Методическая разработка урока по математике на тему "Логарифм, преобразование логарифмических выражений"

Министерство образования и науки Республики Татарстан ГАПОУ «Тетюшский сельскохозяйственный техникум» Методическая разработка   по теме «Логарифм. Преобразование логарифмических выражений» для студентов 1 курса всех специальностей Преподаватель математики         первой квалификационной  категории                                      Е. Г. Дороднова г. Тетюши 2016 год Аннотация            Данный урок предполагает обобщение и систематизацию знаний и умений студентов   1   курса   по   теме   "Логарифм.   Преобразование   логарифмических выражений"   дисциплины   «Математика».   Урок   проводится   с   использованием информационно­   коммуникационной,   игровых     технологии. Содержание   урока включает в себя устные задания на повторение определения  и свойств логарифма, на   преобразование   логарифмических   выражений,   также   интересную   и познавательную информацию по теме. Введение       Потребность в сложных расчетах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоемкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц   геометрическую   и   арифметическую   прогрессии,   при   этом   геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое   и   надежное   вычитание.   Первым   эту   идею   опубликовал   в   своей   книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьезных усилий для реализации своей идеи.  В   1614   году   шотландский   математик­любитель   Джон   Непер   опубликовал   на латинском   языке   сочинение   под   названием   «Описание   удивительной   таблицы логарифмов». В нем было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8­ значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.  На   данном   уроке   проводится   обобщение   и   систематизация   знаний   по   теме «Логарифм.   Преобразование   логарифмических   выражений»;   предлагается материал   из   истории   математики;   студенты   знакомятся   с   использованием логарифмов   в   природе   и   деятельности   человека.   Урок   сопровождается мультимедийной   презентацией,   в   которой   даны   расширенные   представления   о логарифмической функции, применении ее свойств в нестандартных ситуациях. К уроку студенты готовят небольшие выступления о логарифмической линейке, о логарифмах   в   музыке,   в   стихотворных   произведениях   поэтов,   об   оценке   по логарифмической шкале яркости звезд и громкости шума. И много интересного и познавательного материала используется на данном уроке. План открытого урока  Тема: Логарифм. Преобразование логарифмических выражений  Тип занятия: урок обобщения и систематизации знаний  Вид занятия: комбинированный  Цель занятия: формирование предметных компетенций по применению логарифмов  на практике; формирование общих компетенций:  ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и  способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и  качество;  ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них  ответственность;  ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для  эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и  личностного развития.  ОК 5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию  с использованием информационно­коммуникационных технологий.  ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами,  руководством, потребителями.  По окончанию занятия студент  знает: определение логарифма, свойства логарифмов;  умеет: применять   полученные   теоретические   знания   для   преобразований логарифмических выражений. Задачи:  образовательные:   закрепить теоретические знания: определение логарифма, свойства  логарифмов, равносильность преобразований;   сформировать умения применять полученные теоретические знания для  преобразования логарифмических выражений и для решения задач;   формировать информационно­коммуникативную компетенцию;   формировать представление о работе с интерактивными обучающими  системами;  осуществить контроль и взаимоконтроль и  знаний .  развивающие:   развивать познавательный интерес, интеллектуальные и творческие  способности студентов;   формировать информационную культуру, овладение навыками поиска и  анализа информации;   осуществлять исследовательскую деятельность. воспитательные:   обучать самостоятельной деятельности по овладению знаниями;   формировать осознанные мотивы учения, самосовершенствования,  самовоспитания;   воспитывать взаимопомощь.  Межпредметные связи: физика, информатика, история, биология, музыка.   Оснащение урока: мультимедиа­проектор, мультимедиа презентация, содержащая материал   для   повторения   и   закрепления   теоретических   знаний,   для   отработки навыков   практического   применения   теории   к   решению   упражнений,   создания проблемной   ситуации,  для   самоконтроля,   сведения   из   истории   логарифмов, математический софизм. План урока: 1. 2. 3.  Организация начала урока. Формулировка темы урока.  Актуализация знаний (повторение и закрепление теоретических знаний.)  Исследовательская деятельность  (подготовка студентами выступлений на  темы «История логарифмов», «Логарифмы в повседневной жизни») 4. Экспериментальная деятельность ­  решение текстовых задач. 5. Практическая работа. 6. «Логарифмическая диковинка». 7. Подведение итога урока.  Рефлексия. Ход урока: 8. Организация начала урока. Формулировка темы урока.      Преподаватель: Добрый день уважаемые студенты и гости нашего сегодняшнего мероприятия.   Многим   кажется,   что   математика   –   это   наука   сложная,   скучная, состоящая   из   сухих,   скучных   формул   и   сложных   неразрешимых   задач.     Чтобы опровергнуть   сложившийся   стереотип   попробуем   наш     урок   сделать   интересным, творческим и увлекательным.           Еще   великий   математик   Блез   Паскаль   сказал  «Предмет   математики   настолько   серьезен,   что   нужно   не   упускать   случая,   сделать   его   немного занимательным» пусть эти слова будут эпиграфом нашего урока. Преподаватель: Сегодня две группы молодых ученых  должны получить лицензию на право заниматься научной деятельностью. Лицензию каждой группе может дать «аттестационная   комиссия».  Предлагаю   Вам   принять   участие   в заседании аттестационной   комиссии.   В   процессе   заседания   комиссия   должна   выяснить, компетентны ли наши научные объединения по   теме «Логарифм, преобразование логарифмических   выражений»:   обладают   ли   они   достаточными   теоретическими знаниями, имеют ли они   грамотно вести  исследовательскую и экспериментальную работу.  Итак, Записываем  тему урока в тетрадь. (Все студенты заранее поделены на две группы. Каждая группа заранее выбирает руководителя и придумывает название своего научного   объединения. В состав «аттестационной комиссии » входит преподаватель и два  студента из этой же группы,   имеющие   оценку   «отлично»   по   математике,   в   течении   урока   им предстоит   не   только   вместе   со   всеми   выполнять   задания,   но   и   дать исчерпывающую оценку остальных студентов на каждом этапе урока.) Преподаватель. Перед заседанием разрешите представить состав  «Аттестационной комиссии»,   руководителей   научных   групп,   получающих   лицензию   и   озвучить повестку данного заседания. Преподаватель   первой   квалификационной   категории   Дороднова   Елена Геннадьевна «Профессор,   доктор   физико­   математических   наук     Исаева   Олеся Альбертовна»   «Доцент, кандидат экономических наук Власова Яна Алексеевна» Повестка заседания: Информационно­теоретический аспект Исследовательская работа научных Экспериментальная деятельность научных I. II. III. IV. Практическая деятельность научных научных объединений. объединений. объединений. объединений. В ходе заседания Вы должны показать уровень знаний по теме, умение обобщать и анализировать,   умение   выделять   главное,   умение   выступать   перед   аудиторией, критически оценивать выступление товарищей. Итак, заседание аттестационной комиссии разрешите считать открытым:  Информационно­теоретический аспект         I.                научных            объединений. Преподаватель:    На   свойств логарифмов: данном этапе комиссия проверит знание определений и  1. Вставить пропущенные слова: (используем (к доске каждой выходят группы) поочередно по интерактивную доску) одному из студенту Логарифмом числа b по_______________ а называется ____________________  степени, в которую нужно_______________ основание а, чтобы получить число b.  Основание и число, стоящее под знаком логарифма, должны  быть___________________________  Если основание а =__________, то такой логарифм называется десятичным и  обозначается lgb.  _____________ изобрёл логарифмы.  Операцию нахождения логарифма называют_____________  Логарифм произведения чисел равен ______________логарифмов от этих чисел.   2.           (к  Установить                выходят доске каждой группы)  соответствие: поочередно (используем интерактивную доску)  по одному студенту из 1) loga 1 2) loga a 3) logc a + logc b 4) logc a ­ logc b 5) logabn 6) loga nb 7)   baa log 1) logс (a * b) 2) b 3)n loga b 4) 0 5) 1    6)  7)   3.Графический          диктант: отдельном листочке ставит минус, плюс, если не (каждая и сообща если согласна согласна) группа получает задание на напротив сданным каждого утверждением и высказывания  1. Логарифмическая функция у = log aХ определена при любом х 2. Функция у = log aХ определена при а > 0, а =/= 1, х > 0. 3. Областью определения логарифмической функции является множество  действительных чисел. 4. Логарифмическая функция – четная. 5. Логарифмическая функция – нечетная. 6. Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0). 7. График логарифмической функции симметричен относительно ОХ. 8. График логарифмической функции пересекает ось ОХ в точке (1; 0). 9. Существует логарифм отрицательного числа. 10. Существует логарифм дробного положительного числа. Ответ: –, +, –, –, –, –, –, +, –, + . 4  . Выступление          аттестационной       комиссии        (Члены «аттестационной комиссии» и групп; в проверяют правильность конце каждого каждой группы) задания из работы вместе со всеми выполняют выполнения заданий каждой этапа урока дают оценку проделанной II.              Исследовательская    работа                на            научных            объединений. Преподаватель: Большое спасибо вопросу показывает давайте моим коллегам, прежде на посмотрим анимационных два спиралей) Что это? Какие возникают при виде этих завораживающих ассоциации рисунков? Тема чем перейти экран . изображения у ко второму (преподаватель логарифмических вас логарифмов современные исследования волновала еще ученых молодые по ученые темам: древности. Наши дома должны были провести «История возникновения в заседания приглашаю повседневной жизни». По выступить логарифмов» (студенты представляют и второму каждое презентации «Логарифмы вопросу научное нашего объединение своих исследовательских работ ). Выступление            аттестационной         комиссии        III.    научных                  Экспериментальная деятельность              объединений. Решение текстовой задачи  Преподаватель: Далее «аттестационная комиссия» должна оценить  экспериментальную работу научных объединений. Молодые ученые поводят  эксперимент и дают исчерпывающий ответ на вопрос задачи? Эксперимент   для   первой   группы:  В   начальный   момент   времени   было   8 бактерий,   через   2   ч   после   помещения   бактерий   в   питательную   среду   их   число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий? q=8, t=2, p=100/8, B=500. Значит, требуемое время соответствует значению выражения , то есть примерно через 3 ч. 15 мин Решение.   lg2  8lg500 100 lg 8  ,12 7959  0970 ,1   27,3  Эксперимент для второй группы:  Пусть вкладчик положил в банк 10 000  руб. под ставку 12%  годовых. Через сколько лет его вклад удвоится? В экономике существует  формула сложных процентов: Решение. , где A­    AS 1  nP   100  начальная сумма вклада, P­процентная ставка (годовая), n­срок хранения вклада (в  годах), а S­накопительная (итоговая) сумма вклада. Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле  1000.10 S   . Нам необходимо найти n, при котором n  12  100  1000.10000.20  12 100 n      , т.е. решить уравнение  .   12   n  12  100  Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа и получить, что  n=log. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к основанию 10, пользуясь  калькулятором. n    3010 11,6 0492 ,0 )12,1lg( ,0 2log12,1 2lg . Таким образом, удвоение вклада произойдет через 6 лет (с небольшим). (к доске приглашаются по одному студенту из каждой группы для решения  задач) Выступление       аттестационной       комиссии     (оценка осуществляется за два этапа)   IV.          Практическая  деятельность            научных            объединений. Преподаватель: Мы выяснили, какие вы замечательные «теоретики»,  «исследователи», «экспериментаторы», теперь давайте посмотрим, как вы  осуществляете практическую деятельность по данной теме, умеете ли применять  определения и свойства логарифмов для преобразования логарифмических  выражений. 1)      Разминка          ( решить устно по цепочке по одному человеку из каждой группы)  ,    ,    ,   ,          , log2 32  ,  , 2)       Примеры с ошибкой ( решают в тетради, а потом комментируя  решение исправляют  допущенные ошибки; по одному из каждой группы ) 1)    2)   3)    4)   log 2 log 2 log 3 81  0 log 2 log 3 log 1 27 1 3  0 1 3 log 1 6 6  2  16 lg 9lg  4lg 3lg  3 5)  6)  log2 12 2  log 12 3  3 log 2,0 008,0  3 7)  8)  1 log 9 27  2 3    log 3 log 16 4 3  1    1 2 3)      Самостоятельная практическая работа. Вам предложены 3­х уровневые задания.  Каждый  выбирает тот, которым  сможет овладеть. 1 уровень 2 уровень 3 уровень Вычислить: 1.  2.  3.  4.     1.  2.  3.   4.  1.  2.  3.  4.  5.  5.  Выступление   аттестационной комиссии решают вместе со всеми, а затем проверяют как с заданием справились группы)     (студенты, входящие в состав           аттестационной         комиссии   5. Преподаватель: Пока наша «аттестационная комиссия» подводит итог и  решает, получает ли лицензию каждая группа молодых ученых, мы  предоставляем слово руководителям групп. Они представят нам  «Логарифмические диковинки». 2.       Логарифмическая диковинка 1)         «Любое число можно записать тремя двойками»      Пусть дано целое положительное число 3,  тогда    так как   аналогично  общая формула 2) Логарифмический софизм 2>3 (от греч. sophisma — уловка, выдумка, головоломка),рассуждение, кажущееся  правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для  придания видимости истинности ложному утверждению. Обычно С.  обосновывает какую­нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное  утверждение, противоречащее общепринятым представлениям Начнем с неравенства  , бесспорно верного. Затем следует  преобразование  , тоже не вызывающее сомнений. Большему значению  соответствует больший логарифм, значит,  , т.е.  . После сокращения на  , имеем 2>3. Преподаватель: В чём ошибка этого доказательства? На этот вопрос мы с вами пока не можем  ответить. Но к нему мы обязательно вернемся, на следующий урок, когда начнем  решать логарифмические уравнения и неравенства. V. Подведение итога  урока.  Преподаватель:   А теперь заслушиваем решение аттестационной комиссии (группы получают лицензию , студенты из аттестационной комиссии  анализируют работу каждой группы, преподаватель дополняет их выступление и ставит активным студентам оценки за урок)  Рефлексия. Преподаватель:  В заключении ответе на вопросы. Подчеркните нужное слово. активно / пассивно На уроке я работал  Своей работой на уроке я  Урок для меня показался  За урок я  не устал / устал Моё настроение  стало лучше / стало хуже Материал урока мне был  доволен / не доволен коротким / длинным понятен / не понятен                                        полезен / бесполезен                                         интересен / скучен Закончить наш урок мне хочется словами Мориса Клайна:  “Музыка может возвышать или умиротворять душу,  Живопись – радовать глаз,  Поэзия – пробуждать чувства,  Философия – удовлетворять потребности разума,  Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,  а математика способна достичь всех этих целей”.  Так сказал американский математик Морис Клайн.       В 15­17 вв. в эпоху великих географических открытий бурно стали развиваться торговля, экономика, наука. Требования к математике росли: расчеты становились Заключение более сложными, а точность – например, для решения навигационных задач –нужна была   все   более   высокая.   Необходим   был   инструмент,   позволяющий   упростить   и ускорить   расчеты,   и   таким   инструментом   явились   логарифмы.   Итак,   логарифм число,   применение   которого   позволяет   упростить   многие   сложные   операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией  сложения, деление – вычитанием, возведение в степень – умножением и извлечение корней – делением.            Данный   урок   позволяет   студентам   получить   интересную   и   познавательную информацию  по  теме,  обобщить и систематизировать   знания,  применять  свойства логарифмов для  преобразования логарифмических выражений. 1. М.И. Башмаков Математика (СПО), Башмаков М.И., ГРИФ ФИРО, 2013 2. Алгебра и начала анализа. 10­11 класс, Алимов Ш.А., Москва,  Используемая литература Просвещение,2014 3. Алгебра и начала анализа. 10­11 класс, Колмагоров А.Н., Москва,  Просвещение, 2014  4. А.Г.Малкова, И.В.Яковлев. Подготовка к ЕГЭ. Материалы  сайта http://www.ege­stud.ru 5. Материалы сайта  http://fcior.edu.ru/card/7656/primenenie­   potencirovanie    ­k1.html  svoystv    ­  logarifmov    ­  logarifmirovanie    ­  i  ­ 6. www.mathtest.ru–сайт «Математика в помощь школьнику и студенту» 7. www.bymath.net–интернет –школа «Вся элементарная математика»