Методические рекомендации к практическим занятиям по математике
«Элементы теории вероятностей и комбинаторики»
для студентов и преподавателей образовательных организаций
среднего профессионального образования
Данная работа предназначена в помощь студентам образовательных организаций
среднего профессионального образования. Она также может быть полезна
преподавателям «Основ теории вероятностей и математической статистики».
2Оглавление
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ............................................................................................................5
Без учета влияния случайных явлений человек становится бессильным
направлять....................................................................................................................5
развитие интересующих его процессов....................................................................5
в желательном для него направлении......................................................................5
ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ...............................................................................6
I. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ...................................................................................7
1.1. Комбинаторика. Выборки элементов................................................................7
1.2. Основные правила комбинаторики...................................................................8
1.3. Главная теорема комбинаторики....................................................................10
(Теорема о включениях и исключениях)...............................................................10
1.4. Перестановки....................................................................................................11
1.5. Размещения......................................................................................................15
1.6. Сочетания.........................................................................................................17
1.7. Сходства и различия в определениях сочетаний и размещений.................20
II. СОБЫТИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ. КЛАССИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ...........................................22
2.1. Понятие события. Виды событий....................................................................22
2.2. Классическое определение вероятности.......................................................23
2.3. Сумма вероятностей несовместных событий.................................................26
2.4. Произведение вероятностей независимых событий.....................................27
III.ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ...........................................................................................30
3.1 Формула полной вероятности. Формула Байеса.............................................30
3.2. Вычисление вероятностей гипотез по формуле Байеса...............................33
IV. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЕЕ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.....................................37
4.1. Понятие случайной величины.........................................................................37
4.2. Числовые характеристики ДСВ.......................................................................40
4.3. Биноминальное распределение ДСВ..............................................................41
3X................................................................................................................................... 43
P................................................................................................................................... 43
4.4. Понятие непрерывной случайной величины (НСВ). Формула вычисления
вероятностей...........................................................................................................43
V. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.............51
5.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины.....................51
5.2. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия случайной величины......52
VI. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.................................................56
Теория вероятностей..............................................................................................57
Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной
величины..................................................................................................................58
VII. ОТВЕТЫ..................................................................................................................59
Комбинаторика........................................................................................................59
Теория вероятностей..............................................................................................59
Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной
величины..................................................................................................................59
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................................................60
4ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Без учета влияния случайных
явлений человек становится бессильным направлять
развитие интересующих его процессов
в желательном для него направлении.
Б. В. Гнеденко
Главной целью математического образования в специальных учебных
заведениях является развитие умственных способностей студентов. Нужен
переход от информационнообъяснительной технологии к деятельно
развивающей, направленной на развитие личностных качеств каждого студента.
Важными должны стать не только усвоенные знания, но и сами способы
усвоения и переработки учебной информации, развитие познавательной
деятельности и творческого потенциала студента. Большинство студентов свои
приобретенные знания по математике вряд ли будут использовать в
повседневной жизни. Человек быстро забывает те знания, которыми постоянно
не пользуется, но с ним навсегда остается его логическое мышление. Поэтому
нельзя говорить о низком коэффициенте полезного действия изучения
естественных наук, поскольку изучение их повышает умственный уровень
обучающихся. В последнее время происходит значительное сокращение часов,
отводимых на изучение естественных дисциплин, в пользу гуманитарных.
Изменение программ не принесло ожидаемого эффекта, так как гуманизация
общества вряд ли произошла, а вот его умственное развитие снизилось. Еще в
пятидесятых годах прошлого века американский психолог Чарльз Спирмен
показал, что общий интеллект человека складывается из трех отдельных
составляющих. Пространственный интеллект обеспечивает представление
реального мира в форме образов и многомерных схем. Семантический интеллект
позволяет оперировать суждениями и понятиями и определяет успешность
5«метафорического» мышления. Формальный или математический интеллект
дает возможность работать с абстрактными символами, причем без опоры на
наглядность. Именно низкий уровень математического интеллекта привел к
общему снижению кривой распределения коэффициента интеллектуальности IQ
среди россиян. Задачи теории вероятности и комбинаторики обладают рядом
достоинств, позволяющих использовать их для развития соображения и
улучшения логического мышления.
ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятности и математическая статистика – это наука,
занимающаяся изучением закономерностей массовых случайных явлений, то
есть статистических закономерностей. Такие же закономерности, только в более
узкой предметной области социальноэкономических явлений, изучает
статистика. Между этими науками имеется общность методологии и высокая
степень взаимосвязи. Практически любые выводы сделанные статистикой
рассматриваются как вероятностные. Особенно наглядно вероятностный
характер статистических исследований проявляется в выборочном методе,
поскольку любой вывод сделанный по результатам выборки оценивается с
заданной вероятностью.
С развитием рынка постепенно сращивается вероятность и статистика,
особенно наглядно это проявляется в управлении рисками, товарными запасами,
портфелем ценных бумаг и т.п. За рубежом теория вероятности и
математическая статистика применятся очень широко. В нашей стране пока
поэтому
широко применяется в управлении качеством продукции,
распространение и внедрение в практику методов теории вероятности
актуальная задача
6I. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.
1.1. Комбинаторика. Выборки элементов.
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются
вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным
условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.
Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,… , 9 и составлять из них
комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207,
43 и т.п.
Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только
порядком цифр (например, 143 и 431), другие входящими в них цифрами
(например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и
43).
Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным
условиям.
В зависимости от правил составления можно выделить три типа
комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.
Предварительно познакомимся с понятием факториала.
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют
n факториалом и пишут
n
...321!
n
(
)1
n
.
Пример. Вычислить: а) !3 ; б)
!5!7
; в)
!5!7
!6
.
Решение:
а)
321!3
6
.
б) Так как
7654321!7
и
54321!5
, то можно вынести за скобки
!5
Тогда получим
)176(!5
54321
41!5
41
120
41
4920
.
7в)
!5!7
!6
)176(!5
6!5
176
6
43
6
.
1.2. Основные правила комбинаторики.
Очень часто встречаются задачи в которых необходим подсчет количества
комбинаций, которые можно составить из заданных объектов конечного
множества, безразлично какой природы, которые подчинены какимто условиям.
Для успешных решений этих задач необходимо знать основные правила и
формулы комбинаторики.
Пусть задано множество, содержащее конечное число элементов.
(Студенты в группе, яблоки в корзине, набор костей домино и т.д.). Пусть а1, а2,
…,аn – элементы некоего конечного множества. Сформулируем два важных
правила, которые применяются в комбинаторике:
Правило суммы: Если элемент а1 может быть выбран n1 способом, элемент
а2 может быть выбран другими n2 способами, элемент а3 может быть выбран
отличными от первых двух n3 способами и т.д., элемент аk – nk способами,
отличными от первых (k1) способа, то выбор одного из элементов: или а1, или
а2,…, или ак может быть осуществлен n1+n2+…+nk способами.
Примеры 1.2.1.
Пример. В ящике 300 деталей. Известно, что 180 из них – 1го сорта, 100
– 2 –го сорта, а остальные – 3го сорта. Сколько существует способов
извлечения из ящика детали 1го или 2го сорта?
Решение. Деталь первого сорта может быть извлечена n1=180 способами,
2го сорта – n2=100 способами. По правилу суммы существует n1+n2=280
способов извлечения из ящика детали 1го или 2го сорта.
Пример. В корзине 12 роз, 13 пионов и 23 гвоздики. Сколькими
способами можно выбрать один цветок из корзины?
8Решение. Роза может быть извлечена n1=12 способами, пион – n2=13
способами, а гвоздика – n3=23 способами. По правилу суммы существует n1+n2+
n3=48 способов, которыми можно выбрать один цветок из корзины.
Правило произведения: Если элемент а1 может быть выбран n1 способом,
после каждого такого выбора элемент а2 может быть выбран n2 способами, и т.д.,
элемент аk – nk способами, то выбор всех элементов а1,а2,…, ак может быть
осуществлен n1*n2*…*nk способами.
Пример.
а) при подбрасывании трёх монет возможно 2 ∙ 2 ∙ 2=8 различных
результата
б) бросая дважды игральную кость, получим 6 ∙ 6=36 различных
результатов
в) трёхзначных чисел бывает 9 ∙ 10 ∙ 10 = 900;
г) трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9 ∙ 9 ∙ 8;
д) чётных трёхзначных чисел возможно 9 ∙ 10 ∙ 5;
Пример 1.2.3.
В группе 24 человека. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и
профорга. Сколько существует способов это сделать?
Решение. Старостой может быть выбран любой из 24 учащихся, его
заместителем – любой из 23 оставшихся , а профоргом – любой из оставшихся
22 учащихся, т.е. n1=24 , n2=23, а n3=22 . По правилу произведения общее число
способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно n1*n2*n3=24*
*23*22=12 144 способов.
91.3. Главная теорема комбинаторики
(Теорема о включениях и исключениях)
Пример. На предприятии работает 70 человек. Из них 50 знают
английский, 35 – немецкий и 25 – оба языка. Сколько человек не знают ни
английского, ни немецкого?
Решение: Построим диаграмму,
на
которой
изобразим
прямоугольник, соответствующий общему числу работающих (70) и две
пересекающиеся области A и B по 50 и 35 человек ( знающих английский и
немецкий языки). На диаграмме общая часть этих двух областей соответствует
25 – количеству работающих, которые знают оба языка. Требуется найти
область прямоугольника, не входящую ни в область A, ни в область B.
70
А=5
0
АВ=25
В=3
50
Очевидно, что N = 70 – 50 – 35 + 25 = 10.
Главная теорема комбинаторики (Теорема о включениях
и исключениях) Пусть имеется множество из N объектов произвольной
природы. На этом множестве пусть задано n свойств. Каждый объект может
обладать либо не обладать некоторыми из этих свойств. Сами свойства
обозначим:
aa
,
1
,
....,
na
2
. Будем обозначать N(
ia ) – количество объектов
точно обладающих свойством
ia и может быть какимито другими, а N (
i aa ,
j
10ia , ни свойством
) – число объектов не обладающих ни свойством
Тогда число объектов, не обладающих ни одним из перечисленных свойств:
ja .
,
aaaN
,
3
aaN
)
1
(
2
,
3
2
n
,
...,
a
.....
aNN
1
(
,
a
)
aN
n
1
n
(
)
...
aN
2
(
aaaN
,
,
)
(
aN
n
......
)
(
n
)1(
àaN
(
,
...
)
1
,
aaaN
,
2
1
2
3
1
2
3
)
n
,
aaN
(
,...,
)
1
a
n
(1)
Продолжение примера. Пусть теперь 21 человек знают французский, 12
– английский и французский, 10 – английский и немецкий и 5 – все три языка.
Тогда в соответствии с теоремой количество человек, не знающих ни
одного из трех перечисленных языков (но может быть знающих китайский язык),
равно N = 70 – 50 – 35 – 21 + 25 + 12 + 10 – 5 = 6.
1.4. Перестановки.
Определение: Перестановки – это выборки (комбинации), состоящие из
n элементов и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов.
Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn («пэ из эн») и
вычисляется по формуле
Рn=n!, (2)
где n! произведение n(n 1)(n 2)(n 3)…3*2*1.
Доказательство: У нас есть n способов выбрать (взять и поставить в ряд)
первый предмет (назовем это первым этапом выбора). Далее у нас есть,
независимо от того, как выбран первый предмет, n1 способов взять второй
предмет в любом случае, это может быть какой угодно предмет, кроме первого
выбранного. Затем есть n2 способа взять третий предмет он может быть какой
угодно, кроме первых двух выбранных... и так далее. Итого, мы имеет n этапов
выбора, на каждом из которых число вариантов равно (независимо от того, как
сделан выбор на предыдущих этапах), соответственно, n, n1, n2,..., 1. Поэтому,
согласно правилу произведения, мы получаем общее число перестановок из n
элементов n(n 1)(n 2)(n 3)…3*2*1., ч.т.д.
11Комбинаторный
перестановок прост:
способами можно упорядочить конечное nэлементное множество.
смысл
числа
сколькими
Пример. Сколько перестановок можно составить из 2хэлементного
множества?
Решение. Р2= 2!=2. Действительно, существует две такие перестановки:
(a,b), (b,a).
Из трехэлементного множества можно составить Р3=3!=6 перестановок:
(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).
Пример. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных
книг?
Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 5
элементов, т.е. Р5=5!=120.
Определение: Если в перестановке из общего числа элементов n есть к
различных элементов, при этом 1й элемент повторяется n1 раз, 2й элемент
повторяется n2 раз, kй элемент nk раз, причем n1+n2+…+nk=n, то такие
перестановки называются перестановками с повторениями из n элементов.
Число перестановок с повторениями из n элементов равно
nP
1
n
(3)
,n ,
n...,
2
k
!
n
!
n
2
!
k
nn
!
1
Пример. Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр
7,8,9, в которых цифра 8 повторяется 3 раза, а цифры 7 и 9 по одному разу.
Решение. Каждое пятизначное число отличается от другого порядком
следования цифр, причем n1=1 , n2=3, а n3=1, а их количество равна 5, т.е.
является перестановкой с повторениями из 5 элементов. Их число находим по
формуле (3)
,1 3 ,15
P
!5
!1!3!1
20
.
12Пример. На карточках написаны буквы М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А. Сколько
различных 10ти буквенных «слов» можно составить из этих карточек? (здесь и
далее словом считается любая последовательность букв русского алфавита)
Решение. Перестановка двух букв М, осуществляемая Р2= 2 способами,
трех букв А, осуществляемая Р3= 3!=6 способами и перестановка двух букв Т,
осуществляемая Р2= 2 способами не меняет составленное из карточек слово.
P
,2 3 ,210
!10
!2!3!2
151
200
слов.
Определение: перестановки из общего числа элементов n , которые
расположены по кругу называются перестановками по кругу из n элементов.
В строчку можно разместить 3 различных элемента 6ю различными
способами – их мы рассматривали выше ((a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b),
(c,b,a)), а по кругу получим только две различных возможности:
a a
b O c c O b
Тождественные перестановки Различные перестановки
c a a a
b O a c O b b O с c O b
Заметим, что n предметов можно переставлять n! способами, но так как
перестановки, отличающиеся поворотом круга, считаются одинаковыми ,
то поэтому число перестановок по кругу из n элементов равно
поPn
кругу
n
!
n
n
(
)!1
(4)
Пример. К одному человеку в гости пришли 6 его друзей. Все они
ужинали за круглым столом. Время ужина пролетело незаметно, и хозяин сказал
гостям, что он будет рад видеть их у себя за ужином столько раз, сколько
различных перестановок за этим столом они смогут образовать. Друзья, конечно,
13согласились. Сколько раз придется кормить своих друзей ужином радушному
хозяину?
Решение: Так как всего за круглым столом сидело 7 человек: 6 гостей и
сам хозяин, то число перестановок равно
поP
7
кругу
совместных ужинов.
!6
!7
7
=720. Т.е. 720
Пример. В условиях первой задачи у хозяина есть любимое место, с
которого он решительно отказывается перемещаться. Сколько в этом случае
совместных ужинов предстоит собравшимся?
Решение: Если некий человек будет сидеть на постоянном месте, то
оставшихся 6 можно размещать как бы в строчку, поэтому число
возможностей по прежнему равно 6! = 720.
Пример. В условиях первой задачи есть два гостя, которые категорически
отказываются сидеть рядом. Сколько в этом случае совместных посиделок
предстоит собравшимся?
Решение: Найдем сначала число возможностей, при которых два
определенных человека будут (“таки да!”) сидеть рядом друг с другом. Их
можно считать за одного человека, т.е. нам надо как бы рассадить 6
человек по кругу. Это можно сделать 5! различными способами. Но двое
особых людей, кроме того, тоже можно менять местами, поэтому полученное
число следует умножить на 2!, всего получим 2!×5!. Это есть общее число
возможностей разместить по кругу 7 человек, чтобы двое определенных из
них всегда сидели рядом. Вычтем полученное число из общего числа
возможностей и получим нужное число возможностей: 6! 2!×5! = 720 240 =
480.
141.5. Размещения.
Определение: Размещениями из n элементов по k элементов будем
называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов,
множества , состоящего из n элементов. Число размещений из n элементов по
k элементов обозначается
k
nÀ (читается "А из n по k").
Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета размещений
1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и
назначить их на 5 различных должностей?
2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в
ряд на полке?
В задачах о размещениях полагается k
Элементы теории вероятностей и комбинаторики.doc
