Материалы к изучению темы " Решение линейных уравнений с параметром"

к изучению темы «Решение Задачи линейных уравнений с параметрами» МБОУ СОШ № 10 Г. Новороссийск Учитель математики Волкова О.А.

Схема решения линейного уравнения с параметрами Ax = B да нет (А≠0) A=0 да B=0 0∙x = 0 Х – любое действитель ное число нет 0∙х = В нет решений единственное решение X=

Задача №1.Решить уравнение с параметром m(mx- 1)=3(mx-1) 1) Приведем уравнение к виду Ах=В, для этого раскроем скобки и члены содержащие х перенесем в m2x- 3mx=m-3 m(m­3)x=m­3 левую часть (m2-3m)x=m-3 2) При m(m-3)≠0, т.е.при m≠0 и m≠3 в уравнении единственное решение 4) если m=3, получим 0∙х=0 В уравнении бесконечное множество решений x   m  mm 3 3  , x 1 m 3) если m=0, получим уравнение 0∙х= - 3, в котором нет решений Ответ: при m≠0 и m≠3 единственное решение при m=0 нет корней при m=3 бесконечное множество решений.   1 m x

Задача № 2. (2а-1)х=3а+(а+2)х (2а-1)х-(а+2)=3а (2а-1-а-2)х=3а (a-3)x=3a 1) при а≠3 единственное решение 2) при а=3, получим 0∙х=9 нет корней х  3 а  а 3 3) при а=0, получим -3х=0 х=0 – единственное решение. Ответ: при а≠3 единственное решение 3 а  а при а=3 – нет корней.    х 3

Задача № 3. (ab+2)x+a=2b+(b+2a)x (ab+2)x-(b+2a)x=2b-a (ab+2-b-2a)x=2b-a (ab-b+2-2a)x=2b-a (-b(1-a)+2(1-a))x=2b-a (1-a)(2-b)x=2b-a (a-1)(b-2)x=2b-a 1) при а≠1 и b≠2 – единственное решение 2) при а=1 0∙х=2b-1, если при этом а) 2b-1=0, т.е. , получим 0∙х=0 х – любое число б) при , получим 1b 2 0∙х=2b-1 нет корней х   2 ab    1 b  a 2

3) при b=2 получим 0∙х=4-а а) 4-а=0 а=4, получим 0∙х=0, х – любое число б) а≠4, получим 0∙х=4-а, нет решений 4) а=1, b=2, получим 0∙х=3 нет решений а a Ответ: 1) при а≠1 и b≠2 – единственное  х решение  1   b ,1  2 2) при    ,4 b 2 х – любое число 1  ,1 b 3) при 2   ,4 2 b  b ,1 2 а a a нет решений         ab 2    b 1  a 2

Задача № 4. а2х-2а2+3=х+а Перенесем члены, содержащие х в левую часть уравнения а2х-х=2а2+а-3 и разложим на множители (а2-1)х=2(а-1)(а+1,5) 1) при а≠1 и а≠-1   х   а 2  а    а 1  а 1  5,1 1   - единственное решение 2) при а=1, получим 0∙х=0 х – любое число при а=-1, получим 0∙х=-4∙0,5 нет корней Ответ: при а≠1 и а≠-1, единственное решение при а=1, х – любое число при а=-1 – нет решений х  2 а а  3  1

 3 x ax ab 1 2  b  2 3 Задача № 5. Умножим уравнение на 6, получим и приведем его к виду Ах=В   3  3  32  6  6 b   x  ab ab 6 b ах 6 ах 2 4 6  x 3b 2 число   х x 6  1   63 b b 63  6 4 ах ab   4 ab a 6 1) при а-1≠0 а≠1 единственное решение 2) при а=1, получим 0∙х=3-6b+4b 0∙х=3-2b a) при 3-2b≠0 б)при 3-2b =0 63 b  a 6 4 1   ab  x  3b 2 нет решений б) при 3-2b=0 х – любое

Ответ: 1) при а≠1 единственное решение x  ab  63 b  6 a   4 1 2) при а=1 и нет решений 3b 2 3) при а=1 и х – любое число 3b 2

Перенесем все в левую часть уравнения и приведем к общему знаменателю Задача № 6.  2 а  1 х  3  х  1  а 7 а  2 а  1 х   а   2 а  1 х  х  а х  0  1  1 7 а  7  0  3  3 а 1) при а=0 уравнение не имеет корней 2) при а≠0   х 3   1  1   х  а а 7 0 2 2ах+2х-3ах-3а-7=0 2х-ах=7+3а (2-а)х=7+3а а) при а≠2 х   37 а  2 а б) при а=2 получим 0∙х=13 В уравнении нет корней Ответ: при а=0 или а=2 – нет корней при а≠0 и а≠2 единственное решение    37 а  2 а  х

Задача № 7. mx  x 3 m  7 m 8 m  2 x Перенесем все в левую часть уравнения и приведем к общему знаменателю 2 xm  3 mx  2 7 m  28 mx  0  m 1) при m=0 нет корней 2) при m≠0 получим 2 2 0 xm 2 xm  2 m  m      m 7 28 mx 3 mx     2 m 7 m 8 3 mx 2 x      2 2 3 7 8 m mx m     8     m mx 3 m 1 1 а) при m≠1, m≠-3  x  x  1  1 m m  8 3     m m   m m   8 3 - единственное решение Ответ: 1) при m≠0, m≠1, m≠-3 единственное решение x  m m   8 3 2) при m=0 или m=-3 нет корней 3) при m=1 х- любое число б) при m=1 получим 0∙х=0 – х любое число в) при m=-3 0∙х=-4.5 нет решений

Задача № 8.  2 mx 9 x 3    2 m 3  x 3  m x   5 3 Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю m   x x  mx  3 mx    x 3       0 5 3  3  5 2 3 x   3 m m  2 m 3   x 3     3 3 x     x 3 x   m x 3   3 x    3    3 m   3 1) упростим уравнение   x 2 3      mx   0  0 3   5 x  0 Получим а) при m=1 имеем 0∙х=8 нет корней б) при m≠1 - единственное решение.

Проверим не равен ли полученный ответ 3 или -3 3(m-1)≠8 3m-3≠8 3m≠11 -3(m-1)≠8 -3m+3≠8 -3m≠5 Ответ: 1) при ; ; m≠1 Единственное решение 2) при ; ; m=1 Нет решений

Задача № 9 Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю 1)  при х≠0, а≠b, а≠­b получим а) b≠0 x= - единственное решение б) при b=0 получим 0∙х=0 х – любое число, кроме нуля

2) при а=b и а=-b знаменатель равен нулю и следовательно нет решений Ответ: 1) при а≠b, а≠-b, b≠0 единственное решение х= 2) при а=b и а=-b нет корней 3) при b=0 х – любое число, кроме нуля

Задача № 10. Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю 1) при m=-2, знаменатель равен нулю, следовательно – нет корней 2) при m≠-2, получим Приведем уравнение к виду Ах=В   получим систему

т. е. х≠3 х≠-3 а) при 6m+9=0 m=-1,5 уравнение имеет вид 0∙х=-6,5 в уравнении нет корней б) при m≠-1,5 3) проверим не равен ли полученный корень 3 или -3 а) 21m+38≠18m+27 3m≠-11 m≠- б) 21m+38≠-18m-27 39m≠-65

Ответ: 1) при m=-2; m=- ; m=-1,5 нет решений 2) при m≠-2; m≠- ; m≠-1,5 Единственное решение

Задача № 11. Перенесем все в левую часть уравнения и приведем к общему знаменателю 1) при m=0 в уравнении нет корней 2) при m≠0, получим систему а) приведем уравнения в виду Ах=В =0

Получим систему б) при m≠1, m≠-1 в) проверим, не равен ли полученный корень 1 при любом m г) при m=1, получим 0∙х=0 х – любое число д) при m=-1, получим 0∙х=2 нет корней

Ответ: 1) при m≠0, m≠1, m≠-1 Единственное решение 2) при m=0, m=-1 нет решений 3) при m=1 х – любое число, кроме 1.