Методическое пособие по алгебре и началам анализа "Способы решения тригонометрических уравнений"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Заводоуковского городского округа «Бигилинская средняя общеобразовательная школа  имени первого директора, отличника народного образования СССР  А.П. Горохова» Способы решения тригонометрических уравнений Выполнила учитель математики Прохорова Любовь  Владимировна с .Бигила, 2015 год 2 Введение. Методическая   разработка   по   теме   «Способы   решения   тригонометрических уравнений».   В   средней   школе   на   изучение   данной   темы   отводится   незначительное количество часов. Эта разработка изучит, расширит и углубит математические знания по данной теме. На   экзаменах   по   математике   для   поступающих   в   ВУЗы,   олимпиадах   часто встречаются задания на решение тригонометрических уравнений. Все   приводимые   способы   направлены   на   развитие   познавательного   интереса   к предмету, знакомящие учащихся с новыми идеями и методами, расширяющие представления об изучаемой теме в основной школе. Уравнения, предлагаемые в данной разработке, интересны, красивы, носят  прикладной характер, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и интерес к  предмету и вызвать желание узнать больше. Основные цели методической разработки:   знакомство учащихся с основными приемами и методами решения  тригонометрических уравнений;  развитие навыков применения теоретических сведений по данной теме на практике  в различных проявлениях;  развитие творческих способностей;  повышение  интереса к предмету;  повторение и  обобщение знаний по теме «Способы решения тригонометрических  уравнений;  оказание помощи учащимся систематизировании уравнений и нахождении  рациональных приемов решения.  Особенность методической разработки. Использование   материала   в   работе   даст   положительные   результаты   при   подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике. 3 Содержание. 1. Уравнения, приводимые к алгебраическим. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .   4 2. Уравнения, решаемые разложением на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4  3. Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 4. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения тригонометрических      функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   6 5. Уравнения, решаемые с помощью формул сложения углов и разложения      произведения тригонометрических функций в сумму. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени. . . . . .  . . . . . . 7 7. Уравнения вида  8. Уравнения смешанного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  8 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 sin bx  cos a x  c 9. Задания для промежуточного и итогового контроля результатов обучения. .   11 10. Тригонометрическое уравнение на ЕГЭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 11. Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 4 Тригонометрические уравнения. cos 1. Уравнение  t cos Если  ,1 t   a a .  не  a имеет решений,   поскольку    , то формула корней уравнения такова: 1a   arccos  n Z .  2 n ,где  a t cos t  1 для любого t. Если t t t  t t 1, cos cos  1,    2 ; n     2 ; n    n . cos 2 t sin 2. Уравнение  При  1a 0,   t a .   уравнение не имеет решений, так как  sin t 1 для любого  t . Если |a|≤1,то  .  Удобно записывать не двумя, а  k . t t t a Z   a a 1,     sin k k , где    ,2 n   Zn arcsin arcsin ( 1) arcsin формула для записи всех решений уравнения такова:   t ,2 n одной формулой:   t    2 , n n Z 2     2 2 n n Z sin , . t 3. Уравнение  4. Уравнение   tg  . Решение данного уравнения имеет вид: t ctg  . Решение данного уравнения имеет вид:  , n n Z a a Znn ,   sin    0,  1,    t ; ; t t t t t  arcctg a  arctg a  , Znn  . Способы решения тригонометрических уравнений. I. Уравнения, приводимые к алгебраическим Пример. Решить уравнение  x Решение. Воспользуемся тем, что     x  1  0  sin cos x .  Введем   новую   переменную   cos  01 sin 2 переписать в виде   2 cos cos cos x x cos 1( x x    ) 2 2 2 2 2 2 2 z  01 ,   откуда   находим   z 1  z ,1 2 x  z cos x cos  .0 . Тогда заданное уравнение можно 2 x . После понятных преобразований получим .   Тогда   уравнение   примет   вид x  ,1 либо cos   x  1 2 .   Из x cos z cos .   Значит,  2 3   1 2  ,2 xn этих уравнений находим, соответственно,  x   ,2 Znn  . 2 x x 2  .0 sin3  Ответ Уравнения для самостоятельного решения:   sin2.1 6  3  2  Ответ Ответ sin2.3   .01  Ответ 2.2 cos cos 4.4 cos cos sin .0 .0   5 9 2 5 x x x x x x   : : : : 2 2 2   ,2 n  5 6   ,2 Znn  .  ,2 Znn  .   ,2 n   ,2 n  5 6   ,2 Znn   6   ,2 Znn .    . 5 II. Уравнения, решаемые разложением на множители Смысл   этого   метода:   если   уравнение    f   удается   преобразовать   к   виду ,   то   задача   сводится   к   решению   двух   уравнений,   то   есть   к   решению )( xf )( x  0 0  )( 0 x .   5cos x x  )1 0 . Значит, приходим к совокупности уравнений 5cos  0 x . xf )( 1 совокупности уравнений:  2 )( xf 1  ;0 2 Пример. Решить уравнение  sin2 x Решение. Имеем     sin2( 5cos sin;0  x x f 1 2 5cos x .   Из   первого   уравнения   находим   5 x   xn ; , Zn  .   Из  2   n 10 5 второго уравнения находим  x  )1( n   Znn ,  .  6 Уравнения для самостоятельного решения: sin.1 Ответ  .0)1  2( cos  n x x :   ,2 Znn  .  2 3 sin2(.2 x  2)(2 cos x  .0)1 Ответ )1(:  n .3 2 sin x  sin x  .0 Ответ :  , n Znn  . sin2.4 2 x  sin x  .0 Ответ :  , n  ,2 Znn  .   ,2  2   5 6  4   n ,  2 3  ,2 Znn  . III. Однородные уравнения. Определение.  Уравнение   вида   , x a 0   sin cos bx   где называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени, уравнение  вида 0 ¸называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.  .   Разделив   обе   части   bx x cos   получим   на   где a   где a  cos bx  т.е.  b ,0  cos cos sin sin sin       ,0 ,0 ,0 ,0 ,0   a b a a x x c x x c ,     ,   2 2 cos b x cos x 0 cos x  ,0 0 b sin a x cos x Итак,   дано   уравнение   уравнения   почленно bxtga  ,0 xtg  b a . Но, внимание!  Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя). Уверены ли мы, что в рассматриваемом случае   отличен от 0? Давайте проанализируем. Предположим, что cos x =0. Тогда однородное уравнение asinx+bcosx=0 примет вид asinx=0¸ то есть sinx =0¸ так как a ≠ 0 . Получается, что и cosx =0 ¸ и sinx =0 ¸ а это невозможно, так как sinx  и cosx   обращается   в   нуль   в   различных   точках   .Итак   ,   в   однородном   тригонометрическом уравнении   первой   степени   деление   обеих   частей   уравнения   на   cosx ­   вполне   благополучная операция. cos x Пример 1. Решить уравнение 2sin x ­3cos x = 0. Решение.    Разделим   обе   части   уравнения   почленно   на   cos x ¸   получим    теперь   однородное   Рассмотрим   Znn , arctg tgx   ,0   3 x , . tgx 2 3 2 3 2 тригонометрическое   уравнение   второй   степени   .   Если коэффициент  a  отличен   от   нуля,   то   есть   в   уравнении   содержится   член   sin2x  с   каким­то коэффициентом, отличным от нуля, то , рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том , что при интересующих нас значениях переменной cos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на   cos bx  0 cos sin sin   a x c x x . 2 2 cos x2 6 2 2 2 x c x x b 0   ,0  sin cos cos  cos x cos x  c x x  tgxbx sin a 2 cos tga Это ­ квадратное уравнение относительно новой переменной z= t g x  . Пример 2. Решить уравнение    получим Решение. .   Откуда 2 3 0  z=2.   Значит,   либо  t g x =1,   либо  t g x =2.   Из   первого   уравнения   находим   Разделим   обе   части   уравнения   почленно   на   cos2    Введя   новую   переменную     получим,   x,    cos z  sin3 tgx cos sin  .0  0 2 2 3 x x x x z z   , . 2 2 2  xn ,   , Znn  .  Из второго уравнения находим  x  arctg 2   Znn  , .  2 x tgx tg находим  z=1,  arctg 1  x  4 Уравнения для самостоятельного решения: sin.1  cos sin2 cos  .0  3 x x x x  2 2 Ответ   , n  arctg 3   , Znn  . sin.2 2 x  sin4 x  cos x  3 cos 2 x  .0 Ответ sin.3 2 x  sin x  cos x  2 cos 2 x  .0 Ответ : sin3.4 2 x  sin x  cos x  2 cos 2 x  .0 Ответ   , n arctg 3   , Znn  .  n ,  arctg 2   , Znn  .  4   n , arctg  2 3  , Znn  . IV.   Уравнения,   решаемые   с   помощью   формул   сложения   тригонометрических : :  4  4   4  : функций. Формулы    sin sin y x sin2 sin x  sin y  sin2 x x cos x  cos y  2 cos cos x  cos y  sin2 x  cos x  cos y  cos y  sin y y  2  2  x 2  x 2 y y  2  2  x 2  2 x y y )1( )2( )3( )4( позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители. Пример. Решить уравнения:  sin5x + sinx=0; Решение. Преобразовав сумму синусов в произведение, получим 5sin Значит, 3sin2   либо  cos  .0 2 x x   откуда   находим 3sin x    , xn 2   0  ,  n 2 4 , Zn  . 3 x   xn , , либо cos2x=0, откуда находим  2 x x   sin  n 3 ,  x  Zn Уравнения для самостоятельного решения: .1 Ответ cos cos  .0   3 x x : , sin.2 12 x  4sin x  .0 Ответ : .3 cos x  cos .5 x Ответ : 3sin.4 x  sin .17 x Ответ , Zn  . .  2   n  n 4 2  n n  2 3  Zn , , , . Zn  n 8  n n 7 10 20  : , , Zn  . V.   Уравнения,   решаемые   с   помощью   формул   сложения   углов   и   разложения произведения тригонометрических функций в сумму 7 Использование формул: y ) y ) ) y y )   y x cos sin cos   x y cos cos sin   cos cos x y sin   x y cos cos sin при решении тригонометрических уравнений.      x sin( cos( x sin( x cos( x  sin x  x sin  sin x  sin x y y y y Пример.   cos(  x )  x ) ;3 sin(  3  3  6  3 sin  cos x  cos  sin x  cos  6  cos x  sin  6  sin x  ;3 x  3 2  cos x  sin 1 2 x  ;3  sin  x  cos 1 2 ;3 3 2 cos x 3  cos ;1 x   ,2 Znn x   . Уравнения для самостоятельного решения: 2sin.1 x  cos x  cos 2 x  sin . x .2 cos 3 x  cos 4 x  cos .7 x Ответ . :   , Znn Ответ  n n 4 3 Ответ  10  : : , , Zn . 0 .3 cos( x   )70  cos( x   .5,0)10   n , 0 70  180 0  Znn ,  . 5sin2.4 x  cos 6 x  sin x  7sin x  cos .4 x Ответ : 2( n  ),1 Zn  . 0  180  n 4 14 , VI. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени 2sin x  1  2cos x 1   2cos 2 cos 2 2 x x ; . Пример. Решить уравнение cos 2 x 3 Решение. cos 1 6 2  x 1  cos 6 x  ;  ; 3 4 3 2 3 4 6 x  arccos x   n 3 18 1 2 ,   ;2 n Zn  . Уравнения для самостоятельного решения: 8