Методика обучения геометрии (стереометрии)

 (от др.-греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, объёмный, пространственный» и μετρέω, «метрео» — «измеряю») — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путём рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.
Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Аксиомы стереометрии

Наглядность в преподавании стереометрии

Приступая к изучению стереометрии в 10 классе, многие учащиеся испытывают трудность в восприятии учебного материала, так как не обладают пространственным видением, плохо помнят формулы и правила. Для многих чертёж параллелепипеда или тетраэдра является набором черточек, которые почему-то сложились именно так, а почему, непонятно.
Для того чтобы обучение было успешным, необходимо, чтобы ученик мог воспринимать задание и работать с ним. Но для этого, в свою очередь, необходимо предъявить ученику некоторую материальную модель. Например, если изучается понятие пирамиды, то такой моделью может быть:
словесное описание (определение) этого понятия;
объемная модель пирамиды (каркасная или сплошная);
ее развертка;
изображение пирамиды или ее развертки на доске, на бумаге, на экране монитора и т. п.

Все перечисленные объекты являются материальными моделями, с той или иной стороны отражающими понятие многогранников. Однако, готовясь к конкретному уроку, учитель выбирает те из них, с которыми легче организовать необходимую работу учащихся, т. е. наиболее в данный момент простые для их восприятия. Например, если на уроке предполагается начать знакомство с многогранниками, круглыми телами, то наиболее удобными окажутся объемные изображения, получаемые при помощи моделей и трехмерных чертежей.
Чтобы модель позволяла организовать усвоение того или иного понятия, она должна не только правильно его отражать, но и быть простой для восприятия учащихся.

Наглядность в преподавании стереометрии

Наглядность в преподавании стереометрии

Курс стереометрии состоит из системы аксиом, определений, теорем и из задач, в процессе решения которых теоретический материал отрабатывается и применяется к практике. Поэтому в курсе стереометрии необходимо добиваться, прежде всего, отчетливого осознания учащимися содержания теории и умения решать задачи на основе теории. Электронный учебник (который существует у некоторых авторов) содержит кроме теории по всем вопросам школьного курса геометрии, и задачи: тестовые, с решением, с пошаговым решением.

Роль средств наглядности возрастает в связи с трехмерностью изучаемых в стереометрии объектов, которая порождает условность их изображения на чертежах. Средства наглядности, поэтому должны, с одной стороны, обеспечить предъявление учащимся объемных моделей этих объектов. С другой стороны, должны использоваться соответствующие им плоские чертежи. Установление соответствия между элементами объемных и плоских моделей позволяют выполнять модели и трехмерные чертежи курса. Использование моделей в преподавании геометрии должно помогать абстрактному мышлению ученика, развивать его. Плоского чертежа или тем более словесного описания недостаточно.

Интерактивные модели – очень важное средство наглядности, позволяющее решать многие проблемы обучения. Иллюзия трехмерности, создаваемая на экране, позволяет сразу ввести учащихся в курс стереометрии. При этом учащиеся могут видеть не только сами стереометрические тела, но и следить за ходом рассуждений, проникая, в частности, в идейный смысл курса.

Современное образование направлено на развитие у человека потенциально природных способностей к активному мышлению, формированию у него инновационного, преобразующего интеллекта, реализующегося в такой же деятельностной практике.
Полнота и интенсивность обучения находятся в зависимости от качественного процесса обучения. Природные способности реализуются лишь в процессе «научения» человека использовать их при методической постановке алгоритма его мыслительной и практической деятельности.
За последние несколько лет отечественные и зарубежные авторы все больше сходятся во мнении, что главным назначением информационных технологий является повышение эффективности управления учебно-познавательной деятельностью обучаемых

Компьютерные информационные технологии выступают как мощный помощник преподавателю в управлении познавательной деятельностью учащихся, реализации открытого образования и личностной направленностью процесса обучения, позволяющим сделать образование информационно емким, доступным и распределенным
Массовое внедрение в последние годы компьютерных технологий во все сферы деятельности человека, обусловленное появлением персональных компьютеров нового поколения с качественно новыми мультимедийными возможностями, совершенным интерфейсом, развитие на этой основе компьютерного обучения с использованием мультимедийных средств 

В связи с этим, применение информационных технологий и использование компьютерных ресурсов становится неотъемлемой частью современного образования
Эффект от использования компьютерных средств складывается из сокращения аудиторного времени, затрачиваемого преподавателем на разноуровневую подготовку учащихся, а также из увеличения внеаудиторного времени, затрачиваемого ими для изучения дисциплины за персональным компьютером. При этом в обоих случаях эффект достигается как по содержанию дисциплины, так и по контролю усвоения.
Инновационные педагогические технологии, использующие компьютерные средства, предполагают личностно-ориентированный подход. При таком подходе учащиеся должны демонстрировать свое понимание идей, фактов, концепций, теорий, а не только их запоминание

Повышение качества обучения и применение новых методик обучения могут быть реализованы путем использования информационных телекоммуникационных технологий (мультимедиа, дистанционное обучение на основе электронных средств связи, технологии «виртуальной реальности», программно-тестовое обучение) и др., которые в последнее время стали применяться в учебном процессе образовательных учреждений.
Расширение дидактических возможностей компьютера создают предпосылки для коренного изменения процесса обучения с использованием мультимедийных технологий. Поэтому становится актуальным пересмотр представления и определение роли и места мультимедийных средств в процессе обучения вообще, и в школьном обучении в частности.

Понятно, что за созданием таких интеллектуальных обучающих компьютерных программ - будущее. Но они хороши в тех областях, где знания меняются медленно
Понятно, что за созданием таких интеллектуальных обучающих компьютерных программ - будущее. Но они хороши в тех областях, где знания меняются медленно
Особый практический интерес представляет определение роли и места мультимедийных средств в обучении геометрии. Использование мультимедийных средств в обучении геометрии способно не только повысить эффективность обучения за счет наглядного представления информации, оказывающего положительное влияние на формирование и развитие гибкого геометрического мышления, но и создает представление о профессиональной деятельности, связанной с проектированием, конструированием и другой обработкой визуальной информации в профессионально-ориентированных автоматизированных рабочих местах.

В последние несколько лет в связи с общей компьютеризацией общества и повышением интереса коммерческих и государственных организаций к использованию компьютерных технологий в системе общего образования резко увеличилось количество электронных изданий, предназначенных для школьников. Изменилось и качество образовательных ресурсов на электронных носителях. Большую роль в этом сыграло появление государственного заказа на их создание и разработку методики их использования. Если темпы создания таких ресурсов сохранятся в ближайшие годы, то основной проблемой для учителей и методистов станет не только усвоение методики использования всех этих ресурсов, но и проблема отбора наиболее эффективных в учебном процессе.

Стереометрия, в большей степени, чем другие разделы математики, требует наглядности, что влечет за собой использование большого количества проекционных чертежей и пояснительных рисунков. Уже в силу этого компьютер с его широкими мультимедийными и графическими возможностями может быть вовлечен в процесс обучения для решения ряда проблемных задач современной методики преподавания математики.
Как известно, одной из основных задач при изучении стереометрии в школе является развитие пространственного воображения учащихся. Учителя средней школы должны быть готовы к решению этой задачи на основе современных технологий, в том числе и базирующихся на использовании компьютера

Инструментом создания обучающих программ является пакет символьной математики Maple, который также обладает широкими графическими возможностями.
Анализ существующих математических информационных систем показал, что система математики Maple может использоваться учителем как мультимедийное средство создания наглядности при обучении геометрии, и в частности стереометрии. Она позволяет учителю составить коллекцию графических файлов и видеоклипов, иллюстрирующих разрабатываемую методическую тему. Обучающие программы, использующие 3D-графику, отличаются ярким иллюстративным материалом, разнообразными формами подачи и оформления учебного материала, исключают фактор примитивного копирования учебника.

Преимущество их использования состоит в том, что учитель может самостоятельно создавать на их основе систему заданий и демонстрационные материалы, соответствующие целям и задачам конкретного урока. Однако использование в процессе обучения стереометрии требует разработки методического сопровождения и подготовки к их использованию.
Однако, вопрос о возможностях применения новых информационных технологий в обучении стереометрии исследован в настоящее время недостаточно. Современная практика школьного математического образования не отвечает требованиям информационного общества.

Все выше сказанное позволяет утверждать, что существует целый комплекс противоречий:

· между возможной и действительной ролью школьного математического образования в развитии личности учащихся;
· между значением стереометрии в школьном преподавании и вниманием к ней в методической литературе и практике работы школы;
· между необходимостью обеспечить эмпирические основы изучения стереометрии в курсе школьной математики и возможностями школьной методики преподавания стереометрии;
· между практикой современной школы и требованиями информационного общества.

На разрешение этих противоречий может повлиять применение мультимедийных средств, позволяющих учесть необходимость и сложность наблюдений в процессе преподавания стереометрии с помощью различного вида моделирования
Для поэтапного формирования графических образов трехмерного пространства необходимы специальные средства организации познавательной деятельности детей. Набор традиционных средств обучения стереометрии (статические модели, таблицы, слайды и др.) для этой цели не подходят даже потому, что современные школьники слабо владеют навыками элементарного чтения, а также потому, что эти средства предназначены для фронтальной работы и не обеспечивают индивидуализации обучения. Главное же условие - динамические метаморфозы образов тел - не могут адекватно обеспечивать даже стандартные компьютерные средства обучения.

Именно по указанным выше причинам необходимо при обучении стереометрии использовать мультимедиа-среды, с привлечением видео и анимационной оснастки, под управлением компьютера.
Мультимедийные ресурсы реализуют формирование и презентацию звуковых и графических образов на самом компьютере или на интерактивной доске.
Современная трехмерная графика позволяет создавать модели сложных геометрических тел и их комбинаций, вращать их на экране, менять освещенность.

Опыт вступительных экзаменов в вузы свидетельствует о том, что для многих абитуриентов «камнем преткновения» являются стереометрические задачи. В большинстве стереометрических задач при геометрических подходах к решению набольшую трудность представляет начальный этап. Этот этап чаще всего основан на том, что трехмерные объекты при решении задач приходится изображать на плоском чертеже. На таком чертеже изображения элементов пространственных фигур могут выглядеть искаженно и не соответствовать действительности. Более того, некоторые важные для решения задачи линии или точки могут оказаться на чертеже слишком близкими или совпадающими. Другие важные точки могут попасть за край листа бумаги. Кроме того, при работе на бумаге трудно без следа стереть ненужную или неудачно проведенную линию. Наконец, взгляд на плоский чертеж с разных сторон дает примерно одинаковое восприятие.

· демонстрирование фигур;
· моделирование;
· грамотное чтение чертежа и его выполнение.
Эти средства приводят к наилучшим результатам, если они используются систематически и в комплексе. На каждом уроке нужно искать и устанавливать связи между понятиями планиметрии, пространственными геометрическими фигурами и предметами окружающей действительности.

Иногда считают, что средства наглядности достигают своих целей в младших классах, а по мере взросления учащихся необходимость в наглядности уменьшается. Это ошибочное мнение. С каждым возрастом учащийся смотрит на модель геометрической фигуры по-новому. Становясь старше, он знакомится с теми свойствами геометрических фигур, которым он не придавал значения ранее. Исходя из этого, показ моделей необходимо повторять.

· развивает навыки самостоятельного мышления;
· повышает самооценку учащегося;
· выявляет заинтересованность и потребность в получении дополнительных знаний;
· пробуждает интерес к научной деятельности;
· формирует положительное и ответственное отношение к учебе, при этом прослеживается тенденция к росту успеваемости.