Методическая разработка по теме; "Решение геометрических задач ЕГЭ"

Объем правильной треугольной пирамиды. Задача№1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны  основания которой равны 1, а высота равна  . решение 1)найдем   площадь   основания,   как   площадь   правильного   треугольника  a S 3 2  4 ,  S= . 2) вычислим объём пирамиды  V =  S ∙H; V= ∙  = 0,25 Ответ. 0,25 Задача №2   Вычислите   объём   правильной треугольной   пирамиды,   если   радиус описанной основания окружности   равен   3 ,   а   высота пирамиды равна 4 3 . вокруг     Решение. V  HS 1 3 . 1)   найдем   сторону   основания   правильной   пирамиды   по   формуле   а 3 3 3 . 3Rа  , 2)   найдем   площадь   основания,   как   площадь   правильного   треугольника a S 2  4 3 ,  39S 4 . 3) вычислим объём пирамиды  V  VHS   , 1 3  1 3 39 4  34  9 . Ответ. 9 Задача №3. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен   3 , а боковые ребра пирамиды равны 6. Решение.  V  HS 1 3 1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е.  R 2 , тогда 32R r . 2)   найдем   сторону   основания   правильной   пирамиды   по   формуле   а  32 6 3 . 3Rа  , 3)   найдем   площадь   основания,   как   площадь   правильного   треугольника a S 2  4 3 ,  36S 4 3 . 4)   из   прямоугольного   треугольника   AOM по   теореме   Пифагора   находим высоту пирамиды:  2 AO )32( H 62 AM 12 24 36 ,      H . 2 6    2 2 5) вычислим объём пирамиды  V  VHS   , 1 3 Ответ. 18 2 .  1 3 36 4 3  62  18 2 . Задача   №4.  сторона основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна  15 .   Вычислите   объём   правильной   треугольной   пирамиды, Решение.  V  HS 1 3 ,  1)   найдем   радиус   описанной   около   основания   и   вписанной   в   основание окружностей:  3Rа  ,  R  a 3   , r  R 2  то есть  R  6 3   , r  3 3 . 2)   найдем   площадь   основания,   как   площадь   правильного   треугольника a S 2  4 3 ,  S 36  3 4 39 . 3)   из   прямоугольного   треугольника  МОР  по   теореме   Пифагора   находим высоту:  , МО =  2 ОР  32 МО МР 15  . 3 12   2 4)  вычислим объём правильной пирамиды:  V Ответ. 18.  HS 1 3 =  1 3  3239   18 . Задача №5. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна  33 . Решение.  V  HS 1 3 1)   радиус   вписанной   в   правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса   описанной   около   этого R 2 , треугольника   окружности,   т.е.   r тогда  22 R 4 . 2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле  . 34а 3Rа  ,  3)   найдем   площадь   основания,   как площадь   правильного   треугольника a S 2  4 3 ,  S 2   34 4 3  12 . 3 4) вычислим объём правильной пирамиды:  V  HS 1 3 =  1 3  12 333   36 . Ответ. 36. Объем правильной шестиугольной пирамиды. Задача №6. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2 2 , а боковое ребро равно 2 5 . Найдите объём пирамиды. Решение.  V  HS 1 3 1)   найдем   площадь   правильного  S шестиугольника   по   формуле   6 S или   S  33 2 2 a  = 12 3 . 2)   из   прямоугольного   треугольника МОВ найдем высоту МО, учитывая, что в   правильном   шестиугольнике   Ra    : . МО  ВМ 2  2 ВО  20  8 12  32 3) вычисляем объём пирамиды:  V Ответ: 24.  HS 1 3 = 1 3  12 323   24 . Задача   №7.   Вычислите   объём   правильной   шестиугольной   пирамиды, если сторона основания равна 4, а боковые ребра пирамиды равны 5. Решение.   V  HS 1 3 1) сторона основания правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности т.е.  Ra  ,  4R 2)   площадь  правильного   шестиугольника  найдем   по   формуле   S  S 6   или S  33 2 2 a  = 24 3 . 3)   из   прямоугольного   треугольника МО  3 ВМ 16 2 ВО 2   25  9 .  МОВ  найдем   высоту  МО:  HS 1 3 = 1 3  24 33  24 3 . 4) вычисляем объём пирамиды:  V Ответ. 24 3 . Решите самостоятельно №1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания  которой равны 1, а высота равна  . №2.Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания  которой равны 2, а объем равен  . №3.Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в  четыре раза? №4. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра  увеличить в два раза?  Площадь боковой поверхности пирамиды. Задача   №1.     Вычислите   площадь   боковой   поверхности   правильной четырехугольной   пирамиды,   если   её   ребра   равны  5,   а   радиус   окружности, описанной вокруг основания равен 3 2 . Решение.  S  1 2  hP 1)   найдем   сторону   основания   по формуле  2Rа  , т.е.  a . 23  2 6 2) найдем периметр основания: Р = 4а,  Р = 24. 3)   из   прямоугольного   треугольника  МDР  по   теореме   Пифагора   находим апофему МР:  МР  МD 2 DР  2 ,DP =  a 2 тогда: МР =  25  9 16  4 . 4)   вычислим   площадь   боковой   поверхности   пирамиды:   S  1 2  hP = 1 2  24 4 48 . Ответ. 48. Задача   №2.   В   правильной   четырехугольной   пирамиде   площадь   боковой поверхности равна 16 2 , а площадь основания 4. Найдите высоту пирамиды. Решение.  1) найдем сторону основания:  так как в   основании   пирамиды   квадрат   с площадью     равной   4,   то   сторона квадрата равна 2, а его периметр 8. 2) по условию  S  1 2  hP = 16 2  т.е.   8 h 16    2      h  24 . 1 2 3)   из   прямоугольного   треугольника  МОР  по   теореме   Пифагора   находим 1   = 1,  получаем:  МО = 2 ,  учитывая, что  ОР =   а высоту:   МО  МР 2 ОР  2  24 2   2 1  . 31 Ответ.  31 . Решите самостоятельно №1.Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды. №2.Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10,  боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой  пирамиды. Призма. Площадь поверхности призмы. №1.Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. Решение. 1) Площадь поверхности куба вычислим по формуле:  S  = 6a2. По условию площадь поверхности куба равна 18. Следовательно 6а2 = 18, откуда а2 = 3. 2) Запишем формулу для диагонали куба: d2 = 3 а 2. Тогда d2 = 3∙3 = 9, откуда d = 3 Ответ: 3 №2. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной  призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10. Решение. 1)вычислим периметр основания P = 6a; P = 6∙5 =30 2) вычислим площадь боковой поверхности призмы Sбок. = P ∙ h; Sбок  = 30∙10 = 300 Ответ: 300  Решите самостоятельно: №1.Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. Ответ: 24. №2 Вычислите площадь боковой поверхности правильной пятиугольной  призмы, сторона основания которой равна 4, а высота — 12. Ответ: 240 №3 Диагональ куба равна 2. Вычислите  площадь  боковой поверхности куба. Ответ: 6