Добавить материал

и получить 10 документов
и свидетельство СМИ

Москалёва Анна Максимовна

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению индивидуальных практических заданий по разделу «Основы тригонометрии» общеобразовательной дисциплины «Математика»

pdf
10.04.2022

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Добавить материал

МУ по ВИПР по разделу_Основы тригонометрии (1).pdf

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ САХА (ЯКУТИЯ)

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

РЕСПУБЛИКИ САХА (ЯКУТИЯ)

«РЕГИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ В Г. МИРНОМ»

РАССМОТРЕНО И РЕКОМЕНДОВАННО .

К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ на заседании кафедры/МО «_________»

Протокол №_____________ от

«_____»______________________2022 г.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению индивидуальных практических заданий по разделу «Основы тригонометрии» общеобразовательной дисциплины «Математика»

Составитель:

преподаватель естественно-научных дисциплин Москалёва А.М.

Мирный

2022 год

Аннотация

Методические указания содержат краткий теоретический материал (понятия, схемы, таблицы, формулы, графики), задачи и упражнения по всем основным темам раздела «Тригонометрия» Подробные решения примеров помогут студентам при подготовке к практическим, лабораторным занятиям, при сдаче зачетов и экзаменов, а также для выполнения самостоятельных работ. Индивидуальные задания по каждой теме являются обязательными зачетными работами. Номер индивидуального задания соответствует номеру зачетной работы. Каждому индивидуальному заданию соответствуют практические задания (далее – номер). В каждом номере предусмотрены 30 вариантов практических заданий. Номер может служить вариантом индивидуальной работы студента.

Пояснительная записка

Дисциплина «Математика» входит в состав общих общеобразовательных учебных дисциплин, формируемых из обязательных предметных областей ФГОС среднего общего образования, для профессий СПО или специальностей СПО соответствующего профиля профессионального образования, и играет ведущую роль в общей и профессиональной системах образования студентов среднего профессионального образования.

Содержание программы «Математика» направлено на достижение следующих целей:

• обеспечение сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;

• обеспечение сформированности логического, алгоритмического и математического мышления;

• обеспечение сформированности умений применять полученные знания при решении различных задач;

• обеспечение сформированности представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.

Раздел «Основы тригонометрии» (темы в отношении тригонометрических функций), включенные в содержание учебной дисциплины и отраженные в практических заданиях данного методического пособия, являются общими для всех профилей профессионального образования и при всех объемах учебного времени независимо от того, является ли учебная дисциплина «Математика» базовой или профильной.

Наряду с обеспечением высокой математической подготовки обучающихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математическими знаниями и навыками, важнейшей задачей обучения является обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки независимо от специальности.

Федеральный государственный образовательный стандарт третьего поколения среднего профессионального образования подразумевает компетентностный подход в обучении. Основной задачей преподавателя является не передача, "трансляция" знаний, а формирование у обучающихся профессиональных компетенций, методов и способов самостоятельного поиска и получения новых знаний, умения применять теоретические знания при решении практических задач. При изучении дисциплины «Математика» наибольшие трудности у студентов возникают при решении практических задач. Вместе с тем именно решение задач в значительной степени способствует развитию технического, инженерного мышления.

Целью данного пособия является помощь студенту в организации его практической зачетной работы по разделу дисциплины «Основы тригонометрии». В методических указаниях представлены все темы практических работ раздела «Основы тригонометрии», способствующие оценки качества обученности по предметным результатам в отношении дидактических единиц раздела:

Содержание обучения (ДЕ) по разделу «Основы тригонометрии»	Характеристика основных видов деятельности студентов (на уровне учебных действий)
Основные понятия	Изучение радианного метода измерения углов вращения и их связи с градусной мерой. Изображение углов вращения на окружности, соотнесение величины угла с его расположением. Формулирование определений тригонометрических функций для углов поворота и острых углов прямоугольного треугольника и объяснение их взаимосвязи
Основные тригонометрические тождества	Применение основных тригонометрических тождеств для вычисления значений тригонометрических функций по одной из них
Преобразования простейших тригонометрических выражений	Изучение основных формул тригонометрии: формулы сложения, удвоения, преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму и применение при вычислении значения тригонометрического выражения и упрощения его. Ознакомление со свойствами симметрии точек на единичной окружности и применение их для вывода формул приведения
Тригонометрические уравнения и неравенства	Решение по формулам и тригонометрическому кругу простейших тригонометрических уравнений. Применение общих методов решения уравнений (приведение к линейному, квадратному, метод разложения на множители, замены переменной) при решении тригонометрических уравнений. Умение отмечать на круге решения простейших тригонометрических неравенств
Арксинус, арккосинус, арктангенс числа	Ознакомление с понятием обратных тригонометрических функций. Изучение определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа, формулирование их, изображение на единичной окружности, применение при решении уравнений
Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции	Ознакомление с понятием непрерывной периодической функции, формулирование свойств синуса и косинуса, построение их графиков. Ознакомление с понятием гармонических колебаний и примерами гармонических колебаний для описания процессов в физике и других областях знания. Ознакомление с понятием разрывной периодической функции, формулирование свойств тангенса и котангенса, построение их графиков. Применение свойств функций для сравнения значений тригонометрических функций, решения тригонометрических уравнений. Построение графиков обратных тригонометрических функций и определение по графикам их свойств. Выполнение преобразования графиков

В настоящих методических указаниях дан краткий теоретический материал, необходимый для выполнения заданий, и подробно рассмотрены решения типовых заданий, а также изложены требования к выполнению и оформлению индивидуальных практических работ. Индивидуальные задания по каждой теме являются обязательными зачетными работами. Номер индивидуального задания соответствует номеру зачетной работы. Каждому индивидуальному заданию соответствуют практические задания (далее – номер). В каждом номере предусмотрены 30 вариантов практических заданий. Номер может служить вариантом индивидуальной работы студента.

Содержание.

§ 1. Единичная тригонометрическая окружность. Тригонометрические функции числового аргумента. Основные формулы тригонометрии………....4 6

ИЗ №1…………………………………………………………..……_{Индивидуальные практические
задания №1}…………….9 12

§2. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков…………………………………………….................17 19

2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики………………..…17 19 2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков……………………….…………...19 21

Индивидуальные практические задания №2ИЗ №2…………………………………………………………………………….27 29

§ 3. Обратные тригонометрические функции…………………………………30 32

Индивидуальные практические задания №3ИЗ №3…………………………………………………………………………….33 35

§ 4. Тригонометрические уравнения…………………………………………....36 38

4.1. Простейшие тригонометрические уравнения……………………….….....36 38

4.2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным……………..37 39

4.3. Однородные тригонометрические уравнения……………………...….….38 40

4. 4.Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного

угла……………………………………………………39 42

4.5. Решение тригонометрических уравнений, используя формулы преобразования произведения в сумму и обратно…………………….………40 42

4.6.Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной

подстановки……………………………………………………………….….…..41 43

ИЗ №4…………………………………………………………...……………….42 44

Индивидуальные практические задания №4

§ 5. Тригонометрические неравенства…………………………………….…...47 50

5.1 . Неравенства вида sin x  a, sin x  a^, sin x  a^, sin x  a…………….…….48 50

5.2. Неравенства вида cosx  a, cosx  a^, cosxa^, cosxa…….……….........50 52

5.3. Неравенства вида tgx  a, tgx  a^, tgx  a^, tgx  a……….……...………....52 54 5.4. Неравенства вида ctgx  a, ctgx  a^, ctgx  a^, ctgx  a………………….…54 56

ИЗ №5……………………………………………………………………_{Индивидуальные практические
задания №5}……….56 58

§ 1. Единичная тригонометрическая окружность.

Тригонометрические функции числового аргумента.

Основные формулы тригонометрии.

Единичная тригонометрическая окружность – это окружность, с радиусом 1 и центром в начале координат.

Горизонтальный (ось Ох) и вертикальный (ось Оу) диаметры делят числовую окружность на четыре четверти.

Начальная точка А единичной тригонометрической окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Отсчет по единичной тригонометрической окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.

Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

Вектор OB, соединяющий начало координат с произвольно выбранной точкой плоскости В(х,y), называется радиус-вектором этой точки . Опустим перпендикуляры на оси координат. Проекции точки В(х;у) на оси координат равны х и у соответственно. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОАВ.

OA x AB y

cos   x; sin   y

OB 1 OB 1

Синус угла _, образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть ордината этой точки, т.е. : sin y.

Косинус угла _, образованного радиус-вектором точки на единичной окружности с положительным направлением оси Ox, есть абсцисса этой точки: cos y.

Синус и косинус определены для любого угла _ и связаны между собой (по теореме Пифагора) равенством: sin²cos²1, которое называется основным тригонометрическим тождеством.

Отношение синуса угла _ к косинусу того же угла называется

тангенсом угла _ : tg ^sin^ или tg ^y.

cos x



Тангенс определен для всех углов, кроме  n, nZ , где

^cos^^ⁿ^ 0, Z - множество целых чисел.

 2 

Отношение косинуса угла _ к синусу угла _ называется котангенсом

угла _ : tg_^cos^ или tg_^x. sin y

Котангенс определён для всех углов, кроме n, nZ , где sinn 0, Z - множество целых чисел.

Так как точка В лежит на единичной тригонометрической окружности 1 x 1, 1 y 1. Следовательно, sin1, cos1. Отрезок на оси Оx от -1 до 1 называется линией косинусов.

Отрезок на оси Оy от -1 до 1 называется линией синусов.

AB y sin^^{OA x}^cos^tg  _, cos 0, ctg_{
 }, sin 0.

OA x cos AB y sin

Линия тангенсов параллельна оси Оy и проходит через точку (1;0)

Линия котангенсов параллельна оси Оx и проходит через точку (0;1)

Радианная мера угла.

Угол в 1 радиан – центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Радианная и градусная меры связаны зависимостью 180⁰_ радиан.

1радиан  1800 , 10   радиан.

 180

Периодичность тригонометрических функций .

Период косинуса равен 2_: сos(2n)  cos_.

Период синуса равен 2_:sin(2n) sin_.

Период тангенса равен _:tg(n) tg_. Период котангенса равен _:ctg(n)  ctg_.

Четность и нечетность тригонометрических функций. сos()  cos_, sin()  sin_, tg()  tg_, ctg()  ctg_

Знаки тригонометрических функций.

Значения тригонометрических функций при некоторых углах.

Формулы приведения.

Функции		У	гол
Функции	  2		3  2	2
sin	cos	m sin_	-cos_	_sin_
cos	m sin_	-cos_	_sin_	cos
tg	m ctg_	 tg	m ctg_	 tg
ctg	m tg_	_ctg_	m tg_	_ctg_

Основные тригонометрические тождества.

cos²sin²1, 1tg² cos¹₂, 1ctg² _sin¹₂_,

_

tg__sin^, ctg__^cos^, ctg__¹. cos sin tg

Формулы для суммы и разности элементов.

sin() sincoscossin_, sin() sincoscossin_, cos()  coscossinsin, cos()  coscossinsin, tg()  tgtg , tg()  tgtg ,

1tgtg 1tgtg

ctg(___) _ctgctg1, ctg(___) _ctgctg1.

ctg ctg ctgctg

Формулы двойных, тройных и половинных аргументов. sin2 2sincos_, cos2 cos²sin²12sin² 2cos²1,

tg2^12tg2 , ctg2 ctg_2ctg²_1, sin₂^1cos₂2^_{, cos}2__1cos₂2^,

_tg_

tg sin2  1cos2,

1cos2 sin2

sin33sin4sin³_, cos3 4cos³4cos_.

Формулы преобразования произведения в сумму и обратно.

sincos sin() sin(), coscos cos()  cos(),

sinsin cos()cos().

sin sin 2sin^^^cos^^^coscos 2cos^^^cos^^^

2 2 2 2

sinsin 2sin^^^cos^^^coscos 2sin^^^sin^^^

2 2 2 2

Примеры.

1. Выразите в радианной мере величины углов: 50⁰, 216⁰, 72⁰. Решение:500  50   5, 2160  216   6, 720  72    2.

180 18 180 5 180 5

2. Выразите в градусной мере величины углов: _⁷^, ⁵^, 0,2_.

12 4

Решение: 7   71800   0, 5  51800  2250, 0,2   1800  360 105

12 12 4 4 5 5

3. Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к

тригонометрической функции острого угла: sin405⁰, tg863⁰, cos¹⁸^,

21

ctg .

Решение: sin415⁰ sin(360⁰55⁰)  sin55⁰, tg863⁰ tg5180⁰37⁰ tg37⁰ tg37⁰, cos18  cos4 2  cos 2  cos 2,

5  5   5  5

ctg 21  ctg5  ctg 5.

4  4  4

4. Найдите значения других трех основных тригонометрических функций,

3 ³^

если sin  ,  .

5 2

Решение: Из основного тригонометрического тождества получим cos 1sin²_ . Угол _: _³^ находится в III четверти, 2

следовательно cos 0, tg 0, ctg 0. Таким образом,

5. Упростите выражение ¹^^cos^^^cos2^. sin2sin

Решение:

1cos cos2 1cos 2cos²1  2cos²cos cos2cos1 

sin2sin 2sincossin sin2cos1 sin2cos1

_^sin^_tg.

cos

6. Упростите выражение

2 2

sin 3cos 2 cos 3sin 2 cos  cos 3sin  sin 3 .

 10 5 10 5   10 5 10 5 

Решение:

sin 3cos 2 cos 3sin 2²cos  cos 3sin  sin 3²

 10 5 10 5   10 5 10 5 

2 2

sin310  25 cos10  35  sin2 710  cos2 710 1.

7. Докажите тождество tgtg tgtg  2. tg tg Решение:

tgtg tgtg tgtg tgtg

  tgtg:  tgtg: 

tg tg 1tgtg 1tgtg

tgtg 1tgtg tgtg 1tgtg

    1tgtg1tgtg 2.

1 tgtg 1 tgtg

ИЗ №Индивидуальные практические задания №1 1.

1. Выразите в радианной мере величины углов.

1.1. 10⁰, 135 ⁰, 60⁰; 1.15. 45⁰, 160 ⁰, 75⁰;

1.2. 18⁰, 150 ⁰, 90⁰; 1.16. 216⁰, 15⁰, 60⁰;

1.3. 30⁰, 144 ⁰, 130⁰; 1.17. 130⁰, 72⁰, 180⁰;

1.4. 54⁰, 135 ⁰, 36⁰; 1.18. 54⁰, 120⁰, 150⁰;

1.5. 15⁰, 120 ⁰, 180⁰; 1.19. 18⁰, 108⁰, 30⁰;

1.6. 20⁰, 125 ⁰, 36⁰; 1.20. 252⁰, 45⁰,  240⁰;

1.7. 40⁰, 225 ⁰, 30⁰; 1.21. 210⁰, 15⁰, 60⁰;

1.8. 45⁰, 240 ⁰, 18⁰; 1.22. 50⁰, 144⁰, 120⁰;

1.9. 36⁰, 150 ⁰,  210⁰; 1.23. 108⁰, 135⁰, 300⁰;

1.10. 60⁰, 72 ⁰,  252⁰; 1.24. 30⁰, 315⁰, 36⁰;

1.11. 72⁰, 108 ⁰,  270⁰; 1.25. 10⁰, 216⁰, 18⁰;

1.12. 120⁰, 135 ⁰, 144⁰; 1.26. 55⁰, 150 ⁰, 135⁰;

1.13. 75⁰, 210⁰, 36⁰; 1.27. 72⁰, 54⁰, 30⁰;

1.14. 100⁰, 54⁰, 90⁰; 1.28. 60⁰, 75 ⁰, 144⁰;

1.29. 210⁰, 50⁰, 90⁰ 1.30. 15⁰, 300⁰, 100⁰.

2. Выразите в градусной мере величины углов.

2.1. 7, , 0,3_; 2.16. 5, , 0,4_

6 5 3 3

2.2. 5,  7, 0,2_; 2.17. 19,  7, 1,1_

18 9 36 6

2.3. 5, 11, 1,4_; 2.18. , 13, 1,25_

9 18 3 18

2.4. 5,  4, 1,5_; 2.19. 11,  3, 1,125_

36 5 6 5

2.5. 7,  2, 0,8_; 2.20. 4,  29, 0,6_

9 3 5 36

2.6. 7,  5, 1,7_; 2.21. 19,  5, 1,8_

36 18 18 9

2.7. 2,  4, 0,25_; 2.22. 5, , 0,3_

3 5 36 4

2.8. 8, , 0,125_; 2.23. 11,  3, 0,9_

9 6 18 4

2.9.  ,  6, 0,6_; 2.24. 23,  4, 1,7_

18 5 36 9

2.10. , 11, 1,4_ 2.25. 2, 11, 1,4_

9 36 5 9

2.11. 3,  2, 0,5_ 2.26. 17, , 1,2_

4 9 36 5

2.12. 2,  5, 0,9_ 2.27. 8, 19, 0,1_

5 9 9 36

2.13. 4,  3, 0,7_ 2.28. 5,  3, 1,25_

9 5 18 4

2.14. 7, 13, 1,2_ 2.29. 13, 11, 0,4_

18 36 9 36

2.15. 17,  2, 1,3_ 2.30.  ,  5, 1,46

36 5 18 9

3. Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к тригонометрической функции острого угла:

3.1. sin340⁰, cos^_¹¹^^_, tg(523⁰), ctg ¹⁸^;

 9  7

3.2. cos2950, sin13, ctg4470, tg 11;

 8  6

3.3. sin(3050), cos15, tg3920, ctg17;

 8   6 

3.4. sin(267⁰), cos¹³^, ctg(682⁰), tg^_¹¹^^_;

3  5 

3.5. cos(305⁰), sin¹⁷^, ctg287⁰, tg^_ ⁹^^_;

4  5 

3.6. cos3650, sin13, tg(4510), ctg 7;

 4   5 

3.7. sin(319⁰), cos¹⁵^, ctg(341⁰), tg^_¹²^^_;

7  5 

3.8. cos2790, sin17, tg7000, ctg10;

 4   3 

3.9. sin351⁰, cos¹⁷^, tg(507⁰), ctg^_¹³^^_;

4  3 

3.10. cos284⁰, sin^_¹⁶^^_, tg(451⁰), ctg ¹⁷^;

 7  6

3.11. sin(353⁰), cos¹⁴^, ctg(605⁰), tg ¹²^;

3 5

3.12. cos(500⁰), sin¹²^, tg(361⁰), ctg ¹⁶^;

7 3

3.13. cos423⁰, sin^_¹¹^,^_ctg(235⁰), ctg ¹⁹^;

 4  6

3.14. sin(289⁰), cos¹⁶^, tg(506⁰), ctg ¹²^;

5 5

3.15. cos304⁰, sin^_¹⁹^^_, tg(521⁰), ctg ¹¹^;

 6  3

3.16. sin312⁰, cos^_¹⁵^^_, tg(424⁰), ctg ¹²^;

 9  5

3.17. cos312⁰, sin^_¹⁵^^_, ctg308⁰, tg ¹⁰^;

 8  3

3.18. sin(316⁰), cos^_¹⁷^^_, tg289⁰, ctg^_¹⁵^^_;

 7   6 

3.19. sin(209⁰), cos¹²^, ctg(603⁰), tg^_¹⁴^^_;

5  5 

3.20. cos(235⁰), sin¹³^, ctg247⁰, tg^_¹¹^^_;

6  5 

3.21. cos284⁰, sin^_¹¹^^_, tg(521⁰), ctg^_¹³^^_;

 4   5 

3.22. sin(306⁰), cos¹⁴^, ctg(311⁰), tg^_¹⁷^^_;

5  6 

3.23. cos2990, sin 21, tg6000, ctg12 ;

 5   7 

3.24. sin451⁰, cos¹⁷^, tg(520⁰), ctg^_¹⁴^^_;

6  5 

3.25. cos286⁰, sin^_¹⁷^^_, tg(423⁰), ctg ¹⁸^;

 7  5

3.26. sin(344⁰), cos¹²^, ctg(612⁰), tg ¹⁹^;

7 6

3.27. cos(501⁰), sin¹³^, tg(345⁰), ctg ¹⁸^;

7 5

3.28. cos403⁰, sin^_¹⁵^,^_ctg(335⁰), ctg ¹¹^;

 4  5

3.29. sin(279⁰), cos¹³^, tg(516⁰), ctg ¹¹^;

5 5

3.30. cos334⁰, sin^_¹⁷^^_, tg(552⁰), ctg ¹⁰^.

 6  3

4. Найдите значения других трех основных тригонометрических

функций, если

4.1. sin_¹², ^_;

13 2

4.2. cos 0,6, ^_; 2

4.3. sin _³, ³^ 2_;

5 2

4.4. sin 0,8, _³^; 2

4.5. cos  ⁵,  ³^;

13 2

4.6. cos_¹², ³^_ 2;

13 2

4.7. sin 0,6, _³^;

4.8. sin ⁵, ^_;

13 2

4.9. cos  ³, ^_;

5 2

4.10. sin 12 ^,3^ 2_;

13 2

4.11. cos 0,8, ^_; 2

4.12. sin 12 ,  3^;

13 2

4.13. cos 0,6, _³^; 4.22. sin 0,8, ^_;

2 2

4.14. cos _4 , ^_; 4.23. cos_⁴, ³^_ 2;

5 2 5 2

4.15. sin  5 ,  3^; 4.24. sin _⁴, _³^;

13 2 5 2

4.16. sin 3 , ^_; 4.25. cos 0,8, _³^;

5 2 2

4.17. cos 12 ,  3^; 4.26. sin  ³,  ³^;

13 2 5 2

4.18. cos _3 , _³^; 4.27. cos _⁴, _³^;

5 2 5 2

4.19. sin 4 , ^_; 4.28. cos 0,8^,³^ 2_;

5 2 2

4.20. sin 0,6, ^_; 4.29. sin _⁴, ³^ 2_;

2 5 2

4.21. cos  5 ^,^_; 4.30. cos ¹², ^_.

13 2 13 2

5. Упростите выражение

5.1. sincos²sin2_; 5.10. cos²ctg²sin²_sin²_;

5.2. 1 cos1 cos^; 5.11. cos²cos⁴sin⁴_;

sin 5.12. sin²tg²sin²_ctg_;

5.3. 1  sin ; 1 2cos² tg 1 cos 5.13. ;

cossin

5.4. 1 2sincos cos_; sin2⁴1  2 ; sincos 5.14. tg 

cos

5.5. (1sin)(1sin) ; 1cos cos2 cos 5.15. ;

sin2sin

5.6. 1sin²(costg)2; 5.16. ctg²1cos2cos²_;

cos²

5.17. tg²sin²tg²sin²_;

5.7.  tgβctgβ; ^{2 2}

5.18. 3sin 2cos 2sin3cos

;

5.8. 1sin²² tgctg_ ; costg

1 cos  5.19. ctgcos_;

5.9. 1sin²_1tg²_; sin²

5.20. sin cos²sin2_; 5.26. cos⁴sin⁴_; 5.21. 1cos21ctg2; 5.27. 1sin2 ;

cossin

5.22. sinsin2^^ctg^^^sin^;5.28. sin²1ctgcos²1tg;

5.23. sin²2ctg_; 5.29. cos4cos2sin4; cos 

5.24. sin1sin cos2²^;5.30.cos12cos cos2²^.

5.25. cos2 ;

cossin

6. Упростить выражение.

6.1. sin2cos3cos2sin3sin_;

6.2. sin2sin3cos2cos3cos5_;

6.3. sin 2cos cos 2sin;

15 5 15 5

6.4. cos^_cos ^_sin^_sin ^;

7 42 7 42

6.5. sincos 4  cossin 4 ;

 7 21 7 21 

6.6. cos54⁰cos9⁰sin54⁰sin9⁰ 2 ;

6.7. 2sin12⁰cos18⁰cos12⁰sin18⁰;

6.8. cos65⁰⁰coscos408⁰⁰cossin1765⁰⁰sinsin840^0
0;

sin17 

6.9. sin xsin2xsin3xcos xcos2x;

6.10. sin38⁰cos12⁰ cos38⁰sin12⁰² cos40⁰cos10⁰sin40⁰sin10⁰²;

6.11. cos xsin2x sin xcos2xsin x;

6.12. cos xcos x sin xsin x  cos x;

6.13. sin7sin4cos4cos7cos11_;

6.14. cos40⁰⁰coscos1317⁰⁰cossin1040⁰⁰sinsin1317⁰⁰;

sin10 

6.15. sin7cos4sin4cos73sin11_;

6.16. sincos  cossin   ;

 3 12 3 12

6.17. cos 2cos 5sin 2sin 5;

7 42 7 42

6.18. 2sin 2cos  cos 2sin  ;

 5 15 5 15

6.19. coscos  sinsin   2 ;

 5 20 5 20

6.20. sin15⁰⁰coscos1020⁰⁰cossin155⁰⁰sinsin2010⁰⁰;

cos5 

6.21. sin123⁰cos33⁰cos123⁰sin33⁰²;

6.22. sin2xcos3x2sin5xcos2xsin3x;

6.23. cos39⁰⁰coscos1512⁰⁰cossin1239⁰⁰sinsin1512⁰⁰;

sin12 

6.24. cos2,5xcos1,5x cos x sin1,5xsin2,5x;

6.25. sin35⁰cos10⁰cos35⁰sin10⁰² cos15⁰cos10⁰sin15⁰sin10⁰²;

6.26. cos4xcos7xcos3xsin4xsin7x;

6.27. cos104⁰cos14⁰sin104⁰sin14⁰³;

6.28. sin28⁰cos12⁰ cos28⁰sin12⁰sin40⁰;

6.29. sin38⁰⁰coscos1210⁰⁰cossin3840⁰⁰sinsin1210⁰⁰;

cos40 

6.30. sin4xcos3xsin7xcos4xsin3x.

7. Докажите тождество.

7.1. sincos²sincos² 2;

7.2. ctg² cos² sin¹₂  sin²_;

7.3. 2sincoscos2 sin4_;

7.4. ¹cosctg sin_; sin

7.5. 1 __cos^_cos _
tg_; 2 1sin 1sin

7.6. 4cos2cossin sin4_;

7.7. ¹sintg cos_; cos

7.8. 1 cos2sin2^_{ }_ctg_;

1cos2sin2

7.9.  sin  sin cos 2ctg;

1 cos 1cos

7.10. 1cossin22costg2  cos2;

7.11. 1  sin  1 ; tg 1 cos sin 7.12. 2sin21 cos sin; sincos 7.13.cos³sin³_sin__cos_;

1sincos

7.14. ctgcossincos2tg  cos2;



cos⁴sin⁴ _1;

7.15.

cos2

7.16. 1 sin2 cos2^__tg_;

1 sin2 cos2

7.17. 1sin2 2 1;

sin cos

7.18. 1 tgtg22 1ctgctg22  tg2;

 

7.19. cos⁴sin⁴ cos2_;

7.20. ^cos2^_sin cos; cossin

7.21. tg²sin² cos¹₂  cos²_;

7.22. 1  sin  ctg; sin 1 cos

1 2sin²

7.23. sin cos_; sin cos

7.24. sin22cossinsin cos22  2cos;



7.25. cos2 2sin2  1 ; ctgtg cos2

7.26. sin²tg²sin²_ctg tg_;

7.27. cos²cos⁴sin⁴ sin²_;

7.28. 1sin2  cos sin; sincos

7.29. 1 tgtg22  1ctgctg22 1;

 

7.30. 1ctg²tg²_cos² ctg²_.

§2. Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков.

2.1. Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

1. Функция y=sin(x). График функции y=sin(x) – синусоида:

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2π.

5. Нули функции: (πk;0) , где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: sin x  0приx2n; 2n^, nZ ; sin x  0приx 2n;2 2n^, n^Z.

2. Функция y= cos(x). График функции y= cos(x):

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2π.

 k;^０^, где k – целое. 5. Нули функции:  ₂ _

6. Интервалы знакопостоянства: cosx  0приx^^2  2n^;^2  2ⁿ^, nZ ;



cosx  0приx^_^2  2n;³2^ 2n_^, nZ .



3. Функция y=tg(x).

График функции y=tg(x) – тангенсоида:

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида

x ^k , где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

5. Нули функции: (πk;0) , где k – целое.

6. Интервалы знакопостоянства: tgx  0приx^n^;^2 ⁿ^, nZ ;



tgx  0приx^^2 n;n^, nZ .



4. Функция y=ctg(x).

График функции y=ctg(x):

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=πk, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

 k;^０^, где k – целое.

5. Нули функции^:  ₂ _

_

6. Интервалы знакопостоянства: ctgx  0приx^n^;^2 ⁿ^, nZ ;



ctgx  0при x^^2 n; 2n^, nZ .



2.2. Построение графиков тригонометрических функций с помощью геометрических преобразований графиков.

Виды преобразований графиков функций.

1. Сжатие графика к оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции f kx, где k 1, нужно график функции f x сжать к оси Оу в k раз.

Пример 1

Построить график функции y  sin2x . Сначала строим график y  sin x. Период T  2_.

Сжимаем синусоиду к оси Оу в 2 раза:

Таким образом, график функции y  sin2x получается путём сжатия графика y  sin x к оси ординат в два раза.

Период функции y  sin2x равен_.

В целях самоконтроля можно взять 2-3 значения «икс» и устно либо на черновике выполнить подстановку:

Смотрим на чертёж, и видим, что это действительно так.

Пример 2

Построить график функции y  cos3x.

График функции y  cos x сжимается к оси Оу в 3 раза:

Период T функции y  cos x равен 2, период функции y  cos3x

2 составляет . 3

2. Растяжение графика функции от оси ординат

Правило: чтобы построить график функции f ^ ¹x^ , где k 1, нужно

 k 

график функции f x растянуть от оси Оу в k раз.

Пример 3 Построить график функции y  ^sin^x. Строим 2

график y  sin x.

Период T  2_.

И растягиваем синусоиду от оси Оу в 2 раза:

путём растяжения графика y  sin x от оси ординат в два раза.

Период итоговой функции увеличивается в 2 раза: T  22 4_.

3. Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.

Рассмотрим функцию y  f (x) и положительное число b : Правило:

1) чтобы построить график функции y  f (x b), нужно график y  f (x) сдвинуть вдоль оси Ох на b единиц влево; 2) чтобы построить график функции y  f (x b) , нужно график y  f (x)сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц вправо. Пример 4

Построить график функции y  sin^_x ^^_.

 2 

График синуса y  sin x сдвинем вдоль оси Ох на ^ влево:

Внимательно присмотримся к полученному красному

графику y  sin^_x ^^_ Это в точности график косинуса y  cos x. Мы

 2 

получили геометрическую иллюстрацию формулы

приведенияsin^_x ^^_ cos x.

 2 

График функции y  cos x получается путём сдвига

синусоиды y  sin xвдоль оси Ох на ^ единиц влево. 2

Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: f (kxb), при этомk  0,b  0.

Функцию f (kxb) необходимо представить в виде f (kxb)  ^f^_^k^x  ^bk ^_^ и последовательно выполнить следующие преобразования:

1) График функции f (x) сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: f (kx).

2) График полученной функции f (kx) сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на ^b единиц, в результате чего будет построен k

искомый график f (kxb). Пример 5

Построить график функции y  sin^_2x ^^_

 2 

Представим функцию в виде y  sin^_2^x ^4 ^_^_ и выполним следующие

преобразования: синусоиду y  sin x сожмём к оси Оу в два раза: y  sin2x.

2) сдвинем вдоль оси Ох на ^ влево: y  sin^_2x ^^_.

4  2 

Пример, вроде бы, несложный, а сделать ошибку в параллельном

 . переносе легко. График сдвигается на , а вовсе не на

4 2

4. Растяжение графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции y  mf (x), где m 1, нужно график функции y  f (x) растянуть вдоль оси Оу в m раз.

Пример 6

Построить график функции y  2sin x. Строим график функции y  sin x:

И вытягиваем синусоиду вдоль оси Оу в 2 раза:

Период функции y  2sin x не изменился и составляет T  2, а вот

значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза. Область значений функции y  2sin x: E(y) 2;2.

5. Сжатие графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции y  ^f^(x), где m 1, m

нужно график функции y  f (x) сжать вдоль оси Оу вm раз.

Пример 7

Построить график функции y  sin x.

Строим график функции y  sin x:

Теперь сжимаем синусоиду вдоль оси Оу в 2 раза:

Аналогично, период T  2_ не изменился, а область значений функции y sin x: E(y)  ^_ ¹₂;¹₂^_.

_

6. Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс

Правило: чтобы построить график функции y   f (x), нужно график y  f (x) отобразить симметрично относительно оси Ох.

Пример 8

Построить график функции y  sin x.

Отобразим синусоиду симметрично относительно оси Ох:

7. Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат Правило:

1) чтобы построить график функции y  f (x) c, нужно график y  f (x) сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на c единиц вверх; 2) чтобы построить график функции y  f (x)c, нужно график y  f (x) сдвинуть ВДОЛЬ оси Оу на c единиц вниз.

Пример 9.

Построить графики функций y  sin x  2, y  sin x 1.

Комбинационное построение графика y  mf (x)  c в общем случае осуществляется очевидным образом:

1) График функции y  f (x) растягиваем (сжимаем) вдоль оси Оу. Если множитель отрицателен, дополнительно осуществляем симметричное отображение относительно оси Ох.

2) Полученный на первом шаге график y  mf (x) сдвигаем вверх или вниз в соответствии со значением константы c. Пример 10

Построить график функции y  cos x  2

Строим график косинуса y  cos x:

1) Растягиваем вдоль оси Оу в 1,5 раза: y  cos x;

2) Сдвигаем вдоль оси Оу на 2 единицы вниз: y  cos x  2.

Общая схема построения графика функции с помощью геометрических преобразований

Рассмотрим функцию y  mf (kxb)c, которая «базируется» на некоторой функции y  f (x).

Для построения графика функции y  mf (kxb)  c

– на первом шаге выполняем преобразования, связанные с аргументом функции, в результате чего получаем график функции y  f (kxb);

– на втором шаге выполняем преобразования, связанные с самой функцией, и получаем график функции y  mf (kxb) c.

Пример 11. Найдите множество значений функции y 3sin 5x 0,1.

Решение:

Область значений функции y  sin5x^, как и функции y  sin x равна 1;1. Так как при умножении на -3 происходит растяжение в 3 раза вдоль Оу графика функции y  sin5x и симметричное отображение графика функции y  3sin5xотносительно оси абсцисс, область значений функции y  3sin5x - отрезок 3;3. А после сдвига вдоль Оу вниз на0,1 графика последней функции, получаем окончательный ответ 3,1;2,9.

Пример 12. Используя четностью/нечетность тригонометрических функций, исследовать на четностью/нечетность функцию

y(x) _x sin x .

3cos x

Решение:

Поменяем знак аргумента, получим,

y(x)   x  sin(x)   x sin x   x  sin x  y(x), следовательно функция

3cos(x) 3cos x 3cos x нечетная.

^{Индивидуальные
практические задания №2}ИЗ № 2.

1. Построить график функции

1.1. y  sin2x  1.17. ^⁶^1.18. y  sin1 x 

1.2. y  cos2x   2 3 

^⁶^1.19. y  cos2x  5

1.3. y  sin3x   6 

^⁶^1.20. y  sin 1 x 

1.4. y  cos2x  5  2 3  ^⁶^1.21. y  cos1 x 

1.5. y  sin2x   2 3 

^³^1.22. y  sin1 x 

1.6. y  cos 1 x  2  2 6 

 2 3  1.23. y  cos1 x 

1.7. y  sin2x   2 3 

^³^1.24. y  sin3x 

1.8. y  cos3x   6 

^⁶^1.25. y  cos3x 

1.9. y  sin2x  2  6 

^³^1.26. y  cos2x 

1.10. y  cos 1 x  2  3 

 2 3  1.27. y  sin 1 x  2

1.11. y  sin2x  2  2 3 

^³^1.28. y  sin1 x  2

1.12. y  cos1 x  5  2 3 

 2 6  1.29. y  cos1 x 

1.13. y  sin3x  5  2 6 

^⁶^1.30. y  sin 1 x  5

1.14. y  cos3x   2 6 

^⁶^1.31. y  cos2x  2

1.15. y  sin2x  5  3 

 6 

1.16. y  cos2x 

 6 

2. Построить график функции. 2.1. y  2sin^_x _^^_

 6 

2.2. y  3cosx  2

 3 

2.3. y  2sin^_x _^^_

 6 

2.4. y  1 cosx  2

2  3 

2.5. y  3sin^_x _^^_

 3 

2.6. y  1 cosx 

2  6 

2.7. y  2sin^_x _^^_

 3 

2.8. y  2cosx  5

 6 

2.9. y  2sinx  2

 3 

2.10. y  2cos^_x _^^_

 6 

2.11. y  2sin^_x _²^^_

 3 

2.12. y  2cos^_x _^^_

 3 

2.13. y  2sin^_x _⁵^^_

 6 

2.14. y  3cos^_x _⁵^^_

 6 

2.15. y  3sin^_x _⁵^^_

 6 

3. Построить график функции

3.1. y  cos1 x  2 1

 2 3 

3.2. y  2sin x 1

3.3. y  3sin^_x ^^_1

 3 

3.4. y  2sin^_x ^^_1

 6 

3.5. y  sin2x  2 1

 3 

2.16. y  3cos^_x _^^_

 6 

2.17. y  1 sinx 

2  6 

2.18. y  1 cosx 

2  3 

2.19. y  3sin^_x _^^_

 6 

2.20. y  3cos^_x _^^_

 3 

2.21. y  1 sinx 

2  3 

2.22. y  2cos^_x _⁵^^_

 6 

2.23. y  1sinx 

2  3 

2.24. y  2cos^_x _²^^_

 3 

2.25. y  3sin^_x _²^^_

 3 

2.26. y  1 cosx  2

2  3 

2.27. y  1 sinx  2

2  3 

2.28. y  1 cosx  5

2  6 

2.29. y  1 sinx  5

2  6 

2.30. y  1 cosx 

2  6 

3.6. y  3sinx  5  2

 6 

3.7. y  sin^_2x _⁵^^_ 2

 6 

3.8. y  2cos^_3x _⁵^^_

 6 

3.9. y  sin^_3x ^^_ 2

 6 

3.10. y  2cos3x 2

3.11. y  cos^_2x ^^_ 2 3.22. y  2cosx  5  2

 6   6 

3.12. y  1 sin^_x ^^_1 3.23. y  2cosx  5 1

2  3   6 

3.13. y  cos^_3x ^^_1 3.24. y  sin1 x  1

 6   2 6 

3.14. y  cos2x  5  2 3.25. y  2cos^_x ^^_1

 6   6 

3.15. y  2sin^_x ^^_ 2 3.26. y  2cos3x  5

 6   6 

3.16. y  3sinx  2 3.27. y  3cos1 x  2

 2 3 

3.17. y  sin2x 1 3.28. y  2sin^_2x ^^_

 3 

3.18. y  sin1 x  2 1 3.29. y  1 sin2x 

 2 3  2  6 

3.19. y  3cos2x 1 5

3.30. y

  2cos3x  

3.20. y  sin^_3x  ^_ 2

 6 

3.21. y  2cos^_x ^^_1

 3 

4. Найдите область значений функции.

4.1. y  1 cosx   0,2; 4.12.

2  3  4.13.

4.2. y  2,5sin^_x ^^_ 0,4;

^⁶^4.14.

4.3. y  5cos3x 0,7;

4.4. y  cos^_2x _^^_
2,2; 4.15.

 4 

4.5. y _3,4sin ^x_1,5; 4.16.

4.6. y  2cos^_^_x^_
1; 4.17.

 3 

4.7. y  4,2sin x  2,5; 4.18.

^^0,1; 4.19.

4.8. y  0,6sin^_  x_

 4  ⁵^^; 4.20.

4.9. y  3 2sin^_x __

^⁶^4.21.

4.10. y  4cos2x 2,7; 4.11. y _{ }sin^_3x _^^_
1,6; 4.22.

 5 

 6 

y 13cos2x;

y  7,1cos^_x _²^^_3,2;

 3 

y  5cos  2,3; 4 y  5,2sin^_^ x^_ 3;

 4 

y  2cos^_x ^^_ 0,4;

 3 

y  2sin^_x ^^_ 0,6;

 6 

y  2cos5x 3,7;

y  sin^_2x _³^^_ 2,4;

 4 

4 x

y  cos 3;

5 5

y  2sin^_^ x^_1,5;

 4  x

y  4,1cos  0,5;

4.23. y  2,2sin^_²^_x^_{
}5,1; 4.28. y  3,2cos^_x _²^^_{
}5;

 3   3 

4.24. y  53sin^_x _^_^; 4.29. y  0,5cos ^3x 2;

 3  4

4.25. y  0,5cos2x  2;4.30. y  2,5sin_^_x_{
}3.

4.26. y  sin4x  2 3,4 ;  6 

 5 

4.27. y  43,5cos3x;

5. Исследуйте функцию на четностью/нечетность.

5.1. y(x) _3tgxcossinx x _;

5.2. y(x)  tgx sin x  ctg²x;

5.3. y(x)  3cos xsin x tgx;

5.4. y(x)  cgx3sin tgxx _;

5.5. _y_(x)_tg²xsin5xcos x ;

5.6. y(x)  xctgx  2cos x;

5.7. y(x)  sin²x cos x  x³tgx

;

5.8. y(x)  27tgx cos xx³;

5.9. y(x)  2sin x cos x;

5.10. y(x)  x³tgx  6cos x;

5.11. y(x)  2tgxsin2ctgxx _;

5.12. y(x)  xx3 sincosxx ;

5.13. y(x)  5cos²x  xtgx;

5.14. y(x)  2sin x  xcos x 5tgx;

5.15. y(x)  2ctgxtgx2x ;

5.16. _y_(x)_tg²x sin²x

cos x ;

5.17. y(x)  3xsin x 5ctg²x;

5.18. y(x)  tg²xsin x 5ctgx ;

5.19. y(x)  ctgxsin3 x4x _;

5.20. _y_(x)_tgx3sin1xcos5x^_;

5.21. y(x)  3x²ctgx  2xcos x;

5.22. _y_(x)_sin²x 3cos x ; 7x

5.23. y(x)  7x42tgxcos x ;

5.24. y(x)  x²sin x 5cos x;

5.25. y(x)  x3 tgx ; 1 7ctgx

5.26. y(x)  2tgsin³x x2x _;

5.27. y(x)  sinxxcos 2tgxx _;

5.28. y(x)  5x²cos x 3xctgx

;

5.29. y(x)  2sin²x  xcos x;

5.30. y(x)  sinx2x3tgx5x2 .

§ 3. Обратные тригонометрические функции.

Арксинусом числа a1;1называется угол x^_^₂^;^₂^_, синус которого равен a. Т.е. arcsin a  x  sin x  a, x^_^₂^;^₂^_.

График функции y  arcsin x.

Арккосинусом числа a1;1называется угол x0;, косинус которого равен a. Т.е. arccos  x  cos x  a, x0;.

График функции yarccosx.

Арктангенсом числа a;называется угол x^^^;^^,

 2 2 

тангенс которого равен a. Т.е. arctga  x  tgx  a, x^^^;^^.

 2 2 

График функции y  arctgx.

Арккотангенсом числа a;называется угол x0;, котангенс которого равен a. Т.е. arcctga  x  ctgx  a,x0;.

График функции y  arcctgx .

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.

arcsin(x) arcsin x, arcsin x ^arccos x 2

arcsin x  arccos 1 x² arctg ^x, x  0 1 x²

arccos(x) arccos x, arccos x ^arcsin x 2

arccos x  arcsin 1 x² arcctg ^x, x  0 1 x²

arctg(x) arctgx, arctgx _^arcctgx

1 x 1

arctgx  arcctg  arcsin  arccos , x  0 x 1 x²1 x²

arcctg(x) arcctgx , arcctgx _^arctgx

2
1 1 x arcctgx arctg arcsin arccos ,	x 0

 

x Примеры.

    3

1. Вычислите arcsin_ ₂  2arccos 2 _ arctg 3 .

Решение:

arcsin 23   2arccos 22   arctg 33  3  2 34 6  3  32 6 



 29 10 5

     .

6 6 3

2. Вычислите cos^_arcsin ⁴^_, sinarcctg(2).

 5

Решение:

cos^arcsin  

 5⁴^ cos^arccos 1^ 5⁴^²^^ cos^__arccos 1 ¹⁶25 ^_ cos__^arccos 25⁹^_ 



 cos^_arccos ³^_ ³;

 5 5

 1  1

sinarcctg(2)  sin arcctg2  sin(arcctg2)  sin_arcsin 1_22 _ 5 . ИЗ № 3.

Индивидуальные практические задания №3

1. Вычислите



1.1. 2arctg 33   arccos 0  arcctg 3 ;



 

 2  1 arcsin arccos

 arctg1

1.2. _2 _2 ;

1.3. 2arccos1 arctg( 3)  arcctg 3 ; 3

1.4. arcsin 1 arccos 23 _ arcctg(1);

2 _

arcctg 33   arcsin^_ ¹^_

1.5.  _ 2 ;

arccos 0

1.6. arctg 3  2arcsin 22 _ arccos 0;

1.7. 3arcsin^ ¹2^  arccos^_ 2³^_ arcctg0;

 

 2 

arccos arcsin 0

 2 

1.8.   ;

arctg1

1.9. arcsin 1  arccos 23 _ arcctg(1);

2 _

1.10. 3arctg 33 _ 2arccos 22  arcctg( 3);

arctg 3  arccos^_ ¹^_

1.11.  2 ;

arcsin

1.12. arcsin1 arccos 22   4arcctg(1) ; 

1.13. 2arccos arctg 3 2arcctg 3 ;

1.14. 2arcsin 2  arccos 23   arcctg 3 ; 

 2 

arccos 23   arcsin^_ ¹^_

1.15.  _ 2 ;

 3  arctg   3 _



1.16. 2arccos 22   arctg0  arcsin 23 ;



 

 2 

arccos   arctg(1)

 

1.17.  ² ;

arcsin

1.18.

1.19. 1

1.20.

1.21. arcctg(1)  2arccos 

 

1.22. 1  arctg0;

1.23.

1.24. 1.25.

1.30. .

arcctg1

2. Вычислите

2.1. sin^_arccos¹²^_, tgarcsin(0,6); 2.12. cosarcctg(4), tg^_arcsin ³^_;

 13  5

2.2. cosarctg(2), ctg^_arcsin ³^_; 2.13. sinarccos(0,8), tg^_arcsin ¹²^_;

 5  13

2.3. sinarctg3, cosarcsin(0,8); 2.14. cosarctg4, ctg_^arcsin^ 5⁴^_^_;

2.4. tg^_arccos ⁵^_, cosarcctg(3);

 13 2.15. sinarctg3, cosarcsin(0,8);

2.5. ctg^_arccos^ 5⁴^_^, sinarctg2; 2.16. tg^_arccos^_¹²13^_^_, cos^_arcctg ¹2^_;

2.6. cosarcctg(3), tg^_arcsin ¹²^_; 2.17. ctg^arccos^¹²13^_^_, sinarctg4;

 13 _{ }

2.7. sin^_arccos^ 5³^_^, tgarcsin 0,6; 2.18. cos_^arcctg^ ¹2^_^_, tgarcsin 0,8;

 

2.8. cosarctg3, ctg^_arcsin^ 5³^_^_; 2.19. sin^_arccos¹²13^_, tgarcsin(0,6);

2.9. sinarcctg(3), cos^_arcsin ⁵^_; 2.20. cos_^arctg ¹^_, ctgarcsin0,8;

 13  2

2.10. tg^_arccos^13⁵^__^, cosarcctg2; 2.21. sinarcctg2, cos^_arcsin^13⁵^__^;

2.11. ctg^_arccos^ 5⁴^__^, sinarctg2; 2.22. tgarccos^^0,6³^,^cosarcctg^5¹;^ ;

2.23. ctg_arccos_ 5__, sin_arctg 2_

1.26. ;

1.27. arcsin^ ¹2^ arccos^_ 2³^_arcctg( 3) ;

  

1.28. 2arcsin arctg 3 2arcctg

1.29. 2arcsin^_ 2²^_ arccos 2³^_ arctg 3 ;

_

 

arcsin 23 _arccos^_ ¹2^_

2.24. cosarcctg4, tg^_arcsin^¹²13^_^_;

2.25. cos^_arcctg ¹^_, ctgarccos0,6;

 2

2.26. sinarctg0,5, cos^_arcsin^¹²13^_^_;

2.27. tg^arccos^ 5³^_^_, cos^_arcctg ¹2^_;

 

2.28. ctg^_arccos^13⁵^_^_, sinarctg3;

2.29. cosarcctg(5), tg^_arcsin ¹²^_;

 13

2.30. sinarccos0,8, cosarctg(4).

§ 4. Тригонометрические уравнения.

Определение: Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестные находятся под знаком тригонометрических функций.

4.1. Простейшие тригонометрические уравнения.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида: sin x  a, cosxa, tgx  a, ctgx  a. Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.

1) sin x  a

Если a 1 уравнение корней не имеет.

Если a 1, решение находим по формуле: x  (1)ⁿarcsin a n, nZ .



sin x  0  x n;



Частные случаи: sin x 1 x  ^ 2n;

_2

 

_sin x  1 x   2  2n.

2) cos x  a

Если a 1 уравнение корней не имеет.

Если a 1, решение находим по формуле: x  arccosa2n, nZ .

^cos x  0  x  ^2  2n;



Частные случаи: cos x 1 x  2n;

^cos x  1 x  2n.





3)tgx  a x  arctga n,nZ .

4)ctgx  a x  arcctga n,nZ .

Примеры.

1. Решить уравнение sin x  ². 2

Решение: x  1ⁿarcsin ²n,nZ , т.е. x  1ⁿ^n,nZ .

2 4

2. Решить уравнение cos x^_2x ^^_  ³

 4  2

Решение:

2x ^ arccos^ 2³_^ 2n,nZ ;

4 _

2x    5  2n,nZ ;

4 6 x    5 n,nZ .

8 6

4.2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

Уравнения вида Asin²x  Bsin x C  0, где A  0, решаются приведением к квадратному путем замены sin x  y. (аналогично решаются уравнения с другими тригонометрическими функциями).

Примеры.

3. Решить уравнение 2sin²x sin x 1 0.

Решение:

Введем новую переменную y  sin x. Тогда данное уравнение можно записать в виде 2y² y 1 0. Мы получили квадратное уравнение. Его

1 и y₂1. Следовательно, sin x _ или sinx  1. корнями служат y₁_

В первом случае получим решения

x  1^karcsin n,

т.е. x  1ⁿ^n, nZ . 6

Во втором случае имеем: x  ^ 2n, nZ .

4. Решить уравнение 6sin²x 5cos x 2  0. Решение:

Заменяя sin²x 1cos²x , получим относительно cos x квадратное уравнение 6(1cos²x) 5cos x  2  0

6cos²x 5cos x  4  0 6cos²x 5cos x 4  0

Введем новую переменную y  cos x. Тогда 6y²5y 4  0, откуда y₁  или y₂1 . Уравнение cos x 1 не имеет решений, т.к.1 1 .

Решая уравнение cos x   находим:

x  arccos^_ ¹^_ 2n  x   ²^ 2n,nZ .

 2 3

5. Решить уравнение tgx 3ctgx  0.

1 3

Решение: Заменяя ctgx  , получим tgx   0, откуда, т.к.

tgx tgx

tgx  0, получаем tg²x3  0. Введем новую переменную y  tgx. Тогда y² 3, откуда y₁ 3 или y₂ 3. Следовательно,

tgx  3  x  ^ n, nZ и tgx   3  x  ^n, nZ .

4.3. Однородные тригонометрические уравнения.

Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого вида. Отличительные признаки однородных уравнений:

а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов: asin x bcos x  0, ab  0 (однородное уравнение первой степени) либо

asin²x bsin xcos x ccos²x  0, abc  0 (однородное уравнение второй степени).

Алгоритм решения однородного уравнения первой степени: 1) разделить обе части уравнения на cosx (или на sin x). Делить можно на число, не равное 0, а cosx  0, т.к. в противном случае

asinx b0  0 и sinx  0, следовательно sin²x cos²x  0, что неверно;

sin x cos x

2) воспользоваться формулой tgx _ (ctgx _);

cos x sin x

3) решить получившееся уравнение.

Пример.

6. Решить уравнение sin x 3cos x  0.

Решение: sin x 3cos x  0 - однородное уравнение. Разделить обе части уравнения на cosx.

sin x

Получим 

cos x

cos x 0

3  , tgx  cos x cos x

3  0, tgx   3

x  arctg( 3) n, nZ , x  ^n, nZ . 3

Ответ: x  ^n, nZ

3 Алгоритм решения однородного уравнения второй степени: 1) разделить обе части уравнения на cos²x (или на sin²x). Делить можно на число, не равное 0, а cos²x  0, т.к. в противном случае

cos x  0,asin²x bsin x0c0  0 и sin x  0, следовательно sin²x cos²x  0, что неверно;

2) воспользоваться формулой tgx _sin x (ctgx  ^{cos x});

cos x sin x

3) решить получившееся уравнение.

Примеры.

7. Решить уравнение 4sin²x 3sin xcos x 7cos²x  0. Решение:

4sin²x 3sin xcos x 7cos²x  0 - однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на cos²x.

sin²x sin xcos x cos²x

Получим 4cos₂_x3 _cos2 _x7 _cos2 _x 0.

4tg²x 3tgx 7  0. Замена переменной : y  tgx

4y²3y 7  0

D  b²4ac  9112 121, y _^^b^^D_^³^¹¹, y₁1, y₂ 1³

2a 8 4

tgx 1 , x  ^n, nZ ;

3 ^1³^_n, nZ .

tgx  1 , x  arctg_

4  4

Ответ: x _^n, nZ ; x  arctg_^1³_^n, nZ .

4  4

8. Решить уравнение 2sin²x sin2x 2cos²x 1.

Решение:

Применим формулы sin2x  2sin xcos x, 1 cos²x sin²x. Получим

2sin²x  2sin xcos x 2cos²x  cos²x sin²x, sin²x  2sin xcos x 3cos²x  0- однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на cos²x. sin²x sin xcos x cos²x

Получим cos2 x  2 cos2 x 3cos2 x  0.

tg²x  2tgx 3  0. Замена переменной : y  tgx

y² 2y 3  0 y₁1, y₂3

tgx 1 , x  ^n, nZ ; 4

tgx 3 , x  arctg3n, nZ .

Ответ: x  ^n, nZ ; x  arctg3n, nZ .

4.4. Решение тригонометрических уравнений, введением вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида: asin x bcos x  c, a,b,c  0.

Разделим обе части уравнения на a²b². Получим a b c sin x cos x  .

14a224b32 14a224b32 14a224b32

cos sin C

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и кос инуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos_ иsin_ ( здесь _- так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид: cossin x sincos x  C или sinx C и его решение

x  1ⁿarcsinC n, nZ , где  ^{arccos a} ^{arcsin b}.

a2 b2 a2 b2

Заметим, что cos_ иsin_ взаимно заменяемы.

Пример.

9. Решить уравнение 3sin x cos x 1.

Решение: Здесь a 3, b 1, a²b² 2.

Делим обе части уравнения на 2. Получим sin x cos x , 2

откуда

cos^sin x sin^cos x _¹и sin^_x _^_^ ¹.

6 6 2  6  2

Решив последнее уравнение, получим

x ^ 1ⁿarcsin ¹n, nZ ;

6 2 x  1ⁿ^^n, nZ .

6 6

4.5. Решение тригонометрических уравнений, используя формулы преобразования произведения в сумму и обратно.

Примеры.

10. Решить уравнение 2sin2xsin6x  cos4x

Решение: Используя формулу sinsin cos() cos(),

получим 2sin2xsin6x  2cos(4x) cos8x cos4x cos8x. Тогда уравнение примет вид cos4x cos8x  cos4x, откуда cos8x  0,

8x _^_n, nZ , x _^_^ⁿ, nZ .

2 16 8

11. Решить уравнение cos2xcos4xcos6xcos8x  0

Решение:

cos2xcos4xcos6xcos8x 0 Применим формулу cos cos 2cos^^^cos^^^.

2 2

2cos5xcos3x2cos5xcosx  0

2cos5x(cos3x cos x)  0

Еще раз применим формулу cos cos 2cos^^^cos^^^, получим

2 2

4cos5xcos2xcosx  0

cos5x  0 или cos2x  0 или cos x  0

5x  ^n, nZ 2x _^n, nZ x  ^ n, nZ

2 2 2

x _^_^ⁿ, nZ x _^_^ⁿ, nZ

10 5 4 2

4.6. Решение тригонометрических уравнений с помощью x ²^x

2tg 1tg

универсальной подстановки sin x  ² , cos x  ².

1 tg²^x1 tg²^x

2 2

Пример.

12. Решить уравнение 3sinx 4cosx  3. Решение: Возможны 2 случая:

1) tg x не существует, т.е. x   k , x  2k . Тогда

2 2 2

3sin( 2k) 4cos( 2k)  4  3.

2tg x 1tg²^x

2) _tg^x существует и sin x  ² , cos x  ².

2 1 tg2 x 1 tg2 x

2 2

2tg x 1tg²^x

Тогда уравнение примет вид: 3 ² 4 ² 3.

1 tg²^x1 tg²^x

2 2

Откуда

6tg ^x_4 _4tg²^x_3_3tg²^x;

2 2 2

tg²^x_6tg ^x_7 _0.

2 2

x ²6y 7  0, y₁1, y₂7.

Делаем замену: tg  y. Имеем y  2

x ^ и tg ^x 7  x  2arctg7  2n, nZ .

Тогда tg 1 x   2n, nZ

2 2 2

Индивидуальные практические задания №4 ИЗ № 4.

1. Решите простейшее тригонометрическое уравнение.

1.1. 2sin x 2  0; 1.16. 3tgx 3  0;

1.2. 3 3ctgx  0; 1.17. 2cos x 3  0;

1.3. 2cos x 3  0; 1.18. 2 2cosx 0;

1.4. 3tgx  3  0; 1.19. 3tgx 3  0;

1.5. 3  2sin x  0; 1.20. 3tgx  3  0;

1.6. 3ctgx 3  0; 1.21. 3  2sin x  0; 1.7. 2cosx 2  0; 1.22. 12sinx  0;

1.8. 12cosx  0; 1.23. 2sin x  3  0;

1.9. 2sin x  3  0; 1.24. 2sinx1 0;

1.10. 3ctgx 3 0; 1.25. 2 2sin x 0;

1.11. 3ctgx  3  0; 1.26. 3 tgx  0; 1.12. 2sinx1 0; 1.27. 2cosx 2  0;

1.13. 2sin x 2  0; 1.28. 3 2cos x  0; 1.14. 3tgx 3  0; 1.29. 3ctgx  3  0 ; 1.15. 3 2cos x  0; 1.30. 2cosx1 0.

2. Решите простейшее тригонометрическое уравнение.

2.1. sin 1 х   1 ; 2.7. sin2х   1 ;

 2 6  2  6  2

2.2. cos 1 х    2 ; 2.8. cos 1 х  3   ;

 2 4  2  2 4 

2.3. sin 1 х  5  3 ; 2.9. sin 1 х  2  2 ;

 2 6  2  2 3  2

2.4. sin 1 х    1 ; 2.10. cos 1 х    1 ;

 2 3  2  2 3  2

2.5. cos 1 х   1 ; 2.11. sin2х    1 ;

 2 6  2  3  2

2.6. sin 1 х  3   ; 2.12. cos2х 3    12 ;

 2 4  

2.13. cos 1 х  2  2 ; 2.22. sin х   2 ;

 2 3  2  3 6  2

2.14. cos2х  2  2 ; 2.23. cos2х 6   12 ;

 3  2 

2.15. sin2х    2 ; 2.24. sin 3х 4    23 ;

 4  2 

2.16. cos2х  5  3 ; 2.25. cos3х  56  12 ;

 6  2

2.17. cos2х    2 ; 2.26. sin2х  23  22 ;

 4  2

2.18. sin 1 х    2 ; 2.27. cos_ 3х _23_ _
22 ;

 2 4  2

2.19. cos2х  3   3 ; 2.28. sin2х  56  23 ;

 4  2

2.20. sin3х  2   1 ; 2.29. cos 3х 6    23 ;

 3  2 

2.21. cos 1 х  5  3 ; 2.30. sin2х  34   23 .

 2 6  2 

3. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

3.1. tg2х  2  3 ; 3.11. ctg_^2х ^6 ^_  0;

 3  3 

3.2. ctg х  2  1; 3.12. tg 3х 4    3 ;

 3 3  

3.3. tg^_2х _⁵^^_ 3 ; 3.13. ctg 12 х 6  1;

 6  

3.4. ctg х    3 ; 3.14. ctg 12 х 4    33 ;

 3 6  3 

3.5. ctg_2х __
3 ; 3.15. tg 12 х  56  0;

 4  3

3.6. tg_1 _х__
1;3.16. tg 12 х 3   1;

 2 4 

3.7. ctg2х  3   3; 3.17. ctg12 х 6   0;

 4 

3.8. tg_3х _2_
1;3.18. ctg 12 х  34  3 ;

 3 

3.9. ctg 1 х  5  3 ; 3.19. tg_^2х ^6 ^_ 1;

 2 6  3

3.10. tg_х __
1; 3.20. ctg 12 х  34  33 ;

 3 6 

3.21. tg 1 х  2  3 ; 3.27.

 2 3 

3.22. ctg^_¹_х_^^_
1; 3.28.  2 3  3.23. tg^_2_х_^^_
1; 3.29.

 3 

3.24. ctg^_2_х_^^_{
 }3 ; 3.30.

 3 

3.25. cos 1 х  2  2 ;

 2 3  2

3.26. ctg2х  2  3 ;

 3  3

4. Решить тригонометрическое уравнение:

4.1. 2sin²x 5sin x  2  0; 4.16. 4.2. cos²x 3cos x  2  0; 4.17. 4.3. 2sin²x 3sin x 1 0; 4.18. 4.4. tg²x 3tgx  2  0; 4.19. 4.5. 2cos²x 3cos x 2  0; 4.20. 4.6. 2cos²x 2cos x  0 4.21. 4.7. 4sin²x  4sin x 3  0; 4.22. 4.8. 2sin²x 5sin x 3  0 4.23. 4.9. 2sin²x 3sin x 2  0 4.24. 4.10. 2sin²sin x 1 0; 4.25. 4.11. cos²x cos x 2  0 4.26. 4.12. 2sin²x sin x  0; 4.27. 4.13. 2cos²x 3cos x 1 0; 4.28. 4.14. 4cos²x 8cos x 3  0; 4.29. 4.15. 3ctg²x 5ctgx  2  0; 4.30.

5. Решить тригонометрическое уравнение:

5.1. 2cos²x sin x 1 0; 5.11. 5.2. 4sin²x 8cos x 7  0; 5.12. 5.3. cos²x 3sin x 3  0; 5.13.

5.4. tgx 3ctgx  4; 5.14.

5.5. 2sin²x cos x 1 0; 5.15. 5.6. 5sin²x 6cos x 6  0; 5.16. 5.7. tgx  4ctgx 5  0; 5.17.

5.8. cos²x sin x 1 0; 5.18. 5.9. 2cos²x 3sin x 3  0; 5.19. 5.10. tgx 2ctgx 1 0;5.20.

tg^_2х ^^_ 1;

 4 

ctg2х  5  0;

 6 

tg2х  3   3 ;

 4 

ctg3х  2 1.

 3 

4sin²x 4sin x 3  0; 2cos²x cos x 1 0;

2sin²x 2sin x  0 2sin²x 3sin x  2  0

3tg²x tgx  2  0;

2cos²x cos x 3  0

2sin²x 3sin x 1 0;

4sin²x 3  0; 4cos²x 8cos x 3  0; sin²x sin x 2  0; ctg²x 5ctgx 6  0;

2cos²x cos x  0; sin²x 3sin x  2  0; 2cos²x 5cos x 3  0; 2sin²x sin x 3  0.

2sin²x 3cos x  0 tgx  4ctgx 5  0; 8sin²x cos x 1 0; tgx  4ctgx 5  0; 2cos²x sin x 1 0; sin²x cos x 4  0; tgx 4ctgx 3  0; 2cos²x 5sin x  0; tgx  2ctgx 3  0; sin²x 3cos x 1 0;

5.21. 2cos²x 3sin x 3  0; 5.26. tgx  2ctgx  3;

5.22. 2sin²x 3cos x  0; 5.27. 6sin²x _5cos x _2 _0;

5.23. 2ctgx 3tgx 5  0; 5.28. 2sin²x _3cos x _3 _0; 5.24. 4cos²x 4sin x 1 0; 5.29. 2cos²x sin x 1 0;

5.25. 2cos²x 5sin x 5  0 5.30. tgx 5ctgx 6  0.

6. Решить тригонометрическое уравнение:

6.1. sinx 5cosx  0; 6.16. 3sinx cosx  0;

6.2. sin x  3cos x  0; 6.17. 2sinx 3cosx  0;

6.3. sinx 2cosx  0; 6.18. sin x  4cos x  0;

6.4. sin x cos x  0; 6.19. 3sin x cos x  0;

6.5. 4sinx cosx  0; 6.20. sinx 2cosx  0;

6.6. 5sin x cos x  0; 6.21. 5sin x  2cos x  0;

6.7. 3sinx 2cosx  0; 6.22. 4sinx cosx  0;

6.8. 3sinx cosx  0; 6.23. 3sinx 2cosx  0;

6.9. 3sin x  3cos x  0; 6.24. 3sin x  cos x  0;

6.10. 2sinx cosx  0; 6.25. 2sinx cosx  0;

6.11. sin x cos x  0; 6.26. sin x 3cos x  0; 6.12. 5sinx 3cosx  0; 6.27. sinx 4cosx  0;

6.13. sin x 3cos x  0; 6.28. 5sin x cos x  0;

6.14. 3sin x  3cos x  0; 6.29. 3sinx 5cosx  0; 6.15. sinx 5cosx  0; 6.30. 2sinx 3cosx  0.

7. Решить тригонометрическое уравнение:

7.1. 2sin²x 3sin xcos x 5cos²x  0; 7.16. sin²x 5sin xcos x  4cos²x  0;

7.2. 3sin²x sin xcos x 2cos²x  0; 7.17. 3sin²x 5sin xcos x 8cos²x  0;

7.3. sin²x 4sin xcos x 5cos²x  0; 7.18. sin²x 5sin xcos x 6cos²x  0;

7.4. 4sin²x 3sin xcos x 7cos²x  0; 7.19. 2sin²x 3sin xcos x cos²x  0;

7.5. 3sin²x  2sin xcos x cos²x  0; 7.20. 3sin²x sin xcos x 4cos²x  0;

7.6. 2sin²x 3sin xcos x cos²x  0; 7.21. sin²x 4sin xcos x 3cos²x  0;

7.7. sin²x 7sin xcos x 6cos²x  0; 7.22. 2sin²x sin xcos x 3cos²x  0;

7.8. 3sin²x 4sin xcos x 7cos²x  0; 7.23. 3sin²x 5sin xcos x  2cos²x  0;

7.9. 4sin²x 3sin xcos x cos²x  0; 7.24. 4sin²x sin xcos x 5cos²x  0;

7.10. 2sin²x 5sin xcos x 7cos²x  0; 7.25. sin²x 7sin xcos x 8cos²x  0;

7.11. 3sin²x 4sin xcos x cos²x  0; 7.26. 2sin²x 3sin xcos x 5cos²x  0;

7.12. 4sin²x 5sin xcos x cos²x  0; 7.27. 4sin²x sin xcos x 3cos²x  0;

7.13. 3sin²x 2sin xcos x 5cos²x  0; 7.28. 3sin²x  2sin xcos x 5cos²x  0;

7.14. sin²x 7sin xcos x 6cos²x  0; 7.29. 2sin²x 5sin xcos x 7cos²x  0; 7.15. 3sin²x 5sin xcos x  2cos²x  0; 7.30. 4sin²x 5sin xcos x 9cos²x  0.

8. Решить тригонометрическое уравнение:

8.1. 4sin²x sin2x  3; 8.16. 8.2. sin2x 8sin²x  5; 8.17. 8.3. 10cos²x 2sin2x  3; 8.18. 8.4. cos2x 8sin²x  6 2sin2x; 8.19. 8.5. sin2x2cos2x 1; 8.20. 8.6. sin2x cos2x  2cos²x; 8.21. 8.7. 6cos²x sin2x  cos2x  2 8.22. 8.8. cos²x 3sin²x  2sin2x; 8.23. 8.9. 6sin²x 2sin2x  5; 8.24. 8.10. 4sin²x sin2x 1; 8.25. 8.11. cos2x2sin2x2  0; 8.26. 8.12. 2cos²x  2sin2x  3; 8.27. 8.13. 2cos2x  2sin²x  5 4sin2x; 8.28. 8.14. sin2x  4cos²x 1; 8.29. 8.15. 2sin2x  32sin²x; 8.30.

4cos²x  2sin²x  3sin2x;

1 4sin²x  3sin2x;

2sin2x  2cos²x 1;

3sin²x sin2x  2; 2cos²x  4sin2x  2cos2x 3; sin2x  4sin²x 1; 2sin²x 2sin2x 1 0; cos2x  4sin²x  sin2x; 6sin²x cos2x 3sin2x  0; cos2x  2sin2x  8cos²x 2;

4sin²x  3 2sin xcos x;

4cos²x sin2x 1;

2sin²x  2sin2x 1;

4cos²x 1 3sin2x;

9. Решить тригонометрическое уравнение:

9.1. 3sin x cos x 1; 9.16. sin x cos x 1;

9.2. sin x  3cos x   2 ; 9.17. sin x  3cos x  2;

9.3. 3sin x cos x  1; 9.18. 3sin x  cos x  2 ;

9.4. sin x cos x  1; 9.19. sin x  3cos x  2;

9.5. 3sin x cos x  2 ; 9.20. sin x  3cos x 1;

9.6. sin x  3cos x  1; 9.21. 3sin x  cos x   3 ;

9.7. 3sin x cos x   2 ; 9.22. 3sin x  cos x  2;

9.8. sin x  3cos x  2 ; 9.23. sin x  3cos x   3;

9.9. 3sin x cos x  3; 9.24. 3sin x cos x  1;

9.10. sin x  3cos x   2 ; 9.25. sin x  3cos x  3 ;

9.11. 3sin x cos x   3; 9.26. 3sin x cos x  2;

9.12. sin x  3cos x  2 ; 9.27. sinx cosx 1;

9.13. 3sin x cos x  2; 9.28. 3sin x cos x  3 ;

9.14. sinx cosx  1; 9.29. sin x  3cos x   3 ;

9.15. 3sin x cos x  2; 9.30. 3sin x cos x   2

10. Решить тригонометрическое уравнение:

10.1. 2sin3xsin5x cos2x  0; 10.8. 2sinxsin5xcos6x  0; 10.2. 2cos2xcos4x cos6x  0; 10.9. 2cos3xsin4xsin7x  0;

10.3. 2sin2xsin4xcos2x  0; 10.10.

10.4. 2cos3xcos7x cos4x  0; 2cos5xcos7x cos12x  0;

10.5. 2sin3xsin4xcos7x  0; 10.11. 2sin xsin2x cos3x  0;

10.6. 2cos2xsin4x sin2x  0; 10.12. 2cos3xcos5x cos2x  0;

10.7. 2sin2xsin4xcos6x  0; 10.13. 2sinxcos3x sin4x  0;

10sin²x  3 2sin2x.

10.14. 2cos2xcos4xcos2x  0;

10.15. 2sin3xsin7xcos4x  0;

10.16. 2sinxcos3x sin2x  0;

10.17. 2cos xcos3xcos4x  0;

10.18. 2sinxsin3xcos2x  0;

10.19. 2cosxcos5x cos6x  0;

10.20. 2cos xsin5x sin6x  0;

10.21. 2sin5xsin7xcos12x  0;

10.22. 2cos3xcos4x cos7x  0;

10.23. 2cos3xsin5xsin2x  0;

10.24. 2sin xsin3x cos4x  0;

10.25. 2cosxcos2xcos3x  0

10.26. 2sin3xcos7xsin4x  0;

10.27. 2sinxsin4x cos3x  0;

10.28. 2cosxcos3xcos2x  0;

10.29. 2cos2xsin4x sin6x  0;

10.30. 2cos xcos4xcos3x  0.

11. Решить тригонометрическое уравнение:

11.1. sin xsin3xsin5xsin7x  0; 11.16. cos3xcos5x  sin x;

11.2. cos2xcos6x  cos4x; 11.17. cos3xcos5xcos7xcos9x  0;

11.3. sin5x sin3x  cos4x; 11.18. cos7x cosx  cos3x;

11.4. sin xsin3xsin5xsin7x  0; 11.19. cos4xcos10x  2cos7x;

11.5. cosx cos3x  cos2x; 11.20. cosxcos3xcos5xcos7x  0;

11.6. sin6x sin2x  2cos4x; 11.21. sin2x sin4x  sin3x;

11.7. cos2xcos4x cos6xcos8x  0; 11.22. sin3xsin5xsin7xsin9x  0;

11.8. sin5x sinx  2cos3x; 11.23. cos2x cos6x  sin4x;

11.9. cosx cos5x  sin3x; 11.24. sin2xsin4x sin6x sin8x  0;

11.10. cos3xcos5xcos7xcos9x  0; 11.25. cos xcos7x  2sin4x;

11.11. sin2x sin8x  sin5x; 11.26. sin3xsin5xsin7xsin9x  0;

11.12. sin7x sinx  cos4x; 11.27. sin3x sin7x  2sin5x;

11.13. cos xcos9x  2cos5x; 11.28. cos xcos3xcos5xcos7x  0;

11.14. sin2xsin4xsin6xsin8x  0; 11.29. sin5x sinx  cos3x; 11.15. sin7x sinx  sin4x; 11.30. cosx cos9x  2sin5x.

12. Решить тригонометрическое уравнение:

12.1. 3cos x  2sin x 2; 12.15. 43cos x  4sin x;

12.2. 3sinx cosx  3; 12.16. 4sinx 5cosx  4;

12.3. 2cos x  sin x 1; 12.17. 5cos x  sin x 1;

12.4. 4cos x  3sin x 3; 12.18. 3cos x  sin x 1;

12.5. 33sinx  2cosx; 12.19. 7cosx  3sinx 3;

12.6. 5sinx 7cosx  5; 12.20. cosx  3sinx 3;

12.7. 2sin x 3cos x  2; 12.21. 5cos x  3sin x 3;

12.8. sinx 2cosx  1; 12.22. 3sinx cosx  3;

12.9. 3sin x 2cos x  3; 12.23. 7cos x  5sin x 5;

12.10. 3sin x 4cos x  3; 12.24. 2sin x cos x  2;

12.11. 3cosx  2sinx 2; 12.25. 3sinx 5cosx  3;

12.12. 7sinx 5cosx  7; 12.26. 5sinx  53cosx;

12.13. 5cos x  4sin x 4; 12.27. 2sin x cos x  2;

12.14. 43cosx  4sinx; 12.28. 2cosx  2sinx;

12.29. 7sin x 9cos x  7; 12.30. 9cos x  7sin x7.

§ 5. Тригонометрические неравенства. Определение: Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств: sin x  a, sin x  a^, sin x  a^, sin x  a ; cosxa, cosxa^, cosxa^, cosxa ; tgx  a, tgx  a^, tgx  a^, tgx  a ; ctgx  a, ctgx  a^, ctgx  a^, ctgx  a ;

Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

5.1. Неравенства вида sin x  a, sin x  a^, sin x  a^, sin x  a.

Рис.1 Рис.2

1. Неравенство sin x  a.

При a 1 неравенство sin x  a не имеет решений.

При a  1 решением неравенства sin x  a является любое действительное число.

При 1 a 1 решение неравенства sin x  a выражается в виде arcsin a2n  x arcsina2n, nZ (рис.1).

2. Неравенство sin x  a.

При a 1 неравенствоsin x  a не имеет решений. При a  1 решением неравенстваsin x  a является любое действительное число.

При a 1 решение неравенства sin x  a сводится к решению уравнения sin x 1

При 1 a 1 решение неравенстваsin x  a выражается в виде arcsin a2n  x arcsin a 2n, nZ (рис.1).

3. Неравенство sin x  a.

При a  1 неравенствоsin x  a не имеет решений. При a 1 решением неравенстваsin x  a является любое действительное число.

При 1 a 1 решение неравенстваsin x  a выражается в виде arcsin a2n  x  arcsin a 2n, nZ (рис.2).

4. Неравенство sin x  a.

При a  1 неравенствоsin x  a не имеет решений. При a 1 решением неравенстваsin x  a является любое действительное число.

При a  1 решение неравенства sin x  a сводится к решению уравнения sin x  1.

При 1 a 1 решение неравенстваsin x  a выражается в виде arcsin a2n  x  arcsin a 2n, nZ (рис.2).

Примеры.

1. Решить неравенство sin x   2³.

Решение.

Отмечаем на оси синусов значение_2³. Все значения sin x

2. Решить неравенство sin^_¹x  ³^^_ ².

3 4  2

Решение.

Обозначим x _3^ за u . Получим неравенствоsinu _².

4 2

Отмечаем на оси синусов значение 2². Все значения sinu

меньшие расположены ниже точки ² на оси синусов. 2

4 3 4 4

- 5 3 2n  1 x ^ 3^ 2n, nZ ;

4 4 3 4 4

1 ^

- 2 2n  x   2n, nZ ;

3 2

3^Ответ: 6 6n  x   6n, nZ .

5.2. Неравенства вида cosx  a, cosx  a^, cosxa^, cosxa.

Рис.3 Рис.4

1. Неравенство cosx  a.

При a 1 неравенство cosx  a не имеет решений.

При a  1 решением неравенства cosx  a является любое действительное число.

При 1 a 1 решение неравенства cosx  a выражается в виде arccosa2n  x  arccosa2n, nZ (рис.3).

2. Неравенство cosxa.

При a 1 неравенствоcosxa не имеет решений. При a  1 решением неравенстваcosxa является любое действительное число.

При a 1 решение неравенства cosxa сводится к решению уравнения cos x 1

При 1 a 1 решение неравенстваsin x  a выражается в виде arccosa2n  x  arccosa2n, nZ (рис.3).

3. Неравенство cosxa.

При a  1 неравенствоcosxa не имеет решений. При a 1 решением неравенстваcosx  a является любое действительное число.

При 1 a 1 решение неравенстваcosx  a выражается в виде arccosa 2n  x  2arccosa 2n, nZ (рис.4).

4. Неравенство cosxa.

При a  1 неравенствоcosxa не имеет решений. При a 1 решением неравенстваcosxa является любое действительное число.

При a  1 решение неравенства cosxa сводится к решению уравнения cos x  1.

При 1 a 1 решение неравенстваcosxa выражается в виде arccosa2n  x  2arccosa2n, nZ (рис.4).

Примеры.

3. Решить неравенство cos x  .

Решение.

Отмечаем на оси косинусов значение . Все значения cosx меньшие расположены левее точки на оси косинусов.

arccos 1  , 2arccos 1  2  5.

2 3 2 3 3

 2n, nZ

4. Решить неравенство cos^_3x ⁵3^^_ 2².



Решение.

Обозначим 3x _5^ за u . Получим неравенствоcosu  _² .

3 2

Отмечаем на оси косинусов значение  . Все значения cosu

2    34^.

2 

5.3. Неравенства вида tgx  a, tgx  a^, tgx  a^, tgx  a.

Рис.5 Рис.6

1. Неравенство tgx  a.

При любом действительном a решение неравенства имеет вид:

arctga n  x ^n, nZ (рис.5).

2. Неравенство tgx  ^a.

При любом действительном a решение неравенства имеет вид:

arctga n  x ^n, nZ (рис.5).

3. Неравенство tgx  a.

При любом действительном a решение неравенства имеет вид:



 n  x  arctga n, nZ (рис.6).

4. Неравенство tgx  ^a.

При любом действительном a решение неравенства имеет вид:



 n  x  arctga n, nZ (рис.6).

2 Примеры.

5. Решить неравенство tgx 1. Решение.

Отмечаем на оси тангенсов значение 1. Указываем все значения тангенса, меньшие 1 –ниже 1.

Отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в которых будет меньше 1. Для этого мы соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрический круг.

Учитывая, что период тангенса равен , запишем ответ в

виде:n  x ^n, nZ .

2 4

6. Решить неравенство ^tg^2x  ²^^ 3.

 3 

Решение.

2^

Обозначим 2x _ за u . Получим неравенствоtgu  3. 3

Отмечаем на оси тангенсов значение  3 . Указываем все

5.4. Неравенства вида ctgx  a, ctgx  a^, ctgx  a^, ctgx  a.

Рис.7 Рис.8

1. Неравенство ctgx  a.

При любом действительном a решение неравенства имеет вид: n  x  arcctga n, nZ (рис.7).

2. Неравенство ctgx  ^a.

При любом действительном a решение неравенства имеет вид: n  x  arcctga n, nZ (рис.7).

3. Неравенство ctgx  a.

При любом действительном a решение неравенства имеет вид:

arcctga n  x n, nZ (рис.8).

4. Неравенство ctgx  ^a.

При любом действительном a решение неравенства имеет вид:

arcctga n  x n, nZ (рис.8).

Примеры.

7. Решить неравенство ctgx  ³.

3 Решение:

Отмечаем на оси котангенсов значение . Указываем все значения 3

котангенса, большие 3 – правее ³.

3 3

Учитывая, что период котангенса равен , запишем ответ в виде:

n  x ^n, nZ .

8. Решить неравенство ^ctg^3x ^^1.

 6

Решение:

Обозначим 3x _^ за u . Получим неравенствоctgu 1. 6

Отмечаем на оси котангенсов значение -1. Указываем все значения котангенса, меньшие -1 – левее -1.

Индивидуальные практические задания №5ИЗ № 5.

1. Решите простейшее тригонометрическое неравенство.

1.1. 3tgx 3  0; 1.10. 2 2sin x  0;

1.2. 2cos x 3  0; 1.11. 3 tgx  0;

1.3. 2 2cosx 0; 1.12. 2cosx 2  0;

1.4. 3tgx 3  0; 1.13. 3 2cos x  0;

1.5. 3tgx  3  0; 1.14. 3ctgx  3  0;

1.6. 3  2sin x  0; 1.15. 2cosx1 0;

1.7. 12sinx  0; 1.16. 2sin x 2  0;

1.8. 2sin x  3  0; 1.17. 3 3ctgx  0;

1.9. 2sinx1 0; 1.18. 2cos x 3  0;

1.19. 3tgx  3  0; 1.25. 3ctgx 3  0;

1.20. 3  2sin x  0; 1.26. 3ctgx  3  0;

1.21. 3ctgx 3  0; 1.27. 2sinx1 0;

1.22. 2cos x  2  0; 1.28. 2sin x 2  0;

1.23. 12cosx 0; 1.29. 3tgx 3  0; 1.24. 2sin x  3  0; 1.30. 3 2cos x  0.

3. Решить тригонометрическое неравенство.

3.1._2.1 tg2х  2  3 ; 3.11.2.11 ctg_^2х ^6 ^_ 1;

 3  3 

3.2.2.2 ctg х  2  1; 3.12.2.12 tg 3х 4    3 ;

 3 3  

3.3.2.3 tg2х  5  3 ; 3.13._2.13 ctg 12 х 6  1;

 6  

3.4.2.4 ctg х    3 ; 3.14._2.14 ctg 12 х 4    33 ;

 3 6  3 

3.5.2.5 ctg2х   3 ; 3.15._2.15 tg 12 х  56  1;

 4  3

3.6.2.6 tg1 х   1; 3.16.2.16 tg 12 х 3   1;

 2 4 

3.7._2.7 ctg2х  3   3 ; 3.17.2.17 ctg 12 х 6   3 ;

 4 

3.8._2.8 tg3х  2 1; 3.18.2.18 ctg12 х  34  3 ;

 3 

3.9.2.9 ctg 1 х  5  3 ; 3.19.2.19 tg2х 6  1;

 2 6  3

3.10.2.10 tg х   1; 3.20.2.20 ctg 12 х  34  33 ;

 3 6 

3.21.2.21 tg 1 х  2  3 ; 3.26.2.26 ctg_^2х _²^^_ ³;

 2 3   3  3

3.22.2.22 ctg 1 х   1; 2.273.27. tg^_2х ^^_ 1;

 2 3   4 

3.23.2.23 tg2х  1; 2.283.28. ctg_^2х _⁵^^_ ³;

 3   6  3

3.24.2.24 ctg^_2х ^^_  3 ; 2.293.29. tg_^2х _³4^_^_  3 ;

 3 

3.25.2.25 cos 1 х  2  2 ; 3.30.2.30 ctg^_3х _²^^_
1.

 2 3  2  3 

Список литературы 1. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф.

образования. — М., 2014.

2. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. Пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

3. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред.

проф. образования. — М., 2014.

4. Башмаков М.И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ.

учреждений сред. проф. образования. — М., 2015.

5. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10 класс. — М., 2014.

6. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 11 класс. — М., 2014.

7. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа, геометрия. 10 класс. — М., 2013.

8. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10 класс. Сборник задач: учеб.

пособие. — М., 2008.

9. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 11 класс. Сборник задач: учеб.

пособие. — М., 2012.

10. Башмаков М.И. Математика: кн. для преподавателя: метод. пособие. — М., 2013 Башмаков М.И., Цыганов Ш.И. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ. — М., 2011.

11. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10-11 класс: Учеб.

пособие. – М.: Просвещение, 1999.

12. Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.2. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: Учеб.-метод. пособие/ М.И. Башмаков, Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская и др. – М.: Дрофа, 2001. – 240 с.: ил. – (Дидактические материалы).

13. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10–11 классов. М.: Илекса, 2005г.

14. Контрольные и самостоятельные работы по алгебре: 10 класс: к учебнику А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа. 10–11 классы» /М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2008.

15. Сканави М.И. «Математика в задачах для поступающих в вузы», – М.:

издательство «АСТ», 2010г.

Интернет-ресурсы www.fcior. edu. ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы). www.school-collection.edu.ru (Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов).

www.math-ege.sdamgia.ru (Образовательный портал для подготовки к экзаменам) www.resh.edu.ru (Российская электронная школа)

Аннотация Методические указания содержат краткий теоретический материал (понятия, схемы, таблицы, формулы, графики), задачи и упражнения по всем основным темам раздела «Тригонометрия»

Пояснительная записка Дисциплина «Математика» входит в состав общих общеобразовательных учебных дисциплин, формируемых из обязательных предметных областей

Основные понятия Изучение радианного метода измерения углов вращения и их связи с градусной мерой

Содержание. § 1. Единичная тригонометрическая окружность

Проекции точки В(х;у) на оси координат равны х и у соответственно

Котангенс определён для всех углов, кроме    n , n 

Четность и нечетность тригонометрических функций

Примеры. 1. Выразите в радианной мере величины углов: 50 0 , 216 0 ,  72 0

Решение: Из основного тригонометрического тождества получим cos   1  sin 2 

ИЗ № Индивидуальные практические задания №1 1

18 9 36 6 2.3. 5  ,  11  , 1,4  ; 2.18.  ,  13  , 1,25  9…

Приведите тригонометрическую функцию произвольного аргумента к тригонометрической функции острого угла: 3

3.1. cos284 0 , sin    16    , tg (  451 0 ), ctg 17  ;  7…

Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если si

3.1. n   12 ,      ; 13 2 3.2. cos    0,6 ,    …

3.1. cos    3 ,      ; 5 2 3.2. sin    12 , 3  …

Упростите выражение 4.1.  sin   cos   2  sin2  ; 5

cos 3.1. (1  sin  )(1  sin  ) ; 1  cos   cos2  cos  5.15. ; sin2 …

3.1. sin2   cos3   cos2   sin3   sin  ; 3.2. sin2   sin3   cos2 …

Докажите тождество. 4.1.  sin   cos   2   sin   cos   2  2 ;

3.1. ctg 2   cos 2   sin 1 2    sin 2  ; 3.2. 2sin   cos …

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Основные свойства: 1. Область определения вся числовая ось

Функция y=tg(x). График функции y=tg(x) – тангенсоида:

Основные свойства: 1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x =π k , где k – целое

Период T функции y  cos x равен 2  , период функции y  cos3 x 2  составляет

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: f ( kx  b ) , при этом k  0, b  0

Пример, вроде бы, несложный, а сделать ошибку в параллельном  

Сдвиг графика вверх/вниз вдоль оси ординат

Растягиваем вдоль оси Оу в 1,5 раза: y  cos x ; 2)

Решение: Поменяем знак аргумента, получим, y (  x )   x  sin(  x )   x  sin x …

Построить график функции. 2.1. y  2sin   x      6  2

2.24. y  3sin   x  2     3  2.25. y  1 cos  x  2 …

Исследуйте функцию на четностью/нечетность

Арксинусом числа a    1;1  называется угол x      2 ;  2   , синус которого…

Т.е. arctga  x  tgx  a , x     ;   

ИЗ № 3. Индивидуальные практические задания №3 1

1.8.   ; arctg 1 1.9. arcsin 1  arccos  23    arcctg (  1) ; 2  1.10. 3…

Вычислите 2.1. sin   arccos 12   , tg  arcsin(  0,6)  ; 2

2.1. cos  arctg (  2)  , ctg   arcsin 3   ; 2.13. sin  arccos(  0,8)  ,…

Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

Посмотрите также