Метод

4 Методы решения нелинейных уравнений

Слайд

В инженерной практике часто возникает задача нахождения значения  аргумента функции (аппроксимированной или нет), при котором эта функция равна определенному значению. Частный случай решения этой задачи – это нахождение корней уравнения.

Выбор подходящего метода для решения уравнений зависит от характера рассматриваемой задачи.

Слайд

Задачи, сводящиеся к решению алгебраических и трансцендентных уравнений, можно классифицировать в зависимости от предлагаемого характера и числа решений

Уравнение будем называть линейным, алгебраическим или трансцендентным в зависимости от того, имеет ли оно одно решение, n решений или неопределенное число решений.

Слайд

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией.

Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Слайд

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

точные методы;

итерационные методы.

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Как известно, многие уравнения не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой.

Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности.

Слайд

Пусть дано уравнение         

где:

1.                  Функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка.

2.                  Значения f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a) × f(b) < 0).

3.                  Первая и вторая производные f ¢ (x) и f ² (x) сохраняют определенный знак на всем отрезке.

Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.

Слайд

Решить уравнение итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью.

Всякое значение x0, обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что: f(x0)=0, называется корнем уравнения или нулем функции f(x).

Слайд

Если уравнение достаточно сложно, то задача точного определения корней является в некоторых случаях нерешаемой. Поэтому ставится задача найти такое приближенное значение корня x_пр, которое отличается от точного значения корня x₀ на величину, по модулю не превышающую указанной точности ε, то есть

│x₀ – x_пр │< ε

Величину ε также называют допустимой ошибкой, которую можно задать по своему усмотрению.

Слайд

Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:

1.                  отделение корней - отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2.                  уточнение приближенных корней - доведение их до заданной степени точности.

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных точках области ее существования x = a и x = b

Слайд Слайд Слайд

Пример

Отделить корни уравнения:  x³ - 6х + 2 = 0.

Составим приблизительную схему:

Следовательно, уравнение  имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3].

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом.

Слайд

В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней.

Принимая во внимание, что действительные корни уравнения - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение равносильным ему уравнением:                ,

где функции f1(x) и f2(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f1(x) и у = f2(x), получим искомые корни как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Слайд

Пример

Графически отделить корни уравнения   x lg x = 1.

Уравнение удобно переписать в виде

равенства :l g x=   . Отсюда ясно, что корни уравнения могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y =    . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень  уравнения  или определим его содержащий отрезок  [2, 3].