МАТЕМАТИКАЛЫҚ МАЯТНИКТІҢ КӨМЕГІМЕН ЕРКІН ТҮСУ ҮДЕУІН АНЫҚТАУ.

МАТЕМАТИКАЛЫҚ МАЯТНИКТІҢ  КӨМЕГІМЕН  ЕРКІН ТҮСУ ҮДЕУІН АНЫҚТАУ. Сабақ тақырыбы: Зертханалық жұмыс  1.Жұмыстың   мақсаты:   Математикалық   маятниктің   тербеліс   периодының  шарик     массасына, тербеліс     амплитудасына,   жіптің   ұзындығына   байланысын  зерттеу. Математикалық маятниктің көмегімен еркін түсу үдеуін анықтау. 1.Құрал­жабдықтар: Штативке бекітілген математикалық маятник, жүктер  жиынтығы, өлшеуіш сызғыш, секундомер. 2.Теориялық мәліметтер Жүйені   тепе­теңдік   қалпынан   шығарған   кезде   қозғалыс   күйінің   қайталанып   өзгеріп   отыруын тербелмелі  қозгалыс  дейміз. Мұндай қозғалыстар тұрақты уақыт  аралығында қайталанып отырса, периодтық  тербелістер деп аталады. Периодтық   тербелістің   қарапайым   түрі  гармоникалық  тербеліс.  Ондай  тербелісте  нүктенің уақыт бойынша ығысуы синус немесе косинус заңымен сиппатталады(4.1 сурет):  (4.1) 4.1 Сурет Нүктенің уақыт бойынша ығысуы келесі теңдеу бойынша өзгереді: мұндағы: А ­ тербеліс амплитудасы; ) ­ тербеліс фазасы; 0 t ( φ о ­ бастапқы фаза; ω ­ циклдік жиілік. Период (Т) және сызықтық (меншікті) жиілік (ν) тербелмелі козғалыстың негізгі сипаттамалары. Өшпейтін тербелістің Т тербеліс периоды деп толық бір тербеліс жасауға кеткен уақытты айтады. t Ол толық уақыттың сол уақыттың ішінде жасалынған тербелістер санына қатынасына тең   N Тербелістің V сызыцтық жиілігі деп бір секундта жасалған толық тербеліс санын айтады. Т және ω шамалары төмендегідей өрнектермен байланысқан:         (4.2) 1  ,  2 1 (4.2)­өрнекті   ескере   отырып,     гармоникалық    тербелістің   теңдеуін   төмендегідей  түрде   жазуға болады:  n N a m l  ma m  n N a m  1   2   cos( t   o )   o sin(  t ) 2  o cos(  t )  2   t  2  t  cos  cos dx dt  ad 2 dt 2  x a x   2 ad 2 dt g l  sin   0 2 t  (  2  a m n i a m a m t t l g l g 1 4 2 sin 2 t i ) rn 2  ...) cos 1(   0 cos(  a m m   l    l 2   o 2    ) S o t n N n N   2 ad 2 dt ( t   1 nn   2   ) o  )1  2  2  rn 2  1 1    ) t sin( t 1 o   n n  11 22   ) t     ) t sin( o 1 2 o n N n ma N 1 ma  m   2 1    2     2   cos t  2  cos(   2  cos    cos t dx  2    x dt   cos( dx a   x x dt 2 ad     a 2 dt o x 2 2 g ad ad    2 2 l dt dt 2 g ad l      sin 2 1( Егер бастапқы фаза ( о=0 болса болса, онда гармониялық тербелістің теңдеуі  2 l dt g болады: l 2 ad   2   2 g 2 dt 2 ad l   2   2 2 dt g l n    2  t ( g   S 1 i  )1 ( nn n   2 t ( ) t i   2 rn 2    S 1 i 1 2    ( )1 nn 1 2 1  0 sin φ 4 1 4  o 2  o 2  1(  0   0 cos(  0  ...)  ...) rn 2 2 t i ) 2 sin sin t  t 1 t 2 2 ) 2 темендегідей түрде 2  n N a m l  ma m  n N a m  1   2   cos( t   o )                               2   t  2  t  cos  cos  x a x dx dt  ad 2 dt 2   o sin(  t ) 2  o cos(  t ) 2 ad 2 dt  g l   2 sin   0 l g 1(  1 4 2 sin  o 2  ...) 2 ad 2 dt  2   0   2 l g  2 t i )  )1  2  2 2 rn n ( t   1 nn ( i S t  1  2  1  n 11  1 rn 1    n 22  2 2 3  n N a m l  ma m  n N a m  1   2   cos( t   o )  2   t  2  t  cos  cos  x a x dx dt  ad 2 dt 2   o sin(  t ) 2  o cos(  t                               )                                  (4.4) 2 ad 2 dt  g l   2 sin   0 l g 1(  1 4 2 sin  o 2  ...) 2 ad 2 dt  2   0   2 l g n ( t   1 nn ( i S t   2 t i ) 1  2  1  n 11  1 rn 1    n 22  2  )1  2  2 2 rn 2 Халық   аралық   өлшеу   жүйесінде   циклдік   жиілік   рад/с   пен   өлшенеді,   период   ­с   (секундпен), меншікті жиілік ­ герцпен, 1Гц = 1c­1. Жылдамдық     және үдеу  аx  гармоникалық тербеліс кезінде периодтық  заңдылықпен өзгереді. (4.1) теңдеуден: 4  n N a m l  ma m  n N a m  1   2   cos( t   o )  2   t  2  t  cos  cos  x a x   dx dt  ad 2 dt 2   o sin(  t ) 2  o cos(  t )     (4.5) 2 ad 2 dt  g l   2 sin   0 l g 1(  1 4 2 sin  o 2  ...) 2 ad 2 dt  2   0   2 l g  2 t i )  )1  2  2 2 rn n ( t   1 nn ( i S t  1  2  1  n 11  1 rn 1    n 22  2 2 5  n N a m l  ma m  n N a m  1   2   2   t  2  t  cos  cos  x a x   dx dt  ad 2 dt 2  cos( t   o )   o sin(  t ) 2  o cos(  t ) (4.6) 2 ad 2 dt  g l   2 sin   0 l g 1(  1 4 2 sin  o 2  ...) 2 ad 2 dt  2   0   2 l g  2 t i )  )1  2  2 2 rn 2 n ( t   1 nn ( i S t  1  2  1  n 11  1 rn 1    n 22  2  (4.1) ескере отырып, (4.6) үшін алатынымыз:                                                                                                                      (4.7) Бұл   теңңеу   екінші   ретті   біртекті   дифференциалдық   теңдеу.   (4.1)   теңдеу   оның  шешімі   болып табылады. Математикалық   маятник  деп   салмақсыз,   созылмайтын   жіпке   бекітілген  ауырлык   күшінің салдарынан тербеліс жасайтын материялық нүктені айтады.  Практикада ұзын, созылмайтын  жіпке ілінген,   салмағы   үлкен   емес   шарик  математикалық   маятникке   мысал   бола   алады.   Массасы   m 6 маятник тепе­тең  қалпынан  жіптің керілу күшінің Ғk теңәсерлі күші салдарынан шарик жанама а үдеу алады.  бұрышқа ауытқығанда, 4.2 суреттегідей mg ауырлық күшінің және  α Ғx 4.2 суретінен мынаны аламыз: a  F m                                                                                                  F=m а a=­mgsin         (4.9) мұндағы   – маятниктің тепе­тендіктен ауытқу бұрышы,  α sinmg ­ қайтарушы күшті көрсетеді.            4.2 Сурет Сызықгық  а  және бұрыштық ε үдеулер бір­бірімен төмендегідей байланысады:                       a                          (4.10) l мұндағы  L ­ жіптің ұзындығы. Сонымен қатар анықтама бойынша 7  n N a m l  ma m  n N a m  1   2   cos( t   o )  2   t  2  t  cos  cos  x a x dx dt  ad 2 dt 2   o sin(  t ) 2  o cos(  t )                                 2 ad 2 dt  g l   2 sin   0 l g 1(  1 4 2 sin  o 2  ...) 2 ad 2 dt  2   0   2 l g n ( t   1 nn ( i S t   2 t i ) 1  2  1  n 11  1 rn 1    n 22  2  )1  2  2 2 rn 2                                                          (4.11)  (4.9), (4.10), (4.11) формулаларын (4.8) теңдеуіне қойып мынаны аламыз: 8  cos( t   o )  n N a m l  ma m  n N a m  1   2   2   t  2  t  cos  cos  x a x dx dt  ad 2 dt 2   o sin(  t ) 2  o cos(  t )  (4.12)                           2 ad 2 dt  g l   2 sin   0 l g 1(  1 4 2 sin  o 2  ...) 2 ad 2 dt  2   0   2 l g n ( t   1 nn ( i S t   2 t i ) 1  2  1  n 11  1 rn 1    n 22  2  )1  2  2 2 rn 2 Ауытқу  бұрышы  үлкен   болған  жағдайда  бүл  теңдеудің  шешімі  теориялық механикада беріледі, және тербеліс периоды үшін төмендегідей болады: 9  n N a m l  ma m  n N a m  1   2   cos( t   o )  2   t  2  t  cos  cos  x a x   dx dt  ad 2 dt 2   o sin(  t ) 2  o cos(  t ) 2 ad 2 dt  g l   2 sin   0 l g 1(  1 4 2 sin  o 2  ...) 2 ad 2 dt  2   0   2 l g  2 t i )  )1  2  2 2 rn 2 n ( t   1 nn ( i S t  1  2  1  n 11  1 rn 1    n 22  2 Ауытқу   бүрышы   аз   болғанда sin болады. Онда (4.12) өрнек:   шамасын   радианмен   алынған   α   шамасымен   алмастыруға (4.14) 10  n N a m l  ma m  n N a m  1   2   cos( t   o )  2   t  2  t  cos  cos  x a x   dx dt  ad 2 dt 2   o sin(  t ) 2  o cos(  t ) 2 ad 2 dt  g l   2 sin   0 l g 1(  1 4 2 sin  o 2  ...) 2 ad 2 dt  2   0   2 l g  2 t i )  )1  2  2 2 rn 2 n ( t   1 nn ( i S t  1  2  1  n 11  1 rn 1    n 22  2 мұндағы  g2 l (4.14)   теңдеу   (4.7)   теңдеуіне   ұқсас   және   бұл   тендеулер   гармониялық  тербеліс   теңдеулері болып   табылады.   Олай   болса,   математикалық   маятник   тепе­теңдіктен   ауытқу   бұрышы   аз   болған жағдайда гармониялық тербеліс жасайды. (4.2) өрнек негізінде математикалық маятниктың тербеліс периодын анықтаймыз: 11  n N a m l  ma m  n N a m  1   2   cos( t   o )  2   t  2  t  cos  cos  x a x dx dt  ad 2 dt 2                                                      o sin(  t ) 2  o cos(  t )     (4.15) 2 ad 2 dt  g l   2 sin   0 l g 1(  1 4 2 sin  o 2  ...) 2 ad 2 dt  2   0   2 l g n ( t   1 nn ( i S t   2 t i ) 1  2  1  n 11  1 rn 1    n 22  2  )1  2  2 2 rn 2 (4.15) формуласынан шығатыны, ауытқу бүрышы аз болған жағдайда, математикалық маятниктың тербеліс   периоды   жіптің     ұзындығы   мен   g   еркін   түсу   үдеуіне   байланысты.   Сондықтан   осы формуланы еркін түсу үдеуді анықтау үшін пайдалануға болады. 4. Жұмысты орындау тәртібі 1­тапсырма.        Математикалық       маятниктің       тербеліс       периодының       шарик  массасына тәуелділігін зерттеу. 1)Массасы m1 таңдалған шариктің N толық тербелісіне кеткен t уақытты өлшеп,  тербеліс периодын Т=  есептеңіз. Тәжирибені үш рет қайталаңыз. Өлшеу нәтижелерін 4.1­кестеге енгізіңіз. t N 2) Массасы m2 және m3 шариктер үшін дәл осындай өлшеулерді бір рет жүргізіңіз. Әр массалар үшін тәжірибені   бірдей   жағдайда   жүргізіңіз,   әр   түрлі   шариктердің  центрлерінің   бір   биіктікте   болуын қадағалаңыз. 12 4.1­ Кесте 3) Орташа квадратттық қателікті есептеңіз:  n N a m l  ma m  n N a m  1  2    cos( t   o )   sin(  t ) o 2  cos(  t ) o  2   t  2  t  cos  cos  x a x   dx dt  ad dt 2 2 2 ad dt 2  g l   2 sin   0 l g 1(  1 4 2 sin o  2  ...) 2 ad dt 2  2   0   2 l g t i 2 )  )1  2  2 2  rn 2  n ( t   1 nn ( i rn 1  2  n  2 2 S t  1  2   n 1  1 1 1 мұндағы n­өлшеу саны. Өлшеу   қателігін   тек   үш   массаның   біреуі   үшін   есептеу   жеткілікті.   Кездейсоқ   қателік   үшін сенімділік ықтималдығын  =0,95 деп алыңыз.  α 13 4) Уақытты анықтаудағы жалпы қателікті есептеңіз: Мұндағы  құралдың қателігін  =0,1  δ с деп қабылдаңыз (секундомердің қателігі). 5)  Тербеліс  периодын  анықтаудағы  абсолют  қателікті     және  салыстырмалы  қателікті t N  %100   анықтаңыз. 6) Математикалық маятниктің тербеліс периодының шарик массасына тәуелділігі жайында қорытьнды жасаңыз.  Математикалық   маятниіктың   тербеліс   периодының   жіптің   ауытқу  бұрышына 2­тапсырма. (амплитудаға) тәуелділігін зерттеу. 1) Жіптің әр түрлі ауытқу бұрышы үшін N толық тербеліске кеткен  t  уақытты  өлшеп, тербеліс периодын есептеңіз. 1 ауытқу бұрышы үшін үш өлшеу жүргізіп, өлшеу нәтижелерін 4.2­кестеге енгізіңіз. 2)  3)2,  3  ауытқу бұрыштары үшін бір өлшеуден жүргізу жеткілікті және бұл өлшеу  нәтижелерін де кестеге енгізіңіз. 4)1­тапсырмадағыдай маятниктің бір ауытқу бұрышы үшін тербеліс периодының қателігін есептеңіэ. 4.2 ­ Кесте 5)   Математикалық   маятниктің   тербеліс   периодыньщ   ауытқу   бұрышына   тәуелділігі   жайында қорытынды жасаңыз. 3­тапсырма.         Математикалык       маятниктің         тербеліс         периодының       жіптің  ұзындығына тәуелділігін зерттеу. 1)Жіптің әр түрлі ұзындығы үшін N толық тербеліске кеткен t уақытты өлшеп, тербеліс периодын есептеңіз. 2)Бір ұзындық үшін үш өлшеу жүргізіп, өлшеу нәтижелерін 4.3 кестеге енгізіңіз. 3) Қалған   ұзындықтар   үшін,   бір   өлшеуден   жүргізу   жеткілікті   және   бұл   өлшеу  нәтижелерін   де кестеге енгізіңіз. 4) 1­тапсырмадағыдай   маятниктің   бір   ұзындығы   үшін   тербеліс   периодын   анықтау қателігін есептеңіз. 5) Математикалық маятниктің тербеліс периодының жіптің ұзындығына тәуелділігі жайында қорытынды жасаңыз. 4.3­Кесте 14 6)   Математикалық   маятниктің   тербеліс   периодының   жіптің   ұзындығына  тәуелділік графигін  2/1l  координаталар жүйесінде керсетіңіз. 4­тапсырма  Математикалық   маятниктің   көмегімен еркін түсу үдеуін анықтау.  1) Еркін түсу ұдеуін анықтау ушін (4,15) формуласынан g өрнектейміз:  g  l  24  2 Маятник жібінің ең үлкен мүмкін болатын ұзындығын алып, бірнеше қайтара өлшеп,   нәтижесін   4.4 кестеге     енгізіңіз.     Маятниктің     ауытқу     бұрышы     аз  шамасында (5°) 30 дан кем емес тербеліс санының уақытьн өлшеңіз.  2) g­ды есептеуде салыстырмалы және абсолют қателікті келесі формула бойынша анықтаңыз: 4.4­Кесте мұндағы ұзындықты елшеу қателігі  l 2 S 1 2  2 t , (δ=0,5 10­3м). 3)Т периодты анықтаудағы қателіктерді 1­3 тапсырмадағыдай табыңыз. 4)Жауабын жазып, алынған нәтиженің дұрыстығын бағалаңыз. 5)Жұмысты қорытындылаңыз Бақылау сұрақтары 1) Математикалық маятниктің анықтамасын беріңіз. 2) Гармониялық тербелістің негізгі дифференциалдық теңдеуін жазыңыз және оның шешімі қандай? 3) Гармониялық   тербелістің    негізгі    сипаттамаларына   анықтама   беріңіз (амплитуда, период, циклдік, сызықтық жиілік және фаза). 1) Математикалық маятниктің тербеліс периодын  анықтайтын формуланы қорыту керек. 2) g жергілікті географиялық ендікке қалай байланысты? 3) Егер тәжірибені теңіз деңгейінде жүргізсе g қалай өзгереді? Биік тауда жүргізсе? Шахтада? 7) Егер тәжірибені космостық станцияда, лифтіде, қозғалыста немесе тежеу  кезінде орындаса өлшеу нәтижесі өзгере ме? 7) 3­тапсырмада графикті неге  8) Гравиметрия деген не? 2/1l координасында тұрғызу ұсылынған? 15 9) Математикалық маятниктің көмегімен Жер массасын анықтауға бола ма? Үй тапсырмасы: қайталау Сабақты қорытындылау: Баға қою, оларға комментарий беру 16