1351351313513513 /  1262462412624624 /  7252452472524524 /  1351351313513513 /  1263663613636636 /  1262462412624624 /… Сложим цифры – устойчивые ступени.  I – 44, II – 2, III – 20, IV – 44, V – 17, VI – 2… Получили ряд чисел: 44, 2, 20, 44, 17, 2. Следовательно, наблюдаем, что в произведении повторяется группа цифр:   44   и   2.   Теперь   попробуем   перемножить   в   каждом   такте   номера ступеней. Получили числа в соответствии с номерами тактов: I. 455625 (1*3*5*1*3*5*1*3*1*3*5*1*3*5*1*3) II. 21233664 (1*2*6*2*4*6x2x4x1x2x6x2x4x6x2x4) III. 501760000 (7x2x5x2x4x5x2x4x7x2x5x2x4x5x2x4) IV. 455625 (1x3x5x1x3x5x1x3x1x3x5x1x3x5x1x3) V. 136948896 (1x2x6x3x6x6x3x6x1x3x6x3x6x6x3x6) VI. 21233664 (1x2x6x2x4x6x2x4x1x2x6x2x4x6x2x4) Числа   I   и   IV,   II   и   VI   тактов   повторяются,   следовательно   которая   имеет   числовую представляют   математическую   модель, закономерность. Любое   музыкальное   произведение   можно   представить   как математическую   модель,   которая   будет   иметь   числовые   закономерности. Однако, в ходе выполнения исследования, выше перечисленными способами 18 выявлено,   что   каждый   числовой   ряд   имеет   свою   математическую закономерность ( из­за разного количества нот в тактах). Таким примером является музыкальное произведение «Бременские музыканты». 1.7. Заключение Наука и искусство–два основных начала человеческой культуры, две высших формы человеческой деятельности, дополняющие друг друга. Даже в самой сердцевине искусства есть элемент искусства, а всякое искусство несёт в себе частицу научной мудрости. Именно это обсуждалось на Конференции «От   Невы   до   Альп:   поток   математической   мысли   течет   через   науку, искусство и музыку». 23 ноября 2015 года в Генеральном Консульстве Италии в   Санкт­Петербурге.   Эта   конференция   пролила   свет   на   многие   аспекты взаимодействия   этих   двух   сфер   жизни,   и   на   их   значение   в   развитии   друг друга.   Несмотря   на   то,   что,   как   может   показаться,   математика   и   музыка удалены друг от друга, и одно является глубоко эмоциональным, а другое ­ сугубо   аналитическим,   исторически,   математика   играла   огромную   роль   в музыкальном искусстве.  В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера “Диссертация о звуке”, написанная в 1727 году:   “Моей   конечной   целью   в   этом   труде   было   то,   что   я   стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков”.  Свое   отношение   к   математике   и   музыки   ученые   высказывались   в своих   личных   переписках.   Так,   к   примеру,   Лейбниц   в   письме   Гольдбаху пишет: “Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать”. На что Гольдбах ему отвечает: “Музыка –это проявление скрытой математики”. Рассматривая работы ученых, можно увидеть, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать музыку, как один из объектов изучения математики. Таким образом,  многие учёные в древности считали, что   гармония   чисел   является   сродни   гармонии   звуков   и   дополняют   друг друга. Что еще раз доказывает то, что музыка ­ основополагающий элемент математики.   И   как   «все   искусства   тяготеют   к   музыке,   так   и   все   науки стремятся к математике» — Джордж Сантаяна. 19 Глава 2. Исследование творческих способностей ребят  по дате рождения, с использованием нотной грамоты Проект   не   был   бы   полным   без   практической   части.   Так   как   нас заинтересовал вопрос: чем математика и музыка связаны, то на примере дат рождения и нотной грамоты, мы попробуем выявить творческие способности человека.   Суть этого исследования заключается   в следующем, так как даты рождений –   это   ряд   чисел.   Мы   попробуем   переложить     даты   на   ноты   и установить связь между числами и музыкой.  1. У   конкретного   человека   бралась   полная   дата   рождения   (например, 01.01.2001 года) 2. На нотном стане, согласно этих дат рождений, нумеровались ноты: до­0, ре­1, ми­2,фа­3, соль­4, ля­5, си­6, до­7, ре­8, ми­9. Мною были исследованы даты рождений 11 учащихся, 7 А класса, в котором   я   обучаюсь.     Все   данные   перенесли   на   нотный   стан.   У   каждого школьника получилось по одному аккорду. Если получившийся аккорд звучал благозвучно, то человек творческий, если аккорд не благозвучен, то человек имеет   склонность   к   точным   наукам.   При   желании   можно   спросить проверяемого,   чем   он   занимается.   Творческие   люди   занимаются   музыкой, изобразительным искусством, танцами. Точные люди любят математику, у них развит   аналитический   склад   ума.   Из   числа   исследуемых,   были   аккорды звучавшие гармонично, были и такие, которые звучали вовсе безобразно, резко (в музыке гармоничное звучание тонов называют  консонансом, безобразное, резкое звучание называется диссонансом). После того, как я переложила даты рождения на аккорды, я попробовала установить связь между звучанием даты рождения и способностями человека. 20 Получилось, что, из  11 учащихся нашего класса, 7 человек  творческие, и из них – 5 занимаются музыкой.  Я провела опрос среди этих учеников, выяснив увлечения каждого из них и, получила следующие результаты: I Группа ( дети у которых аккорды благозвучные ): Пестрикова Марина  25.09.2004 год (занимается в художественной школе) Пигарева Алина      03.01.2004 год (занимается танцами) Корнилов Глеб        09.03.2004 год (занимается музыкой ) Зеленина Валерия  09.05.2004 год ( играет на гитаре) Ермакова Ксения   31.01.2005 год (играет на гитаре)  Двойнин Миша 19.04.2004 год (занимается музыкой) Платонова Александра 03.01.2004 (занимается  музыкой) II группа (дети у которых аккорды не звучат): Бояркина Елена 23.04.2004 год (интерес к физике) Бузецкий Владимир 09.04.2004 год (интерес к математике) 21 Скоголь Сандра 30.11.2004 ( играет в шахматы) Минушов Миша 26.12.2004 год (занимается футболом) Дата рождения влияет на творческие способности ребят. В первой группе,   где   аккорды   звучат   мелодично,   оказалось   большинство   детей   с творческими наклонностями: некоторые из них занимаются в художественной школе или танцами. Эти ребята косвенно или напрямую связаны с музыкой. Вторая группа ребят, где аккорды звучали «резко», большинство занимаются изучением точных наук: математикой или физикой. Литература 1. Интернет ресурс: Letopisi.ru проект «Музыкальная математика».  2. Келдыш   Ю.   «Музыкальная   энциклопедия»М.:   В.   Советская энциклопедия, 1974 г. 3. Теория современной композиции. Музыка, 2005. 4. Тростников В. И. Алгебра гармонии. М., 1999. 5. Шерман Н. «Формирование равномерно­темперированного строя»­М.: Просвещение, 1964 г. 6. Хорошо темперированный клавир: Ноты произведений на International Music Score Library Project   Н. 7. Холопов   Ю.   Консонанс   и   диссонанс   //   Музыкальный энциклопедический   словарь.   Советская   энциклопедия, 1990..Вахромеев В. «Элементарная теория музыки»­М.: Просвещение, 1989 г.   М.: 8. Волошинов А. В. «Математика и искусство»­М.: Просвещение, 1992 г. 9. Живайкин П. «600 звуковых и музыкальных программ»­С. Петербург., 1999 г. 10.Интернет ресурс:  http://ru.wikibooks.org/wiki 11.Ямвлих.»О   Пифагоровой   жизни»   перевод   с   древнегреческого     И.Ю Мельниковой  М.: Алетейа,2002 г. 12.Интернет ресурс  miep.unecon.ru/5524 22