Методическая разработка по теме "Первообразная"

Конспект  урока по теме «Первообразная» (1 ч).     Цели урока:1) ввести определение первообразной;                     2)установить связь между производной и первообразной;                      3)формировать умение проверять, является ли данная функция                       первообразной для другой, заданной на некотором числовом                          промежутке функции. Тип урока: урок изучения нового материала.                                       План урока: 1. Постановка целей. 2. Актуализация   знаний   через   обсуждение   домашнего   задания   для установления   связи   между   производной   некоторой   функции   и  самой функцией, используя механический смысл производной. 3. Введение определения первообразной. 4. Усвоение   определения   первообразной   через   выполнение   примеров   на «да» и «нет» 5. Формирование   умения   проверять,   является   ли   данная   функция первообразной для другой, заданной на некотором промежутке функции или не является. 6. Подведение   итогов   через   постановку   вопросов,   рассматриваемых   на этапах урока. Постановка домашнего задания.                  Ход урока. 1. Постановка целей. Продолжим  изучать тему «Функция». Сегодня на уроке мы познакомимся с новым   видом   функции.   Рассмотрим,   как   новая   функция   связана   с производной, которая уже нам известна. В этом нам помогут выводы, которые мы сделаем при проверке домашней работы.  Цели вынесем на доску. 1)Дадим  определение новой функции. 2)Какова связь новой функции с производной? 3)Как определить, относится ли функция к новому виду или нет? В конце урока вернёмся к ним и посмотрим, на все ли вопросы вы сможете ответить. 2.Актуализация знаний через обсуждение домашнего задания. Проверим домашнюю работу.  Задание 1. Найти производную функции:  а) y  3 x 2 ; x              б) y  x 3( 4 ;)5 в) y  2sin3 x cos ; x           г) y  3 x  2 x 5 .  Учитель проверяет решение домашнего задания, которое уже представлено учениками на доске: y  3( x  1  2 x 1 2  )1(3 ) x  2 1  2 2  1 2 x  3 x  2  x  1 2  3 2 x  1 x . а)  б)    3(34 x y  3 )5  3(12 x  3 ;)5 в) y   2sin3  2n(si3 sin x x cos ; x x  2sin x sco  x ) 2(3 cos 2 x cos x  2sin x  ( sin x ))  3 ( x  () x 2  y г)  x ( 4 x 2  15 x  2 2 )5 2 ( x  )5 2 (3 x  3 2 2 x (  )5  2 )5 x 3  2 x 4 3 x  x 2  15 x  2 ( x 2  2 )5 4 2 x   )5 x  2 )5 x ( 2 2 x ( x 2 ( x   )15  2 )5 . По каждому примеру ставим вопросы: С каким видом функции встречаемся? Как найти производную этой функции? Какие правила дифференцирования были использованы? Задание 2. Найти закон изменения скорости  v(t), для материальной точки, движущейся прямолинейно, по закону x=t²­3t. Вспоминаем, что для выполнения этой задачи нужно решить одну проблем анализа, сформулированную  Ньютоном: Найти скорость, если путь известен. Умеем ли мы решать такие задачи? Да. v= x'(t); в нашей задаче v=2t­3.                                                                            Дети   отвечают   на   вопросы:   что   дано,   что   найти.   Делают   заключение,   что задача решается дифференцированием. 3) Введение определения первообразной. А как звучит вторая проблема анализа по Ньютону? Скорость движения постоянно известна, найти длину пути в предложенный момент времени. Составим задание по решению этой проблемы, используя задание 2.  Задание 3. Найти закон, по которому движется материальная точка. Известно, что её скорость меняется по закону v=2t­3.  Используя решение предыдущего задания,  точка может двигаться по закону x=t²­3t. Известное нам условие  v= x'(t) выполняется.  Дети   отвечают   на   вопросы:   что   дано,   что   найти.   Делают   заключение,   что задача решается интегрированием.  Можем  ли мы теперь решить любую задачу по нахождению закона движения тела   по   известной   скорости?   Нет.  Мы   не  умеем   находить   функцию   по   её производной. Итак, возникла необходимость найти образ функции по виду её производной. Обобщим задачу интегрирования. Дано: f(x). Найти: F(x): F'(x) =f(x). Такую функцию называют первообразной. Начнём знакомство. Функция  F(x)  называется   первообразной   функции  f(x)     на   некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F'(x) =f(x). Найдите в учебнике это определение, прочитайте его и выделите ключевые слова. 4.)Усвоение определения первообразной через выполнение примеров на «да» и «нет». Проверим, будет ли функция F(x) первообразной для функции f(x).Что нужно знать, чтобы ответить на этот вопрос? Какие условия должны выполняться?  будет   первообразной   для   функции  f(x)   на   некотором   Функция  F(x)   промежутке  I,   если:1)   для   любого  x  из   этого   промежутка  I,   выполняется равенство 2) F'(x) =f(x).   Смотрим заданные функции в таблице. F(x)  x 3 2 x  1 F'(x)    3 2 x 2 f(x) 3 2 x 2 5 4 x x 2sin2 sin 3 2 x x 5   x 4 2 x  2 34 2 x 5 4   4 x 4  x 5 cos 4 cos x 6 3 x 3 x 4 20   x 3 2 x x 4 x cos cos 6 3 x  x 5 3 вывод x є I Rx  Rx Rx 0 x    Rx  x x   0 0 Что   нового   мы   узнали?   Что   мы   делали,   чтобы   определить,   является   ли функция  F(x) первообразной для функции  f(x), заданной на промежутке  I? Какие условия проверяли? 5)Формирование   умения   проверять,   является   ли   данная   функция первообразной для другой, заданной на некотором промежутке функции. Составим   алгоритм,   для   определения   является   ли   данная   функция  F(x) первообразной для другой, заданной на некотором промежутке функции f(x). 1.Найти производную от F(x). 2.Сравнить полученный результат с видом функции f(x). 3.Проверить, определена ли и дифференцируема ли функция F(x) на заданном промежутке. 4.Сделать вывод. Рассмотрим   упражнения   №   6.2,№   6.5.   Могут   ли   они   быть   решены   с использованием составленного алгоритма? Составьте по два задания на решение по нашему алгоритму, обменяйтесь ими и решите. Какие задания были предложены? Все ли с ними справились? Какие были трудности? 6.Подведение итогов. Постановка домашнего задания. Итак, вспомним, с каким новым понятием вы сегодня познакомились. Дайте определение. Как проверить, является ли данная функция первообразной для другой, заданной на некотором промежутке функции. Приведите пример. Вернёмся к целям, поставленным в начале урока. Достигли мы их или нет? Какие трудности встречались? Домашнее задание: § 6.1.№ 6.3,№ 6.6.