Методическая разработка урока " Производная. Правила вычисления производной" (11 класс)

Понятие производной. Цель урока: учащиеся должны знать, что такое производная функции, что  такое приращение  функции  и приращение аргумента, касательная к графику. Дидактический материал: опорный  конспект по данной теме, карточки­задания для  индивидуальной работы. Оборудование: презентация по теме: «Производная». Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Проверка уровня усвоения предыдущей темы. Постановка целей урока. Для проверки уровня усвоения предыдущей темы используется тестовое задание или  фронтальный опрос. Опрос: 1) Отличие сходящиеся последовательности от расходящихся? 2) Определение предела числовой последовательности? 4) Правила вычисления пределов? 3. Работа над изучаемым материалом. 3.1. Объяснение нового материала. Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена в точках x  и x аргумента, а разность f(x₁)­f(x₀) называют приращением функции. ₀ ₁. Разность x₁­x₀ называют приращением  Приращение аргумента ­  ∆x. Приращение функции ­ ∆f или ∆y. Пример 1. Найдите приращение функции y=x² при переходе от точки x₀= 1 к точке: а)  x₁=1.2;  б)  x₁=0,96. Решение. а) f(x)=x², тогда  f(1)=1²=1, а  f(1,2)=1,2²=1,44. Отсюда  ∆y=∆f=f(1,2)­f(1)=1,44­1=0,44 б) ) f(x)=x², тогда  f(1)=1²=1, а f(0,96)= 0,96²=0,9216. Отсюда ∆y=∆f=f(0,96)­f(1)=­0,0784. Определение2. Если функция y=f(x) имеет производную в точке x, то её называют дифференцируемой в  точкеx. Процедуру нахождения производной функции  y=f(x) называют дифференцированием  функции. Определение 3. Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке. Алгоритм нахождения производной для функции. 1.зафиксировать значение x, найти f(x). 2. Дать аргументу  x  приращение  ∆x. Найти значение функции в точке  x+∆x, т.е.  f(x+∆x). 3. Найти приращение функции:  y=f(x+∆x)­f(x). 4. Составить соотношение   ∆y ∆x . 5. Вычислить   lim ∆x→0 ∆y ∆x .  Этот предел и есть производная функции  y=f(x). Существуют формулы для нахождения производных, которые находились с помощью  рассмотренного нами алгоритма. Мы будем пользоваться готовым формулами для нахождения  производных простейших функций. При объяснении нового материала используется презентация «Производная» и (или)  опорные конспекты с таблицами. Правила дифференцирования  Пусть  u  ( vxu ),  )( xv , тогда: 1.  (  ) vu v u ,                          2.  ( ,  ) vuvu vu 3.      u v     ,                     vuvu 2v 4.   =  uc ) ( .  uc Функция y=C y=x y=kx  y=kx+m y=x y=k x 1 y= x y= √x y=sin x y=cos x Производная y´=0 y´=1 y´=k y´=k −1 sin2x 1 cos2x y´= y´= 1 x² 1 2√x y´=­ y´= y´=cos x y´= ­ si1n x Найти производную функции с помощью правил дифференцирования: а)   4 2 x  sin5 x    1  x 8 5 cos x , б)8х=8 в) x5= 5х4 Закрепление нового материала. 1. Составьте уравнение касательной:    ( ) fх  х 2  х , если     = 2.  0х 2. Найдите   тангенс   угла   наклона   к   оси   абсцисс   касательной   к графику функции  в точке            х ( ) 3 fх 2  1  = 1.                                                    0х 3. Составьте уравнение касательной: х  ( ) 1 fх 3 , если = 0х 1. 4. Найти точку графика функции, в которой ( ) 3 fх х  2  2 х  1 3 , касательная параллельна оси Ох. 1.Рассматриаются следующие примеры: Пример 1. Вычислите производную функции: а)    y=6                                                                     д)  y=9x⁵ б)    y=­27.31                                                           е)  y=3x­⁵ в)    y=3x                                                                  ж)  y= 7x x г)     y=8x                                                                 з)  y=3 √x Домашняя работа. 1)Вычислить производную. Вариант 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 2х 2 ­7х­8 0 8х3 – 12х2 + 8 ­ 2 sinx 2(х – 3) 3х2 ­  Вариант 1. 9 2х 10 2 11 ­7х­8 12 0 13 8х3 – 12х2 + 8 14 ­ 2 sinx 15 2(х – 3) 16 3х2 ­  2) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = ­ x2+  4x в точке х0=1. 3)а)Найдите производную функции:  у  3 х  5 ; х у  2 х  3; у  х ; у  б. Найдите   если  f   ( 1), ( ) fх  х 2  2 . х 1 х ; у   2 х 2 .