Методические рекомендации. Алгебра 11 класс
Оценка 4.9

Методические рекомендации. Алгебра 11 класс

Оценка 4.9
pdf
математика
02.04.2020
Методические рекомендации. Алгебра 11 класс
11 кл алгебра.pdf


УДК 372.8:[512+517]

ББК 74.262.21

П64

Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году

Потапов М. К.

П64 Алгебра и начала математического анализа. Методические рекомендации. 11 класс : пособие для учителей общеобразоват. организаций / М. К. Потапов, А. В. Шевкин. — М. : Просвещение, 2013. — 256 с. : ил. — (МГУ — школе).

В книге рассмотрены концепция и структура учебника «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов С. М. Никольского, М. К. Потапова, Н. Н. Решетникова, А. В. Шевкина, приведены 4 варианта примерного тематического планирования, даны методические рекомендации по изучению курса и комментарии к решению наиболее трудных задач, а также рекомендации по использованию дидактических материалов к данному учебнику (авторы: М. К. Потапов, А. В. Шевкин).

Книга предназначена учителям, работающим по учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» С. М. Никольского и др.

УДК 372.8:[512+517]

ББК 74.262.21

Учебное издание

Серия «МГУ — школе»

Потапов Михаил Константинович

Шевкин Александр Владимирович

АЛГЕБРАИНАЧАЛАМАТЕМАТИЧЕСКОГОАНАЛИЗА

Методические рекомендации

11 класс

Пособие для учителей общеобразовательных организаций

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор Л. В. Кузнецова.

Младший редактор Е. А. Андреенкова. Художники П. С. Барбаринский, О. П. Богомолова. Компьютерная графика: Г. М. Дмитриев.

Техническое редактирование и компьютерная верстка Е. В. Саватеевой.

Корректоры М. А. Терентьева, Л. С. Александрова, А. К. Райхчин

Подписано в печать 27.08.13. Формат 60 × 901/16. Гарнитура Школьная. Печ. л. 16. Заказ №

Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».

127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

© Издательство «Просвещение», 2013 © Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 2013

Все права защищены

О пособии для учителей

Данная книга адресована учителям, работающим по учебнику «Алгебра и начала математического анализа, 11» (авторы: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин). Этот учебник предназначен как для базового, так и для углубленного уровня и является частью учебно-методического комплекта для 10—11 классов. Он продолжает серию учебников «МГУ — школе» тех же авторов для 5—10 классов и нацелен на подготовку учащихся к поступлению в вуз и к обучению в вузе.

В учебно-методический комплект для 11 класса входят: 1. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни (С. М. Н и к о л ь с к и й, М. К. П о т а п о в, Н. Н. Р е ш е т н и к о в, А. В. Ш е в к и н. — М.: Просвещение, 2008—2013).

2.      Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 11 класс (М. К. П о т а п о в, А. В. Ш е вк и н. — М.: Просвещение, 2007—2013).

3.     


Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 11 класс (Ю. В. Ш е п е л е в а. — М.: Просвещение, 2011—2013).

4.      Алгебра и начала математического анализа. Методические рекомендации. 11 класс. Пособие для учителей общеобразоват. организаций (М. К. П о т а п о в, А. В. Ш е вк и н. — М.: Просвещение, 2009—2013).

В данной книге рассмотрены концепция учебников алгебры и начал математического анализа для 10 и 11 классов, их структура, приведены 4 варианта примерного тематического планирования в 11 классе, даны методические рекомендации по изучению основных тем курса 11 класса и комментарии к решению некоторых трудных задач, а также рекомендации по использованию дидактических материалов. Практически для всех пунктов учебника в книге для учителя имеются рубрики: Решения и комментарии, Промежуточный контроль и Дополнения. В первой из них приведены условия многих задач и их решения или даны рекомендации, помогающие найти решение. При этом даны пояснения, помогающие обучению школьников. Во второй рубрике указаны номера самостоятельных и контрольных работ по дидактическим материалам. В третьей рубрике содержится обсуждение дополнительных вопросов, которые необходимо знать учителю, чтобы суметь дать обоснованные ответы на вопросы любознательных учащихся.

Здесь же приведены примеры задач из материалов ЕГЭ по рассматриваемой теме.

Отметим, что в книге для учителя разобрано большое число сложных задач, предлагавшихся на различных экзаменах.

Авторы выражают благодарность профессору МГУ им. М. В. Ломоносова, члену-корреспонденту РАН Ю. В. Нестеренко, доценту Самарского университета С. В. Дворянинову, учителям математики В. И. Гридасову (г. Воронеж), В. Е. Рочеву (г. Протвино) за ценные замечания и предложения по совершенствованию первых изданий учебников и дидактических материалов для 10 и 11 классов.

Концепция учебников серии «МГУ — школе»

Авторами учебников разработана концепция многоуровневых учебников математики. Приведем основные положения этой концепции.

     Математика едина и может быть изложена в одном учебнике для работы по разным программам. Содержание учебника должно соответствовать научной точке зрения на изучаемые вопросы.

     Учебник должен сочетать в себе научность, стройность, экономность и логичность изложения материала с доступностью для учащихся его текстов.

     Учебник не должен ограничиваться интересами среднего ученика, он обязан удовлетворять интересам всех учащихся — от слабых до сильных.

     Учебник должен обеспечивать не только организацию дифференцированного обучения, но и любой уровень изучения материала.

     Способ изложения материала в учебнике, организация учебных текстов и системы упражнений должны обеспечивать достижение различных целей обучения при работе по разным программам.

Структура учебников алгебры и начал математического анализа для 10 и 11 классов и их методический аппарат отвечают основным положениям этой концепции. Авторы учебников серии «МГУ — школе» считают принципиально важным обучать школьников разных профилей по одним и тем же учебникам. Тогда учащиеся, заинтересованные в более глубоком изучении математики, могут углублять свои познания в математике самостоятельно или под руководством учителя, который получает реальную возможность для организации дифференцированного обучения и подготовки школьников к поступлению в вузы. Кроме того, переход с одной программы обучения на другую не будет вызывать трудностей ни у учащихся, ни у учителей.

Эти особенности учебников в полной мере отвечают требованиям ФГОС, нацеливающим учебный процесс на формирование у учащихся в процессе изучения курса математики общеучебных (надпредметных) умений при выполнении универсальных учебных действий, предусмотренных ФГОС.

Каждый из двух учебников обладает цельностью и завершенностью своего содержания, а вместе они составляют единый курс. Для каждого из учебников разработана авторская рабочая программа, соответствующая ФГОС.

В учебниках пункты без звездочки соответствуют базовому уровню. Эти же пункты, а также пункты со звездочкой и специально выделенный в пунктах без звездочки материал соответствуют ФГОС для обучения на углубленном уровне.

Каждая глава учебников для 10 и 11 классов завершается историческими сведениями. В конце каждого учебника помещен раздел «Задания для повторения», содержащий задания для повторения изученного материала в 10 и 11 классах и за предыдущие годы. В этот раздел включены задания школьных выпускных экзаменов и конкурсных экзаменов в различные вузы страны прошлых лет, а также задания Единого государственного экзамена (ЕГЭ). Это позволит учителю организовать целенаправленную подготовку учащихся к экзаменам.

На базовом уровне дополнительные материалы и сложные задачи, специально выделенные в учебниках, можно не рассматривать. Пропуск необязательных пунктов и задач не нарушает целостности курса. Снижается лишь уровень погружения учащихся в теоретические тонкости, уменьшается число доказываемых фактов, технически или идейно сложных задач. Учебники позволяют заинтересованному ученику, не обучающемуся в профильном классе, изучить необходимый ему материал по учебнику самостоятельно или под руководством учителя.

При углубленном обучении за счет дополнительных пунктов и отдельных задач со звездочкой содержание изучаемого материала расширяется и углубляется до объема, соответствующего требованиям ФГОС для углубленного обучения.

О работе по учебнику и дидактическим материалам

Учебник для 11 класса содержит все вопросы программы, связанные с исследованием функций и построением их графиков, с производной и первообразной, с решением уравнений, неравенств и их систем, с комплексными числами. Здесь углубляются знания учащихся по ранее изученным вопросам до уровня, необходимого для поступления в вузы, предъявляющие повышенные требования к математической подготовке школьников.

Учебник для 11 класса включает три главы: I.    Функции. Производные. Интегралы. II.  Уравнения. Неравенства. Системы.

III. Комплексные числа.

Материал первой и второй глав можно изучать параллельно с начала учебного года, так как содержание этих глав практически не связано друг с другом. В то же время техника решения сложных уравнений и неравенств требует продолжительного времени на ее овладение. Такой порядок изучения этих глав позволяет своевременно подготовиться к различным олимпиадам и конкурсам.

Первая глава учебника для 11 класса посвящена функциям, производным, интегралам. Сначала повторяется и систематизируется весь ранее изученный материал об элементарных функциях, рассматривается исследование функции элементарными средствами. Затем на интуитивной основе вводится понятие предела функции в точке и на бесконечности, изучаются свойства пределов, понятие непрерывности функции.

Изложение в учебнике материала, связанного с производной и первообразной, достаточно традиционно, а вот понятие определенного интеграла вводится не как разность значений первообразной в точках a и b, а с помощью интегральных сумм. Это дает учащимся возможность ощутить естественно-исторический путь формирования важных понятий курса математического анализа. До изучения формулы Ньютона — Лейбница определенные интегралы вычисляются на основе их геометрического смысла. В учебнике рассмотрены все приложения производных и интегралов (исследование функций и построение их графиков, задачи на максимум и минимум, вычисление площадей, ограниченных графиками функций), предусмотренные стандартом для обучения на базовом уровне.

В первой главе учебника для 11 класса также имеется материал, предусмотренный стандартом для обучения на профильном уровне. Это построение графиков функций, связанных с модулями, графиков сложных функций, обратные тригонометрические функции, непрерывность функции, имеющей производную, производная обратной функции, теоремы о среднем, выпуклость графика вверх (вниз), асимптоты, дробно-линейная функция, формула и ряд Тейлора, замена переменной при интегрировании и интегрирование по частям, применение определенных интегралов в геометрии и физике, дифференциальные уравнения.

Содержание второй главы учебника для 11 класса существенно отличает учебники серии «МГУ — школе» от аналогичных учебников. Впервые в школьной практике учащимся столь подробно излагается материал, связанный с решением сложных уравнений и неравенств, которые в учебнике классифицируются не по «внешнему виду» (логарифмические, тригонометрические, иррациональные и т. п.), а по способам их решения. Авторы считают это принципиальным, так как большинство уравнений и неравенств, предлагаемых на экзаменах, трудно отнести к какому-то одному виду. Чаще всего они смешанные, там присутствуют и тригонометрия, и логарифмы, и иррациональность и т. д. Поэтому так важно знать общие способы решения уравнений (неравенств), т. е. знать, что происходит с уравнением (неравенством) при возведении в степень, при применении некоторых формул и т. д. Так как все простейшие уравнения (неравенства) изучены в предыдущих классах, то теперь можно решать любые уравнения (неравенства).

Если при решении уравнения применяется преобразование, приводящее к неравносильному уравнению, то возможны три способа оформления решения:

1)      переход к уравнению-следствию;

2)      переход к системе, равносильной исходному уравнению;

3)      переход к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве.

Все эти способы изучаются поэтапно.

Сначала рассматриваются такие уравнения, для которых уравнение-следствие имеет корни, легко проверяемые подстановкой в исходное уравнение. При этом рассматриваются не только традиционные иррациональные уравнения, но и большой класс уравнений, содержащих логарифмы, корни, тригонометрические функции. Это первый этап освоения умения решать сложные уравнения. На нем, возможно, должна остановиться бо€льшая часть учащихся, которые не планируют сдавать вступительный экзамен в вуз с повышенными требованиями по математике.

На втором этапе осуществляется переход от исходного уравнения к равносильной ему системе. Этот способ решения уравнений особенно важен для учащихся, которые планируют сдавать экзамен в вуз с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов.

Только на последнем, третьем этапе изучается переход к уравнению, равносильному исходному уравнению на некотором множестве. Этот способ решения уравнений труднее остальных: он изучается только при углубленном изучении математики и позволяет подготовить учащихся к решению сложных задач из ЕГЭ. Этот этап важен еще и потому, что ситуации, в которых решить уравнение можно только переходом к уравнению, равносильному исходному на некотором множестве, достаточно распространены (например, решение уравнений с модулями).

Аналогичная работа ведется в учебнике и при обучении решению неравенств с разницей в том, что для неравенств не используется понятие «неравенство-следствие».

Во второй главе учебника имеется параграф «Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств», материал которого широко используется при решении некоторых заданий из ЕГЭ. В классах с углубленным изучением математики изучаются те же методы, что и в обычных классах, но на более сложных задачах и с рассмотрением большего количества случаев.

Во второй главе также содержится материал для углубленного изучения математики, связанный с освоением техники решения уравнений, неравенств, систем.

Завершает теоретическую часть учебника для 11 класса третья глава «Комплексные числа».

Следует учесть, что провести все самостоятельные работы из дидактических материалов со всем классом, скорее всего, не удастся, да это и не требуется. Некоторые из них можно использовать как домашние задания на отметку или как дополнительные задания для заинтересованных учащихся (на уроке или дома). Самостоятельные работы отнесены к соответствующим темам, но могут использоваться и при изучении других тем (например, для организации повторения изученного ранее материала).

Многие самостоятельные работы и все контрольные работы избыточны по объему. Предполагается, что учитель самостоятельно отберет из них часть заданий с учетом уровня подготовки учащихся по предмету и времени, отводимого на выполнение работы. Некоторые задания вариантов III и IV несколько сложнее соответствующих заданий вариантов I и II. Так как в классах с углубленным изучением математики контрольных работ должно быть больше, чем в обычных классах, то отдельные самостоятельные работы, отмеченные звездочкой, можно провести как контрольные работы.

Примерное тематическое планирование

Справа от параграфа или пункта указано число часов, отведенных на его изучение при каждом из вариантов планирования I, II, III, IV, рассчитанных соответственно на 2,5, 3, 4, 5 недельных часов в течение года. Тексты контрольных работ приведены в дидактических материалах.

I

II

III

IV

§ 1. Функции и их графики

6

6

9

11

 

1.1.        Элементарные функции

1

1

1

1

 

1.2.    Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции

1

1

1

1

 

Продолжение

I

II

III

IV

1.3.    Четность, нечетность, периодичность функций

1

1

2

2

 

1.4.    Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функции

1

1

2

2

 

1.5. Исследование функций и построение их графиков элементарными методами

1

1

1

1

 

1.6.    Основные способы преобразования графиков

1

1

1

2

 

1.7.      Графики      функций,      содержащих     модули

1

1

 

1.8.          Графики сложных функций

1

 

§ 2. Предел функции и непрерывность

5

5

5

6

 

2.1.         Понятие предела функции

1

1

1

1

 

2.2.        Односторонние пределы

1

1

1

1

 

2.3.         Свойства пределов функций

1

1

1

1

 

2.4.          Понятие непрерывности функции

1

1

1

1

 

2.5.       Непрерывность        элементарных       функций

1

1

1

1

 

2.6.        Разрывные функции

1

 

§ 3. Обратные функции

3

3

6

6

 

3.1.         Понятие обратной функции

2

2

1

1

 

3.2.         Взаимно обратные функции

1

1

 

3.3.      Обратные       тригонометрические       функции

2

2

 

3.4.    Примеры использования обратных тригонометрических функций

1

1

 

Контрольная работа № 1

1

1

1

1

 

§ 4. Производная

8

9

11

12

 

4.1.        Понятие производной

2

2

2

2

 

4.2.    Производная суммы. Производная разности

1

1

2

2

 

4.3.    Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференциал

1

1

 

4.4. Производная произведения. Производная частного

2

2

2

2

 

4.5.           Производные элементарных функций

1

1

1

1

 

4.6.          Производная сложной функции

1

2

2

2

 

4.7.          Производная обратной функции

1

 

Контрольная работа № 2

1

1

1

1

 

§ 5. Применение производной

15

15

16

19

 

5.1.          Максимум и минимум функции

2

2

2

2

 

5.2.        Уравнение касательной

2

2

2

2

 

5.3.         Приближенные вычисления

1

1

1

1

 

5.4.       Теоремы о среднем

1

 

5.5.          Возрастание и убывание функции

2

2

2

2

 

5.6.          Производные высших порядков

1

1

1

1

 

5.7.          Выпуклость графика функции

1

 

Продолжение

I

II

III

IV

      5.8.          Экстремум функции с единственной                          2        2        2          2

критической точкой

      5.9.          Задачи на максимум и минимум                                 2        2        2          2

       5.10.           Асимптоты. Дробно-линейная функция                —     —       1          1

       5.11.         Построение графиков функций                                 2        2        2          2

с применением производных

       5.12.        Формула и ряд Тейлора                                               —     —      —         1

          Контрольная работа № 3                                                            1        1        1          1

          § 6. Первообразная и интеграл                                             8       11      13       18

      6.1.       Понятие первообразной                                                   2        3        3          3

      6.2.          Замена переменной. Интегрирование                       —     —      —         1

по частям

      6.3.          Площадь криволинейной трапеции                            1        1        1          1

      6.4.        Определенный интеграл                                                  1        2        2          2

            6.5. Приближенное вычисление                                            —     —       1          1

определенного интеграла

      6.6.         Формула Ньютона — Лейбница                                   2        3        3          3

      6.7.         Свойства определенных интегралов                           1        1        1          2

      6.8.          Применение определенного интеграла                     —     —       1          2

в геометрических и физических задачах

      6.9.           Понятие дифференциального уравнения                 —     —      —         1

           6.10. Задачи, приводящие                                                       —     —      —         1

к дифференциальным уравнениям

          Контрольная работа № 4                                                            1        1        1          1

            § 7. Равносильность уравнений и неравенств                4        4        4          4

      7.1.         Равносильные преобразования                                     2        2        2          2

уравнений

      7.2.         Равносильные преобразования                                     2        2        2          2

неравенств

         § 8. Уравнения-следствия                                                       4        7        8          9

      8.1.         Понятие уравнения-следствия                                      1        1        1          1

      8.2.          Возведение уравнения в четную степень                  1        2        2          2

      8.3.          Потенцирование логарифмических                            1        1        2          2

уравнений

      8.4.          Другие преобразования, приводящие                        1        1        1          2

к уравнению-следствию

            8.5. Применение нескольких                                                  —      2        2          2

преобразований, приводящих

к уравнению-следствию

            § 9. Равносильность уравнений и неравенств                5        6       13       13

системам

      9.1.       Основные понятия                                                             1        1        1          1

      9.2.          Решение уравнений с помощью систем                    1        2        2          2

      9.3.          Решение уравнений с помощью систем                    1        1        2          2

(продолжение)

Продолжение

I

II

III

IV

9.4.           Уравнения вида f (α (x)) = f (β (x))                            —      —      2        2

9.5.            Решение неравенств с помощью систем                   1        1        2        2

9.6.            Решение неравенств с помощью систем                   1        1        2        2

(продолжение)

9.7.           Неравенства вида f (α (x)) > f (β (x))                         —      —      2        2

§ 10. Равносильность уравнений                                              3        3        7      11

на множествах

10.1.        Основные понятия                                                          1        1        1        1

10.2.           Возведение уравнения в четную                                1        1        2        2

степень

10.3.            Умножение уравнения на функцию                       —      —      1        2

10.4.           Другие преобразования уравнений                         —      —      1        2

10.5.          Применение нескольких                                             —      —      1        2

преобразований

10.6.           Уравнения с дополнительными                                —      —     —      1

условиями

Контрольная работа № 5                                                                1        1        1        1

§ 11. Равносильность неравенств                                             2        2        6        9

на множествах

11.1.        Основные понятия                                                          1        1        1        1

11.2.           Возведение неравенства в четную                            1        1        1        2

степень

11.3.            Умножение неравенства на функцию                    —      —      1        1

11.4.           Другие преобразования неравенств                        —      —      1        1

11.5.          Применение нескольких                                             —      —      1        1

преобразований

11.6.           Неравенства с дополнительными                             —      —     —      1

условиями

11.7.         Нестрогие неравенства                                                —      —      1        2

§ 12. Метод промежутков для уравнений                               1        4        4        5

и неравенств

12.1.          Уравнения с модулями                                                 1        1        1        1

12.2.          Неравенства с модулями                                             —       1        1        1

12.3.            Метод интервалов для непрерывных                      —       1        1        2

функций

Контрольная работа № 6                                                               —       1        1        1

§ 13. Использование свойств функций                                    2        5        5        6

при решении уравнений и неравенств

13.1.            Использование областей существования               1        1        1        1

функций

13.2.           Использование неотрицательности                          1        1        1        1

функций

13.3.           Использование ограниченности                               —       1        1        2

функций

Продолжение

I

II

III

IV

13.4.    Использование монотонности и экстремумов функций

1

1

1

 

13.5.    Использование свойств синуса и косинуса

1

1

1

 

§ 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными

5

7

8

8

 

14.1.        Равносильность систем

2

2

2

2

 

14.2.       Система-следствие

1

2

2

2

 

14.3.         Метод замены неизвестных

2

2

2

2

 

14.4.    Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений

1

1

 

Контрольная работа № 7

1

1

1

 

§ 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами

4

7

 

15.1.         Уравнения с параметром

1

2

 

15.2.         Неравенства с параметром

1

2

 

15.3.          Системы уравнений с параметром

1

2

 

15.4.        Задачи с условиями

1

1

 

§ 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел

5

 

16.1.    Алгебраическая форма комплексного числа

2

 

16.2.           Сопряженные комплексные числа

2

 

16.3. Геометрическая интерпретация комплексного числа

1

 

§ 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел

3

 

17.1. Тригонометрическая форма комплексного числа

2

 

17.2.           Корни из комплексных чисел и их

свойства

1

 

§ 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел

2

 

18.1.        Корни многочленов

1

 

18.2.    Показательная форма комплексного числа

1

 

Повторение

14

15

17

16

 

Повторение курса алгебры и начал математического анализа 10—11 классов

12

13

15

14

 

Итоговая контрольная работа № 8

2

2

2

2

 

§ 1.

Функции и их графики

В предыдущих классах учащиеся уже изучали многие перечисленные ниже понятия. В 11 классе эти понятия уточняются, приводятся в систему, готовятся к использованию при исследовании функций — сначала элементарными средствами, а потом с помощью производной.

1.1. Элементарные функции

В данном пункте учебника напоминаются определения функции, сложной функции как функции от функции (ее называют также суперпозицией функций), определены основные объекты изучения — основные элементарные функции: N, n 2), y = xα (α ∈ R+), y = x−α (α ∈ R+), y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = ax (a > 0, a 1), y = loga x (a > 0, a 1).


Затем к основным элементарным функциям добавляются элементарные функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и конечного числа суперпозиций. Элементарными функциями, например, являются функции y = sin x + cos x, y = −sin2 (x 5).

При обучении на базовом, а тем более на профильном уровне понятие сложной функции должно быть хорошо отработано, так как оно будет использоваться в дальнейшем, например при нахождении производной функции, где нельзя ограничиться только производной от функции f (kx + l). Такой отработке будут способствовать задания из самостоятельной работы С—1, в которой есть задания на решение уравнений, где суперпозиция двух элементарных функций равна числу.

Решения и комментарии

1.2. б) Выпишите основные элементарные функции f (x) и g (x), с помощью которых задана сложная функция f (g (x)) = ln x4.

Ответ. f (x) = ln x, g (x) = x4.

1.3. б) Выпишите основные элементарные функции f (x), g (x) и ϕ (x), с помощью которых задана сложная функция f (g (ϕ (x))) = ( sin x)3.

                 Ответ. f (x) = x3, g x( ) =          x, ϕ (x) = sin x.

1.4. Заданы элементарные функции: f (x) = 7х, ϕ (x) = x2, g (x) = log5 x. Задайте формулой функцию: в) f (g (x)); г) g (g (x)); д) g (ϕ (f (x))); е) ϕ (g (f (x))); ж) f (g (ϕ (x)));

з) f (g (f (x))).

Решение. Для лучшего понимания учащимися решения можно выполнить следующие шаги, приводящие к ответу в задании в): записать функцию f (x) = 7х, затем функцию f (g x( )) = 7g x( ) = 7 log5 x.

Аналогично получим ответы в следующих заданиях: г) g (g (x)) = log5 (log5 x);

             д)      g (ϕ (f (x))) = log5 (7x)2;

             е)      ϕ (g (f (x))) = (log5 7х)2;

ж) f (g (ϕ (x))) = 7 log5 x2;

             з)      f (g (f (x))) = 7 log5 7x.

Промежуточный контроль. C—1.

1.2. Область определения и область изменения

функции. Ограниченность функции

В п. 1.2 учебника вводится понятие области существования функции. Под областью существования функции y = f (x) понимают множество всех действительных чисел x, для каждого из которых существует действительное число y, равное f (x). Это множество называют еще и полной областью определения функции. Область определения функции может быть любой частью области существования функции или может совпадать с ее областью существования. Область определения функции задается условиями или смыслом решаемой задачи.

Например, если функция у = x2 выражает зависимость площади у квадрата от длины его стороны x, то область определения функции есть множество (0; +∞). Но функция, заданная формулой у = x2, имеет область существования — множество всех действительных чисел R.

Подчеркнем, что если функция задана формулой и явно не указана ее область определения, то областью определения такой функции считают ее область существования. Область определения функции часто обозначают D (f). В п. 2 дидактических материалов рассмотрен ряд примеров на нахождение области определения функции.

Здесь же вводится понятие области изменения (области значений) функции. Во всех примерах, разобранных в этом пункте учебника, явно выписана область изменения E (f) функции y = f (x). В п. 3 дидактических материалов приведены дополнительные примеры нахождения области изменения функции.

В этом же пункте учебника вводятся понятия ограниченной функции, ограниченной сверху функции, ограниченной снизу функции, наименьшего и наибольшего значений функции на множестве X. Эти понятия тесно связаны с понятием области изменения функции, поскольку область изменения функции можно найти, зная ее наибольшее (наименьшее) значение либо зная, что она не ограничена сверху (снизу) на множестве X.

Решения и комментарии

1.12. Покажите, что на полной области определения функция:

а) у = х2 не является ограниченной сверху;

б) y = − 12 не является ограниченной снизу; x

в) у = log2 x не является ограниченной.

Решение. а) Для любого сколь угодно большого числа M > 0 найдется число x0 = M +1, такое, что у0 = х20 =

= M + 1 > M. Это означает, что на полной области определения функция y = х2 не является ограниченной сверху.

б) Для любого сколь угодно большого числа M > 0 найдется число x0 = 1 , такое, что y 0 = − 12 = − 1 2 =

                                                2M                                                  x0                   ⎛    1    

                                                                                                                       ⎜          ⎟

                                                                                                                       ⎝    2M

= −2M < −M. Это означает, что на полной области определения функция y = − x12 не является ограниченной снизу.

в) Для любого сколь угодно большого числа M > 0 найдется число x0 = 2M + 1, такое, что | у0 | = | log2 x0 | = = | log2 2M + 1 | = M + 1 > M. Это означает, что на полной области определения функция у = log2 x не является ограни-

ченной.

1.13. Докажите, что если функция y = f (x), определенная на множестве Х, ограничена и сверху, и снизу на этом множестве, то она ограничена на данном множестве.

Решение. Так как функция y = f (x), определенная на множестве Х, ограничена и снизу, и сверху на этом множестве, то существуют числа A и B, такие, что для каждого x Х верно неравенство

                                                           A f (x) B.                                       (1)

Возможны только три следующих случая:

1) Если A > 0, то из неравенства (1) следует, что B > 0 и f (x) > 0, поэтому | f (x) | = f (x) B для каждого x Х. 2) Если B < 0, то из неравенства (1) следует, что A < 0 и f (x) < 0, поэтому | f (x) | = −f (x) ≤ −A = | A | для каждого x Х.

3) Если A 0, а B 0, то из неравенства (1) следует, что С < f (x) < С, где С = 1 + max (| A |, B), т. е. что | f (x) | < С для каждого x Х.

Итак, во всех случаях показано: существует число M > 0, такое, что | f (x) | M для каждого x Х. Это означает, что функция y = f (x) ограничена на множестве Х, что и требовалось доказать.

1.14. г) Имеет ли наибольшее (наименьшее) значение функция y = 2 sin x ? Если имеет, то укажите точку (точки), в которой (в которых) оно достигается.

Решение. Область существования этой функции находится из условия sin x 0. Это множество D (f), состоящее из отрезков [2πn; π + 2πn], n Z. Для любого x D (f) имеем 0 sin x 1, причем sin x = 0 для x = xn = πn, n Z, а sin x = 1 для x x k, k Z. Так как функция y = 2t возрастает на R, то она возрастает и на отрезке [0; 1]. Но функция, возрастающая на отрезке [0; 1], принимает наименьшее значение в точке t0 = 0, а наибольшее значение в точке t1 = 1. Поэтому 2 sin x = 1 для x = xn и 2 sin x = 2 для x = xk.

Следовательно, функция имеет наименьшее значение 1 (оно достигается в точках xn = πn, n Z) и наибольшее значение 2 (оно достигается в точках xk k, k Z).

Промежуточный контроль. C—2, C—3.

Дополнения

1.                       Отметим, что функция на своей области существования может принимать наибольшее (наименьшее) значение не в одной точке. Например, функция y = {x} принимает наименьшее значение в бесконечном числе точек, а именно в точках x Z. Функция с областью определения

[2; 3], график которой изображен на рисунке 1, имеет наименьшее значение 1 в каждой точке отрезка [1; 0] и наибольшее значение 3 в каждой точке отрезка [1; 2].

2.                       В п. 1.2 учебника и в п. 3 дидактических материалов приведены          примеры           нахождения E (f) — области изменения функции f (x). Это простые примеры, цель       которых — пояснить,         что Рис. 1             же такое E (f). На самом деле нахождение E (f) надо проводить в конце исследования функции f (x), так как для нахождения E (f) необходимо знать многие свойства этой функции.

Приведем более сложные примеры нахождения E (f).

Пример 1. Найдем E (f) — область изменения функции f x( ) = x + 1 .

x

Решение. Область существования этой функции — все x, кроме x = 0. Эта функция нечетная, поэтому, определив сначала E (f) для x > 0, легко найти E (f) для всех x D (f). Пусть x > 0. Применяя числовое неравенство a + 1 2, справедливое для любого a > 0, получаем, что

a

f (x) 2 для любого x > 0. Так как f (1) = 2, то область изменения функции f (x) для x > 0 есть [2; +∞).

Так как функция f (x) нечетная, то E (f) = (−∞; 2] ∪ ∪ [2; +∞).

Конечно, для x < 0 область изменения функции можно найти и так. Пусть x < 0. Применяя числовое неравенство a + 1 ≤ −2, справедливое для любого a < 0, получаем, что

a

f (x) ≤ −2 для любого x < 0. Так как f (1) = −2, то область изменения функции f (x) для x < 0 есть (−∞; 2]. Следовательно, E (f) = (−∞; 2] [2; +∞).

Пример 2. Найдем E (f) — область изменения функции

f x( ) = x2 +1 +   21              .

x + 1

         Решение.      Область       существования       этой      функции —

D (f) = R. Применяя числовое неравенство a + 1 2, спра-

a

ведливое для любого a > 0, получаем, что f (x) 2 для любого x R. Так как f (0) = 2, то E (f) = [2; +∞).

Пример 3. Найдем E (f) — область изменения функции

f x( ) = x2 + 2 21             .

x + 2

         Решение.      Область       существования       этой      функции —

D (f) = R. Применяя числовое неравенство a + 1 2, спраa

ведливое для любого a > 0, получаем, что f (x) 2 для любого x R. Но здесь нельзя утверждать, что E (f) = [2; +∞).

Так как функция f (x) четная, то область изменения функции E (f) на всей области существования D (f) совпадает с областью изменения этой функции для x [0; +∞).

Рассмотрим функцию 0. Она возрастающая на промежутке [0; +∞).

Действительно, если 0 x1 < x2, то f x( 2) f x( 1)   x2                   x

                                              = −         +          =

                                                                       (             ) (             )

                            = (x2 x1) (x2 + x1) ⎜⎛⎝1 −  1           2 + 2) ⎞⎟⎠ > 0.

(x + 2) (x

Но возрастающая на промежутке [0; +∞) функция принимает свое наименьшее значение в точке x0 = 0. Итак, f (0) = 2,5, f (x) > f (0) для любого x > 0, и поэтому

E (f) = [2,5; +∞).

Отметим, что в примерах 2 и 3, используя одно и то же неравенство a + 1 2 (a > 0), получаем, что f (x) 2 для a

любого x, но в примере 2 функция достигает значения 2 в точке x0 = 0, а в примере 3 нет. Поэтому в примере 3 было проведено дополнительное исследование.

3. Обычно решение задач на нахождение области изменения функции ограничивается указанием соответствующего множества и некоторых соображений, похожих на приведенные выше, о том, почему это и есть E (f). Но бывают (хотя и достаточно редко) ситуации, когда требуется доказать, что выписанное множество и есть область изменения функции. Учитель должен уметь проводить доказательство, но может не требовать этого от учащихся. Приведем лишь один пример.

Пример 4. Найдем E (f) — область изменения функции f x( ) = 1 x2 .

Решение. Область существования этой функции находится из условия 1 x2 0, т. е. D (f) = [1; 1]. Далее обычно пишут: так как f (1) = f (1) = 0, f (0) = 1, 0 1 x2 1 для x [1; 1], то E (f) = [0; 1]. Однако в этом рассуждении пропущен следующий шаг: надо доказать, что для любого числа y0 D (f) существует хотя бы одно число x0 D (f), такое, что y0 = f (x0). Приведем два способа доказательства этого утверждения.

1-й способ. Докажем, что для любого фиксированного числа y0 [0; 1] уравнение

                                                               y 0 =    1 x2                                                                                 (1)

имеет хотя бы один корень x0 [1; 1].

Решив уравнение (1) (используя материалы второй главы учебника), получим, что оно имеет два корня: x1 = 1 y20 и x2 = − 1 y20 , такие, что x1 [0; 1] и x2 [1; 0] (x1 = x2 = 0 при y0 = 1 и при y0 = −1). Итак, доказано существование чисел x1 и x2 из D (f), таких, что y0 = f (x1) и y0 = f (x2), а это и означает, что E (f) = [0; 1].

2-й способ. Так как функция f (x) четная, то это означает, что E (f) — область изменения функции на всей области существования D (f) совпадает с областью изменения этой функции для x [0; 1]. Найдем E (f1), если f1 ( )x = 1 x2 , x [0; 1].

Функция f1 (x) непрерывна на отрезке [0; 1], f1 (1) = 0, f1 (0) = 1. Поэтому по теореме из п. 2.5 она принимает все значения между f1 (1) и f1 (0), т. е. для функции f1 (x) имеем E (f1) = [0; 1]. Следовательно, E (f) = [0; 1].

4. Приведем примеры задач из ЕГЭ, в которых используются понятия, рассмотренные в п. 1.2. Здесь и далее в ответах к заданиям части А указан номер верного ответа.

A6 (2007). Укажите множество значений функции y = 2x + 5.

          1) (5; +∞);          2) (0 +∞);          3) (−∞; +∞);          4) (7; +∞).

Решение. Для любого x R имеем 2x > 0, следовательно, 2x + 5 > 5. (В тесте проводить какие-либо доказательства не требуется.) Ответ. 1.

          A8 (2007).       Найдите      область       определения       функции

25 f x( ).

x

           1) [0; 3) (3; +∞);                 2) [0; +∞);

            3) [0; 81) (81; +∞);              4) (−∞; 81) (81; +∞).

Решение. Область определения функции находим из двух условий: x.

Ответ. 3.

A10 (2005). Укажите область определения функции y = 3 lg x.

          1) (0; 3];         2) (0; 1000];          3) (3; 1000];         4) [1000; +∞).

Решение. Область определения функции находим из условия 3 lg x 0.

Ответ. 2.

B8 (2005). Найдите наибольшее целое значение функции

y = 25 3cos 4x cos 3x + sin 4x sin 3x 2.

Решение. Данную функцию можно задать формулой y = 25 3cos (4x 3x) 2 или формулой y = 25 3cos x 2. Так как для любого x R имеем 1 cos x 1, то 3 cos x 2 ≤ −1. Тогда в силу возрастания на R функции 3t справедливо двойное неравенство 33 3cos x 2 31, откуда следует, что для любого x R имеем

.

Так как  = 8 , то наибольшее целое значение функции равно 8.

Ответ. 8.

1.3. Четность, нечетность, периодичность функций

В данном пункте вводится понятие четности (нечетности) функции. Отметим, что учащимся в изучении этого свойства функций «мешает» предыдущий опыт. Они знают, что целые числа бывают двух типов — четные и нечетные, и часто полагают, что и функции бывают только четные и нечетные. Поэтому при введении понятий «четная функция» и «нечетная функция» нужно сразу сообщить, что существуют четные функции, нечетные функции, а также функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, и функции, которые являются одновременно и четными, и нечетными. Соответствующие примеры приведены в учебнике и в дидактических материалах. Рассмотрим другие примеры.

Функция f (x) = 0 одновременно является и четной, и нечетной, так как ее можно записать в виде f (x) = 0 x. Тогда для любого x верны равенства f (x) = 0 (x) = = −0 x = 0 x, т. е. для любого x верны равенства f (x) = = −f (x) и f (x) = f (x).

Эта функция иногда может быть задана замысловатой формулой, например такой: f (x) = (| x | x) (| x | + x).

Действительно, f (x) = | x |2 x2 = x2 x2 = 0 при каждом x R.

Приведем пример еще одной функции, являющейся одновременно и четной, и нечетной:

                                                                           | x |        x

g x( ) =   −     . x           | x |

Действительно, g (x) = 0 при каждом x 0, поэтому для каждого x 0

g (x) = −g (x)  и g (x) = g (x).

Вообще если функция f (x) = 0 определена на множестве M, симметричном относительно начала координат, и не определена вне множества M, то она является и четной, и нечетной. Таким свойством обладает, например, функция

                                                                 log2       (1 | x |) (| x | 2 )

,

так как D (p) = (2; 1) (1; 2), и на D (p) имеем p (x) = 0.

Приведем пример нечетной функции

f x( ) = lg ( x2 +1 x),

которая на первый взгляд не является ни четной, ни нечетной (доказательство приведено в п. 4 дидактических материалов).

В п. 5 дидактических материалов приведены примеры использования четности функций для решения задач с параметром.

В п. 1.3 учебника даны определения периодической функции, периода и главного периода функции, приведены примеры периодических функций.

Отметим, что если периодом функции f (x) является число T, то график функции y = f (x + T), полученный сдвигом графика функции y = f (x) вдоль оси Ox на | T |, совпадает с графиком функции y = f (x).

Подчеркнем, что в примере 1в из п. 1.3 учебника функция y = {x} имеет период T = m — любое целое, отличное от нуля число, так как для любого числа x верно равенство {x + m} = {x}.

Ниже в Дополнении 3 показано, что T = 1 — главный период этой функции.

Отметим, что при нахождении периода функции обычно ограничиваются отысканием какого-либо периода, по возможности наименьшего положительного. Но если не приведено доказательство, что найденный период является наименьшим положительным периодом, то нельзя утверждать, что этот период является главным периодом функции. Доказательства того, что функции y = sin x и y = cos x имеют главный период T = 2π, а функции y = tg x и y = ctg x имеют главный период T = π, приведены в учебнике 10 класса.

В п. 1.3 учебника утверждается, что функция f (x) = = sin x + cos x имеет главный период T = 2π, а функция g (x) = sin x cos x имеет главный период T = π.

Докажем это.

1) Вводя вспомогательный угол, получаем, что f x( ) =2 sin ⎜⎝x + π4⎟⎠.

Пусть число T есть период функции f (x), тогда, так как D (f) = R, то для любого x должно выполняться равенство f (x + T) = f (x), т. е. равенство

2 sin ⎜⎝⎛x + T + π4⎟⎠ =2 sin ⎜⎝x + π4⎟⎠.

В частности, при x =  должно выполняться равенство

2 sin ⎝⎛ 2π + T⎞⎟⎠ =2 sin 2π, откуда следует, что sin ⎜⎛ 2π + T⎞⎟⎠ = 1.

Но так как sin u = 1 только для uk k, k Z, то T есть одно из чисел 2πk, k Z (k 0), т. е. периодом функции f (x) является любое число 2πk, k Z (k 0). Наименьшее положительное среди них 2π, следовательно, главный период функции f (x) есть 2π.

2) Применяя формулу синуса двойного угла, получаем, что g x( ) =  sin 2x.

Пусть число T есть период функции g (x), тогда, так как D (f) = R, то для любого x должно выполняться равенство g (x + T) = g (x), т. е. равенство  sin 2 (x + T) =  sin 2x.

      В     частности,       при x      должно      выполняться       равенство

1                    π                π, откуда следует, что           .

2                    2        2              2

Но так как sin u = 1 только для uk k, k Z, то

2T есть одно из чисел 2πk, k Z, т. е. периодом функции g (x) является любое число πk, k Z. Наименьшее положительное среди них π. Следовательно, главный период функции g (x) есть π.

К нахождению периодов функций, составленных с помощью нескольких периодических функций, надо подходить аккуратно, так как, например, при сложении периодических функций может получиться непериодическая функция.

В Дополнении 4 доказано, что при сложении периодических функций y = sin x и y = sin πx получается функция y = sin x + sin πx, не являющаяся периодической. Это доказательство можно рассматривать в классах с углубленным изучением математики.

Решения и комментарии

1.20. а) Определите, является ли четной или нечетной функция

                                                            x2 2x + 4          x2 + 2x + 4

f x( ) = x2 3x + 8 + x2 + 3x + 8 .

Решение. Так как знаменатели дробей не обращаются в нуль ни при каком x R, то D (f) = R. Для каждого x R верны равенства

                          f (x) = + =

                                              x2 + 2x + 4           x2 2x + 4

                                      =        2 + 3x + 8 + x2 3x + 8 = f x( ),

x

следовательно, функция f (x) четная.

1.23. Докажите, что если функция y = f (x) определена на множестве Х и для любого х Х число (x) Х, то функция:

                                 f x(   ) + f (x)

а) ϕ ( )x =четная;

2

                                 f x(   ) f (x)

б) ψ ( )x =нечетная.

2

Решение. а) Так как функция y = f (x) определена на множестве Х, для любого х Х число (x) Х и справед-

ливы равенства , то функция ϕ (x) четная.

б) Так         как       функция          y = f (x) определена       на        множестве X и для любого х Х число (x) Х и справедливы равенства , то функция ψ (x) нечетная.

1.24. Докажите, что если функция y = f (x) определена на множестве Х и для любого х Х число (x) Х, то эту функцию можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве Х и одна из которых четная, а другая нечетная.

Решение. Если функция y = f (x) удовлетворяет условиям задачи, то

f x(         ) + f (x)               f x(          ) f (x) f x( ) =            +          ,

где       функция     ϕ ( )x =                            четная,      а      функция

2

f x( ) f (x) ψ ( )x =  нечетная (задание 1.23).

2

1.25. Представьте функцию y = 2x, определенную на всей оси, в виде суммы четной и нечетной функций.

Решение. Функция y = 2x удовлетворяет условиям задачи 1.24, поэтому

                                               x             2x + 2x               2x 2x

                                            2   = +         ,

где        функция       ϕ ( )x =                      четная,       а        функция

2

2x 2x

ψ ( )x =   нечетная.

2

1.30. Докажите, что если число Т есть период функции f, то число mT, где m N, также будет периодом этой функции.

Доказательство. Так как число Т есть период функции f, то Т 0 и для каждого x D (f) числа x + Т и x Т принадлежат D (f) и верно равенство f (x + Т) = f (x).

Докажем, что тогда число , где m N, также является периодом функции f.

При m = 1 число является периодом функции f по условию задачи.

Предположим, что при m = k число является периодом функции, и докажем, что при m = k + 1 число (k + 1) Т также является периодом функции f.

По нашему предположению числа x + и x принадлежат D (f) и верно равенство f (x + ) = f (x). Так как число T — период функции f, то числа

(x + ) + Т = x + (k + 1) Т и  (x ) Т = x (k + 1) Т также принадлежат D (f) и верны равенства f (x + (k + 1) Т) = f ((x + ) + Т) = f (x + ) = f (x),

а это означает, что число (k + 1) Т является периодом функции f. Но тогда согласно принципу математической индукции число , где m N, является периодом функции f, что и требовалось доказать.

Определите, является ли функция периодической. Если да, то укажите ее период (1.33—1.34).

                  1.33. д) у = sin | x |;               е) у = cos | x |.

Решение. д) Функция у = sin | x | определена на множестве R и не является периодической, так как график функции y = sin | x + T |, полученный сдвигом графика функции y = sin | x | вдоль оси Ox на | T | единиц, не совпадает с графиком функции y = sin | x | ни для какого числа T 0 (рис. 2).

е) Функция у = cos | x | определена на множестве R, она периодическая, ее главный период T = 2π, так как при любом x ее значение совпадает со значением функции у = cos x, которая является периодической функцией с главным периодом T= 2π.

1.34. в) y ={ }x 1.

2

Решение. Так как для любого целого числа m, такого, что m 0, и любого x R числа x + m и x m принад-

лежат множеству R и верно равенство {x + m} = {x}, то любое целое число m, m 0, является периодом функции

y ={ }x 1 .

2

Отметим, что функция {x} не является непрерывной,

а функция y =                 { }x 1является примером непрерывной

2

периодической функции, не связанной явно с тригонометрическими функциями. Ее график изображен на рисунке 3. Построение аналогичных графиков будет рассмотрено в п. 1.6.

1.36. Определите период функции:

             а) y = sin 3x + cos 8x;           в) y = sin 4x + cos 10x.

Решение. а) Функция y = sin 3x + cos 8x определена на множестве R и имеет период T = 2π, так как для любого x R верны равенства sin 3 (x + 2π) + cos 8 (x + 2π) = sin (3x + 6π) + cos (8x + 16π) = = sin 3x + cos 8x.

в) Функция y = sin 4x + cos 10x определена на множестве R и имеет период T = π, так как для любого x R верны равенства sin 4 (x + π) + cos 10 (x + π) =

= sin (4x + 4π) + cos (10x + 10π) = sin 4x + cos 10x.

Промежуточный контроль. C—4, C—5.

Дополнения

1. Отметим, что в определении четной (нечетной) функции условие (x) D (f), вообще говоря, является лишним, так как если мы требуем для каждого x D (f) выполнения равенства f (x) = f (x) (или f (x) = −f (x)), то тем самым мы требуем, чтобы для каждого x D (f) существовало число f (x), а это означает, что число (x) D (f). Но это условие помогает в определении функций, которые не являются ни четными, ни нечетными, если области определения этих функций не симметричны относительно нуля.

Например, функция f x( ) = 1 +    1            не является ни четx         x5

ной, ни нечетной, так как для числа x = −5, принадлежащего D (f), число x = 5 не принадлежит D (f), и не надо проверять справедливость равенств f (x) = −f (x) и f (x) = −f (x) для любого x D (f).

2. Покажем, что в приведенном определении периода функции нельзя опускать условия (x + T) X и (x T) X. Рассмотрим, например, функцию f x( ) = tg( x)2. Ее область существования состоит из всех неотрицательных целых чисел x, кроме x =  + πk, k = 0, 1, 2, ... . График этой

функции изображен на рисунке 4. Для любого x D (f) имеем: (x + T) D (f) и f (x + π) = f (x), но (x − π) D (f) для x [0; π). Такую функцию не принято считать периодической.

Приведем еще один пример, показывающий необходимость условий (x + T) X и (x T) X в определении периодической функции.

Рассмотрим функцию f (x) = sin x, x [0; π]. Для любого x [0; π] верны равенства sin (x + 2π) = sin (x 2π) = = sin x, но ни одно из чисел x + 2π и x 2π не принадлежит области определения функции [0; π].

Таким образом, если в определении периодической функции опустить одно или оба условия (x + T) X и (x T) X, то под такое определение попадают такие функции, которые на самом деле не являются периодическими.

3.                  Докажем, что функция f (x) = {x} имеет главный период T = 1, т. е. покажем, что нет числа T (0; 1), такого, что для любого числа x верно равенство {x + T} = {x}.

Предположим, что такое число есть, тогда (для x = 0) должно выполняться равенство {T} = {0}.

Так как {T} = T 0 для T (0; 1), а {0} = 0, то полученное противоречие означает: предположение, что функция f (x) имеет положительный период, меньший 1, неверно. Следовательно, T = 1 — главный период функции f (x) = {x}.

4.                  Докажем, что функция

                                                       у = sin x + sin πx                                    (1)

не является периодической.

Функция (1) определена на множестве R. Предположим, что эта функция периодическая, т. е. существует такое не равное нулю число T, что для любого числа x справедливо равенство

                              sin (x + T) + sin π (x + T) = sin x + sin πx.                  (2)

Тогда это равенство справедливо, в частности, для х = 0 и х = 2, т. е. справедливы числовые равенства sin T + sin πT = 0,

sin (2 + T) + sin πT = sin 2.

Вычитая из второго равенства первое, получаем, что справедливо равенство sin (2 + T) sin T = sin 2,

которое, используя формулы разности синусов и синуса двойного угла, перепишем в виде

2 sin 1 cos (1 + T) = 2 sin 1 cos 1,

или (так как sin 1 0) в виде cos (1 + T) = cos 1.

Перенеся cos 1 в левую часть и применив формулу разности косинусов, перепишем это равенство в виде

                                           2 sin T2 sin ⎛⎜1 + T2 ⎞⎟⎠ = 0.                            (3)

Равенство (3) справедливо в двух случаях: либо

T

                                                             sin       = 0,                                         (4)

2

либо

                                                     sin ⎜⎝⎛1 + T2 ⎟⎠ = 0.                                   (5)

Справедливость равенства (4) означает, что существует отличное от нуля (так как Т 0) целое число k, такое, что T = 2πk.

Справедливость равенства (5) означает, что существует целое число n, такое, что T = −2 + 2πn. Следовательно, если число T — период функции (1), то либо T = 2πk, либо T = −2 + 2πn, где k Z, n Z.

Покажем, что никакое из этих чисел не является периодом функции (1).

1. Если число Т = 2πk (k 0 — целое число) есть период функции (1), то, в частности, в точке x = 0 должно быть справедливо равенство (2), т. е. равенство

                                                                sin 2π2k = 0.                                        (6)

Но равенство (6) выполняется лишь при условии, что найдется такое целое число m, для которого верно равенство

                                                                  2π2k = πm.                                         (7)

Но равенство (7) не выполняется ни при каких целых числах k (k 0) и m, так как в противном случае было бы справедливо равенство π = m , которое невозможно, так

2k

как число π иррациональное.

Таким образом, нашлось такое число x (x = 0), для которого при T = 2πk не справедливо равенство (2), а это означает, что число T не является периодом функции (1).

2. Если число Т = −2 + 2πk (k — целое число) есть период функции (1), то, в частности, в точке x = 1 должно быть справедливо равенство (2), т. е. должно быть справедливо равенство sin (1) + sin (−π + 2π2n) = sin 1,

которое можно переписать в виде

                                                          sin 2π2n = −2 sin 1.                                   (8)

Так как 2 sin 1 < −2 sin  < −1, то равенство (8) невоз-

можно. Таким образом, нашлось такое число х (х = 1), для которого при Т = −2 + 2πk не справедливо равенство (2), а это означает, что число T не является периодом функции (1).

Итак, получилось противоречие с предположением о том, что функция (1) периодическая. Следовательно, функция (1) не является периодической, что и требовалось доказать.

5. Приведем примеры задач из ЕГЭ, связанных с понятиями четности (нечетности) и периодичности.

А4 (2007). На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок.

Рис. 5

Решение. На рисунке 5 (4) изображен график нечетной функции, так как этот график симметричен относительно начала координат.

Ответ. 4.

B8 (2007). Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен 2 и f (1) = 5. Найдите значение выражения 3f (7) 4f (3).

Решение. 3f (7) 4f (3) = 3f (1 + 3 2) 4f (1 2 2) = = 3f (1) 4f (1) = −f (1) = −5.

Ответ. 5.

B8 (2006). Нечетная функция y = f (x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной x ее значение совпадает со значением функции g (x) = x (2x + 1) (x 2) (x 3).

Сколько корней имеет уравнение f (x) = 0?

Решение. На множестве неотрицательных чисел значения функций f (x) и g (x) совпадают, поэтому на множестве неотрицательных чисел функция f (x) имеет те же нули, что и функция g (x), т. е. функция не имеет других нулей, кроме 0, 2 и 3. Так как функция y = f (x) нечетная, то f (2) = −f (2) = 0, f (3) = −f (3) = 0, f (x0) = −f (x0) 0 для числа x0 (0; +∞), отличного от 2 и 3. Следовательно, функция f (x) имеет всего 5 нулей, поэтому уравнение f (x) = 0 имеет 5 корней.

Ответ. 5.

1.4. Промежутки возрастания, убывания,

знакопостоянства и нули функции

В данном пункте учебника даны определения возрастающей на промежутке функции, убывающей на промежутке функции, строго монотонной на промежутке функции, неубывающей на промежутке функции, невозрастающей на промежутке функции, монотонной на промежутке функции. Подчеркнем, что каждое из этих понятий рассматривается на промежутке.

По определению если для любых x1 и x2 из промежутка X из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) < f (x2), то функцию f (x) называют возрастающей на промежутке X. Обратим внимание на то, что из определения следует, что из справедливости неравенства x1 < x2 следует справедливость неравенства f (x1) < f (x2). Многие считают, что из определения также следует, что из неравенства f (x1) < f (x2) следует неравенство x1 < x2. Это действительно так, но не указывается в определении. Это надо уметь доказывать.

Аналогичное замечание можно сделать и для убывающей функции. Поэтому в учебнике дана задача 1.40 (ее решение приведено ниже). Отметим, что утверждения, сформулированные в этом задании, используются при решении уравнений и неравенств.

Отметим, что отыскание нулей функции и промежутков знакопостоянства функции сводится к решению уравнений и неравенств, часть из которых рассматривается в учебнике для 10 класса, а остальные — во второй главе учебника для 11 класса. В п. 6 дидактических материалов приведены примеры на отыскание промежутков монотонности и знакопостоянства функции.

Решения и комментарии

1.39. а) Докажите, что сумма возрастающих на промежутке Х функций является функцией, также возрастающей на промежутке Х.

Доказательство. а) Пусть дана функция ϕ (x) = f (x) + + g (x), где функции f (x) и g (x) возрастающие на промежутке Х. Это означает, что для чисел x1 и x2 из промежутка Х из справедливости неравенства x1 > x2 следует справедливость неравенств f (x1) > f (x2) и g (x1) > g (x2), а поэтому и справедливость цепочки равенств и неравенств ϕ (x1) = f (x1) + g (x1) > f (x2) + g (x1) > f (x2) + g (x2) = ϕ (x2).

Это означает, что функция ϕ (x) является возрастающей на промежутке X.

Утверждения из задания 1.39 часто используются при решении задач.

1.40. а) Докажите, что если функция y = f (x) определена на промежутке Х и возрастает на нем, то для любой пары чисел x1 и x2 из промежутка Х из справедливости неравенства f (x1) > f (x2) следует справедливость неравенства x1 > x2.

б) Докажите, что если функция y = f (x) определена на промежутке Х и убывает на нем, то для любой пары чисел x1 и x2 из промежутка Х из справедливости неравенства f (x1) > f (x2) следует справедливость неравенства x1 < x2.

в) Докажите, что если функция y = f (x) определена и строго монотонна на промежутке Х, то для любой пары чисел x1 и x2 из промежутка Х из справедливости равенства f (x1) = f (x2) следует справедливость равенства x1 = x2.

Доказательство. а) Для чисел x1 и x2 возможны только три соотношения: x1 = x2, x1 > x2 и x1 < x2.

Предположим, что x1 = x2, тогда f (x1) = f (x2), что противоречит условию f (x1) > f (x2).

Предположим, что x1 < x2, тогда из возрастания функции f (x) на промежутке X следует, что f (x1) < f (x2), что противоречит условию f (x1) > f (x2).

Это означает, что на самом деле x1 > x2, что и требовалось доказать.

Доказательства в заданиях б) и в) проводятся аналогично, поэтому здесь не приводятся.

Замечание. Часто определения и утверждения, приведенные в задании 1.40, формулируют иначе:

а) Если функция y = f (x) определена на промежутке Х и возрастает на нем, то для любой пары чисел x1 и x2 из промежутка Х равносильны неравенства f (x1) > f (x2) и x1 > x2.

б) Если функция y = f (x) определена на промежутке Х и убывает на нем, то для любой пары чисел x1 и x2 из промежутка Х равносильны неравенства f (x1) > f (x2) и x1 < x2.

в) Если функция y = f (x) определена и строго монотонна на промежутке Х, то для любой пары чисел x1 и x2 из промежутка Х равносильны равенства f (x1) = f (x2) и x1 = x2.

1.51. При каких значениях b и c функция у = x2 + bx + c принимает отрицательные значения только при х (4; 2)?

Решение. Так как функция у = x2 + bx + c принимает отрицательные значения только при х (4; 2), то нули функции x1 = −4 и x2 = −2. Тогда b = −(x1 + x2) = 6, с = x1 x2 = 8. Промежуточный контроль. C—6.

1.5. Исследование функций и построение их графиков

элементарными методами

В этом пункте приведена схема исследования функции, напоминаются определения графика функции, разъясняется на интуитивном уровне понятие функции, непрерывной на промежутке. Подчеркнем, что график функции только иллюстрирует свойства функции, но не доказывает их.

Отметим, что исследование функций элементарными средствами является первым этапом изучения свойств функций. После изучения производной описанный выше порядок исследования не изменяется, просто появятся новые средства доказательства возрастания, убывания функции, поиска наибольшего (наименьшего) значения функции.

Решения и комментарии

2 x2

1.56. а) Исследуйте функцию y =              2 + 1 и постройте ее x

график.

2 x2

Решение. 1) Функция f x( ) =           2 + 1 определена для люx

бых действительных чисел, так как х2 + 1 0, т. е. область ее существования есть R.

2) Так как f (x) = 0 при x1 = −2 и x2 =2, то у этой функции есть два нуля: x1 и x2.


Рис. 6

4) f (x) > 0        при 3) Эта функция четная, так

2 (x)2 2 x2 как (x)2 + 1 = x2 + 1 для любых х R, т. е. график функции y = f (x) симметричен относительно оси Oy.

x (−     2;    2),         f (x) < 0         при


x (− ∞; −        2) (∪      2; +∞) (рис. 6).

5)      На        промежутке      [0; +∞) функция          f x( ) = −1 +     23

x + 1

убывающая, так как при 0 x1 < x2 справедливо неравенство .

6)      Так как  и f (x) убывает на проме-

жутке [0; +∞), то она на этом промежутке имеет наибольшее значение 1 + 3 = 2, достигаемое в точке х = 0. Так как f (x) — четная функция, то и на R она принимает наибольшее значение 2 в точке х = 0. Функция f (x) не имеет наименьшего значения, так как f (x) > −1 при всех х.

7)      Область изменения функции y = f (x) есть промежуток Y = (1; 2], так как y принимает все значения из промежутка (1; 2].

Вычислим координаты нескольких точек графика:

х

0

0,5

1

2

2

3

7

у

2

1,4

0,5

0

0,4

0,7

0,94

Учитывая перечисленные свойства функции f (x), построим ее график сначала для x > 0, а потом отразим его симметрично относительно оси Oy (рис. 7).

Рис. 7

1.6. Основные способы преобразования графиков

В данном пункте учебника обобщаются рассмотренные ранее на примерах способы преобразования графиков функций. Здесь изучаются пункты:

1)                  симметрия относительно осей координат;

2)                  сдвиг (параллельный перенос) вдоль осей координат;

3)                  растяжение и сжатие графиков вдоль осей координат;

4)                  построение графика функции y = A (k (x a)) + B по графику функции y = f (x);

5)                  симметрия относительно прямой y = x.

Изложение п. 1—5 близко к традиционному, оно содержит обоснования, проведенные для произвольной точки M0 (x0; y0). Пункт 5, посвященный симметрии относительно прямой y = x, учащимся нужно обязательно усвоить, если в программу их обучения входит изучение обратной функции.

Следует обратить внимание на задания 1.68, 1.69, 1.73, в которых используется уравнение окружности. В классах с углубленным изучением математики этот материал должен быть хорошо проработан, так как он будет дальше часто использоваться.

В п. 7 дидактических материалов приведены примеры построения графиков функций с использованием этих способов их преобразования.

Решения и комментарии

1.68. Уравнение окружности с центром O (0; 0) радиуса R имеет вид х2 + у2 = R2, поэтому графиком функции

y = R2 x2 является верхняя полуокружность (рис. 8). Постройте график функции: а) y = 4 x2 ;

          б) y = −     4 x2 ;

          в) y =      9 (x 1)2 ;

          е) y = −      25 (x 3)2 +1.

Решение. а) Графиком функ-

ции y = 4 x2 является верх- Рис. 8 няя полуокружность окружности х2 + у2 = 4 (см. рис. 8, R = 2).

              б) График функции y = −                 4 x2 симметричен графику

функции y =              4 x2 относительно оси Ox (рис. 9).

в) Графиком функции y = 9 x2 является верхняя полуокружность окружности х2 + у2 = 9. График функции

y = 9 (x 1)2 получим переносом графика функции y = 9 x2 на 1 единицу вправо (рис. 10).

е) Графиком функции y = 25 x2 является верхняя полуокружность окружности х2 + у2 = 25 (рис. 11). График симметричен графику функции

y = относительно оси Ox (рис. 12). График функции получим переносом графика

на 3 единицы вправо и на 1 едини-

                                  Рис. 12                                                          Рис. 13

В сложном случае е) перед приведенным выше построением полезно показать следующее: если уравнение переписать в виде y 1 = − 25 (x 3)2 и возвести полученное уравнение в квадрат, то получится уравнение окружности (х 3)2 + (у 1)2 = 25. Теперь становится понятным, что графиком исходной функции является нижняя полуокружность окружности (х 3)2 + (у 1)2 = 25 (см. рис. 13) и для ее построения надо выполнить приведенные выше шаги.

1.70. Постройте график функции:

                а) x = 2y;        б) x = 2y2,      y 0;       в) x = 2y; г) x = ⎛⎝21⎠⎞ y;

        д) x ;      е) x =     1 y2 .

Решение. В заданиях а)—е) требуется построить график функции x = f (y), зная график функции y = f (x). Такие графики уже строились в 10 классе по точкам, при этом значения аргумента y откладывались по оси Oy, а значения функции x — по оси Ox. В учебнике доказано, что графики функций x = f (y) и y = f (x) симметричны относительно прямой y = x, поэтому теперь графики можно строить с помощью симметрии относительно прямой y = x.

а) График функции x = 2y, y 0, построим, отразив симметрично относительно прямой y = x график функции y = 2x (рис. 14).

б) График функции x = 2y2, y 0, построим, отразив симметрично относительно прямой y = x график функции y = 2x2, x 0

(рис. 15).

в) График функции x = 2y построим, отразив симметрично относительно прямой y = x график функции y = 2x (рис. 16).

г) График функции x = ⎛⎜⎝ 21⎞⎟⎠ y

построим, отразив симметрично относительно прямой y = x график функции y = ⎛⎜⎝ 21⎞⎟⎠ x (рис. 17).

Рис. 15

                             Рис. 16                                                            Рис. 17

                                  Рис. 18                                                            Рис. 19

д) График функции x = sin y, , построим, отразив симметрично относительно прямой y = x график функции y       (рис. 18).

е) График функции x = 1 y2 построим, отразив симметрично относительно прямой y = x график функции y = 1 x2 . Получится правая полуокружность окружности х2 + у2 = 1 (рис. 19).

1.72. Придумайте пример функции y = f (x), график которой совпадает с графиком функции х = f (у) при построении их в одной системе координат xOy.

Решение. Примеры таких функций: y = x и x = y; y = 1 x

и x = 1; y = − 2 и x = − 2 ; y = 1 x и x = 1 y; y = 2 x и y x y x = 2 y.

1.74. На рисунке 20, ае изображена парабола. Является ли эта парабола графиком функции y = f (x) или x = ϕ (y)? Если да, то задайте эту функцию формулой.

Решение. а) На рисунке 20, а изображена парабола y = ax2, проходящая через точку (1; 2). Так как 2 = a 12 при a = 2, то это парабола y = 2x2.

б) На рисунке 20, б изображена парабола y = ax2, проходящая через точку (1; 2). Так как 2 = a 12 при a = −2, то это парабола y = −2x2.

в) На рисунке 20, в изображена парабола x = ay2, проходящая через точку (2; 1). Так как 2 = a 12 при a = 2, то это парабола x = 2y2.

г) На рисунке 20, г изображена парабола y = ax2, проходящая через точку (2; 1). Так как 2 = a 12 при a = −2, то это парабола x = −2y2.

д) На рисунке 20, д изображена парабола y = a (x 1)2 + 1, так как ее вершина (x0; y0) имеет координаты (1; 1). Парабола проходит через точку (0; 3), поэтому из равенства 3 = a (0 1)2 + 1 следует, что a = 2. Итак, это парабола y = 2 (x 1)2 + 1.

е) На рисунке 20, е изображена парабола y = a (x 1)2 + 2, так как ее вершина (x0; y0) имеет координаты (1; 2). Парабола проходит через точку (0; 0), поэтому из равенства 0 = a (0 1)2 + 2 следует, что a = −2. Итак, это парабола y = −2 (x 1)2 + 2.

Дополнение. В качестве дополнительного задания можно предложить учащимся задать формулой параболу, изображенную на рисунке 21, а.

Решение. На рисунке 21, а изображена парабола x = a (y 1)2 + 2, так как ее вершина (x0; y0) имеет координаты (2; 1). Парабола проходит через точку (0; 0), поэтому из равенства 0 = a (0 1)2 + 2 следует, что a = −2. Итак, это парабола x = −2 (y 1)2 + 2.

Заметим, что парабола, изображенная на рисунке 21, а, симметрична относительно прямой y = x (рис. 21, б) параболе y = −2 (x 1)2 + 2 (задание 1.74), поэтому формулу, которой задана парабола, изображенная на рисунке 21, а, можно получить с помощью замены x на y и y на x из формулы y = −2 (x 1)2 + 2.

Промежуточный контроль. C—7.

1.7*. Графики функций, содержащих модули

1.8*. Графики сложных функций

Пункты 1.7—1.8 учебника необязательны при обучении на базовом уровне. Здесь показано, как строить графики функций, содержащих модули, и графики сложных функций. В п. 1.7 показывается, как с помощью графика функции у = f (x) строить графики функций у = | f (x) | и у = f (| x |). На большом числе примеров здесь обобщаются рассмотренные ранее для частных случаев способы преобразования графиков функций, содержащих модули.

В п. 8 дидактических материалов рассмотрены примеры построения графиков функций, содержащих модули.

В п. 1.8 рассматривается на конкретных примерах построение графиков суперпозиции, суммы, произведения двух функций, графиков кусочно-заданных функций.

В п. 9 дидактических материалов рассмотрены задачи на применение графиков при решении задач с параметром.

Решения и комментарии

1.81. Постройте график функции:

а) y = x2 5 | x 1 | + 1; б) y = | x2 3x + 2 | + 2x 3. Решение. а) Построим график исходной функции на двух промежутках: (−∞; 1] и [1; +∞).

1) Если x 1, то x2 5 | x 1 | + 1 = x2 5 (x 1) + 1 = x2 5x + 6.

Графиком функции y = x2 5x + 6 является парабола с вершиной (2,5; 0,25). Определим координаты некоторых точек этой параболы:

x

1

2

2,5

3

4

y

2

0

0,25

0

2

Графику исходной функции принадлежат лишь точки параболы из промежутка [1; +∞).

2) Если x 1, то x2 5 | x 1 | + 1 = x2 + 5 (x 1) + 1 = x2 + 5x 4.

Графиком функции y = x2 + 5x 4 является парабола с вершиной (2,5; 10,25). Определим координаты некоторых точек этой параболы:

x

4

3

2,5

2

1

y

8

10

10,25

10

8

Графику исходной функции принадлежат лишь точки параболы из промежутка (−∞; 1].

График исходной функции изображен жирной линией на рисунке 22.

б) Исходную функцию можно задать формулой y = | (x 1) (x 2) | + 2x 3. Построим ее график на промежутках (−∞; 1], [1; 2] и [2; +∞).

1)     Если 1 x 2, то

| x2 3x + 2 | + 2x 3 = − (x2 3x + 2) + 2x 3 = −x2 + 5x 5.

Графиком функции y = −x2 + 5x 5 является парабола с вершиной (2,5; 1,25). Определим координаты некоторых точек этой параболы:

x

1

2

2,5

3

4

y

1

1

1,25

1

1

Графику исходной функции принадлежат лишь точки параболы из промежутка [1; 2].

2)     Если x 1 или x 2, то

| x2 3x + 2 | + 2x 3 = x2 3x + 2 + 2x 3 = x2 x 1.

Графиком функции y = x2 x 1 является парабола с вершиной (0,5; 1,25). Определим координаты некоторых точек этой параболы:

x

4

3

2,5

2

1

y

8

10

10,25

10

8

Графику исходной функции принадлежат лишь точки параболы из промежутков (−∞; 1] и [2; +∞).

График исходной функции изображен жирной линией на рисунке 23.

Замечание. Чтобы убедиться, что графиком функции является непрерывная линия, границы промежутков включены в каждый из рассматриваемых промежутков.

1.82. Постройте график функции:

                 а) y = [sin x];        б) y = {sin x};

                в) y = [cos x];       г) y = {cos x}.

Решение. а) Здесь учащимся можно напомнить, что целая часть числа a, обозначаемая [a], есть наибольшее число, не превосходящее a. Поэтому если sin x = 1, то [sin x] = 1; если sin x = −1, то [sin x] = −1; если 0 < sin x < 1, то [sin x] = 0; если 1 < sin x < 0, то

[sin x] = −1. График функции y = [sin x] изображен на рисунке 24, а.

б) Дробная часть числа a, обозначаемая {a}, есть разность этого числа и его целой части: {a} = a [a]. Поэтому если sin x равен 1, 0 или 1, то {sin x} = 0; если 0 < sin x < 1, то {sin x} = sin x; если 1 < sin x < 0, то {sin x} = sin x (1) = = sin x + 1. График функции y = {sin x} изображен на рисунке 24, б.

в), г) Так как cos x = sin x + 2π , то графики функций y = [cos x] и y = {cos x} можно получить сдвигом вдоль

оси Ox графиков функций y = [sin x] и y = {sin x} соответственно на  влево.

Замечание. В заданиях д)—з) по каждому графику функции y = f (x), построенному в заданиях а)—г), надо построить график функции y = | f (x) |.

1.83. Постройте график функции: sin x          cos x

          а) y =   ;          б) y =   .

                          | sin x |                                | cos x |

Решение. а) Функция определена в тех точках x, где sin x 0. Если sin x > 0, то y = 1; если sin x < 0, то y = −1. sin x

График функции y =              изображен на рисунке 25.

| sin x |

б) Так как cos x = sin x + 2π , то график функции cos x

y =можно                       получить      сдвигом      графика        функции

| cos x |

y =     sin x        на π влево.

Рис. 25

1.87. Постройте график функции:

               а) y =      x2 + 2x +1 +      x2 6x + 9;

               б) y =      x2 2x +1 −      x2 + 6x + 9.

Решение. а) Данную функцию можно записать в виде y = | x + 1 | + | x 3 |. Построим ее график на каждом из промежутков: x 3, 1 x 3, x ≤ −1.

1)      Если x ≤ −1, то | x + 1 | + | x 3 | = −x 1 x + 3 = = −2x + 2. График функции — часть прямой y = −2x + 2, для точек которой выполнено условие x ≤ −1.

2)      Если 1 x 3, то | x + 1 | + | x 3 | = x + 1 x + 3 = 4. График функции — часть прямой y = 4, для точек которой выполнено условие 1 x 3.

3)      Если x 3, то | x + 1 | + | x 3 | = x + 1 + x 3 = 2x 2. График функции — часть прямой y = 2x 2, для точек которой выполнено условие x 3.

График исходной функции изображен на рисунке 26.

                                   Рис. 26                                                               Рис. 27

б) Исходную функцию можно записать в виде y = | x 1 | | x + 3 |. Построим ее график на каждом из промежутков: x 1, 3 x 1, x ≤ −3.

1)      Если x ≤ −3, то | x 1 | | x + 3 | = −x + 1 + x + 3 = 4. График функции — часть прямой y = 4, для точек которой выполнено условие x ≤ −3.

2)      Если 3 x 1, то | x 1 | | x + 3 | = −x + 1 x 3 = = −2x 2. График функции — часть прямой y = −2x 2, для точек которой выполнено условие 3 x 1.

3)      Если x 1, то | x 1 | | x + 3 | = x 1 x 3 = −4. График функции — часть прямой y = −4, для точек которой выполнено условие x 1.

График исходной функции изображен на рисунке 27.

1.88. а) Постройте график функции y = x + 4 x.

Решение. В одной системе координат построим графики двух функций y = x + 4 и y = − x (на общей части их областей существования, т. е. для x 0). Затем для каждого значения x сложим соответствующие значения функций и получим ординату точки

графика исходной функции. Рис. 28 Так как функцию y = x + 4

−          x можно записать в виде y =                                 , то очевидно,

что эта функция убывающая на промежутке [0; +∞), причем при неограниченном возрастании x значения y стремятся к нулю, оставаясь положительными.

График исходной функции изображен на рисунке 28. Промежуточный контроль. C—8, C—9.

§ 2.

Предел функции и непрерывность

Понятие предела функции является одним из основных понятий в курсе алгебры и начал математического анализа. Однако практика введения этого понятия в школе показала, что оно с трудом усваивается учащимися. Поэтому при обучении на базовом уровне даже не используют знак предела. Мы считаем, что вполне достаточно интуитивного понимания предела функции, и пользуемся знаком предела.

2.1. Понятие предела функции

В данном пункте из рассмотрения многочисленных примеров на интуитивном уровне вводится понятие предела функции сначала при х → +∞, затем при х → −∞. При этом никак не формализуются слова «x неограниченно возрастает» и «значения функции f (x) стремятся к A», где A — действительное число, +∞ или −∞. Вводится соответствующая символика (знак предела), объясняется смысл употребления слова «равен» и знака «=» перед знаками +∞, −∞, , не являющимися действительными числами. Затем дается понятие предела функции в точке также на интуитивном уровне.

Решения и комментарии 2.2. Объясните, что означает запись:

         а)      lim ⎜⎝2      x

                 x → +∞ ⎛    + 1 ⎞⎠⎟ = 2;     б) xlim→ −3 x2 = 9;       г) xlim5 x 15 = ∞.

Решение. а) Эта запись означает, что при неограниченном возрастании x (при х → +∞) соответствующие значения функции y = 2 + 1 стремятся к числу 2. x

б) Эта запись означает, что при х → −3 соответствующие значения функции y = х2 стремятся к числу 9.

1

г) Эта                                                   запись       означает,          что       lim= +∞,         т. е. x 5x 5

при х 5 соответствующие значения функции y =1

x 5

стремятся к +∞, т. е. неограниченно возрастают.

2.3. Объясните, почему верно равенство:

             а) xlim1 1 = +∞;        б) xlim→ − 1   (x +−11)2 = −∞;

               в) xlim              3 = ∞.

                        2      (x 2)

                   Решение. а) Функция y =     1       определена для всех x,

| x 1|

кроме x = 1. Для всех x 1 соответствующие значения этой функции положительны, и при х 1 они неограниченно возрастают, а это и означает справедливость равенства.

б) Функция y  определена для всех x, кроме

x = −1. Для всех x ≠ −1 соответствующие значения этой функции отрицательны, а их модули при х → −1 неограниченно возрастают, а это и означает справедливость равенства.

в) Так как lim= +∞, то это и означает спра-

x 2

ведливость равенства.

2.5. Определите, чему равен предел:

а) lim (1)[ x] x3 ; д) lim (2)[ x] . x → +∞            x → +∞

Решение. а) Так как lim | (1)[ x] x3 | = +∞, то lim (1)[ x] x3 = ∞. x → +∞

x → +∞

д) Так как lim | (2)[ x] | = +∞, то lim (2)[ x] = ∞. x → +∞         x → +∞

2.2. Односторонние пределы

В данном пункте учебника рассматривается понятие одностороннего предела.

sin x

Сначала рассматривается функция y =                 . Она опреx

делена для всех действительных x, кроме x = 0, ее график изображен на рисунке 62 учебника.

Из рассмотрения положительных значений x, близких sin x

к нулю (х 0, x > 0), делается вывод, что lim                                  = 1,

x 0            x x > 0

sin x

т. е. находится односторонний предел функции           при x, x

стремящемся к нулю справа.

Затем с помощью замены переменной x = −u показываsin x

ется, что и lim  = 1. Тем самым доказано, что и при x, x 0 x x < 0

sin x

стремящемся к нулю слева, предел функции    сущестx

вует и тоже равен 1.

Наконец, приводятся определения правого и левого пределов функции f (x) в точке.

Далее после рассмотрения ряда примеров в учебнике дано определение:

Если существуют левый и правый пределы функции y = f (x) в точке a и оба они равны A, то говорят, что эта функция имеет предел в точке a, равный A, и пишут: lim f x( ) = A. x a

Для обучения на профильном уровне в учебнике приведены также определения предела функции «на языке ε − δ» и «на языке последовательностей».

Следует подчеркнуть, что пределы, найденные по разным определениям, совпадают.

Решения и комментарии

2.7. Найдите левый и правый пределы функции y = f (x) при x a, если:

           а) f x( ) = x 1+ 2 , a = −2;          б) f x( ) 1 2 , a = 2.

(x 2)

Решение. а) При x → −2 и x < −2 дробь 1 отриx + 2

цательна и стремится к −∞, т. е.                     lim       1           = −∞. При

x

x

x → −2 и x > −2 дробь 1 положительна и стремится к x + 2

+∞, т. е..

x

x > −2

                 б) При x 2 и x < 2 дробь        1                                           2                    стремится к +∞,

(x 2)

т. е. xlim2 (x 1       = +∞. При x 2 и x > 2 дробь        1             2

                              2)2                                                                                                                                          (x 2)

x < 2 стремится к +∞, т. е. lim 1 2 = +∞.

x 2 (x 2) x > 2

2.11. Найдите левый и правый пределы функции y = f (x) при x a, если:

                                       x                                                      x2 4

               а) f x( ) =         , a = 0;          б) f x( ) =    , a = −2.

                                     | x |                                                     x + 2

Решение. а) При x 0 и x < 0 дробь x равна 1, по-

| x |

этому lim x = −1. При x 0 и x > 0 дробь x равна 1, x 0 | x |        | x | x < 0

x поэтому lim  = 1.

x 0 | x |

x > 0

x2 4

               б) При       x → −2     и     x < −2      верны      равенства =

x + 2

            (x 2) (x + 2)                                                         x2 4

=  = x 2, поэтому lim  = lim (x 2) = −4. x + x → −2 x + 2 x → −2 x < −2              x < −2

x2 4

При x → −2 и x > −2 верно равенство  = x 2, поx + 2

x2 4 этому lim  = lim (x 2) = −4.

x → −2 x + 2 x → −2 x > −2              x > −2

2.12. Вычислите:

                                 sin 2x                                  sin πx

а)   lim        ; в)         lim       . x 0             2x            x 0             πx

Решение. а) При x 0 переменная u = 2x также стреsin 2x sin u

мится к 0 (u 0), поэтому lim  = lim  = 1. x 0 2x u 0 u

в) При x 0 переменная u = πx также стремится к 0 sin πx sin u

           (u 0), поэтому lim       = lim   = 1.

                                                 x 0           πx            u 0           u

2.13. а) Докажите, используя определение предела «на языке ε − δ» или «на языке последовательностей», что

lim (3x 7) = 5. x 4

Доказательство. 1-й способ. Функция y = 3x 7 определена в любой окрестности точки x0 = 4, включая и саму точку x0 = 4. Возьмем произвольное положительное число ε и выясним, для каких значений x выполняется неравенство | 3x 7 5 | < ε. Поскольку равносильны нера-

венства

| 3x 7 5 | < ε,    | 3x 12 | < ε,     | x 4| < ,     (1) то это означает, что для любого числа ε > 0 нашлось число δ =  > 0,       такое,   что       из        справедливости            неравенства | x 4 | < δ следует справедливость неравенств (1). По определению          предела            «на       языке   ε − δ»  это       означает,            что

lim (3x 7) = 5, что и требовалось доказать. x 4

2-й способ. Рассмотрим произвольную последовательность {xn} значений переменной x, имеющую пределом чис-

1 ло 4. Пусть, например, xn = 4 +       . Тогда последователь-

n

ность   {f (xn)} соответствующих         значений         функции f (x) = 3x 7  задается           формулой         общего            члена f x( n) = 3xn 7 = 5 + 3 . Эта последовательность имеет преn

делом при n → +∞ число 5. По определению предела «на языке последовательностей» это означает, что lim (3x 7) = 5, что и требовалось доказать. x 4

Дополнение. В учебнике утверждается, что можно доказать, что

                                                       1                                                                    1

                                 lim (1 + x)x = e      и      lim (1 + x)x = e,                     (2)

x 0                x 0 x > 0   x < 0 где  e — иррациональное    число,  приближенно   равное

2,71828... .

Докажем это. Как показано в учебнике для 10 класса,

                                               nlim→ +∞ ⎝⎛1 + n1 n = e,                               (3)

если n N и n → +∞.

Покажем, что

                                                                  ⎛   + 1 ⎞⎟ α

                                                  αlim→ +∞ ⎜⎝1   α ⎠   = e,                                  (4)

если α → +∞, принимая любые положительные значения, необязательно натуральные.

Обозначим через [α] целую часть числа α. Для любого положительного числа α выполняются очевидные неравенства

[α] ≤ α < [α] + 1.

Но тогда для α ≥ 1 имеем

⎛⎜⎝1 [α]+11 [α] + 1 ⎛ + 1 ⎞⎟⎠ [α] + 1 < ⎝⎛⎜1+ α1 ⎞⎟⎠α + 1 ≤ ⎛⎜⎝1+ [α]1 ⎠⎟⎞α + 1 < ⎛⎝⎜1+ [α]1 ⎞⎠⎟ [α]+ 2.

     +         ⎟⎠       < ⎜⎝1   α

Разделив на  все члены этих неравенств, получим, что справедливы неравенства

              ⎛           1      [α] + 1                                                ⎛        1 2

              ⎜⎝ 1 + [α] + 1⎟                         α      ⎜⎝ 1 + [α]⎟⎠     ⎛        1 [α]

                                      ⎠                    < ⎛⎜⎝1 + 1 ⎞⎟⎠⋅ ⎜⎝1 + [α]⎟⎠             .       (5)

                                                 α

Пусть α → +∞. Тогда m = [α] + 1 и m1 = [α] таковы, что m N и m1 N, m → +∞ и m1 → +∞. Используя равенство (3), получим, что

                                         ⎛          1      α] +                        

                        α → +∞lim ⎜⎝1 + [α] + 1⎟⎠ [  1 = m lim→ +∞ ⎝⎜1 + m1 ⎟⎠⎞ m = e,

                                            ⎛        1 [α]                         ⎛        1 m1

                           α → +∞lim ⎜⎝1 + [α]⎟⎠    = m1lim→ +∞ ⎜⎝1 + m1 ⎟⎠     = e.

Так как при α → +∞ знаменатель левой части соотношения (5) стремится к 1 и дробь в правой части также стремится к 1, то левая и правая части в соотношении (5) стремятся к e. Но тогда и средняя часть соотношения (5) стремится к e. Справедливость равенства (4) доказана.

Пусть теперь α → −∞, принимая любые отрицательные значения, необязательно натуральные. Тогда β = −α → +∞, принимая любые положительные значения, следовательно, α          −β            β

                α → −∞lim ⎜⎝⎛1 + α1 ⎟⎠⎞ = β lim→ +∞ ⎜⎝⎛1 β1⎟⎠⎞ = β lim→ +∞ ⎝⎛⎜β β− 1⎠⎞⎟     =

= β lim→ +∞ ⎛⎜⎝⎜⎛⎜⎝1 + β 11⎠⎟⎞β − 1 ⎛⎜⎝1 + β 11⎟⎠⎞⎟⎟⎠⎞ = e 1 = e.

Таким образом, доказано, что

                                                   αlim→ −∞ ⎛⎜⎝1 + α1 ⎞⎟⎠ α = e,                           (6)

если α → −∞, принимая любые отрицательные значения.

Если в формуле (4) положить x , то получим, что x 0 и x > 0 при α → +∞ и α > 0, следовательно,

                                                        lim ( x)           e.

xx > 0

Аналогично если в формуле (6) положить x , то получим, что x 0 и x < 0 при 0, следовательно,

lim ( + x)x = e.

x

x < 0

Тем самым мы доказали, что справедливы равенства (2).

2.3. Свойства пределов функций

В данном пункте учебника рассматриваются свойства пределов функций и применение этих свойств для вычисления пределов. При этом свойства пределов не доказываются.

В п. 10 дидактических материалов приведены примеры вычисления пределов функций.

Решения и комментарии

2.15. Вычислите:

x3 1

а) lim (sin x + cos x); в) lim ; x x 1 x 1

1                                                                     cos 2x

г)   lim;       д)         lim; x → −2                     x 0             x2

е)   lim (1 + 3x) . x 0

Решение. а) lim (sin x + cos x) = lim sin x + x π        x π

2                                                                     2

+ lim cos x = 1 + 0 = 1.

x

                            x3 1                     (x 1) (x2 + x + 1)                               2 + x +1) =

в)   lim        = lim     = lim (x x 1 x 1     x 1             x 1      x 1

= 12 +1 +1 = 3.

г) При x → −2 переменная u = x + 2 стремится к 0 sin (x + 2) sin u

(u 0), поэтому          lim                      = lim            = 1.

                                            x → −2               x + 2              u 0           u

д)   lim 1 cos 2x       2 sin 2 sin x2 = x  = xlim0               x2                  = 2 xlim0 ⎝      x             

= 2 xlimx      ⎠ = 2.

                                                                1                           ⎛              1 3

е) Так как lim (1 + 3x)x = lim (1 + 3x)3 x и при x 0 x 0 x 0 ⎝ ⎠

1

переменная u = 3x стремится к 0 (u 0), то lim (1 + 3x)x =

x 0

                ⎛            1 3         ⎛                   1 3

= ulim (1 + u)u ⎠ = ulim (0 1 + u)u ⎠ = e3.

0

3 x

          2.18. а) Вычислите xlim→ ∞ ⎜⎝⎛1 + x1 ⎞⎟⎠     .

Решение. Положим x , тогда α → 0 при x → ∞ и

справедливы равенства

xlim ⎜⎝1 + x1 ⎠⎞⎟ 3 x = αlim (0 1 + α)α3 = αlim0 ⎜⎝⎛(1 + α)α1 ⎞⎠⎟ 3 = ⎛

→ ∞

                                                    ⎛                   1 3

= αlim (0 1 + α)α ⎠ = e3.


3x + 7

2.19. а) Вычислите lim . x → ∞ 2x + 1

                                     3x + 7                   

Решение. lim   = lim= x → ∞ 2x + 1            x → ∞       2 + 1 x

xlim→∞⎜⎝⎛ 3 + 7x ⎞⎟⎠ .

⎛    1 xlim→∞⎜⎝ 2 + x ⎟⎠


Промежуточный контроль. C—10.

2.4. Понятие непрерывности функции

В данном пункте учебника вводятся понятия приращения аргумента и приращения функции, с использованием предела функции объясняется, что такое непрерывность функции в точке и на интервале. Этот материал должны усвоить все учащиеся хотя бы на интуитивном уровне. Вычисление приращений функции в заданной точке x0 и при заданном приращении аргумента Δx готовит учащихся к усвоению понятия производной.

Для обучения на профильном уровне непрерывность функции в точке определяется «на языке ε − δ», вводятся понятия непрерывности справа и непрерывности слева в точке x0, непрерывности на отрезке [a; b].

Решения и комментарии

2.23. а) Вычислите приращение Δf функции y = f (x) в заданной точке x0 и при заданном приращении аргумента Δx, если f (x) = −2x + 1, x0 = 0, Δx = 0,1.

              Решение.                 Δf = f (x0 + Δx) f (x0) = −2 (x0 + Δx) + 1

(2x0 + 1) = −2x0 2Δx + 1 + 2x0 1 = −2Δx = −2 0,1 = −0,2.

2.25. в) Найдите приращение Δf функции y = f (x), соответствующее приращению аргумента Δx, в точке x0, если f (x) = x2. К чему стремится Δf при Δx 0? Зависит ли ответ на этот вопрос от выбора точки x0?

Решение. Δf = f (x0 + Δx) f (x0) = (x0 + Δx)2 (x0)2 =

= (x0)2 + 2x0Δx + (Δx)2 (x0)2 = 2x0Δx + (Δx)2 = Δx (2x0 + Δx),

Δf 0 при Δx 0. Ответ не зависит от выбора точки x0. (Это и означает, что в любой точке x0 своей области определения функция f (x) = x2 непрерывна.)

2.28. Докажите, что в любой точке x0 (0; +∞) непрерывна функция:

3

                а) y = log2 x;            б) y = x 2.

Доказательство.    а) Так   как       Δf = f (x0 + Δx) f (x0) = = log2 (x0 + Δx) log2 x0 = log2 x0 x+0 Δx = log2 1 + xΔx0 ⎞⎠    в          любой точке x0 (0; +∞), то при Δx 0 имеем ⎛⎝1 + xΔx0 ⎠ → 1, а log2 ⎝⎛1 + xΔx0 ⎠ → 0, т. е. Δy 0 при Δx 0. Следовательно, в любой точке x0 (0; +∞) функция y = log2 x непрерывна.

          б) Так      как

     в      любой       точке       x0 (0; +∞),       то

 при Δx 0, т. е. Δf 0 при Δx 0.

3

Следовательно, в любой точке x0 (0; +∞) функция y = x 2 непрерывна.

2.5. Непрерывность элементарных функций

В данном пункте учебника перечислены основные элементарные функции, которые являются непрерывными в любой точке своей области определения и на каждом интервале своей области определения.

Для обучения на профильном уровне сформулировано утверждение о непрерывности суперпозиции непрерывных функций, а также теорема о том, что непрерывная на отрезке [a; b] функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка [a; b]. Эту теорему можно использовать, например, для доказательства того, что область изменения функции есть отрезок. Доказательство этой теоремы обычно в школе не рассматривается. На рисунке 69, а, б учебника дана геометрическая иллюстрация этого доказательства.

Решения и комментарии

2.34. а) Определите все промежутки, на которых непрерывна функция y = 2 sin x .

Решение. Область определения D (F) функции F x( ) = 2 sin x состоит из отрезков [2πn; π + 2πn], где n Z. В любой точке x0, лежащей внутри любого интервала (2πn; π + 2πn), n Z, функция u = ϕ ( )x = sin x непрерывна, а функция f (u) = 2u непрерывна в точке u0 = sin x0 . Поэтому функция F x( ) = f (ϕ ( ))x = 2 sin x непрерывна в точке x0. Следовательно, функция y = 2 sin x непрерывна на каждом из интервалов (2πn; π + 2πn), где n Z. Если добавить, что в левом конце каждого из промежутков функция непрерывна справа, в правом конце каждого из промежутков функция непрерывна слева, то получим, что функция y = 2 sin x непрерывна на каждом из отрезков [2πn; π + 2πn], где n Z.

Столь подробное обоснование достаточно провести для одной функции, а для других можно только найти промежутки непрерывности.

2.36. а) Объясните, почему функция f (x) на промежутке [1; 2] имеет нуль, если f (x) = 5x + 2.

Решение. Так как f (1) = 5 (1) + 2 = −3 < 0, а f (2) = = 5 2 + 2 = 12 > 0 и функция f (x) непрерывна на отрезке [1; 2], то по теореме о промежуточных значениях функции существует число x0 (1; 2), такое, что f (x0) = 0.

2.37. Докажите, что уравнение x5 55 = 0 имеет корень на отрезке [2; 4].

Доказательство. Так как функция f (x) = x5 55 на отрезке [2; 4] непрерывна и f (2) = 25 55 = −23 < 0, а f (4) = = 45 55 = 969 > 0, то по теореме о промежуточных значениях функции существует точка x0 (2; 4), такая, что f (x0) = 0. Это означает, что уравнение x5 55 = 0 имеет корень на отрезке [2; 4].

Замечание. Отметим, что из возрастания функции f (x) = x5 55 на отрезке [2; 4] следует, что каждое свое значение она принимает только один раз, поэтому уравнение x5 55 = 0 имеет единственный корень на этом отрезке.

А доказать возрастание функции f (x) = x5 55 на отрезке [2; 4] можно так. Пусть x1 и x2 — любые числа из отрезка [2; 4], такие, что x1 < x2. Тогда x15 < x25 по свойству числовых неравенств для положительных чисел, поэтому f (x1) f (x2) = (x15 55) (x25 55) = x15 x25 < 0,

т. е. f (x1) < f (x2), следовательно, функция f (x) = x5 55 возрастает на отрезке [2; 4].

2.6*. Разрывные функции

В данном пункте учебника напоминается определение функции, непрерывной в точке и на интервале, и дается определение функции, разрывной в точке: функцию, определенную в каждой точке интервала J, называют разрывной в точке x0 J, если для нее не выполнено условие непрерывности в этой точке. На многочисленных примерах объясняется, что значит, что функция разрывна в некоторой точке интервала.

Например, функцию f x( ) = 1 нельзя назвать разрывной x

в точке x0 = 0, так как 0 D (f), но, если эту функцию доопределить так, что f (0) = a, где a — любое число, получим, что новая функция будет разрывной в точке x0 = 0.

Отметим, что иногда в вузах дают и другие определения разрывной функции.

Здесь же даны определения устранимого и неустранимого разрывов.

Решения и комментарии

2.40. Имеет ли точки разрыва функция:

           а) y = ⎪⎨ | xx | , если x 0,             б) y = ⎨⎪⎧ sinx x , если x 0,

                            ⎪⎩0, если x = 0;                                 ⎪⎩1, если x = 0?

Решение. а) Если x > 0, то y = 1; если x < 0, то y = −1. Следовательно, функция непрерывна на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞). Так как пределы функции слева и справа при x 0 не равны, то функция в точке x = 0 не имеет предела, поэтому в точке x = 0 функция имеет неустранимый разрыв.

б) Функция непрерывна на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞). Так как предел функции при x 0 равен 1 и y (0) = 1, то функция в точке x = 0 непрерывна, следовательно, функция не имеет точек разрыва.

2.41. Можно ли доопределить функцию f (x) в точке x0 (в точках xk) так, чтобы новая функция стала непрерывной на интервале (−∞; +∞)? Если да, то как это сделать?

x2 5x + 4

          а) f x( ) =     , x0 = 1;

x 1

д) f (x) = cos x tg x, xk k, k Z.

Решение. а) Так как D (f) есть все x, кроме x = 1, x2 5x + 4

то      для       каждого       x D (f)       имеем     f x( ) =                     =

x 1

(x 1) (x 4)                                                               x2 5x + 4

=  = x 4. Поэтому lim = lim (x 4) = x 1 x 1 x 1 x 1

= −3. Доопределив функцию в точке x0 = 1 так, чтобы f (x0) = −3, мы получим новую функцию, непрерывную на интервале (−∞; +∞).

д) Так как D (f) есть все x, кроме xk k, k Z, то для каждого x D (f) имеем f (x) = cos x tg x = sin x. Поэтому lim sin x = 1 для k = 2n и lim sin x = −1 для

                         x xk                                                                                                x xk

k = 2n + 1, n Z. Доопределив функцию в каждой точке xk так, чтобы f (xk) = 1 для k = 2n и f (xk) = −1 для k = 2n + 1, n Z, мы получим новую функцию, непрерывную на интервале (−∞; +∞).

§ 3.

Обратные функции

3.1. Понятие обратной функции 3.2*. Взаимно обратные функции

В данном параграфе рассматриваются функции, обратные к данным функциям. Обычно функцию, обратную к функции y = f (x), находят так: сначала выражают x через y, потом заменяют x на y, а y на x. Или наоборот: сначала заменяют x на y, а y на x, потом выражают y через x.

Практика показывает, что учащихся можно научить таким способом находить функцию, обратную к данной (следуя принципу «знаю как»), но при этом они не всегда понимают, что они делают, выполняя шаг «заменим x на y, а y на x». Попытаемся разъяснить это.

В п. 3.1 вводится понятие функции, обратной к данной.

Сначала введем это понятие на простом примере.

Пусть, например, тело движется по прямой по закону

s    = 3t, t [0; 2],           (1)

где s (м) — путь, пройденный телом за t (с).

Отсюда следует, что если известно время движения t, то однозначно находится путь s, пройденный телом за это время.

Если же известен путь s, пройденный телом, то однозначно находится и время движения t:

t    = s, s [0; 6].            (2)

3

Функцию (2) принято называть функцией, обратной к функции (1). При этом не возникает желания в формуле (2) «заменить t на s, а s на t».

Однако в отличие от физики в математике принято исходную функцию y = f (x) и обратную к ней функцию записывать как функции одного и того же аргумента x, а это требует шага «заменить x на y, а y на x». Покажем, как это можно сделать в учебнике.

Аналогично разобранному выше примеру для функции y = x2, x [0; 2]  (y [0; 4]), (3)

найдем обратную к ней функцию

x    =      y, y [0; 4]  (x [0; 2]).            (4)

Но у функции, заданной формулой (4), независимой переменной является y, а зависимой — x. Поскольку более привычно записывать функцию так, чтобы независимой переменной была x, а зависимой — y, то в формуле (4) заменим x на y, а y на x. Получится более привычная запись той же функции:

y    =      x, x [0; 4]  (y [0; 2]).            (5)

Естественно, что функцию (5) также называют функцией, обратной к функции (3), но теперь она записана в привычном виде.

В п. 11 дидактических материалов приведены примеры нахождения функции, обратной к данной функции.

Функцию (5), обратную к функции (3), можно найти и другим способом.

Пусть дана функция (3). Запишем формулу x = y2, y [0; 2]  (x [0; 4]), (6)

которая получится, если в формуле (3) заменить x на y, а y на x. Выразив в формуле (6) y через x, получим формулу (5).

Ясно, что графики функций (5) и (6) совпадают, поэтому для построения графика функции (5) надо построить график функции (6), откладывая значения y на вертикальной оси в привычной системе координат xOy, а соответствующие значения x на горизонтальной оси (рис. 29).

Такое построение вызывает некоторые затруднения у учащихся. Помочь в построении этого графика позволяет такой прием. Изобразим на листе бумаги систему координат так, чтобы ось Oy была горизонтальной, а ось Ox — вертикальной. В этой системе координат легко построить график функции (6) (рис. 30, а).

Чтобы перейти к привычному откладыванию значений x на горизонтальной оси, а значений y на вертикальной оси, выполним последовательно два поворота листа бумаги, на котором изображен график функции (6): первый — на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат, а второй — на 180° вокруг нового положения оси Ox. График окажется на невидимой стороне листа, но, посмотрев этот лист на просвет, учащиеся увидят график, изображенный на рисунке 30, б.

Далее в п. 3.1 по аналогии с разобранным примером находится функция, обратная к данной, строго монотонной на заданном промежутке функции.

Напомним, что в 10 классе для построения графиков некоторых функций и исследования их свойств применялся описанный здесь способ. Так, для построения графиков функций y = x, y = n x, y = loga x строились графики функций x = y2, x = yn, x = ay. Построение графиков описанным способом дает доказательство непрерывности и возрастания обратной функции, если данная функция была непрерывна и возрастала. Аналогичные рассуждения можно провести для убывающих функций.

В п. 3.2 вводится понятие взаимно обратных функций. Если для функции (4) найти обратную к ней функцию, то получится функция (3). Поэтому функции (3) и (4) — взаимно обратные функции.

Заменив в формуле (4) x на y, а y на x, получим функцию (5). Функции (3) и (5) также взаимно обратные функции.

В п. 3.2 показывается, что графики взаимно обратных функций y = f (x) и y = ϕ (x) симметричны относительно прямой y = x. Если изобразить в одной системе координат графики взаимно обратных функций

(3) и (5), то получим наглядную илРис. 31 люстрацию этого свойства (рис. 31).

                                                                 Таким     образом,      получается  еще

один способ построения графика функции y = ϕ (x), обратной к данной функции y = f (x): симметричным отражением относительно прямой y = x графика данной функции.

Практика показывает, что после такого объяснения с демонстрацией графика и его преобразований «таинственный» шаг «заменить x на y, а y на x» становится понятным.

Из проведенных в п. 3.2 рассуждений следует, что достаточным условием существования обратной функции является строгая монотонность данной функции.

Решения и комментарии

3.3. В данной формуле замените x на у, а у на x, затем выразите из полученной формулы y через x:

                а) у = 3x + 1;               г) y = −x2, x [0; 3];                ж) y = 3x.

Решение. а) Заменив x на у, а у на x, получим x = 3у + 1. Теперь выразим из полученной формулы y чеx 1 рез x: y = .

3

г) Из формулы y = −x2, x [0; 3] получим, что y [9; 0]. В данной формуле, заменив x на у, а у на x, получим x = −y2, y [0; 3], x [9; 0]. Теперь выразим из полученной формулы y через x: y = −x, x [9; 0].

ж) Заменив x на у, а у на x, получим x = 3y. Отметим, что здесь x > 0. Теперь выразим из полученной формулы y через x: у = log3 x, x (0; +∞).

3.8. в) Постройте график данной функции y = f (x). Найдите функцию y = ϕ (x), обратную к данной функции, и постройте ее график, если: y = 1 6 , x (2; +∞).

x    + 2

Решение.   Найдем функцию x = ϕ (y), обратную к исходной. Для этого выразим x через y: x             ,

y    (−∞; 1), x (2; +∞).

Затем, заменив x на у, а у на x, получим функцию y = ϕ (x), обратную к исходной и записанную в привычном виде

           y                                     Рис. 32

График обратной функции получим из графика данной функции симметричным отражением его относительно прямой y = x (рис. 32).

3.10. Докажите, что угловые коэффициенты взаимно обратных линейных функций у = k1x + l1 и у = k2x + l2 связаны соотношением k2 = k11 (k1 0, k2 0).

Доказательство. В первой формуле, заменив x на у, а у на x, получим x = k1у + l1. Теперь, выразив из полученной формулы y через x, найдем обратную функцию:

           1            l1

y = x . Отсюда следует, что угловой коэффициент k2 k1           k1

функции, обратной к данной, есть k2 = k11 , что и требовалось доказать.

3.11. Приведите пример функции, обратной самой себе.

Решение. Можно привести много примеров таких функций. Они должны быть строго монотонны, а их графики — симметричны относительно прямой у = x. Такими функциями являются, например, следующие функции:

у = x, у = −x, у = −x + 5, у = −x 2, y = 1 , x (0; +∞),

x

y = 2 , x (−∞; 0), y =         4 x2 , x [0; 2], x y = −          9 x2 , x [3; 0]  и  т. д.

Промежуточный контроль. C—11.

3.3*. Обратные тригонометрические функции

В данном пункте учебника изучаются свойства и графики основных обратных тригонометрических функций y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Графики обратных тригонометрических функций строят с помощью приемов, описанных выше. Решения и комментарии

3.16. Найдите функцию y = ϕ (x), обратную к функции:

а) y = sin x; x ∈ ⎡⎢⎣− 32π ; 2π ⎤⎥⎦;

б) y = cos x, x [π; 2π], — и постройте ее график.

Решение. а) Так как sin x = −sin (x + π) = sin (x − π), то для  функцию можно записать в виде y = sin (x − π). Аргумент α = −x − π принадлежит промежутку ⎣⎡2π ; 2π ⎤⎥. Из формулы y = sin α, где α ∈ ⎣⎢⎡− 2π ; 2π ⎤⎥,

y [1; 1], выразим α через y:

α = arcsin y,  где y [1; 1],

откуда x − π = arcsin y, или

x = −π − arcsin y,  где y [1; 1]. (1) Формула (1) задает функцию x = ϕ (y), обратную к функции y = sin x, x ∈ ⎡32π ; 2π ⎦⎤. Заменим в равенстве (1) x на y и y на x, получим функцию y = −π − arcsin x, где

x [1; 1], обратную к функции y = sin x, x ⎡⎢⎣− 32π ; 2π ⎤⎥

и записанную в привычном виде. График этой функции

можно построить        тремя    способами:

1)                        график функции y = sin x,        симметрично    от-

                                                                      разить      относительно     оси y = x

(рис. 33);

2)                        построить        график функ-

ции x = sin y, y ∈ ⎡⎢⎣− 32π ; 2π ⎤⎥⎦;

3)                        график функции y = arcsin x сначала отразить симметрично относительно оси Ox, затем перенести полученный график на π

                           Рис. 33                               единиц вниз.

б) 1-й способ. Так как cos x = − sin ⎛⎜32π x⎟⎞ = sin x 32π ⎞⎟,

то для π ≤ x 2π функцию можно записать в виде y = sin ⎛⎜x 32π ⎞⎟. Аргумент α = x  принадлежит промежутку ⎡⎣2π ; 2π⎤⎥. Из формулы y = sin α, где α ∈ ⎣⎢⎡− 2π ; 2π , y [1; 1], выразим α через y:

α = arcsin y,  где y [1; 1],

откуда x  = arcsin y, или

                                   x =  + arcsin y,  где y [1; 1].                       (2)

Формула (2) задает функцию x = ϕ (y), обратную к функции y = cos x, x [π; 2π]. Заменив в равенстве (2) x на y и y на x, получим функцию y  x, где x [1; 1], обратную к функции y = cos x, x [π; 2π] и записанную в привычном виде. График этой функции можно построить тремя способами:

1)      график функции y = cos x, x [π; 2π] симметрично отразить относительно оси y = x (рис. 34);

2)      построить         график функции x = cos y, y [π; 2π];

3)      график функции y = arcsin x перенести на  единиц вверх.

        2-й    способ.    Так    как     cos x =

= cos (x 2π) = cos (2π − x), то для π ≤ x 2π функцию можно записать в виде y = cos (2π − x), где

Рис. 34

аргумент α = 2π − x принадлежит промежутку [0; π]. Из формулы y = cos α, где α ∈ [0; π], y [1; 1], выразим α через y:

α = arccos y,  где y [1; 1],

откуда 2π − x = arccos y, или

                                      x = 2π − arccos y,  где y [1; 1].                        (3)

Формула (3) задает функцию x = ϕ (y), обратную к функции y = cos x, x [π; 2π]. Заменив в равенстве (3) x на y и y на x, получим функцию y = 2π − arccos x, где x [1; 1], обратную к функции y = cos x, x [π; 2π] и записанную в привычном виде.

Так как arcsinx =  − arccos x, то полученная формула выражает ту же функцию, что и в первом способе решения.

3.4*. Примеры использования обратных

тригонометрических функций

В этом пункте учебника даны примеры доказательства некоторых свойств обратных тригонометрических функций, формул для cos (arcsin x), sin (arccos x) и т. п., построены графики функций y = sin (arcsin x), y = cos (arcsin x) и др.

Решения и комментарии

3.18. Докажите, что для любого числа x R справедливо равенство

arctg x + arcctg x = .

               Доказательство.         Так        как          0 < arcctg x < π,      то

2π < 2π arcctg x < 2π. Найдем тангенс числа ⎛⎜⎝ 2π arcctg x⎟⎠⎞,

пользуясь формулой приведения и определением арктангенса:

                                    tg ⎜⎝⎛ 2π arcctg x⎟⎠ = ctg arcctg(    x) = x.

Итак, число ⎝⎛ 2π arcctg xпринадлежит промежутку ⎛⎜π ; π, тангенс этого числа равен x, поэтому по опреде-

      ⎝   2     2

лению арктангенса имеем arcctg x = arctg x, откуда следует, что arctg x + arcctg x = , что и требовалось доказать.

Промежуточный контроль. К—1.

§ 4.

Производная

В данном параграфе учебника достаточно традиционно вводится понятие производной, изучаются механический и геометрический смысл производной, производная суммы, разности, произведения и частного, непрерывность функции, имеющей производную. Авторы считают, что для определения производной достаточно использовать понятие предела на интуитивном уровне.

В результате изучения данного параграфа на базовом уровне учащиеся должны знать формулы производных основных элементарных функций. Желательно, чтобы они знали и формулу производной сложной функции. При углубленном изучении математики учащиеся должны уметь доказывать все эти формулы. Производную обратной функции следует рассматривать только при углубленном изучении математики.

4.1. Понятие производной

В данном пункте учебника рассматриваются физические задачи и задача о касательной, решение которых приводит к выполнению новой операции — дифференцированию функции. Здесь напоминаются определения приращения аргумента и приращения функции, дается определение производной функции. Надо обратить внимание учащихся на то, что производная функции, заданной на интервале, определяется в одной (внутренней) точке этого интервала, что производная функции в данной точке есть число. И только если в каждой точке интервала (a; b) производная существует, то говорят, что производная есть функция аргумента x, определенная на интервале (a; b).

Например, функция y = |x| определена на интервале (1; 1), она имеет производную в каждой точке интервала, кроме точки x0 = 0, поэтому функция y = | x | не имеет производной — функции, определенной на всем интервале (1; 1). Но у нее есть производная — функция, определенная на интервале (1; 0), а также на интервале (0; 1).

В данном пункте с помощью определения вычисляются производные функций y = x, y = С, y = kx + b, y = x2, y = ax2 + bx + c. Теоремы о производной суммы, разности, произведения и частного будут рассмотрены только в следующем пункте, поэтому, например, при отыскании производной функции в заданиях 4.10, 4.11, 4.12 надо для вывода производной пользоваться определением производной функции или опираться на ранее доказанные факты.

Для обучения на профильном уровне вводятся понятия односторонней производной и производной функции, определенной на отрезке [a; b].

Решения и комментарии

4.10. Точка движется прямолинейно по закону s = t2 4t.

а) Выразите скорость точки как функцию времени.

б) Вычислите скорость точки в момент времени t = 5.

в) В какой момент времени скорость была равна нулю?

Решение. а) Так как (ax2 + bx + c)′ = 2ax + b, то v (t) = = s(t) = (t2 4t)′ = 2t 4.

б) Скорость точки в момент времени t = 5 равна v (5) = = 2 5 4 = 6.

в) Скорость точки равна нулю, если 2t 4 = 0, т. е. в момент времени t = 2.

4.12. С помощью определения найдите производную функции у = x3.

Решение. Пусть f (x) = x3. Для любой точки x приращение функции f равно

Δf = (x + Δx)3 x3 = (3x2 + 3xΔx + (Δx)2) Δx.

                                    Δf          (3x2 + 3x xΔ    + (Δx)2 )Δx              2                                              2

              Поэтому        =                                           = 3x + 3xΔx + (Δx) .

                                    Δx                              Δx

Поскольку 3x2 + 3xΔx + (Δx)2 стремится к 3x2 при Δx 0, то f(x) = 3x2, т. е. в любой точке х имеем (x3)′ = 3x2.

4.2. Производная суммы. Производная разности

В данном пункте учебника сначала доказана теорема о производной суммы двух функций, потом теорема о функции, заданной формулой f (x) = Au (x). В качестве следствия двух первых теорем доказана теорема о производной разности двух функций. Теорема 3 обобщает первые теоремы на случай n функций.

Решения и комментарии

4.19. д) Найдите производную функции y = (x 2)3 в любой точке x R, используя задание 4.12.

Решение. Пусть f (x) = (x 2)3. Сначала запишем функцию в виде f (x) = x3 6x2 + 12x 8.

Тогда f(x) = (x3)′ − (6x2)′ + (12x)′ − 8′ = 3x2 6 (x2)′ + + 12 (x)′ − 0 = 3x2 6 2x + 12 1 = 3x2 12x + 12.

4.3*. Непрерывность функции, имеющей производную.

Дифференциал

В данном пункте учебника доказана теорема о непрерывности в точке функции, имеющей в этой точке производную. Для обучения на профильном уровне вводится понятие дифференциала функции. Здесь надо показать, что дифференциал функции у = х равен Δx, т. е. = Δx.

Решения и комментарии

4.26. Найдите дифференциал функции:

                а) у = 3х + 5;              б) у = х2 + 2х + 4.

Решение. Так как дифференциал функции f (x) в точке x есть f(x) Δx, то

а) = (3х + 5)′ Δx = 3Δx;

б) = (х2 + 2х + 4)′ Δx = (2х + 2) Δx.

4.27. а) Вычислите приближенно приращение Δy функции у = х3 4х2 + 2х 10 в точке x = 1, если Δx = 0,1.

Решение. Так как = (х3 4х2 + 2х 10)′ Δx = = (3х2 8х + 2) Δx, то в точке x = 1 при Δx = 0,1 находим приращение функции Δy, приближенно равное dy:

Δy (3 12 8 1 + 2) 0,1 = −0,3.

4.4. Производная произведения. Производная частного

В данном пункте учебника доказаны теоремы о производной произведения и производной частного двух функций и на примерах показано их применение.

Решения и комментарии

4.30. а) В любой точке х R найдите производную функции у = (х2 + 3х) (х 1).

Решение. Учащиеся могут заметить, что проще всего перед нахождением производной раскрыть скобки, а затем вычислить производную: 1) (х2 + 3х) (х 1) = х3 + 2х2 3х; 2) (х3 + 2х2 3х)′ = 3х2 + 4х 3.

Однако умение находить производную произведения скоро понадобится им в более сложных случаях, поэтому производную надо находить и так:

((х2 + 3х) (х 1))′ = (х2 + 3х)(х 1) + (х2 + 3х) (х 1)′ = = (2х + 3) (х 1) + (х2 + 3х) 1 = 3х2 + 4х 3.

Совпадение результатов покажет, что ответ в этой задаче не зависит от способа ее решения.

Отметим задание 4.31 на нахождение производных функций: а) у = х4; б) у = х5; в) у = х6; г) у = х7. В учебнике имеется у к а з а н и е: представить данную функцию в виде произведения двух функций — и приведен пример нахождения производной:

(х4)′ = (х3 х)′ = (х3)′ ⋅ х + х3 (х)′ = 3х2 х + х3 1 = 4х3.

Доказательство формулы (хn)′ = n 1 в следующем пункте учебника будет опираться именно на этот прием.

x2 +7 x 8 4.33. и) Найдите производную функции y = x2 7 x + 5 в любой точке ее области определения. Решение.

y′ = ⎛⎜⎝ xx22−+77xx+−58 ⎞⎟⎠′ =

(x2 + 7 x 8)(x2 7 x + 5) (x2 + 7 x 8)(x2 7 x + 5)

     =                                      (x2 7 x + 5)2                                                                             =

(2x + 7)(x2 7 x + 5) (x2 + 7 x 8)(2x 7)                                  6x 21

=                                2 7 x + 5)2                                                                   = (x2 7 x + 5)2 .

(x

Обратим внимание на необходимость подробной записи в подобных вычислениях, так как поспешность в «сворачивании» вычислений ухудшает результативность обучения.

4.34. а) Вычислите значение производной функции f (x) в указанной точке х0 = 0, если .

Решение. f( )x = ⎜⎝ x25+ 1= 5′ ⋅ (x2 +(x1)2 + (1x)22 + 1)′ ⋅ 5 =

     =    210+ 1x)2 ; f(0) = 0.

(x

4.36. Вычислите значение производной функции у = (х + 1)10 в точке х0 = 0.

              Решение.       Так       как        y (x) = х10 + C110х9 + C210х8 + ... +

+ C810х2 + C910х + 1,     то         y(x) = 10х9 + 9C110х8 + 8C210х7 + ... + + 2C810х + C910. Тогда y(0) = C910 = C110 = 10.

4.5. Производные элементарных функций

В данном пункте доказаны формулы производных всех основных элементарных функций, изучаемых в школе. Доказательство формулы

(xn)′ = nxn 1

для любого натурального n 2 проведено методом математической индукции (это доказательство, как и некоторые другие, необязательны при обучении на базовом уровне).

Далее доказывается формула (xn)′ = −nxn 1, потом с опоeα 1

рой на доказанное в п. 2.4 равенство lim  = 1 доказыα → 0 α

ваются формула

(ax)′ = ax ln a

и ее частный случай (ex)′ = ex.

Формула

(loga x)′ = 1 x ln a

и ее частный случай (lnx)′ = 1 доказываются с опорой на x

1

доказанное в п. 2.4 равенство lim ln (1 + t)t = 1 (без исполь-

t 0

зования производной обратной функции, которая изучается позже).

Решения и комментарии

4.41. а) Для любого х 0 найдите производную функ-

       ции y =    121 .

x

Решение. Для любого х 0 имеем у = х21, поэтому у′ = (х21)′ = −21х22.

Укажите, при каких значениях х функция f (x) имеет производную, и найдите эту производную (4.44—4.49):

            4.44. а) y = 4xx ;            г) f x( ) = x3x                                                               x ;           ж) f x( ) = lg x.

                                       2                                       3    + 9                                             lg e

                                                                                          4x              (2x )2                 x

               Решение. а) Для любого х имеем         x x         = 2 , поэто-

                                                                                          2             2

му функцию можно записать в виде у = 2х. Для любого х R эта функция имеет производную у′ = (2х)′ = 2х ln 2.

                                                                                  3x                                 3x                                  1

г) Для любого х имеем x x = x x = x , 3 + 9 3 (1 + 3 ) 1 + 3

поэтому функцию можно записать в виде y = 1 x . Для 1 + 3

любого х R эта функция имеет производную

y′ = ⎛⎜⎝ 1 +13x ⎞⎟⎠′ = 1′ ⋅ (1 + 3(1x)+−31x)2(1 + 3x)= (13+x 3lnx)32 .

lg x

ж) Для любого х > 0 имеем  = ln x, поэтому функlg e

цию можно записать в виде у = ln x. Для любого х (0; +∞) эта функция имеет производную y′ = (ln x)′ = 1 . x

4.45. г) f (x) = 5 log3 х 6 ln х + 7 lg х.

Решение. Для любого х > 0 эта функция имеет производную f(x) = (5 log3 х 6 ln х + 7 lg х)′ = 5 6 + 7 . x ln 3 x x ln 10

4.49. а) f (x) = cos 2002х cos 2001х + sin 2001х sin 2002х.

Решение. Для любого х имеем cos 2002х cos 2001х + + sin 2001х sin 2002х = cos (2002х 2001х) = cos х, поэтому функцию можно записать в виде f (x) = cos х. Для любого х R эта функция имеет производную f(x) = (cos х)′ = = −sin х.

4.50. Найдите значения х, при которых производная ln x функции y = :

x

а) равна нулю; б) положительна; в) отрицательна. Решение. Для любого х > 0 эта функция имеет производ1

4.51. Докажите справедливость равенства:

                  а) (sin 2х)′ = 2 cos 2х;                  б) (52x)′ = 52x ln 25;

г) (ln 17 )x ′ = 1 , x > 0. x

Доказательство. Эти задания выполняются с предварительными преобразованиями, которые станут не нужны после изучения производной сложной функции.

а) (sin 2х)′ = (2 sin х cos х)′ = 2 ((sin х)cos х +

+ sin х (cos х)) = 2 (cos х cos х + sin х (sin х)) =

= 2 (cos2 х sin2 х) = 2 cos 2х;

                              ′ =         ′ =                    =

, x          x

где x > 0.

Дополнение. Приведем примеры задач из ЕГЭ на вычисление производной.

A5 (2008). Найдите производную функции y = х6 4 sin х.

1) y′ =  х;         2) y′ = 6х5 4 cos х; 3) y x;         4) y′ = х5 4 cos х.

Решение. Для любого х R эта функция имеет производную y′ = (х6 4sin х)′ = (х6)′ − (4 sin х)′ = 6х5 4 cos х.

Ответ. 2.

A5 (2007). Найдите производную функции y = (х 3)cos х.

1) y′ = cos х + (х 3) sin х; 2) y′ = (х 3) sin х cos х; 3) y′ = cos х (х 3) sin х; 4) y′ = −sin х.

Решение. Для любого х R эта функция имеет производную y′ = (х 3)cos х + (х 3) (cos х)′ =

= 1 cos х + (х 3) (sin х) = cos х (х 3) sin х.

Ответ. 3.

A9 (2004). Вычислите значение производной функции y = sin х 2х в точке х0 = 0.

               1) 1;         2) 0;         3) 3;         4) 1.

Решение. Для любого х R эта функция имеет производную y(х) = (sin х 2х)′ = cos х 2.

Тогда значение y(0) = cos 0 2 = 1 2 = −1.

Ответ. 4.

Промежуточный контроль. C—12.

4.6. Производная сложной функции

В данном пункте учебника доказывается формула для нахождения производной сложной функции yx′ = yu′ ⋅ ux(теорема 1). Примеры на нахождение производной не ограничиваются частным случаем, когда u (x) = kx + l. В теореме 2 для любого х > 0 и любого α ≠ 0 доказана формула

(xα)′ = αxα− 1.

В примере 6 показано, как для любого х 0 надо находить производную функции y = 5 x2 . Обратим внимание, что здесь необходимо рассматривать два случая: х > 0 и х < 0.

Для большей наглядности применения теоремы о производной сложной функции полезно, следуя учебнику, явно использовать замену. Рассмотрим более простые способы решения рассмотренных ранее заданий.

4.51. Докажите справедливость равенства:

а) (sin 2х)′ = 2 cos 2х;

б) (52x)′ = 52x ln 25;

г) (ln 17 )x ′ = 1 , x > 0. x

Доказательство. а) (sin 2х)′ = (sin u)′ = cos u u′ = = cos 2х (2х)′ = 2 cos 2х, где u = 2x.

б) (52x)′ = (5u)′ = (5u) ln 5 u′ = 52x ln 5 (2х)′ = = 52x 2 ln 5 = 52x ln 52 = 52x ln 25, где u = 2x.

г) (ln 17 )x ′ = 1 u′ =          1             (17 )x ′ =        1              17 = 1 , где u   17 x        17 x        x

u = 17x, x > 0.

Решения и комментарии

Укажите, при каких значениях x функция y = f (x) имеет производную, и найдите эту производную, если

(4.54—4.56):

            4.54. а) y = ex3;              е) y = 9cos x.

Решение. а) Для любого x R функция имеет производную yx′ = (eu)′ = eu u′ = ex3 (x3)′ = 3x e2 x3, где u = x3.

е) Для любого x R функция имеет производную yx′ = (9u)′ = 9u ln 9 u′ = 9cos x ln 9 (cos x)′ =

= −9cos x ln 9 sin x,

где u = cos x.

               4.56. а) у = (cos x)4 (sin x)4;                  б) у = 4 cos 17x cos 13x.

Решение. а) Для любого x R функцию у = (cos x)4 − − (sin x)4 можно записать в виде у = cos 2x, поэтому для любого x R функция имеет производную yx′ = (cos u)′ = −sin u u′ = −sin 2x (2x)′ = −2 sin 2x,

где u = 2x.

б) Для любого x R функцию у = 4 cos 17x cos 13x можно записать в виде у = 2 (cos 30x + cos 4x), поэтому для любого x R функция имеет производную yx′ = 2 (cos u + cos v)′ = 2 ((cos u)′ + (cos v)) =

= 2 (sin u u′ − sin v v) = 2 (sin 30x (30x)′ − sin 4x (4x)) =

= 2 (30 sin 30x 4sin 4x) = −60 sin 30x 8 sin 4x, где u = 30x, v = 4x.

4.68. Для любого x > 0 найдите производную функции:

               а) у = xx;             б) у = xsin x.

Решение. а) Для любого x > 0 функцию у = xx можно записать в виде у = ex ln x, поэтому для любого x (0; +∞) эта функция имеет производную yx′ = (eu)′ = eu u′ = ex ln x (x ln x)′ =

= xx (xln x + x (ln x)) = xx ⎛⎜ln x + x x1 ⎟⎞⎠ = xx (ln x + 1),

где u = x ln x.

б) Для любого x > 0 функцию у = xsin x можно записать в виде у = esin x ln x, поэтому для любого x (0; +∞) эта функция имеет производную

yx′ = (eu)′ = eu u′ = esin x ln x (sin x ln x)′ =

= xsin x ((sin x)ln x + sin x (ln x)) =

= x sin x ⋅ ⎛⎜⎝cos x ln x + x1 sin x⎞⎟⎠,

где u = sin x ln x.

4.69. Докажите, что графики функций f (x) = ex и ϕ (x) = xe, x > 0 в точке с абсциссой x = e имеют общую касательную.

Доказательство. Так как f (e) = ee = ϕ (e), то точки графиков данных функций с абсциссой x = e совпадают. Так как f(x) = (ex)′ = ex, f(e) = ee; ϕ′ (x) = (xe)′ = exe 1, ϕ′ (e) = eee 1 = ee, то угловые коэффициенты касательных к графикам функций f (x) и ϕ (x) в точке с абсциссой x = e также совпадают. Это означает, что графики функций f (x) = ex и ϕ (x) = xe, x > 0 в точке с абсциссой x = e имеют общую касательную, что и требовалось доказать.

Промежуточный контроль. C—13, C—14.

4.7*. Производная обратной функции

В данном пункте учебника доказывается формула для нахождения производной обратной функции. В качестве примеров применения этой формулы находятся производные обратных тригонометрических функций.

Отметим, что для нахождения производной обратной функции надо обратную функцию записывать в виде x = ϕ (y), а не в виде y = ϕ (x).

Решения и комментарии

4.71. Вычислите производную функции у = f (x), используя производную обратной к ней функции x = ϕ (у):

              а) y =          x, x (0; +∞) и x = у2, у (0; +∞);

в) у = ln x, x (0; +∞) и x = ey, у R.

Решение. В этом задании мы получаем новым методом уже известные формулы дифференцирования. В п. 4.7 учебника доказано, что если функции у = f (x) и x = ϕ (y) взаимно обратные, то f( )x , где f(x) — производная по x от f (x), а ϕ′ (y) — производная по y от ϕ (y).

а) Функции f x( ) = x, x (0; +∞) и ϕ (y) = y2, у (0; +∞) взаимно обратные, поэтому = = = .

в) Функции f (x) = ln x, x (0; +∞) и ϕ (y) = ey, у R

взаимно обратные, поэтому (ln x)′ =               y1       = 1y = 1 .

(e )y                     e              x Промежуточный контроль. К—2.

§ 5.

Применение производной

Параграф 5 учебника посвящен применению производной. Его содержание довольно близко к традиционному, некоторые пункты и отдельные доказательства выделены как необязательные при обучении на базовом уровне. Дидактические материалы дополняют содержание учебника разбором задач, связанных с геометрией, задач на смеси, в которых требуется находить наибольшее (наименьшее) значение величины.

5.1. Максимум и минимум функции

В данном пункте учебника наибольшее значение функции на отрезке [a; b] названо максимумом функции на отрезке [a; b], а наименьшее значение функции на отрезке [a; b] названо минимумом функции на отрезке [a; b]. Введены соответствующие обозначения max f x( ), min f x( )

                                                                                                    [a b;  ]                          [a b;  ]

и терминология: точка максимума, точка минимума.

Отметим, что в учебнике точку x0 отрезка [a; b] называют точкой локального максимума (локального минимума) функции у = f (x), если существует отрезок [x0 − δ; x0 + δ] (δ > 0), целиком принадлежащий отрезку [a; b], на котором x0 является точкой максимума (минимума). Следует особое внимание уделить новым терминам, так как учащиеся часто путают точку экстремума (максимума или минимума), т. е. значение x, с экстремумом (максимумом или минимумом) функции, т. е. со значением функции в точке экстремума, или даже с точкой графика функции, которая соответствует точке экстремума.

Такая терминология точнее отражает характер максимума (минимума), но после усвоения этой терминологии по мере приближения экзаменов учащимся нужно привести примеры экзаменационных заданий, в которых слово «локальный» применительно к точкам максимума (минимума) не используется.

В данном пункте вводится также понятие критической точки функции — внутренней точки отрезка, в которой производная функции не существует или равна нулю, и указано, как надо использовать критические точки при отыскании максимума и минимума функции.

Решения и комментарии

5.5. Укажите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [2; 2]:

⎧⎪−x при x < −1

а) y = ⎨x + 2 при 1 x < 1 в) y = | x 1 | + | 2x + 1 |. ⎪⎩−3x + 6 при x 1; Решение. а) В точках x1 = −1 и x2 = 1 производная

Δy

                функции f (x) не существует. Действительно,           lim