Метод интервалов. Математика . 9-11 класс

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Каждому старшекласснику известен метод интервалов. Метод основан  1 на теореме (свойство знакопостоянства непрерывной функции): если непрерывная функция у=f(х) определена при всех значениях в  интервале  функция у=f(х) сохраняет знак в  ;а b  и если в этом интервале нет корней уравнения f(х)=0, то   ;а b . 2  Свойство позволяет решать неравенства вида f(х)<0, f(х)>0, где f­  непрерывная функция на некотором интервале   ;а b . Алгоритм решения неравенств методом интервалов:  1. Находим область определения функции и исследуем ее на  непрерывность. В школе D(f) обычно является объединением промежутков,  причем f – непрерывна в любой точка D(f). Пусть, например, D(f)=  ; a b  c d ; 2. Находим нули функции. Пусть, например, f(х)=0 при х1= ;a b    и  .   х2=  ;a b  и >. Тогда на каждом из промежутков     ; ; a ; , ,       , b c d ;   непрерывная функция f не обращается в нуль, и следовательно, знакопостоянна. 3. Для решения неравенства f(х)<0 (f(х)>0) остается определить знак на  каждом из промежутков. Такой подход значительно облегчает решение неравенств и вносит  полную ясность в каждый этап решения. Приведем примеры. Пример 1. Решите неравенство  1 x < 4 5 Р е ш е н и е .  Поставленную задачу можно сформулировать следующим  x . образом: найти те значения х, для которых функция f(х)= 1 x ­ 4 5 принимает отрицательные значения.  x   D(f)= 5;1  функция непрерывна, как разность двух непрерывных  функций. Найдем нули функции:  1 x ­ 4 5 x =0; 1 x = 4 5 (1­х)2=5+х, откуда х1=­1, х2=4. Так как 4D(f), то нулем функции f(х)  x ; является только х1=­1. Определим знак на каждом из промежутков  пробные точки: f(­3)=2­ 4 2 >0, f(0)=1­ 4 5   5; 1и ­1;1    . Берем 2 О т в е т :   Пример 2. Найдите все решения неравенства 3cos2x > 2 cos x ,  1;1 . удовлетворяющие условию   0, у(  4 )=­1<0. ,    4 Следовательно, решением данного неравенства является интервал     6 6 ; . О т в е т :       6 6 ;                                          3 Пример 3. Решите неравенство  Р е ш е н и е .   ОДЗ неравенства состоит их всех х, одновременно  )log (3 >0.   3 x x x ) 2 1(4  удовлетворяющих условиям х2­1≥0 и 3+х>0 , т.е. ОДЗ есть объединение двух  промежутков: (­3;­1] и [1;+∞). Нули функции f(х)= 2 1(4  )log (3 есть х1=1, х2=­1, х3=4, х4=­2. Выбросив их из ОДЗ, получим интервалы  (­3;­2), (­2;­1), (1;4), (4;+∞). Определим знаки на каждом из них.   3 x x x )   Поскольку f(­2,5)<0, ­2,5(­3;­2); f(­1,5)>0, ­1,5(­2;­1); f(2)>0, 2 (1;4); f(5)<0, 5(4;+∞), то на интервалах (4;+∞) и (­3;­2) функция f(х)  принимает отрицательные значения, а на промежутках (­2;­1) и (1;4) –  положительные значения. Следовательно, множеством решений неравенства является  объединение интервалов (­2;­1) и (1;4). О т в е т :  (­2;­1) (1;4). Пример 4. Решите неравенство  ( x    3 1)(4 2   x log ( 2  2 1 x 2 x 2 3  x 1) x ) <0. )(  Р е ш е н и е .   ОДЗ неравенства состоит их всех х, одновременно  удовлетворяющих условиям  состоит из трех промежутков: (­∞;0), (0;1) и (1;+ ∞). Нули функции    x log ( 2 2 1  >0 и    , т.е. ОДЗ  1) 0   x x x 2 ( x f(х)=    3 1)(4 2   x log ( 2  2 1 x 2 x )(  x 1) 2 3  x ) , х3=­2, х4=­4. Выбросив их из ОДЗ, получим интервалы (­∞;­ есть х1=­1, х2= 3 2 4), (­4;­2), (­2;­1), (­1;0) и (0;1),(1; 3 2 ) и ( 3 2 ;+ ∞). Определим знак на каждом из промежутков. Пробные точки: f(­5)>0; f(­ 3)<0, f(­ 3 2 )>0; f(­ 1 2 )<0, f( 1 2 )<0, f( 5 4 )>0; f(2)<0. Следовательно, множеством решений неравенства является  объединение интервалов (­4;­2), (­1;0), (0;1), ( 3 2 ;+ ∞). О т в е т :  (­4;­2) (­1;0) (0;1) ( 3 2 ;+ ∞). 4 Пример 4. Решите неравенство  х 3 5 arcsin Р е ш е н и е .  ОДЗ неравенства : 1  arcsin arcsin х .  х 4 5    1х х 3 5  х 4 5 Найдем нули функции f(х)=  arcsin arcsin  arcsin х . Для этого определим корни соответствующего уравнения arcsin Выполним преобразования: х 3 5  arcsin х 4 5  arcsin х . sin(arcsin х 3 5  arcsin х 4 5 )  sin(arcsin ) х , х 3 5  1 2 16 х 25  х 4 5  1 2 9 х 25  , х  Иррациональное уравнение равносильно системе: 25 16  25 9   3 х 4 х х х 2 . х 25 2  0,  0, 2  х 25 16 2  25 9 х 2 х (25 16  2 х  )(25 9 х 2  ) 12 х 4 , , , 5 4 5 3 х 4. х  х  6 х  Итак, х х х  1,  0,   1. Так как в процессе решения при вычислении значения синуса могла бить нарушена равносильность, то сделаем проверку корней. Проверка.                          1. х   ,  1 arcsin(   ) arcsin(  3 5 4 5 )  arcsin( 1)  ­ истинное равенство, т.к. 5     ,  arcsin( 1) 0   arcsin(   ) arcsin(    и синусы этих углов равны  ) 0 3 5 4 5 (из равенства синусов углов найдено значение корней соответствующего  уравнения). Значит,  1 2.  х   ­ корень уравнения. 3 5 аналогично). Значит,  arcsin1 arcsin arcsin х  arcsin 0 arcsin 0 arcsin 0 1х  ­ корень уравнения.  0х  ­ корень уравнения.  arcsin 0 0  . Значит,  х  4 5 3.   1, 0,   ­ истинное равенство (доказывается   ­ истинное равенство , т.к. Итак, все три найденные значения переменной являются  корнями соответствующего уравнения.  Нанесем на числовую прямую область определения  неравенства и нули функции. Определим знаки на каждом из  промежутков:  1     и 0 0х f( 3 2 )= arcsin 3 3 10  arcsin Действительно,  3 3 10  1 2  1х  . 4 3 10 4 3 10 , и  arcsin 3 3 10 f(­ 3 2  arcsin 4 3 10   , а   3 arcsin )= arcsin(   ) arcsin(  3 3 10 arcsin  0. 3 2 1 2 3 2 4 3 10  . 3  ) arcsin(   . ) 0. 3 2  , значит,  arcsin 3 3 10   6 ,arcsin 4 3 10     6 В этом легко можно убедиться, используя нечетность функции arcsin х . О т в е т :  0 1х  . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Лурье М.В. Задачи на составление уравнений. Техника решения. Учебное  пособие. 2­е изд., стер. – М.: Издательство УНЦ ДО, 2004. 6 2. Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб.  статей / Сост. Е.Г. Глаголева, О.С. Ивашев­Мусатов.­ М.: Просвещение,  1980. 3. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. Пособие для  учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С.  Ивашев­Мусатов, С.И. Шварцбурд.­5­е изд.­ М.: Просвещение, 1997. 4. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10­11 класс:  Учебно­методическое пособие/ С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И.  Пасиченко. ­ М.: Дрофа, 2001 5. Школа решения нестандартных задач. В.Голубев. г. «Математика» №3,  2005 6. Неравенства. А.Ш.Блох, Т.Л. Трухан. Минск: Народная асвета, 1972 Статью подготовила Утятникова С.А.