Метод решения задач по теме: "Метод равных потенциалов"

1. Перерисовываем схему. Проведем через точки подключения цепи прямую.
2. Воспользовавшись 1 или 2 способом определить точки равного потенциала.
3. Далее можно объединить точки равного потенциала, приводя задачу к более простому виду.
4. Если точек равного потенциала нет, то воспользоваться методом разделения узлов. Узел схемы можно разделить на два или несколько узлов, если получившиеся при этом узлы имеют одинаковые потенциалы. Обязательным условием при этом является проверка получившихся при разделении узлов на равенство потенциалов (симметричность или пропорциональность сопротивлений). Иными словами возвращаемся к пункту 2, а затем переходим к пункту 5.
5. Воспользовавшись элементарными знаниями по нахождению сопротивлений при параллельном и последовательном соединении, вычислить полное сопротивление цепи. Если же схема все еще сложная, то вернуться к пункту 1.

Пример 1. Пусть нам дана электрическая цепь, состоящая из сопротивлений R1, R2, …, R8 (рис. 1 а).

Рассмотрим отдельно 1 и 2 способ определения точек равного потенциала на задаче 1.

 1. Проведем через точки подключения цепи прямую АВ (рис. 1 б).

 2. 1 способ. Если схема содержит проводники с одинаковым сопротивлением, расположенные симметрично относительно определенной оси или плоскости, то концы этих проводников имеют одинаковый потенциал. При этом точки будут симметричными относительно прямой АВ, если равны сопротивления участков цепи между данными точками и любыми точками этой прямой.
Используя этой признак, можно сделать вывод, что точки С1 и С2 (рис. 1 б) будут симметричны относительно прямой АВ, если R1 = R2 (сопротивления между точкой А и С1 и между точкой А и С2 равны) и R5 = R6 (сопротивления между точкой В и С1 и между точкой В и С2 равны). Аналогично, точки С3 и С4 будут симметричны относительно прямой АВ, если R3 = R4 и R7 = R8.

2. 2 способ. Точки имеют одинаковый потенциал, если равны отношения сопротивлений между данными точками и точками подключения.

Например, точки С1 и С2 (рис. 1 а) имеют одинаковый потенциал, если

Аналогично, точки С3 и С4 имеют одинаковый потенциал, если

Эта задача приведена для примера. Перейдем к более трудной задаче.

Пример 2. Определите сопротивление электрической цепи (рис. 2), если: R1 = R3 = 2R, R2 = R4 = R, R5 = 3R.

1. Проводим через точки подключения прямую АВ (рис. 3 а),
2. Сопротивления участков АС1 и АС2 (R1 = R3) равны, и равны сопротивления участков ВС1 и ВС2 (R2 = R4). (Способ 1) Следовательно, точки С1 и С2 симметричны относительно прямой АВ и имеют равные потенциалы.
3. Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3, б).
5. Резисторы R1 и R3 соединены параллельно, и резисторы R2 и R4 – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

Пример 3. Определите сопротивление электрической цепи (рис. 2), если: R1 = R4 = 2R, R2 = 4R, R3 = R, R5 = 5R.

1. Если провести прямую АВ (рис. 3 а),
2. Сопротивления участков АС1 и АС2 не равны , следовательно, точки С1 и С2 не симметричны относительно прямой АВ. НО точки С1 и С2 имеют равные потенциалы, т.к.

3. Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3 б).
5. Резисторы R1 и R3 соединены параллельно, и резисторы R2 и R4 – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

Пример 4. Найдите сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 8) сопротивлением R0 каждый.

Тут надо воспользоваться методом разделения узла. Переходим к пункту 4.
4. Разделим узел в середине каркаса на два узла О1 и О2 так, как показано на рис. 9 а.
2. Проверка точек О1 и О2. Они имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO1, AO2, и равны сопротивления участков BO1, BO2. Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 9 б).

5. Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 9 в), т.к. сопротивление участка C1F1 равно

аналогично

Тогда общее сопротивление цепи равно

Обратите внимание. С точки зрения геометрии точки О3 и О4 симметричны относительно прямой а (рис. 9 г), но потенциалы этих точек не равны, т.к. сопротивления участков АО3 и АО4 не равны, а отношения сопротивлений участков АО3 и АО4 не равны отношению сопротивлений участков ВО3 и ВО4.

Пример 5. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А1 и В3 (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R0.

1. Проведем через точки подключения прямую А1В3 (рис. 5).

2. Равны сопротивления (равны длины – ребра) участков А1В1, А1А2 и А1А4, и равны сопротивления (равны длины – диагонали) участков В3В1, В3А2 и В3А4. Следовательно точки В1, А2 и А4 симметричны относительно прямой А1В3 и имеют равные потенциалы. Равны сопротивления участков А1А3, А1В2 и А1В4, и равны сопротивления участков В3А3, В3В2 и В3В4. Следовательно точки А3, В2 и В4 симметричны относительно прямой А1В3 и имеют равные потенциалы.

3. Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 6).

5. Три резистора R0 соединены параллельно между точками А1 и А2 (В1, А4), шесть резисторов R0 – параллельно между точками А2 (В1, А4) и А3 (В2, В4), три резистора R0 – параллельно между точками А3 (В2, В4) и В3, участки между этими точками соединены последовательно. Следовательно,

Пример 6. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А1 и В2.
Сопротивление каждого ребра R0.

Пример 7. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки сопротивлением R0 каждый.

Пример 6. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А1 и В2.
Сопротивление каждого ребра R0.

1. Проведем через точки подключения прямую А1В2 (рис. 7 а).

2. Равны сопротивления (равны длины – ребра) участков А1В1, А1А2, и равны сопротивления (равны длины – ребра) участков В2В1, В2А2. Следовательно точки В1 и А2 симметричны относительно прямой А1В2 и имеют равные потенциалы. Равны сопротивления участков А1А3 и А1В4, и равны сопротивления участков В2А3 и В2В4. Следовательно, точки А3 и В4А1 симметричны относительно прямой В2 и имеют равные потенциалы.

3. Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 б). Схема все еще сложная. Возвращаемся к 1 пункту.

Рис. 7а

Рис.7б

1. Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 7 в или г).

Рис. 7в

Рис. 7г

2. Точки А2 и В4 имеют равные потенциалы, т.к.

3. Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7д).

Рис. 7д

5. Резисторы на участке А1А2 соединены параллельно, и резисторы на участке А2В2 – параллельно, а эти участки соединены последовательно. Следовательно,

Пример 7. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 10) сопротивлением R0 каждый.

Рис. 10

Тут лучше использовать метод разделения узлов.
4. Разделим узел в середине каркаса на три узла О1, О2 и О3 так, как показано на рис. 11 а.

Рис. 11а

2. Это можно сделать, так как точки О1, О2 и О3 имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO1 и BO1, участков AO2 и BO2, и участков AO3 и BO3, следовательно, отношения сопротивления этих участков равны.
Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 11, б).

Рис. 11б

5. Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 11 в), т.к. сопротивление участка C1F1 и C2F2 равно

сопротивление

Тогда общее сопротивление цепи равно

Рис.11в