Методические рекомендации по теории вероятностей

Методические рекомендации к практическим занятиям по математике «Элементы теории вероятностей и комбинаторики» для студентов и преподавателей образовательных организаций  среднего профессионального образования   Данная работа предназначена в помощь студентам образовательных организаций среднего профессионального образования. Она также может быть полезна  преподавателям «Основ теории вероятностей и математической статистики».  2 Оглавление ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ............................................................................................................5 Без учета влияния случайных явлений человек становится бессильным направлять....................................................................................................................5 развитие интересующих его процессов....................................................................5 в желательном для него направлении......................................................................5 ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ...............................................................................6 I. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ...................................................................................7 1.1. Комбинаторика. Выборки элементов................................................................7 1.2. Основные правила комбинаторики...................................................................8 1.3. Главная теорема комбинаторики....................................................................10 (Теорема о включениях и исключениях)...............................................................10 1.4. Перестановки....................................................................................................11 1.5. Размещения......................................................................................................15 1.6. Сочетания.........................................................................................................17 1.7. Сходства и различия в определениях сочетаний и размещений.................20 II. СОБЫТИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. КЛАССИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ...........................................22 2.1. Понятие события. Виды событий....................................................................22 2.2. Классическое определение вероятности.......................................................23 2.3. Сумма вероятностей несовместных событий.................................................26 2.4. Произведение вероятностей независимых событий.....................................27 III.ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ...........................................................................................30 3.1 Формула полной вероятности. Формула Байеса.............................................30 3.2. Вычисление вероятностей гипотез по формуле Байеса...............................33 IV. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.....................................37 4.1. Понятие случайной величины.........................................................................37 4.2. Числовые характеристики ДСВ.......................................................................40 4.3. Биноминальное распределение ДСВ..............................................................41 3 X................................................................................................................................... 43 P................................................................................................................................... 43 4.4. Понятие непрерывной случайной величины (НСВ). Формула вычисления вероятностей...........................................................................................................43 V. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.............51 5.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины.....................51 5.2. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины......52 VI. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.................................................56 Теория вероятностей..............................................................................................57 Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины..................................................................................................................58 VII. ОТВЕТЫ..................................................................................................................59 Комбинаторика........................................................................................................59 Теория вероятностей..............................................................................................59 Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины..................................................................................................................59 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................................................60 4 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ                                                                         Без учета влияния случайных явлений человек становится бессильным направлять  развитие интересующих его процессов  в желательном для него направлении. Б. В. Гнеденко Главной   целью   математического   образования   в   специальных   учебных заведениях   является   развитие   умственных   способностей   студентов.   Нужен переход   от   информационно­объяснительной   технологии   к   деятельно­ развивающей, направленной на развитие личностных качеств каждого студента. Важными   должны   стать   не   только   усвоенные   знания,   но   и   сами   способы усвоения   и   переработки   учебной   информации,   развитие   познавательной деятельности и творческого потенциала студента. Большинство студентов свои приобретенные   знания   по   математике   вряд   ли   будут   использовать   в повседневной жизни. Человек быстро забывает те знания, которыми постоянно не пользуется, но с ним навсегда остается его логическое мышление. Поэтому нельзя   говорить   о   низком   коэффициенте   полезного   действия   изучения естественных   наук,   поскольку   изучение   их   повышает   умственный   уровень обучающихся. В последнее время происходит значительное сокращение часов, отводимых   на   изучение   естественных   дисциплин,   в   пользу   гуманитарных. Изменение программ не принесло ожидаемого эффекта, так как гуманизация общества вряд ли произошла, а вот его умственное развитие снизилось. Еще в пятидесятых   годах   прошлого   века   американский   психолог   Чарльз   Спирмен показал,   что   общий   интеллект   человека   складывается   из   трех   отдельных составляющих.   Пространственный   интеллект   обеспечивает   представление реального мира в форме образов и многомерных схем. Семантический интеллект позволяет   оперировать   суждениями   и   понятиями   и   определяет   успешность 5 «метафорического»   мышления.   Формальный   или   математический   интеллект дает возможность работать с абстрактными символами, причем без опоры на наглядность.   Именно   низкий   уровень   математического   интеллекта   привел   к общему снижению кривой распределения коэффициента интеллектуальности IQ среди россиян. Задачи теории вероятности и комбинаторики обладают рядом достоинств,   позволяющих   использовать   их   для   развития   соображения   и улучшения логического мышления. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теория   вероятности   и   математическая   статистика   –   это   наука, занимающаяся   изучением   закономерностей   массовых   случайных   явлений,   то есть статистических закономерностей. Такие же закономерности, только в более узкой   предметной   области   социально­экономических   явлений,   изучает статистика. Между этими науками имеется общность методологии и высокая степень   взаимосвязи.   Практически   любые   выводы   сделанные   статистикой рассматриваются   как   вероятностные.   Особенно   наглядно   вероятностный характер   статистических   исследований   проявляется   в   выборочном   методе, поскольку   любой   вывод   сделанный   по   результатам   выборки   оценивается   с заданной вероятностью. С   развитием   рынка   постепенно   сращивается   вероятность   и   статистика, особенно наглядно это проявляется в управлении рисками, товарными запасами, портфелем   ценных   бумаг   и   т.п.   За   рубежом   теория   вероятности   и математическая   статистика   применятся   очень   широко.   В   нашей   стране   пока   поэтому широко   применяется   в   управлении   качеством   продукции, распространение   и   внедрение   в   практику   методов   теории   вероятности актуальная задача 6 I. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. 1.1. Комбинаторика. Выборки элементов. Комбинаторикой   называется   область   математики,   в   которой   изучаются вопросы   о   том,  сколько   различных   комбинаций,  подчиненных   тем   или   иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,… , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п. Мы   видим,   что   некоторые   из   таких   комбинаций   отличаются   только порядком   цифр  (например,   143  и  431),  другие  ­   входящими   в   них   цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43). Таким   образом,   полученные   комбинации   удовлетворяют   различным условиям. В   зависимости   от   правил   составления   можно   выделить   три   типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Предварительно познакомимся с понятием факториала. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n­ факториалом и пишут  n ...321! n ( )1  n . Пример. Вычислить: а)  !3 ; б)  !5!7  ; в)  !5!7  !6 . Решение:  а)  321!3  6 . б) Так как   7654321!7  и   54321!5 , то можно вынести за скобки !5 Тогда получим  )176(!5  54321 41!5 41 120 41 4920 . 7 в)  !5!7  !6  )176(!5   6!5  176  6  43 6 . 1.2. Основные правила комбинаторики. Очень часто встречаются задачи в которых необходим подсчет количества комбинаций,   которые   можно   составить   из   заданных   объектов   конечного множества, безразлично какой природы, которые подчинены каким­то условиям. Для   успешных   решений   этих   задач   необходимо   знать   основные   правила   и формулы комбинаторики. Пусть   задано   множество,   содержащее   конечное   число   элементов. (Студенты в группе, яблоки в корзине, набор костей домино и т.д.). Пусть а1, а2, …,аn  –   элементы   некоего   конечного   множества.   Сформулируем   два   важных правила, которые применяются в комбинаторике: Правило суммы: Если элемент а1 может быть выбран n1 способом, элемент а2  может быть выбран другими  n2  способами, элемент а3  может быть выбран отличными   от   первых   двух  n3  способами   и   т.д.,   элемент   аk  –  nk  способами, отличными от первых (k­1) способа, то выбор одного из элементов: или а1, или а2,…, или ак может быть осуществлен n1+n2+…+nk способами. Примеры 1.2.1. Пример. В ящике 300 деталей. Известно, что 180 из них – 1­го сорта, 100 –   2   –го   сорта,   а   остальные   –   3­го   сорта.   Сколько   существует   способов извлечения из ящика детали 1­го или 2­го сорта? Решение. Деталь первого сорта может быть извлечена n1=180 способами, 2­го   сорта   –  n2=100   способами.   По   правилу   суммы   существует  n1+n2=280 способов извлечения из ящика детали 1­го или 2­го сорта. Пример.   В   корзине   12   роз,   13   пионов   и   23   гвоздики.   Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины? 8 Решение.  Роза   может   быть   извлечена  n1=12   способами,   пион   –  n2=13 способами, а гвоздика – n3=23 способами. По правилу суммы существует n1+n2+ n3=48 способов, которыми можно выбрать один цветок из корзины. Правило произведения: Если элемент а1 может быть выбран n1 способом, после каждого такого выбора элемент а2 может быть выбран n2 способами, и т.д., элемент аk  –  nk  способами,   то выбор всех элементов   а1,а2,…, ак  может быть осуществлен n1*n2*…*nk способами. Пример. а)   при   подбрасывании   трёх   монет   возможно   2   ∙   2   ∙   2=8   различных результата б)   бросая   дважды   игральную   кость,   получим   6   ∙   6=36   различных результатов в) трёхзначных чисел бывает 9 ∙ 10 ∙ 10 = 900; г) трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9 ∙ 9 ∙ 8; д) чётных трёхзначных чисел возможно 9 ∙ 10 ∙ 5; Пример 1.2.3. В группе 24 человека. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать? Решение.  Старостой   может   быть   выбран   любой   из   24   учащихся,   его заместителем – любой из 23 оставшихся , а профоргом – любой из оставшихся 22 учащихся, т.е. n1=24 , n2=23, а n3=22 . По правилу произведения общее число способов   выбора   старосты,   его   заместителя   и   профорга   равно  n1*n2*n3=24* *23*22=12 144 способов. 9 1.3.   Главная   теорема   комбинаторики                (Теорема   о   включениях   и   исключениях)  Пример.  На   предприятии   работает   70   человек.   Из   них   50   знают английский, 35 –  немецкий  и 25 –  оба  языка. Сколько  человек  не  знают  ни английского, ни немецкого?  Решение:  Построим   диаграмму,       на       которой       изобразим прямоугольник,       соответствующий       общему   числу   работающих   (70)   и   две пересекающиеся области A и B по 50 и 35 человек ( знающих английский и немецкий языки). На диаграмме общая часть этих двух областей соответствует 25   –   количеству   работающих,   которые   знают   оба   языка.   Требуется   найти область прямоугольника, не входящую ни в область A, ни в область B.  70 А=5 0 АВ=25 В=3 50 Очевидно, что N = 70 – 50 – 35 + 25 = 10.            Главная   теорема   комбинаторики   (Теорема   о   включениях и       исключениях)  Пусть   имеется   множество   из   N   объектов   произвольной природы. На этом множестве пусть задано   n свойств. Каждый объект может обладать   либо   не   обладать   некоторыми   из   этих   свойств.   Сами   свойства обозначим:   aa , 1 , ...., na 2 .   Будем   обозначать   N( ia   )   –   количество   объектов точно обладающих свойством   ia  и может быть какими­то другими, а  N ( i aa , j 10 ia ,  ни свойством  )  –  число   объектов   не   обладающих   ни   свойством   Тогда число объектов, не обладающих ни одним из перечисленных свойств:  ja  . ,  aaaN , 3  aaN ) 1 ( 2 , 3 2  n  , ..., a  .....  aNN 1 (  , a )  aN n  1 n    ( ) ... aN 2 ( aaaN ,  ,  ) ( aN n  ......  ) (  n )1( àaN (  , ... ) 1 , aaaN , 2 1 2 3 1 2 3 )  n , aaN ( ,..., ) 1 a n (1)        Продолжение примера. Пусть теперь 21 человек знают французский, 12 – английский и французский, 10 – английский и немецкий и 5 – все три языка.       Тогда в соответствии с теоремой количество человек, не знающих ни одного из трех перечисленных языков (но может быть знающих китайский язык), равно N = 70 – 50 – 35 – 21 + 25 + 12 + 10 – 5 = 6. 1.4. Перестановки. Определение: Перестановки – это выборки (комбинации), состоящие из n   элементов и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов. Число перестановок из  n  элементов обозначается символом   Pn  («пэ из эн») и вычисляется по формуле                                      Рn=n!,                                                                          (2)  где n! ­ произведение n(n ­ 1)(n ­ 2)(n ­ 3)…3*2*1. Доказательство: У нас есть n способов выбрать (взять и поставить в ряд) первый   предмет   (назовем   это   первым   этапом   выбора).   Далее   у   нас   есть, независимо   от   того,  как   выбран   первый   предмет, n­1  способов   взять   второй предмет ­ в любом случае, это может быть какой угодно предмет, кроме первого выбранного. Затем есть n­2 способа взять третий предмет ­ он может быть какой угодно, кроме первых двух выбранных... и так далее. Итого, мы имеет n этапов выбора, на каждом из которых число вариантов равно (независимо от того, как сделан выбор на предыдущих этапах), соответственно, n, n­1, n­2,..., 1. Поэтому, согласно правилу произведения, мы получаем общее число перестановок из  n элементов n(n ­ 1)(n ­ 2)(n ­ 3)…3*2*1., ч.т.д. 11 Комбинаторный     перестановок   прост:   способами  можно упорядочить конечное n­элементное множество.    смысл     числа     сколькими Пример. Сколько   перестановок   можно   составить   из 2­х­элементного множества? Решение.  Р2= 2!=2. Действительно, существует две такие перестановки: (a,b), (b,a).   Из трехэлементного множества можно составить Р3=3!=6 перестановок: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).  Пример. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг? Решение.  Искомое   число   способов   равно   числу   перестановок   из   5 элементов, т.е. Р5=5!=120. Определение:   Если в перестановке из общего числа элементов  n есть к различных элементов, при этом 1­й элемент повторяется  n1  раз, 2­й элемент повторяется  n2  раз,  k­й   элемент   ­  nk    раз,   причем  n1+n2+…+nk=n,   то   такие перестановки называются  перестановками с   повторениями  из  n  элементов. Число перестановок с повторениями из n элементов равно                                                              nP 1 n (3)  ,n , n..., 2  k  ! n  ! n 2 ! k nn ! 1 Пример.   Сколько   существует   пятизначных   чисел,   состоящих   из   цифр 7,8,9, в которых цифра 8 повторяется 3 раза, а цифры 7 и 9 по одному разу. Решение.  Каждое   пятизначное   число   отличается   от   другого   порядком следования   цифр,   причем  n1=1  ,  n2=3,   а  n3=1,  а   их   количество   равна   5,   т.е. является перестановкой с повторениями из 5 элементов. Их число находим по формуле (3)    ,1 3 ,15 P  !5  !1!3!1  20 . 12 Пример.  На карточках написаны буквы М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А. Сколько различных 10­ти буквенных «слов» можно составить из этих карточек? (здесь и далее словом считается любая последовательность букв русского алфавита) Решение.  Перестановка двух букв М, осуществляемая Р2= 2 способами, трех букв А, осуществляемая Р3= 3!=6 способами и перестановка двух букв Т, осуществляемая Р2= 2 способами не меняет составленное из карточек слово.  P ,2 3 ,210   !10  !2!3!2  151 200  слов. Определение:  перестановки   из   общего   числа   элементов  n  ,   которые расположены по кругу называются перестановками по кругу из n элементов. В  строчку  можно  разместить  3  различных  элемента  6­ю  различными способами – их мы рассматривали выше ((a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)), а  по  кругу  получим  только  две  различных  возможности:          a                  a           b  O  c         c  O  b  Тождественные  перестановки          Различные  перестановки                   c                 a                                       a              a                    b  O  a       c  O  b                                b O с       c O b Заметим, что n предметов можно переставлять n! способами, но так как  перестановки, отличающиеся поворотом круга, считаются одинаковыми , то поэтому число перестановок по кругу из n элементов равно                                                                                      поPn кругу  n ! n n ( )!1 (4) Пример.  К   одному   человеку   в   гости   пришли   6   его   друзей.   Все   они ужинали за круглым столом. Время ужина пролетело незаметно, и хозяин сказал гостям,  что  он  будет  рад  видеть  их  у  себя   за  ужином  столько  раз, сколько различных перестановок за этим столом они смогут образовать. Друзья, конечно, 13 согласились. Сколько раз придется кормить своих друзей ужином радушному хозяину? Решение: Так как всего за круглым столом сидело 7 человек: 6 гостей и сам  хозяин, то  число  перестановок  равно   поP 7 кругу совместных ужинов.  !6 !7 7 =720. Т.е. 720 Пример.   В   условиях   первой   задачи   у   хозяина   есть   любимое   место,   с которого он решительно отказывается перемещаться. Сколько  в этом случае совместных ужинов предстоит собравшимся? Решение: Если  некий  человек  будет  сидеть  на  постоянном  месте, то оставшихся     6     можно     размещать     как     бы     в     строчку,   поэтому     число возможностей  по прежнему равно  6! = 720. Пример. В условиях первой задачи есть два гостя, которые категорически отказываются   сидеть   рядом.   Сколько   в   этом   случае   совместных   посиделок предстоит собравшимся? Решение:   Найдем     сначала     число     возможностей,  при     которых     два определенных  человека  будут (“таки  да!”)  сидеть  рядом  друг  с  другом.   Их можно   считать   за   одного   человека, т.е.   нам   надо   как   бы   рассадить   6 человек  по  кругу.  Это  можно  сделать  5!  различными  способами. Но  двое особых  людей, кроме  того, тоже  можно  менять  местами, поэтому  полученное число  следует  умножить  на  2!, всего  получим  2!×5!. Это  есть  общее  число возможностей  разместить  по  кругу   7  человек, чтобы  двое  определенных  из них   всегда   сидели   рядом. Вычтем   полученное   число   из   общего   числа возможностей  и  получим  нужное  число  возможностей: 6! ­ 2!×5! = 720 ­ 240 = 480. 14 1.5. Размещения. Определение:  Размещениями  из  n  элементов  по  k  элементов  будем называть     упорядоченные   подмножества,     состоящие     из     k     элементов, множества  ,  состоящего  из  n элементов. Число размещений из n элементов по k элементов обозначается   k nÀ  (читается "А из n по k"). Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета размещений 1) Сколькими  способами можно  выбрать  из 15  человек 5  кандидатов  и назначить  их  на 5 различных должностей? 2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке? В  задачах  о  размещениях  полагается  k