СПб ГБПОУ «Санкт-Петербургский техникум отраслевых технологий, финансов и права»
СПб ГБПОУ «Санкт-Петербургский техникум отраслевых технологий, финансов и права» СПб ГБПОУ «СПбТОТФиП»
«МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ»
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ Матрица — это прямоугольная таблица, образованная из элементов некоторого множества и состоящая из m строк и n столбцов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ
Матрица —
это прямоугольная таблица, образованная из элементов некоторого множества и состоящая из m строк и n столбцов.
2
Матрицей A размера m×n называется: прямоугольная таблица чисел, функций или алгебраических выражений, содержащая m строк и n столбцов
Матрицей A размера m×n называется:
прямоугольная таблица чисел, функций или алгебраических выражений, содержащая m строк и n столбцов.
3
Числа m и n определяют размер матрицы
Числа m и n определяют размер матрицы
Матрицы принято обозначать прописными буквами латинского алфавита:
A, B, C, D
4
Числа, функции или алгебраические выражения, образующие матрицу называются матричными элементами
Числа, функции или алгебраические выражения, образующие матрицу называются матричными элементами.
5
Будем обозначать их строчными буквами с двумя индексами
Будем обозначать их строчными буквами с двумя индексами.
1) Первый индекс i=1,2,. . . ,m - указывает номер строки
2) Второй индекс j=1,2,. . . ,n — номер столбца, в которых располагается соответствующий элемент
6
Таким образом: 7
Таким образом:
7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 1 Две матрицы A и
ОПРЕДЕЛЕНИЕ № 1
Две матрицы A и B одинакового размера называются равными, если они совпадают поэлементно.
aij = bij для всех i=1,2,. . . ,m и j=1,2,. . . ,n
8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №2 Матрица A = (a11 a12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №2
Матрица
A = (a11 a12 . . . a1n)
состоящая из одной строки, называется матрицей–строкой
9
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №3 Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №3
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом
10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №4 Матрица называется квадратной n–го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n : 11
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №4
Матрица называется квадратной n–го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:
11
ПРИМЕР КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ ТРЕТЬЕГО
ПРИМЕР КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №5 Матричные элементы aii квадратной матрицы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №5
Матричные элементы
aii квадратной матрицы A n×n
называются
диагональными (i = 1, 2, . . . , n).
13
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №6 Последовательность a11, a22,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №6
Последовательность
a11, a22, . . . , ann
диагональных матричных элементов образует главную диагональ квадратной матрицы, идущую из ее левого верхнего угла в правый нижний угол.
14
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №7 Последовательность an1, a(n−1)2,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №7
Последовательность
an1, a(n−1)2, . . . , a1n
матричных элементов образует побочную диагональ квадратной матрицы, идущую из ее левого нижнего угла в правый верхний угол.
15
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №8 Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, т
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №8
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, т. е.
aij = 0 при i ≠ j,
то такая матрица называется диагональной
16
ПРИМЕР ДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ ТРЕТЬЕГО
ПРИМЕР ДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
17
Определение №9 Если у диагональной матрицы n–го порядка
Определение №9
Если у диагональной матрицы n–го порядка E все диагональные элементы равны единице, то такая матрица называется
единичной матрицей
n–го порядка.
18
ПРИМЕР ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ ТРЕТЬЕГО
ПРИМЕР ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
19
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №10 Матрица любого размера называется нулевой , или нуль–матрицей , если все ее элементы равны нулю 20
ОПРЕДЕЛЕНИЕ №10
Матрица любого размера называется
нулевой, или нуль–матрицей,
если все ее элементы равны нулю
20
ПРИМЕР НУЛЕВОЙ МАТРИЦЫ 21
ПРИМЕР НУЛЕВОЙ МАТРИЦЫ
21
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО Произведением матрицы
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО
Произведением матрицы
Amxn = (aij)
на вещественное число λ
называется матрица
Bmxn = (bij)
такая, что
22
ПРИМЕР. УМНОЖИТЬ МАТРИЦУ «А» НА «3»,
ПРИМЕР. УМНОЖИТЬ МАТРИЦУ «А» НА «3», ТО ЕСТЬ НАЙТИ МАТРИЦУ «3А», ЕСЛИ
23
УМНОЖИМ КАЖДЫЙ ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ
УМНОЖИМ КАЖДЫЙ ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ НА 3 и ПОЛУЧИМ,ЧТО
24
СЛЕДСТВИЕ Общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы 25
СЛЕДСТВИЕ
Общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы
25
ПРИМЕР 26
ПРИМЕР
26
Свойства умножения матрицы на число
Свойства умножения матрицы на число
Сочетательное свойство относительно числового сомножителя:
(λμ)А = λ(μА).
27
Свойства умножения матрицы на число 2
Свойства умножения матрицы на число
2. Распределительное свойство относительно суммы матриц:
λ(А + В) = λА + λB
28
Свойства умножения матрицы на число 3
Свойства умножения матрицы на число
3. Распределительное свойство относительно суммы чисел:
(λ + μ)А = λА + μА.
29
СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ Суммой A + B двух матриц
СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Суммой A + B двух матриц
A = (aij ) и B = (bij )
одинакового размера m × n
называется матрица
C = (cij), элементы которой
cij = aij + bij
для всех i=1,2,. . . ,m и j=1,2,. . . ,n.
30
КАК НАЙТИ СУММУ МАТРИЦ? 31
КАК НАЙТИ СУММУ МАТРИЦ?
31
ПРИМЕР. НЕОБХОДИМО СЛОЖИТЬ МАТРИЦУ «А» и «В» 32
ПРИМЕР. НЕОБХОДИМО СЛОЖИТЬ МАТРИЦУ «А» и «В»
32
ПОПАРНО СЛОЖИМ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ
ПОПАРНО СЛОЖИМ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
33
Свойства сложения матриц Переместительное свойство:
Свойства сложения матриц
Переместительное свойство:
A + B = B + A
34
Свойства сложения матриц 2. Сочетательное свойство: (A +
Свойства сложения матриц
2. Сочетательное свойство:
(A + B) + C = A + (B + C).
35
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ 36
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
36
ОБОЗНАЧЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ C =
ОБОЗНАЧЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
C = A * B
Операция умножения двух матриц определяется только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы
37
ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ В
ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ В ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ МАТРИЦ МОЖНО СХЕМАТИЧЕСКИ ИЗОБРАЗИТЬ ТАК:
38
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ 1) Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
1) Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
Складываем полученные произведения.
Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
39
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ 2) Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
2) Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
Складываем полученные произведения.
Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
40
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ 3) Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
3) Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
41
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ 4) Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в…
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
4) Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
42
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ 5) Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены
АЛГОРИТМ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ
5) Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.
43
ПРИМЕР. УМНОЖИМ МАТРИЦУ «А» НА
ПРИМЕР. УМНОЖИМ МАТРИЦУ «А» НА МАТРИЦУ «Б»
44
СЛЕДУЕМ АЛГОРИТМУ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦУ
СЛЕДУЕМ АЛГОРИТМУ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦУ НА МАТРИЦУ
45
СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДНИЯ МАТРИЦ Перестановочное свойство в общем случае не выполняется:
СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДНИЯ МАТРИЦ
Перестановочное свойство в общем случае не выполняется:
AB≠BA.
46
ДОКАЖЕМ НА ПРИМЕРЕ 47
ДОКАЖЕМ НА ПРИМЕРЕ
47
ДОКАЖЕМ НА ПРИМЕРЕ 48
ДОКАЖЕМ НА ПРИМЕРЕ
48
СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДНИЯ МАТРИЦ 2.
СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДНИЯ МАТРИЦ
2. Сочетательное свойство:
(AB)C = A(BC).
49
СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДНИЯ МАТРИЦ 3.
СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДНИЯ МАТРИЦ
3. Распределительное свойство относительно суммы матриц:
(A+ B )C =AC + BC
или
A(B +C) = AB + AC.
50
СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДНИЯ МАТРИЦ 4.
СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДНИЯ МАТРИЦ
4. Если А — квадратная матрица,
а Е — единичная матрица того же
порядка, что и А, то
ЕА = АЕ = А.
51
ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной
ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной.
Обозначение: АТ
52
ПРИМЕР. НЕОБХОДИМО ТРАНСПОНИРОВАТЬ
ПРИМЕР. НЕОБХОДИМО ТРАНСПОНИРОВАТЬ МАТРИЦУ «А»
53
ПОМЕНЯЕМ КАЖДУЮ СТРОКУ МАТРИЦЫ
ПОМЕНЯЕМ КАЖДУЮ СТРОКУ МАТРИЦЫ ЕЕ СТОЛБЦОМ
54
Свойства операции транспонирования 55
Свойства операции транспонирования
55
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадратная матрица
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратная матрица А называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной, то есть
А = АТ .
56
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадратная матрица
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратная матрица А называется кососимметрической, если совпадает со своей транспонированной, умноженной на число (–1), то есть
А = –АТ .
57
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Для квадратной матрицы
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Для квадратной матрицы А порядка n введем числовую характеристику, называемую
определителем или детерминантом.
58
ОБОЗНАЧЕНИЯ 59
ОБОЗНАЧЕНИЯ
59
ПРАВИЛА 60
ПРАВИЛА
60
РАССМОТРИМ НА ПРИМЕРЕ 61
РАССМОТРИМ НА ПРИМЕРЕ
61
РАССМОТРИМ НА ПРИМЕРЕ 62
РАССМОТРИМ НА ПРИМЕРЕ
62
Свойства определителей 63
Свойства определителей
63
Свойства определителей 64
Свойства определителей
64
Свойства определителей 65
Свойства определителей
65
Свойства определителей 66
Свойства определителей
66
Свойства определителей 67
Свойства определителей
67
Свойства определителей 68
Свойства определителей
68
Свойства определителей 69
Свойства определителей
69
МИНОР МАТРИЦЫ Минором элемента aij определителя n ‑го порядка называется определитель ( n -1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении…
МИНОР МАТРИЦЫ
Минором элемента aij определителя n‑го порядка называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Обозначение: Mij.
70
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется минор, взятый со знаком «плюс», если сумма ( i + j ) — четное число, и со…
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Алгебраическим дополнением элемента
aij определителя называется минор, взятый со знаком «плюс», если сумма (i + j) — четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная.
71
ОБОЗНАЧЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ДОПОЛНЕНИЯ
ОБОЗНАЧЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ДОПОЛНЕНИЯ
Обозначение: Aij.
Aij = (-1)i+j * Mij
72
РАССМОТРИМ НА ПРИМЕРЕ 73
РАССМОТРИМ НА ПРИМЕРЕ
73
Свойства определителей 74
Свойства определителей
74
РАССМОТРИМ НА ПРИМЕРЕ 75
РАССМОТРИМ НА ПРИМЕРЕ
75
Свойства определителей 76
Свойства определителей
76
Свойства определителей 77
Свойства определителей
77
Свойства определителей 78
Свойства определителей
78
Свойства определителей 79
Свойства определителей
79
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
