Метод интервалов

Непрерывность функции.  Решение неравенств с  помощью метода  интервалов

Определение 1: Если  lim f(x) = f(x0) при х    х0, то функцию f(x)  называют непрерывной в точке х0.   Определение 2: Если функция непрерывна в каждой точке некоторого  промежутка I , то ее называют непрерывной на этом  промежутке  (промежуток  I  называют  промежутком  непрерывности  функции).  График  функции  на  этом  промежутке представляет собой непрерывную линию,  о  которой  говорят,  что  ее  можно  «нарисовать,  не  отрывая карандаша от бумаги».

Метод интервалов основан на свойствах непрерывных  функций. Если на интервале (a; b) функция f(х) непрерывна и не  обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет  постоянный знак.  Пусть  функция  f  (х)  непрерывна  на  интервале  I  и  обращается  в  нуль  в  конечном  числе  точек  этого  интервала.  По  сформулированному  выше  свойству  непрерывных функций этими точками I разбивается на  интервалы,  в  каждом  из  которых  непрерывная  f(х)  сохраняет  постоянный  знак.  Чтобы  функция  определить  этот  знак,  достаточно  вычислить  значение  функции f в какой­либо одной точке из каждого такого  интервала.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов • Найти область определения функции f(x); •  Найти нули функции f(x); •  На числовую прямую нанести область определения и нули функции.  Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в  каждом из которых функция непрерывна и сохраняет постоянный  знак; •  Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив  значение функции в какой­либо одной точке из каждого промежутка; •  Записать ответ.

Решим неравенство  x   1  5 x 2   x  2 x    3   x   x  2    1  0.   x   x  2  2 x 5 x  (5   )( x x 2) 0, 1) Найдем область определения неравенства:    2,  x 3) Находим корни многочлена и определяем их кратность: х =1 (четная кратность), корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетная кратность). откуда 0,  x  x  5. + М -2 – ММ + -1 0 Н М – – 1 3 + – М 5 x 4) Определим знак многочлена при х = 10, и расставим остальные знаки с учетом кратности корней.  5) Запишем ответ: 3;5 . x   ; 2 U U   1 U  1;0    

Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы: 1 2 3 Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом. При четном k многочлен справа и слева от х0 имеет один и тот же знак (знак многочлена не меняется). При нечетном k многочлен справа и слева от х0 имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется).

Решим неравенство  x   1  5 x 2   x  2 x    3   x   x  2    1  0. Находим корни многочлена и определяем их кратность: х =1 (четная кратность), корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетная кратность). – – + – + + – + -1 0 -2 x 1 3 5 Метод «лепестков» наглядно показывает, что правило перемены знаков применимо и при наличии корня четной кратности, а так же сводит возможность пропустить интервал к минимуму. Запишем ответ: x   ; 2   U  1;0  U U   1   3;5 .

Решите неравенство 1 вариант:     3 x  4 x 2 вариант:     9 x  2 x 5  2    x 2  7    x  10   0. 5  2    x 3  6    x    0. 1 Сделайте выводы о смене знака на интервалах, в зависимости от степени кратности корня.

Решить неравенство:  (2 x 5)( x x 29 3 x   42 х х  2 х     5 x    3) 0;   2 0. 12  0  3 6 x  2    x x 2   1   x  5  3  0.

Всем спасибо за урок!