Методические указания к выполнению практических работ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ «КАМЕНСКИЙ ТЕХНИКУМ СТРОИТЕЛЬСТВА И АВТОСЕРВИСА» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению практических работ на тему «Системы счисления.  Перевод чисел из одной системы счисления в другую» г. Каменск ­ Шахтинский 2014 год 2 Рассмотрено на заседании цикловой комиссии по специальности 230401 Информационные  системы и математических и общих  естественнонаучных дисциплин  Протокол № ___ от _____   ________ 201__г. Председатель ЦК  ______ Г.Н. Филимонова  Согласовано методическим советом ________ Н.В. Москаленко Данные   методические   указания   предназначены   для   обучающихся   по специальности   09.02.04   Информационные   системы   (по   отраслям).   Нацелены   на изучение темы  «Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую» по дисциплине ОП.01 Основы архитектуры, устройства и функционирования вычислительных систем. Автор: Дашкова Наталия Юрьевна              преподаватель I категории ГБОУ СПО РО «КТСиА» 3 Оглавление Предисловие Теоретическая часть 1. Основные понятия и определения  2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую 3. Арифметические операции в Р­ичных системах счисления  4. Таблицы сложения и умножения (для двоичной и восьмеричной систем счисления)  Практическая часть Задания для самостоятельного выполнения Рекомендуемая литература 4 5 5 7 11 14 16 22 23 4 Предисловие Понятие   числа   является   фундаментальным   как   для   математики,   так   и   для информатики. С числами связано еще одно важное понятие – система счисления. В   данных   методических   указаниях   систематизирован   материал   по   теме «Системы   счисления.   Перевод   чисел   из   одной   системы   счисления   в   другую»и поставлены следующие частные задачи: ­ изучение видов систем счисления и их отличий друг от друга;   ­ решение практических задач по переводу чисел из одних систем счисления в другие с использованием известных алгоритмов; ­ выполнение арифметических действий в различных системах счисления; ­ изучение доступной литературы по теме; ­ создание практического приложения. Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Необходимость изучения темы связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены   в   двоичной   системе   счисления,   а   для   внешнего   представления содержимого   памяти,   адресов   памяти   используют   шестнадцатеричную   или восьмеричную   системы   счисления.   Данная   тема   является   смежной   темой   с математикой   и   вносит   вклад   в   фундаментальное   математическое   образование обучающихся.  При изучении данной темы рассматриваются следующие вопросы: ­позиционные и непозиционные системы счисления; ­основные понятия позиционных систем счисления: основание, алфавит; ­формы представления чисел в позиционных системах; ­перевод чисел из одной системы счисления в другую; ­особенности арифметики в позиционных системах счисления. 5 Теоретическая часть 1. Основные понятия и определения Под  системой   счисления  понимается   способ   представления   любого   числа   с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Непозиционными  системами   являются   такие   системы   счисления,   в   которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе.  Примером   непозиционной   системы   счисления   является   римская   система.   К недостаткам   таких   систем   относятся   наличие   большого   количества   знаков   и сложность выполнения арифметических операций. Система счисления называется  позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Примером   позиционной   системы   счисления   является   десятичная   система, используемая в повседневной жизни. Количество  p  различных   цифр,   употребляемых   в   позиционной   системе определяет   название   системы   счисления   и   называется  основанием  системы счисления ­ "p". В десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; эта система имеет основанием число десять. Любое число  N  в позиционной системе счисления с основанием  p  может быть представлено в виде полинома от основания p: N = anpn+an­1pn­1+ ... +a1p+a0+a­1p­1+a­2p­2+ ... здесь  N  ­   число,  aj  ­   коэффициенты   (цифры   числа),  p  ­   основание   системы счисления ( p>1). Принято представлять числа в виде последовательности цифр: N = anan­1 ... a1a0 . a­1a­2 ... 6 В   этой   последовательности   точка   отделяет   целую   часть   числа   от   дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если нет отрицательных степеней (число целое). В ЭВМ применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.  В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные  элементы, которые  могут находиться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое ­ 1. Поэтому   основной   системой   счисления   применяемой   в   ЭВМ   является   двоичная система. Двоичная система счисления.  Используется   две   цифры:  0  и 1.  В   двоичной системе любое число может быть представлено в виде: N = bnbn­1 ... b1b0 . b­1b­2 ... где bj либо 0, либо 1. Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.   Употребляется   в   ЭВМ   как   вспомогательная   для   записи   информации   в сокращенном   виде.   Для   представления   одной   цифры   восьмеричной   системы используется три двоичных разряда (триада) (Таблица 1). Шестнадцатеричная   система   счисления.  Для   изображения   чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр ­ латинскими буквами: 10­A, 11­B, 12­C, 13­D, 14­E, 15­F.   Шестнадцатеричная   система   используется   для   записи   информации   в сокращенном   виде.   Для   представления   одной   цифры   шестнадцатеричной   системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (Таблица 1). 7 Таблица 1 ­ Наиболее важные системы счисления Двоичная (Основание 2) Восьмеричная (Основание 8) триады Десятичная  (Основание 10) Шестнадцатиричная (Основание 16) тетрады 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод   чисел   в   десятичную   систему  осуществляется   путем   составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы. 8 Пример. а) Перевести 10101101.1012 Здесь   и   в   дальнейшем   при   одновременном   использовании   нескольких различных   систем   счисления   основание   системы,   к   которой   относится "10" с.с. число будем указывать в виде нижнего индекса. 10101101.1012 = 1 27+  0 26+  1 25+  0 24+  1 23+  1 22+  0 21+  1 20+  1 2­1+  0 2­2+  1 2­3 =  173.62510  б) Перевести 703.048 703.048 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8­1+ 4 8­2 = 451.062510  "10" с.с. "10" с.с. в) Перевести B2E.416 B2E.416 =  11 162+ 2 161+ 14 160+ 4 16­1 = 2862.2510  Перевод   целых   десятичных   чисел   в   недесятичную   систему  счисления осуществляется   последовательным   делением   десятичного   числа   на   основание   той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого   основания.   Число   в   новой   системе   записывается   в   виде   остатков   деления, начиная с последнего. Пример. а) Перевести 18110 "8" с.с.     Результат: 18110 = 2658 б) Перевести 62210 "16" с.с.     Результат: 62210 = 26E16 9 Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную  Для   перевода   правильной   десятичной   дроби   в   другую   систему   эту   дробь   надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого. Пример. Перевести 0.312510 "8" с.с.      Результат: 0.312510 = 0.248 Замечание.  Конечной   десятичной   дроби   в   другой   системе   счисления   может соответствовать   бесконечная   (иногда   периодическая)   дробь.   В   этом   случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности. Пример. Перевести 0.6510 "2" с.с. Точность 6 знаков.      Результат: 0.6510   0.10(1001)2 Для   перевода   неправильной   десятичной   дроби   в   систему   счисления   с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. 10 Пример. Перевести 23.12510 "2" с.с. 1) Переведем целую часть: 2) Переведем дробную часть:                                Результат:  23.12510 = 10111.0012. образом:    Таким 2310 = 101112; 0.12510 = 0.0012.  Необходимо   отметить,   что   целые   числа   остаются   целыми,   а   правильные   дроби   ­ дробями в любой системе счисления. Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным   числом   (триадой)   (Таб.   1)   или   четырехразрядным   двоичным   числом (тетрадой) (Таб. 1), при этом отбрасывают  ненужные нули в старших и младших разрядах. Пример. а) Перевести 305.48 "2" с.с. б) Перевести 7B2.E16 "2" с.с. Для   перехода   от   двоичной   к   восьмеричной   (шестнадцатеричной)   системе поступают   следующим   образом:   двигаясь   от   точки   влево   и   вправо,   разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями   крайние   левую   и   правую   группы.   Затем   триаду   (тетраду)   заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Пример. 11 а) Перевести 1101111001.11012 "8" с.с. б) Перевести 11111111011.1001112 "16" с.с. Перевод   из   восьмеричной   в   шестнадцатеричную   систему   и   обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад. Пример. Перевести 175.248 "16" с.с. Результат: 175.248 = 7D.516. 3. Арифметические операции в Р­ичных системах счисления Сложение Для двоичной системы счисления действуют правила сложения: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 При   сложении   чисел   в   произвольной   позиционной   системе   счисления   с основанием  Р  в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой   из   соседнего   младшего   разряда,   если   она   имеется.   При   этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число большее или равное  Р, то его представляют   в виде  Рk+b, где  k  — частное, а  b  — остаток от деления   полученного   числа   на   основание   системы   счисления.   Число   b   является количеством единиц в данном разряде, а число к — количеством единиц переноса в следующий разряд. Для выполнения этой операции используют таблицы сложения. По вертикали и по горизонтали откладываются числа алфавита. На пересечении строки и столбца получается результат операции.  12 Примеры: Вычитание Для двоичной системы счисления действуют правила вычитания: 0 – 0 = 0 0 – 1 = 11 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 При   вычитании   чисел   в  Р­ичной   системе   счисления   цифры   вычитаются поразрядно. Если в рассматриваемом разряде необходимо от меньшего числа отнять большее,   то   занимается   единица   следующего   (большего)   разряда.   Занимаемая единица   равна  Р  единицам   этого   разряда  (аналогично,  когда   занимают   единицу   в десятичной системе счисления, то занимаемая единица равна 10). Для вычитания также используется таблица сложения. Предположим, нужно вычесть цифру b из числа a. Алгоритм действий в таком случае: 1. 2. 3. Найти  строку, именованную цифрой b. В этой строке найти  цифру a.  Посмотреть, какой цифрой именован столбец, на пересечении которого с цифрой получается результат a. Эта схема работает, если  a≥b. В противном случае, следует занять единицу старшего разряда. Примеры: Умножение Для двоичной системы счисления действуют правила умножения: 0 ∙ 0 = 0 0 ∙ 1 = 0 13 1 ∙ 0 = 0 1 ∙ 1 = 1 При   умножении   чисел   в   Р­ичной   системе   счисления   каждая   цифра   второго множителя   умножается   последовательно   на   цифру   каждого   из   разрядов   первого множителя (так же, как и в десятичной системе счисления). При  этом  необходимо  учитывать, что  если  при   сложении  чисел получилось число большее или равное Р, то его представляют  в виде Рk+b, где k — частное, а b — остаток от деления полученного числа на основание системы счисления. Число b записывают в единицы данного разряда, а число  k  запоминают и добавляют его к результату произведения в следующем разряде. Полученные результаты умножения складывают и отделяют количество знаков после запятой, равное сумме знаков после запятой у сомножителей. По   сути,   это   то   же   самое   умножение   столбиком,   которое   применяется   в десятичной   системе   счисления.   Единственное   отличие   –   для   проведения   этой операции в P­ичной системе необходимо использовать  таблицы сложения для этой P­ ичной системы счисления. Примеры: Деление Для двоичной системы счисления операция деления выполняется по алгоритму, подобному   алгоритму   выполнения   операции   деления   в   десятичной   системе счисления. Деление   чисел   в  Р­ичной   системе   счисления   производится   так   же,   как   и десятичных   чисел,   при   этом   используются   правила   умножения,   сложения   и вычитания чисел в Р­ичной системе счисления.  Делить следует также «столбиком», 14 однако, как и в случае умножения, использовать  таблицы умножения и сложения для P­ичной системы счисления.  Примеры: В  качестве   альтернативы   можно   выделить   и   другой   подход.  Перед   началом выполнения   операций   можно   перевести   все   слагаемые   в   десятичную   систему счисления,   выполнить   в   привычной   форме   необходимые   расчеты,   а   результат перевести обратно в системы с основанием P.  4. Таблицы сложения и умножения  (для двоичной и восьмеричной систем счисления) Таблица 1 ­ Таблица сложения в двоичной системе счисления + 0 1 0 0 1 1 1 10 Таблица 2 ­ Таблица умножения в двоичной системе счисления * 0 1 0 0 0 1 0 1 15 Таблица 4 ­ Таблица сложения в восьмеричной системе счисления 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 10 2 2 3 4 5 6 7 10 11 3 3 4 5 6 7 10 11 12 4 4 5 6 7 10 11 12 13 5 5 6 7 10 11 12 13 14 6 6 7 10 11 12 13 14 15 7 7 10 11 12 13 14 15 16 Таблица 5 ­ Таблица умножения в восьмеричной системе счисления 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 10 12 14 16 3 0 3 6 11 14 17 22 25 4 0 4 10 14 20 24 30 34 5 0 5 12 17 24 31 36 43 6 0 6 14 22 30 36 44 52 7 0 7 16 25 34 43 52 61 + 0 1 2 3 4 5 6 7 * 0 1 2 3 4 5 6 7 Составить   таблицу   умножения   или   сложения   для   любого   основания   можно самостоятельно. Для  этого  нужно:  1. В крайних левом вертикальном столбце и верхней горизонтальной строке  записать алфавит   (цифры   записываются   по   возрастанию).   В   ячейке,   основанной   на пересечении i­й строчки и j­го столбца, будет записан результат операции. 2. Сосчитать     значения    i   *   j    или    i   +   j    как   в   обычной   десятичной   системе. Перевести  результат в систему счисления с исходным основанием. 16 Практическая  часть Практическая часть по данной теме, как   правило, представлена задачами на выполнение   арифметических   операций   в   позиционных   системах   счисления   с различными основаниями.   Задачи   можно   решать,   используя   перевод   исходных   чисел   в   десятичную систему   счисления.   Однако   в   некоторых   случаях   можно   использовать   перевод   и сложение чисел в двоичной системе счисления. Наиболее простыми являются задания, в которых варианты ответов заданы в двоичной форме, так как решение в этом случае можно свести к сложению двоичных чисел и сразу получить нужный ответ. Некоторые задания требуют приведения и исходных данных, и вариантов ответа либо к двоичной, либо к десятичной системе счисления. Рассмотрим решение некоторых из них. Задача 1. Вычислить   сумму   чисел  X  и  Y,   если   представить в двоичном виде. Решение.  X=10101112,    Y=1528.   Результат Поскольку   результат   нужно   представить   в   двоичной   системе   счисления, наиболее   удобно   и   быстро   решить   данную   задачу   путем   перевода   всех   чисел   в двоичную систему счисления. Число  X  уже   представлено   в   двоичной   системе     счисления:  X=10101112. Переведем число  Y  из восьмеричной в двоичную систему счисления, разбив его на триады: 1 001 5 101 2 010 Получили  Y=1528=11010102. Сложим  двоичные  числа  X и Y столбиком: + 1 0 1 0 1 1 12 1 1 0 1 0 1 02 1 1 0 0 0 0 0 12 Результатом решения задачи является число  110000012. Ответ: 110000012. 17 Задача 2. Чему равна сумма чисел 528 и А916 в двоичной системе счисления?  Задачу можно решить двумя способами. Способ 1. Переведем исходные числа в десятичную систему счисления путем разложения по степеням: 528 = 5*81 + 2*80 = 40 + 2 = 4210, А916 = 10*161 + 9*160 = 160 + 9 = 16910. Находим сумму десятичных чисел: 4210 + 16910 = 21110. Переводим полученное десятичное число в двоичную систему счисления путем деления  и выделения остатков: 211 210 1 – 21110 = 110100112. Ответ:  110100112. Способ 2. 2 105 104 1 2 52 52 0 2 26 26 0 2 13 12 1 2 6 6 0 2 3 2 1 2 1 Переведем исходные числа в двоичную систему счисления путем разбиения на триады и тетрады: 5 101 2 010 А 1010 9 1001 528 = 1010102, А916 = 101010012. Сложим  полученные двоичные числа столбиком: 18 + 1 0 1 0 1 02 1 0 1 0 1 0 0 12 1 1 0 1 0 0 1 12 В результате сложения получили двоичное число  110100112. Ответ:  110100112. Задача 3. Из  разности двух  восьмеричных  чисел 100100 и 61556  вычесть  сумму  двух шестнадцатеричных чисел FAD и CDC, а затем для числа, полученного в результате, выяснить, в какой системе счисления это число будет иметь вид 1001001? Решение. Найдем  разность восьмеричных чисел: 1001008 – 615568 = 163228 – 1 0 0 1 0 08 6 1 5 5 68 1 6 3 2 28 Найдем сумму  шестнадцатеричных чисел: FAD16 + CDC16 = 1C8916 + F A D16 C D C16 916 1 С 8 Для выполнения вычитания переведем полученное шестнадцатеричное число в восьмеричную систему счисления с помощью триадно­тетрадного метода: 1 0001 110 6 С 1100 010 2 8 1000 001 1 9 1001 001 1 (16) (2) (2) (8) 1 1 Найдем разность восьмеричных чисел: 168 – 615568 = 163228 – 1 6 3 2 28 1 6 2 1 18 19 Определим основание системы счисления, в  которой восьмеричное число 111 1 1 18 будет иметь вид 1001001  методом перебора. По значению чисел примем гипотезу о двоичной системе счисления. Разобьем восьмеричное число 111 на триады: 1 001 1 001 1 001 Получаем, что 1118 = 10010012,  что и требовалось выяснить. Ответ: 1118 = 10010012. Задача 4. Перевести десятичные числа в системы счисления с основанием q. 1) 52310 Х→ 3=2011013 2) 5610 Х→ 2=1110002 523 3 522 174 3 1 174 58 3 0 57 19 3 1 18 1 6 3 6 0 2    56 2 56 28 2 0 28 14 2 0 14 0 7 2 6 1 3 2 2 1 1 3) 76510 Х→ 16=2FD16 765 16 752 47 16 13 32 2 15 4) 6510 Х→ 4=10014 65 4 64 16 4 1 16 0 1 4 4 4 0 5) 12110 Х→ 5=4415 6) 7810 Х→ 2=10011102 121 5 120 24 5 4 1 20 4 78 2 78 39 2 0 38 19 2 1 18 1 9 2 8 1 4 2 4 0 2 2 2 0 1 20 7) 70010 Х→ 8=12748                               8) 56610 Х→ 16=23616 700 8 566 16 696 87 8 35 16 560 6 32 2 4 80 10 8 3 8 1 2 7 9) 52410 Х→ 6=22326                              10) 65310 Х→ 7=16227     524 6 653 7 651 522 87 6 2 93 7 91 2 84 14 6 2 3 12 2 13 7 7 1 6 2 Задача 5. Перевести числа из систем счисления с основанием q в десятичную 1) 2538 Х→ 10=2×82+5×81+3×80=171 21 2) 100112 Х→ 10=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=19 3) 3416 Х→ 10=6×62+4×61+1×60=133 4) 12516 Х→ 10=1×162+2×161+5×160=293 5) 1145 Х→ 10=1×52+1×51+4×50=34 6) 314 Х→ 10=3×41+1×40=13 7) 111010112 Х→ 10=1×27+1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=235 8) 113 Х→ 10=1×31+1×30=4 9) 60157 Х→ 10=6×73+0×72+1×71+5×70=2070 10) 2СD16 Х→ 10=2×162+12×161+13×160=717 22 Задания для самостоятельного выполнения Решить задачи: 1. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую: а) 11011001.010112  б) 1011110.11012   "8" с.с.;   "8" с.с.;  в) 1101111101.01011012  г) 110101000.1001012   "16" с.с.;   "16" с.с.  2. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую: а) 312.78   "16" с.с.;      б) 51.438   "16" с.с.;  "8" с.с.;        г) D4.1916  в) 5B.F16  3. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X­Y , если:  "8" с.с.  а) X=1101001; Y=101111; б) X=101110110; Y=10111001; в) X=100011001; Y=101011.  4. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y , если: а) X=1000010011; Y=1011; б) X=110010101; Y=1001; в) X=100101.011; Y=110.1; г) X=100000.1101; Y=101.01. 23 Рекомендуемая литература 1. Информатика. Базовый курс: Учеб. пособие для вузов / Под ред. С. В. Симоновича. – 2­е изд. – СПб.: Питер, 2009 1. Информатика. Практикум по технологии работы на компьютере: Учеб. пособие для вузов / под ред. Макаровой Н. В. – 3­е изд., перераб. – М.: Финансы и статистика, 2011 2. Информатика: Учебник для вузов / Н. В. Макарова, Л. А. Матвеев, В.Л. Бройдо и др.; под ред. Макаровой Н. В. – 3­е изд., перераб. – М.: Финансы и статистика, 2010 3. Могилев А. В. Информатика: Учеб. пособие для вузов / А. В. Могилев, Н. И. Пак, Е. К. Хеннер; под ред. Е. К. Хеннера. – М.: Академия, 2010 4. Острейковский В. А. Информатика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2011 5. Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователей. Краткий курс. – 7­е изд. – М.: ИНФРА М., 2010 6. Шафрин Ю. А. Информационные технологии. – М.: Лаб. Базовых знаний, 2009 24