Методика обучения учащихся решению текстовых задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГАОУ ВПО "ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, МЕХАНИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК  им. И.И. ВОРОВИЧА  КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ: «Методика обучения учащихся  решению текстовых задач» Выполнил: студент 5 курса  Уткина М.Ю. Научный руководитель: Михайлова И.А. Ростов­на­Дону Содержание 2015 Введение ………………………………………………………………………………..3 1. Психолого­педагогические основы обучения учащихся решению текстовых  задач……………………………………………………………………………….....5 1.1. История использования текстовых задач в процессе обучения…………….5 1.2. Различные подходы к понятию текстовых задач…………………………….7 1.3. Функции решения текстовых задач…………………………………………..9 1.4. Классификация текстовых задач…………………………………………….11 1.5. Методы решения текстовых задач…………………………………………..14 1.6. Этапы решения задач………………………………………………………...16 2. Методика решения текстовых задач различными  способами…………………………………………………………………………..20 2.1. Методика решения задач арифметическим способом……………………..20 2.2. Методика решения задач алгебраическим способом………………………24 Заключение……………………………………………………………….……............30 Список используемой литературы…………………………………………..…….....32 Приложение 1…………………………………………………………………………33 Приложение 2…………………………………………………………………………34 2 Введение Одним из важных вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач. Работа   с  текстовыми   задачами   способствует   формированию   абстрактного мышления,   повышает   логическую   грамотность.   В   процессе   решения   ученик овладевает   приемами   анализа   и   синтеза,   выдвижения   и   проверки   гипотез, правилами   рассуждений,   приобретает   навыки   умственного   труда,   приучается   к самоконтролю.   Поэтому   работа   с   текстовыми   задачами   должна   занимать важнейшее место в школьном курсе математики. С   введением   Федерального   государственного   образовательного   стандарта роль   и   место   задач   не   уменьшается.   Общий   прием   решения   задач   может   быть рассмотрен в качестве сложного составного логического действия. Он включает: знания   этапов   решения,   методов   решения,   типов   задач,   а   также   владение предметными знаниями такими как, понятия, определения, правила,   формулы, логические  приемы и операции.  При работе с текстовыми задачами, как правило, большая часть школьников испытывает затруднения. У многих учеников приемы работы с задачей так и не формируются вообще. Основная причина заключается в том, что они не зависят от числа   решенных   задач.   Мы   можем   вместе   с   учеником   разобрать   двадцать,   а двадцать первую он самостоятельно не решит. Очевидно, что этим приемам нужно специально обучать. Поэтому, данная тема является актуальной. Предмет исследования ­ методика обучения учащихся решению текстовых задач. Объект исследования – текстовые задачи в школьном курсе математики.  Цель работы состоит в том, чтобы изучить методику обучения учащихся решению текстовых задач. Задачи данной работы: 3 1. Ознакомиться   с   историей   использования   текстовых   задач   в   процессе обучения.  2. Рассмотреть основные подходы к понятию текстовой задачи. 3.   Сформировать   представления   о   различных   классификациях   текстовых задач.  4. Изучить основные методы решения текстовых задач. Структура работы:  Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений. 4 1.1.  История использования текстовых задач в процессе обучения В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда   занимали   особое  место.  Применение   текстовых   задач   идет   от   глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников. Долгое время   математические   знания   передавались   из   поколения   в   поколение   в   виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Выделим основные причины пристального интереса к такого рода задачам: 1) Первая   причина   заключается   в   том,   что   исторически   долгое   время   целью обучения   детей   арифметике   было   освоение   ими   определенным   набором вычислительных   умений,   связанных   с   практическими   расчетами.   При   этом основная   линия   числа   ­   еще   не   была   разработана,   а   обучение   вычислениям велось   через   задачи.   В   «Арифметике»   Л.   Ф   Магницкого,   например,   дроби рассматривались как именованные числа (не просто ( 1 2 ), а ( 1 2 ) рубля, пуда и т. п.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач   [1].   Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными   числовыми   данными,   например:   «Заяц   в   1,35   часа пробегает   14,13855  км.»,  которые   были   вызваны   к   жизни   не   потребностями практики, а потребностями обучения вычислениям. 2) Вторая   причина   заключается   в   использовании   старинного   способа   передачи математических знаний, приемов и рассуждений с помощью текстовых задач. С помощью   задач   научились   формировать   важные   общеучебные   умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата.  Так же важную роль играло приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий,   уравнений,   графических   образов.   Использование   арифметических 5 способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не   только   логического,   но   и   образного   мышления,   а   это   повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. К середине XX века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи   на   части,   на   нахождение   двух   чисел   по   их   сумме   и   разности,   по   их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. Критики этой методики обоснованно   отмечали,   что   учителя,   стремясь   ускорить   процесс   обучения, разучивали с учащимися способы решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они считали также, что в процессе обучения решению текстовых задач школьников учили способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни.  Вот   как   описывал   И.   В.   Арнольд   практику   обучения   решению   задач, сложившуюся в нашей стране к середине 40­х годов: «Учеников ­ в том или ином порядке   ­   знакомят   с   соответствующими   «типами»   задач,   причем   обучение решению   задач,   сплошь   и   рядом   сводится   к   «натаскиванию»,   к   пассивному запоминанию учениками небольшого количества стандартных примеров решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином   случае.   Количество   задач,   которые   ученики   решают   действительно самостоятельно,   с   тем   напряжением   мысли,   которое   и   должно   являться источником   полезности   процесса   решения   задачи,   ничтожно.   В   итоге   ­   полная беспомощность   и   неспособность   ориентироваться   в   самых   простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач» [3] .   Так или иначе, но в середине XX в. в СССР возобладал узко практический подход   к   использованию   текстовых   задач.   Тогда   считалось,   что   обучать   детей нужно   с   учетом   возможностей   применения   изученных   способов   действий   на практике   или   в   дальнейшем   обучении.  Отражение   споров  тех   лет   о   текстовых 6 задачах находим у Ю.М. Колягина: «Заметим, что старые традиции весьма живучи и способны к такой внешней трансформации, что иногда их трудно распознать. Отрицательная обучающая роль типовых арифметических задач признана всеми. Однако   не   уготована   ли   та   же   участь   задачам   на   составление   уравнения?»[4].   оказались Волнения   о   задачах, преждевременными, но роль алгебраического способа решения задач в учебном   решаемых   с   помощью   уравнений, процессе   в  последующие  годы  была   явно  преувеличена   именно  потому,  что  из школьной практики были удалены арифметические способы их решения.   Традиционные для российской школы арифметические способы решения задач считались   устаревшими   и  перешли   к   раннему   использованию   уравнений.  Такой подход казался более современным и научным. Есть   еще   один   момент,   который   невозможно   обойти,   когда   мы   говорим   о решении   задач.   Обучение   и   развитие   ребенка   во   многом   напоминают   этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических   способов   их   решения   позволяет   мотивацию   учения,   развивает творческий   потенциал.   Кроме   того,   разнообразные   способы   решения   будят фантазию   детей,   позволяют   организовать   поиск   решения   каждый   раз   новым способом, что создает благоприятный эмоциональный фон для обучения. В данном параграфе мы  рассмотрели историю использования текстовых задач. Выделили основные причины пристального интереса к такого рода задачам.   Из выше   изложенного   можно   сделать   вывод   что,   применение   текстовых   задач зарождается   еще   в   древности,   а  методика   обучения   решения   задач   была разработана достаточно хорошо лишь в середине XX века. Хотя ее реализация на практике имела множество недостатков. Далее рассмотрим различные подходы к понятию текстовая задача. 1.2. Различные подходы к понятию текстовая задача Существуют разные подходы к определению задачи.  7 По   определению   Г.А.   Балла,   в   самом   общем   виде   задача   ­   это   система, обязательными компонентами которой являются: а) предмет задачи, находящийся в   исходном   состоянии   (исходный   предмет   задачи);   б)   модель   требуемого состояния предмета задачи (требование задачи) [6]. Л.М. Фридман и Е.Н. Турецкий понятие «задача» трактуют как «требование или   вопрос,   на   который   надо   найти   ответ,   опираясь   и   учитывая   те   условия, которые указаны в задаче» [7].  Л.   Л.   Гурова   обращает   главное   внимание   на   объект   мыслительных   усилий человека,   решающего   задачу:   «Задача   ­   объект   мыслительной   деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными и неизвестными ее элементами» [8] . Подход   к   понятию   «текстовая   задача»   неоднозначен.   Согласно   первому подходу если в задаче хотя бы один объект реальный, то она называется текстовой (практической, житейской, сюжетной). В соответствии со вторым подходом под текстовой задачей понимают задачу, условие и требование которой представлены связным   текстом,   состоящим   из   повествовательных   и   вопросительных предложений. Если в текстовой задаче описаны геометрические или физические объекты,   математические   отношения   или   физические   процессы,   то   получаем геометрическую или физическую задачу.  Текстовая задача – это задача, сформулированная на естественном языке; в ней обычно   описывается   количественная   сторона   каких­то   явлений,   событий;   она представляет   собой   задачу   на   разыскание   искомого   и   сводится   к   вычислению неизвестного значения некоторой величины [9] . Каждая   текстовая   задача   есть   модель   проблемной   или   познавательной ситуации,   в   которой   рассматривается   некоторый   объект   (предмет,   явление, процесс). Каждый объект описан в задаче. Своеобразие описания объектов задачи 8 проявляется в том, что в ней описывается лишь количественная сторона объекта [10]. В   качестве   необходимых   элементов   текстовой   задачи   можно   выделить следующие:   числовые данные, характеризующие мощность множеств, значения величин, о которых идет речь в задаче, или их отношения, а также просто являющиеся отвлеченными числа;   словесные пояснения зависимости, имеющейся между данными числами и между   данными   и   искомыми,   которая   может   быть   представлена   в   виде некоторого сюжета;   вопрос задачи, для ответа на который требуется выполнить решение.  Текст любой задачи состоит из условия и требования.  Условие задачи ­ это описание ситуации особого типа. Анализируя условия, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объектов и некоторой   их   характеристики.   В   условии   математической   задачи   описывается ситуация, в которой неизвестна какая­либо характеристика (или характеристики) того или иного объекта (или объектов) [10]. Требование задачи состоит в том, чтобы описать с необходимой полнотой так называемые   искомые   характеристики,   т.   е.   все   или   некоторые   неизвестные характеристики.   Для   этого   следует   использовать   связи   между   известными   и   Количество   известных   и   неизвестных неизвестными   характеристиками. характеристик в задаче может быть различным [10].  Требование   математической   задачи   может   выражаться   как   вопросительным предложением, так и повествовательным с глаголом в повелительном наклонении. Предложение,   которым   чаще   всего   завершается   текст   задачи,   может,   кроме требования, содержать в себе и часть условия. Анализ   различных   подходов   к   понятию   текстовая   задача,   мы   начали   с рассмотрения   понятия   задача.   Существует   множество   различных   определений данного понятия, в работе рассмотрены лишь некоторые из них. Следует отметить, 9 что все авторы трактуют понятие «задача» через требование. Текстовая задача рассматривается   как   описание   количественной   стороны   каких­то   явлений   или объектов. Для обоснования роли и места текстовых задач в обучении математики в третьем параграфе рассмотрим цели и функции решения текстовых задач. 1.3.  Функции решения текстовых задач Вопросу определения функций задач в обучении уделяется много внимания в методической литературе. В педагогической практике принято разделять задачи с дидактическими, познавательными и развивающими функциями. В методике обучения решению задач выделяют четыре их основных функции – обучающая, воспитывающая, развивающая и контролирующая. 1. Обучающая функция задач направлена на формирование у учащихся системы математических знаний, умений и навыков в процессе их усвоения. 2. Воспитывающая функция задач направлена на воспитание у учащихся интереса к предмету, навыков учебного труда. 3. Развивающая функция задач направлена на развитие мышления учащихся. На формирование у них приемов умственной деятельности. 4. Контролирующая функция задач направлена на определение уровня усвоения учащимися учебного материала, способности их к самостоятельному изучению школьного   курса   математики,   уровня   развития   и   сформированности познавательных интересов школьников. Рассмотрим  дидактические функции выделяемые Л.Н. Фридманом [11] . 1. Вводно­мотивационная   функция.   Предварение   изучения   математической теории   постановкой   задач   представляет   хорошие   возможности   для использования на уроках математики элементов проблемного обучения. Задачи проблемного   характера   для   достижения   целей   обучения   математике   весьма значимы.   Их   использование   обеспечивает   более   осознанное   овладение математической   теорией,   учит   школьников   самостоятельному   выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства, основным мыслительным операциям, выделению существенных свойств математических 10 объектов.   Для   создания   проблемных   ситуаций   целесообразно   использовать наряду с другими и задачи с практическим содержанием.  2. Иллюстративная и конкретизирующая функция.  В качестве иллюстраций и конкретизаций различных математических понятий целесообразно использовать текстовые задачи, в которых раскрываются особенности изучаемых понятий. Примеры   из   окружающей   действительности   позволяют   раскрывать   перед учащимися практическую значимость математики. Эти примеры должны быть простыми,   убедительными,   доступными   пониманию   школьников.   Понятие линейной   функции   представляется   возможным   иллюстрировать многочисленными примерами из физики, химии, повседневной жизни.  3. Функция формирования математических и общеучебных умений и навыков. В   школьном   курсе   математики   учащиеся   приобретают   ряд   специальных   и общеучебных   математических   умений   и   навыков.   Все   эти   умения   и   навыки формируются не только при решении специальных примеров, но, и главным образом,   в   процессе   решения   простейших   задач.   Различны   формы использования текстовых задач для закрепления и углубления знаний учащихся по математике. Эти задачи могут быть применены и в работе со всем классом, и для индивидуальной работы с отдельными учениками.  4. Функция воспитания характера и воли.  Решение текстовых задач, особенно сложных,   требует   от   учащихся   настойчивости,   последовательности   и   сосредоточенности   волевых   качеств. аугментации   рассуждений, Целесообразнее дать учащимся достаточное время для решения каждой задачи, нежели гнаться за количеством решенных задач.  5. Функция   развития   творческого   мышления   и   воображения.   В   математике разработаны   многочисленные   так   называемые   «задачи   на   смекалку   и сообразительность», требующие для решения каких­то особых приемов. Такие задачи   можно   давать   учащимся   для   самостоятельного   решения   на   дом   на длительный срок. 11 Таким   образом,     исследование   функций   текстовых   задач   позволяет   сделать вывод   о   том,  что   функции   задач   в   обучении   взаимосвязаны,  однако   в   каждом конкретном случае выделяется и реализуется ведущая функция задачи.  1.4. Классификация текстовых задач Существует   множество   различных   подходов   к   классификации   текстовых задач. Рассмотрим некоторые из них.  Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий   [7] предлагают классифицировать задачи по характеру объекта, отношению к теории и характеру требований. Задачи,   решаемые   в   школе,   различаются   в   первую   очередь  характером своих   объектов.   В   одних   задачах   объектами   являются   реальные   предметы,   в других ­ все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т.д.).   Первые   задачи,   в   которых   хотя   бы   один   объект   есть   реальный   предмет, называют  практическими  (житейскими,   текстовыми,   сюжетными);   вторые,   все объекты которых математические ­ математическими задачами. Математические   задачи,   для   решения   которых   в   школьном   курсе математики имеются готовые правила (в любой форме) или эти правила следуют из каких­либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, называются  стандартными. При этом предполагается, что для выполнения отдельных шагов решения стандартных задач в курсе математики также имеются вполне определенные правила. Нестандартные задачи  ­ это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точный алгоритм их решения.  [7] все задачи По характеру требования Л.М. Фридман и Е.Н. Турецкий  делят на три основных класса. Задачи   на   нахождение   искомого.   В   задачах   этого   класса   требование состоит в том, чтобы найти, разыскать, распознать какое­то искомое. При этом искомым   могут   быть   величина,   отношения,   какой­либо   объект,   предмет,   его положение или форма и т. д.  12 Примерами задач этого класса являются задачи на вычисление различных выражений, значений функций, задачи на установление характера функции и т. д. Задачи   на   решение   различных   уравнений,   систем   уравнений,   неравенств   и   их систем также принадлежат к этому классу задач, ибо в каждой из них нужно найти значения некоторых переменных, удовлетворяющих определенным условиям. Этот класс задач многочисленный и разнообразный.  Задачи   на   доказательство   или   объяснение.   В   задачах   этого   класса требование   состоит   в   том,   чтобы   убедиться   в   справедливости   некоторого утверждения,   или   проверить   верность   или   ложность   этого   утверждения,   или, наконец, объяснить, почему имеет место то или иное явление, тот или иной факт. Все задачи, требование которых начинается со слов «доказать», «проверить» или содержащие вопрос «Почему?», относятся к этому классу задач.  Задачи   на   преобразование   или   построение.   К   этому   классу   относятся задачи, в которых требуется преобразовать какое­либо выражение, упростить его, представить   в   другом   виде,   построить   что­либо   (например,   геометрическую фигуру или выражение), удовлетворяющее указанным условиям. Класс этих задач также весьма обширен. Характерной особенностью задач этого класса является то, что в каждой из них заданы какие­то объекты (элементы, выражения), из которых требуется создать, построить, сконструировать другой какой­то объект с заранее известными свойствами.   Т.Е. Демидова и А.П. Тонких   [10] предлагают классифицировать задачи по их типу и виду, понимая под типом задачи классификацию по содержанию: задачи на движение, задачи на части, задачи на проценты и т.п. Внутри каждого типа в зависимости от логической структуры задачи различают виды задач.  Так же задачи можно классифицировать таким образом: 1. по содержанию:   экономического содержания:  купля – продажа;  оптимальный выбор; 13 спрос – предложение;   бизнес.  физического содержания.    прямая пропорциональная зависимость:  движение (в том числе движение по суше и реке);  работа (в том числе и совместная). задачи на смеси, сплавы, растворы.  2. по методу решения:   арифметические;  алгебраические (составление уравнений, неравенств и их систем);   комбинированные. 3. по специфике языка:  геометрические (через использование геометрических фигур и их свойств);  текстовые (условие представлено на естественном языке);  сюжетные (присутствует фабула);  абстрактные (предметные). Всякая типология задач является условной и зависит от многих обстоятельств. Так,   например,   одну   и   ту   же   задачу   можно   решить   и   арифметическим,   и алгебраическим,   и   геометрическим   методами.   А   отнесение   задачи   к   тому   или иному   виду   по   степени   проблемности   зависит   от   того,   кто   решает   задачу. Несмотря   на   это,   различные   типологии   позволяют   учителю   более   осознанно подходить к отбору задач в зависимости от целей обучения [12]. Итак, существует достаточно большое количество различных классификаций. Отразим их многообразие в данной схеме (Приложение 1). 1.5.  Методы решения текстовых задач Существуют   различные   методы   решения   текстовых   задач:   арифметический, алгебраический, графический, геометрический. 1. Арифметический метод.  Решить   задачу   арифметическим   методом  ­   значит найти  ответ  на  требование  задачи  посредством  выполнения   арифметических действий над значениями указанными в задаче [9] .  14 Одну и туже задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи. В   методике   преподавания   отличают   типы   задач,   для   которых   наиболее целесообразным является арифметический метод решения:   все   простые   задачи,   решаемые   одним   из   четырех   арифметических действий;  задачи   на   нахождение   дроби   (части)   числа   и   числа   по   известному  значению   его   дроби   (части),   отношения   одного   числа   и   другого   и соответствующие им задачи на проценты.  В   задачах   указанных   типов   нет   необходимости   вводить   переменную   для нахождения   искомого.   При   арифметическом   методе   формы   записи   решения вопрос с последующим действием;  могут быть:   действие с последующим объяснением;    числовое решение без текста. запись решения с предшествующим пояснением;  2. Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом ­ значит найти ответ   на   требование   задачи,   составив   и   решив   уравнение   (неравенство)   или систему уравнений (неравенств) [9] . Если   для   одной   и   той   же   задачи   можно   составить   различные   уравнения (системы   уравнений),   то   это   означает,   что   данную   задачу   можно   решить различными алгебраическими способами. При обучении решению алгебраическим методом целесообразно требовать от школьников проговаривать мотивировки составления уравнений. Желательно одну и ту же задачу решать, составляя различные уравнения при выборе за неизвестное различные величины. 3. Геометрический   метод.  Решить   задачу   геометрическим   способом   –   значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.   15 В   геометрическом   методе   предусматривается   использование   геометрических объектов   и   их   свойств,   при   решении   задачи   в   рамках   математической   модели (метод сравнения длин отрезков (отрезочные диаграммы), метод подобия, метод площадей (двумерные диаграммы)). Основным преимуществом геометрического решения является наглядность, так как чертёж помогает глубже понять условие задачи. 4. Графический   метод.  Л.М.   Фридман   выделяет   в   отдельный   метод   решения текстовых задач ­ графический метод. Для которого достаточно знать только график прямой пропорциональности. При графическом решении задач удобнее пользоваться переменной системой, а именно иметь на одном и том же чертеже несколько  различных  систем  координат  для  построения  заданных  в  условии задачи зависимостей, причем каждая зависимость изображается в своей системе координат. Следует отметить, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает   решение   различными   способами,  т.е.   решение   с  помощью   различных моделей.   В качестве примера рассмотрим несколько вариантов решения одной задачи (Приложение 2). 1.6. Этапы решения задач Выделяются четыре этапа решения текстовой задачи [9] : 1   этап.   Анализ   задачи.  Основное   назначение   этапа   ­   осмыслить   ситуацию, описанную   в   задаче;   выделить   условия   и   требования,   выделить   все   отношения между   объектами   задачи.   Анализ   задачи   может   проводиться   по   двум направлениям:   предметно­содержательный анализ ­ это декодирование условия задачи в целом, воссоздание той реальной задачной ситуации, моделью которой является данная задача. Такой анализ обычно проводят устно, и создаваемая на основе этого анализа задачная ситуация образует у решающего мыслительный образ сюжета задачи.  16  логико­семантический   анализ   ­   это   анализ   текста   задачи   для   установления величин, их значений и соотношений между ними, заданных в тексте задачи, разбиения   тем   самым   текста   задачи   на   отдельные   элементарные   условия   и требования. Таким образом, выявляется структура задачи. Для   оформления   результатов   анализа   используются   разного   рода схематические записи задач. Схематическая запись ­ это вспомогательная модель, помогающая перевести текст задачи со словесного языка в математический. Схематическая запись может быть представлена в виде:   схемы;   таблицы;   чертежа;  рисунка;   ключевых слов.  К   выполнению   чертежей   предъявляются   требования:   они   должны   быть наглядными,   четкими,   соответствовать   тексту   задачи;   на   них   должны   быть отражены по возможности все данные, входящие в условие задачи; выделенные на них данные и искомые должны соответствовать условию задачи и общепринятым обозначениям.  После построения вспомогательной модели необходимо проверить:   все ли объекты задачи показаны на модели;  все ли отношения между объектами отражены;   все ли числовые данные приведены;   есть ли требование.  2 этап. Поиск плана решения задачи. Назначение этапа ­ завершить установление связей   между   данными   и   искомыми   величинами   и   указать   последовательность использования этих связей (составить план решения).  Поиск   пути  решения   можно  осуществлять   от  вопроса   задачи   к  данным ­ аналитически путь, или от данных к вопросу ­ синтетический путь.  Анализ в форме рассуждения от искомого к данным подразделяется на два вида восходящий и нисходящий. 17 Общая   схема   восходящего   анализа   заключается   в   следующее:   пусть требуется доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого следует А. Затем отыскиваем утверждение С, из которого следует В, и т. д. до тех пор, пока находим путь решения задачи.  Обычно восходящий анализ применяют совместно с синтезом. Используемый при этом метод называют аналитико­синтетическим или методом попеременного движения   с   двух   сторон   ­   от   данных   задачи   к   искомому   и   обратно.   Сначала стараются получить ряд следствий из данных, а затем ­ такие утверждения, из которых   следовало   бы   искомое.   Далее   опять   возвращаются   к   данным   и   т.   д. Особенности данного метода:   при восходящем анализе не требуется обратимости рассуждений, так как возможность   обратного   перехода   проверяется   на   каждом   шаге   поиска решения;   применяя   восходящий   анализ,   мы   фактически   пользуемся   аналитико­ синтетическим методом;   общая   схема   восходящего   анализа   несколько   отличается   от   формы, словесных рассуждений при его использовании. Учащиеся должны хорошо усвоить эту форму: «Чтобы доказать..., достаточно доказать...» На первых порах   учащиеся   обычно   заменяют   термин   «достаточно»   словом   «   надо». Разъясняем, что здесь более подходит термин «достаточно», поскольку мы можем   подобрать   несколько   различных   утверждений,   для   каждого   из которых искомое является следствием;   в   общей   схеме   восходящего   анализа   (в   отличие   от   нисходящего)   не разъясняется,   как   получить   утверждение,   из   котором   следует   искомое. Такое утверждение подыскивается, исходя из конкретных условий решаемой задачи.  Сходство восходящего анализа с нисходящим заключается в том, что у них одна и та же форма анализа ­ рассуждения от искомом к данным.  18 В.А.   Далингeр   предлагает   разбор   задачи   от   ее   вопроса   к   ее   условию изобразить   в   виде   схемы   ­   «дерево   рассуждений».   Построение   этого   «дерева» называется анализом, а решение задачи по данной схеме ­ синтезом. 3 этап. Осуществление плана решения задачи. Назначение этапа ­ найти ответ на   требование   задачи,   выполнив   все   действия   в   соответствии   с   планом. Немаловажную роль играет запись решения.  4   этап.   Проверка   решения   задачи.  После   того   как   решение   осуществлено   и изложено   (письменно   или   устно),   необходимо   убедиться,   что   это   решение правильное,   что   оно   удовлетворяет   всем   требованиям   задачи,   для   этого производят проверку решения.  Проверка решения текстовых задач может быть прямой или косвенной, в свою   очередь,   каждая   из   них   может   быть   полной   или   неполной   (частичной). Прямая полная проверка решения состоит в том, что мы убеждаемся в выполнении всех   условий   задачи   при   найденных   значениях   искомых.   Неполная   проверка состоит в том, что мы проверяем выполнение не всех условий, а лишь некоторых. Косвенную   проверку   задачи  можно   произвести  с  помощью   составления   и решения  обратной  задачи. Обратная  задача   составляется   путем  обмена  ролями одного из искомых с каким­либо из данных, т.е. найденное значение одного из искомых   принимают   за   данное,   а   одно   из   данных   считают   искомым.   Если   в результате   решения   обратной   задачи   получают   значение,   совпадающее   с выбранным   данным,   то   это   показывает,   что   проверка   «сошлась».   Косвенную проверку решения задачи можно выполнить и с помощью решения этой же задачи каким­либо другим способом.  Анализируя   вышеизложенное   можно   сделать   вывод,   что   для   решения текстовых задач необходимо знать основные этапы решения и некоторые приемы их выполнения. Принято выделять четыре основных этапа решения задач: анализ задачи,     поиск   плана   решения   задачи,   осуществление   плана   решения   задачи, проверка решения задачи. 19 20 Методика решения текстовых задач различными способами  Решить математическую задачу ­ это значит найти такую последовательность общих   положений   математики   (определений,   аксиом,   теорем,   правил,   законов, формул),   применяя   которые   к   условиям   задачи   или   к   их   следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче, ­ ее ответ [7] .  Под решением задачи Г.А. Балл понимает воздействие на предмет задачи, обусловливающее   ее   переход   из   исходного   состояния   в   требуемое.   Решенная задача, т. е. задача, предмет которой приведен в требуемое состояние, перестает быть задачей [6] .  2.1.  Методика решения задач арифметическим способом Арифметический   способ   состоит   в   нахождении   значений   неизвестной величины с помощью составления числового выражения и подсчета результата, он является основным в начальной школе и в 5 – 6 классах Арифметический способ имеет большое значение для развития мышления школьника, в том числе и его эвристической составляющей. С умением работать с задачей   формируются   такие   универсальные   действия,   как   моделирование   и оперирование различными видами моделей; анализ и синтез; интуиция и развитие речи. Основное   затруднение   при   работе   с   задачей   касается   перевода   ее   с естественного языка на математический, которое для арифметического способа выражается в следующем. Во­первых, ученики не понимают значения сочетаний «меньше   на...»,   «больше   на...»,   «меньше   в...»,   «раньше»   и   т.д.   Причем   ошибки касаются именно момента перехода от естественного языка к математическому действию. Пока ученик остается на позициях естественного языка, он правильно отвечает   на   вопросы,   а   как   только   начинает   записывать   условия   с   помощью математических действий, появляются ошибки. Во­вторых, школьники не могут 21 выделить   из   текста   задачи   величины   и   зависимости   между   ними,   не   видят   за выполняемыми действиями смысла того, что делают.  Рассмотрим этапы работы с текстовой задачей, решаемой арифметическим способом.  Задача 1.  По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения   до  того  момента, как   второй  мальчик  догонит  первого,  между  ними бегает  собака со  скоростью 8 км/ч. От  идущего позади мальчика  она  бежит  к идущему  впереди,  затем  сразу   же  разворачивается   и  бежит   назад   и  т.д.  Какое расстояние пробежит собака? 1 этап – анализ задачи. Приведем примерный список вопросов (и ответов к ним), задаваемых на этом этапе (табл. 1). Таблица 1. Список вопросов и ответов по тексту задачи 1 Вопросы 1. О чем задача? 2. Что требуется в ней найти? 3. Известна ли скорость собаки? 4. Какова скорость собаки? 5. Известно   ли   время   движения Ответы О движении двух мальчиков и собаки. Расстояние, которое пробежит собака. Да. 8 км/ч.  Нет. собаки? 6. Что   известно   о   времени   движения собаки? 7. Что известно о мальчиках? 8. Известно   ли   расстояние,   которое проходят мальчики? 9. Что известно о расстоянии, которое   до   того   как   второй   догонит проходят   мальчики, момента, первого? Почему? Оно равно времени, за которое 2­й  мальчик догонит первого.  Скорость первого – 4 км/ч, второго – 5  км/ч. Второй догоняет первого. Нет. Второй мальчик на 2 км пройдет больше первого,   так   как   первоначально расстояние между ними было 2 км. По  тексту  задачи  можно  составить  схему  (рис.  1)  или  таблицу (табл.  2), которые могут быть представлены следующим образом. 22 Рис. 1 скорость 4 км/ч 5 км/ч 8 км/ч Таблица 2. Таблица по тексту задачи 1 Время одинаковое расстояние ? На 2 км больше, чем 1 ? 1 мальчик 2 мальчик собака Для формирования у учащихся приемов постановки вопросов необходимо организовать целенаправленную работу. В начале объясняем, по какому принципу задаются   вопросы.   После   этого   одну  задачу  разбираем  вместе.  Причем совершенно  не  обязательно ее решать (наша цель – отработать умение задавать вопросы). Ко второй задаче вопросы ставит ученик, мотивируя их и,  конечно, отвечает. Класс вместе с учителем его проверяют. К третьей задаче школьники пытаются поставить вопросы самостоятельно. Обязательно записывают их. После окончания   работы   вопросы   должны   быть   проверены,   уточнены   и   исправлены. Конечно, это требует  значительных  временных  затрат,  но  иначе  большая  часть детей не научится формулировать вопросы на первом этапе работы с задачей. 2 этап – поиск плана решения задачи. Вначале осуществим поиск, двигаясь от условия к заключению (синтетический путь).  Синтетический путь для задач, решаемых арифметическим   способом,   часто оказывается    продуктивнее и экономичнее других. Причина в том, что задача обычно       сама «подсказывает», какие два данных брать. Здесь важно, чтобы ученик видел смысл производимых действий. Рассмотрим, как может выглядеть поиск решения нашей задачи. 23 1. Какие два данных можно взять, чтобы с их помощью найти что­либо  третье? Скорее всего, ученики сразу предложат взять скорости мальчиков и  найти их скорость сближения (vсб.):vсб.=v2−v1 2. Считаем  vсб.  найденной, но эта величина не является искомой. Вводим  vсб. в   условие   и   снова   выбираем   два   данных.  Чаще   всего   на   этом   этапе необходимо использовать «найденную величину». В нашем  случае это  vсб. . Попробуем из условия найти еще одно  данное, связанное с  vсб.  и с помощью этих величин  найти что­то третье. Ясно, что со скоростью сближения непосредственно связано первоначальное расстояние между мальчиками (2 км). С помощью   vсб.   и расстояния  (2 км) можно найти время, которое потребовалось второму мальчику, чтобы догнать первого  tM.=2:vсб. 3. tM.   не   является   искомой   величиной,   следовательно,   продолжаем   поиск. Считаем «найденным» время движения мальчиков. Так как на первом этапе работы с задачей выяснили, что время движения мальчиков и время движения одинаковы, то ученики легко сделают переход  tM.=tсоб. 4. Время   движение   и   скорость   собаки   известны,   следовательно,   можно   найти расстояние, которое пробежит собака  S=vсб.∙   tсоб.. 5. Расстояние  S  является искомым, следовательно, поиск   решения окончен. 3  этап – оформление решения  задачи арифметическим способом – может быть проведен   по­разному.   В   школьном   курсе   математики  используют  три разновидности.  Способ   1.  Решение   оформляется   с  помощью  числового  выражения.  В  нашем случае выражение будет иметь следующий вид: 24 8 ∙ (2 : (5 – 4)) = 16. Ответ: 16 км пробежит собака. Ответ к задаче может быть записан полностью, а может и кратко (16 км). Способ 2. Решение оформляется по действиям, в каждом действии вычисляется результат и записывается пояснение. 1)5   –   4   =   1   (км/ч)   –   скорость,   с   которой   сокращается   расстояние   между мальчиками (или скорость сближения мальчиков). 2)2 : 1 = 2 (ч) – время, через которое второй мальчик догонит первого. 3)8 ∙ 2 = 16 (км) – расстояние, которое пробежит собака. Способ 3. Запись вопросов и соответствующих действий. С   какой   скоростью   второй   мальчик   догоняет   первого?   (Какова   скорость сближения мальчиков?) 5 – 4 = 1 (км/ч) 1)Сколько времени потребуется второму мальчику для того, чтобы догнать первого? 2 : 1 = 2 (ч) 2)Какое расстояние пробежит собака? 8 ∙ 2 = 16 (км) Ответ: 16 км. 4  этап.  Практически  во  всех  задачах,  решаемых  арифметическим  способом, проверку  результата  можно  провести  путем  его  подстановки в текст задачи. Легче всего это сделать с помощью краткой записи (таблицы), составленной на первом этапе (табл. 3). 1 мальчик 2 мальчик собака скорость 4 км/ч 5 км/ч 8 км/ч Таблица 3. Проверка результатов в задаче 1 Время 3 ч расстояние 12 км 15 км 16 км 2.2. Методика решения задач алгебраическим способом При решении задачи алгебраическим способом ответ на  вопрос находится в результате составления и  решения уравнения. Причем на его вид будет оказывать влияние   выбор  величин,  обозначаемых   переменными,   и   ход   рассуждений  при 25 установлении   зависимостей   между   ними.   Поэтом   текстовая  задача   имеет несколько   разновидностей  решения  алгебраическим   способом.   Обязательной является проверка  полученных  корней уравнения (системы) по смыслу задачи. Этот вид работы  не  относится к 4­му этапу, им заканчивается третий.  Ученики должны   осознать,  что  не  всегда  корень  уравнения  будет  решением  задачи. Школьники   испытывают   много   затруднений   при   решении   такого   рода   задач. Наиболее  распространенным является то, что они не могут  ввести  буквенное обозначение или делают это неудачно.  После  введения  буквенного  обозначения не  могут  перевести условие на математический язык.   Одним из эффективных средств устранения затруднений считают отработку у  учащихся  умения сводить  условие задачи в таблицу. Прежде чем  составить таблицу по задаче, нужно понять ее, выделить элементы и установить связи между ними. Рассмотрим  на  конкретном  примере  организацию  работы  с  задачей,  решаемой алгебраическим способом.  Задача 2.  Кусок  сплава  меди  и  цинка  массой  36  кг  содержит  45  % меди. Какую   массу   меди   нужно   добавить   к   этому   куску,   чтобы   полученный   сплав содержал 60 % меди? 1   этап  (ознакомление   с   содержанием   задачи)   осуществляется   теми   же приемами, что и для арифметического способа. Особенностью является лишь то, что в краткую запись, таблицу, схему часто вводят переменную. Составим по тексту задачи таблицу. Для этого необходимо получить ответы на   вопросы,   сформулированные   примерно   следующим  образом.  Представим вопросы, ответы на них и выводы, которые должны сделать учащиеся. В процессе работы заполняем таблицу. Вопрос Ответ Таблица 4. Анализ текста задачи 2 Вывод 26 1. О чем говорится в  задаче? О двух сплавах, состоящих  из меди и цинка. 2. Что известно о  первом сплаве? Его масса 36 кг. Первый  сплав содержит 45 % меди. 3. Если известна  масса сплава и  процент содержания  в нем меди, то что  можно найти? 4. Что известно о  втором сплаве? Массу меди в сплаве. Она  будет равна  36 100 ∙45 Его масса неизвестна.  Известен процент меди во  втором сплаве. В таблице должны быть  две основные строки (для  первого и второго  сплавов). Значит, в таблице должны  быть столбцы для массы  сплава и процента меди. Поэтому необходимо  ввести еще один столбец  для массы меди в сплаве.  Если ученики правильно ответили на поставленные вопросы  и сделали выводы, то они, скорее всего, поместят задачу в таблицу. Таблица 5. По тексту задачи 2 I сплав Масса сплава 36 кг Процент меди 45 % Масса меди 36∙45 100 ? II сплав 2 этап (поиск решения). Поиск можно осуществить по­разному. Рассмотрим два его варианта. 60 % Вопросы Как получился второй сплав? Ответы Добавили к первому сплаву медь. Таблица 6. Первый вариант поиска способа решения задачи  Сколько? Предположим, что х нам известно. Что  мы можем тогда  найти? Как? Нам известна масса второго сплава. Что  тогда можно найти? Неизвестно, пусть будет х кг. Массу второго сплава, (36+х) кг. Массу меди в нем. Она будет равна   36+x 100 ∙60кг 27 Как по­другому можно найти массу меди во втором сплаве? ( 36∙x 100 +x)кг На   последний   вопрос   обычно   трудно   получить   ответ.   Ученикам   сложно переключиться на другую веточку рассуждения, так как они уже ответили, что масса меди во втором сплаве  равна  36+x 100 ∙60  . Можно задать дополнительные вопросы. В  каком сплаве меди больше? Почему? На сколько кг во втором сплаве меди больше, чем в первом? После того как мы получили от учеников все необходимые ответы, таблица 5 будет окончательно заполнена. Таблица 7. Конечный вариант таблицы по тексту задачи Масса сплава 36 кг Процент меди 45 % I сплав Масса меди 36∙45 100 II сплав 36∙xкг 60 % 36+x 100 ∙60  или  36∙45 100 +x Остается составить по последней строчке уравнение и решить его.  Приведем   пример   второго   варианта   поиска   способа   решения   задачи   с использованием движения от заключения к условию. Вопрос 1. Что нужно найти? 2. Как это можно сделать? Таблица 8. Второй вариант поиска способа решения задачи Ответ Массу меди, которую необходимо добавить к  первому сплаву. Возможны два варианта действий. Во­первых, от  массы меди, содержащейся во втором сплаве,  отнять массу меди в первом сплаве. Во­вторых,  можно из массы второго сплава отнять массу  первого сплава. 28 3. Проведем рассуждения  по первому пути. Известна  ли нам масса меди в первом  и втором сплавах? 4. Что достаточно знать для того, чтобы найти массу  меди во 2 сплаве? 5. Выяснили, что масса  второго сплава нам  неизвестна. Задаем вопрос:  как можно ее найти? В первом сплаве масса меди равна 36∙0,45. Масса  меди во втором сплаве неизвестна. Достаточно знать массу второго сплава. Тогда мы ее умножим на 0,6 и найдем массу меди. Нужно к массе первого сплава (36 кг) прибавить  массу добавленной к нему меди. Круг  замкнулся,  так  как  мы  начали   анализ  именно  с нахождения  массы добавленной меди. Это сигнал к тому, что нужно вводить переменную. Обозначим через  х  кг   массу   меди,   добавленную   к   первому   сплаву.   Сейчас   по   цепочке поднимаемся вверх и составляем выражения. На пятом шаге получаем (36+х) кг – масса   второго   сплава.   На   четвертом   –   0,6∙(36+х)   кг   –   масса   меди   во   втором сплаве. На втором – [0,6∙(36+х)–0,45∙36] кг – масса добавленной меди. На первом шаге – х кг – масса добавленной меди. Составляем   и   решаем   уравнение:   0,6∙(36+х)–0,45∙36=х.   Выразим   массу  меди, добавленную к первому сплаву, двумя способами и приравняли выражения. 3 этап (решение уравнения). В нашем случае получилось уравнение первой степени (наша задача может быть решена арифметическим способом). Вычислим, что  х=13,5. Значит, масса меди, добавленная к первому сплаву, равна  13,5  кг. Оцениваем полученное значение по смыслу задачи. Оно удовлетворяет ему. 4 этап. Проверку результата можно осуществить с помощью введения его в текст задачи. Выделим главную идею решения. Она уже называлась: записать одну из   величин   двумя   способами   и   приравнять   выражения.   Обращаем   внимание учеников  на то, что  в  задачах  на  сплавы и  смеси  бывает  полезно  выделить   ту величину, которая не изменяется, и для нее составить уравнение. В нашем случае – это   цинк.   Можно   найти   его   массу   в   первом   сплаве   (0,55∙36   кг),   во   втором   – (0,4∙(36+х) кг) и оба выражения приравнять. Получим уравнение 0,4(36+х)=0,55∙36. 29 Как   было   сказано,   данная   задача   может   быть   решена   арифметическим способом.   Найдем   его.   Во   втором   варианте   поиска   у   нас   остался неосуществленным путь (табл. 10, вопрос 2), который наводит на мысль, чтобы вычислить   массу   второго   сплава.   Попробуем   это   сделать.   Мы   уже   вычислили массу  цинка  в первом  сплаве (0,55∙36=19,8  кг). Тогда  во  втором сплаве  цинка также   19,8   кг,   и   на   него   приходится   40   %   всего   сплава.   Можно   найти   массу второго сплава:   19,8∙100 40 =49,5 (кг). Следовательно, получено решение задачи арифметическим способом. Остается сравнить между собой разные варианты. 30 Заключение В   ходе   курсовой   работы   мы   ознакомились   с   историей   использования текстовых   задач. Узнали  что, применение  текстовых   задач     зарождается  еще  в древности,   а   методика   обучения   решения   задач   была   разработана   достаточно хорошо   лишь   в   середине   XX   века.   Проанализировали   различные   подходы   к понятию   текстовая   задача.   Пришли   к   выводу,   что   существует   множество различных определений данного понятия. Рассмотрели различные классификации текстовых   задач.   Изучили   основные   этапы   решения   и   некоторые   приемы выполнения текстовых задач.  По результатам данной работы можно сделать вывод о том, что огромную роль играет умение решать текстовые задачи рассмотренными нами способами. Данные   способы   решения   текстовых   задач   приучают   учащихся   к   первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического   чувства,   вызвать   интерес   к   процессу   поиска   решения   задачи.   В практике   используются   разные   способы   решения   задач.   Выработать   умения разделять задачи на составные части, использовать  различные методы решения, применять   приемы,   помогающие   понять   задачу,   составить   план   решения, выполнить его, проверить решение, уметь выполнять каждый из этапов решения.  Результатом   работы   является   раскрытие   методики   обучения   решению текстовых   задач.   Следует   обучать   школьников   переводу   текста   задачи   на математический  язык.  Необходимо  учить выявлять  связи и  зависимости  между величинами,   формировать   у   учащихся   аналитико­синтетическую   деятельность. Целесообразно рассмотрение решение одной и той же задачи разными методами. Использование   алгоритмов,   таблиц,   рисунков,   схем,   общих   приемов   дает возможность   ликвидировать   у   большей   части   учащихся   страх   перед   текстовой задачей, научить распознавать типы задач и правильно выбирать прием решения. Табличная   форма   записи   условия   и   требования   текстовых   задач   эффектное 31 средство обучения учащихся решению текстовых задач алгебраическим способом. Необходимо   формировать   у   учащихся   приемы   самоконтроля   при   решении текстовых задач.  32 Список используемой литературы 1. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач/Вопросы  методики математики. – М.: МЦНМО, – 1946.  2. Баженова Н.Г. Теория и методика решения текстовых задач. ­ М.: Флинта, 2012. 3. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого­педагогический аспект. ­ М.:  Педагогика, 1990.  4. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач. ­ М.:  Издательский центр «Академия», 2002.  5. История появления текстовых задач  [Электронный ресурс] //URL:  http://www.hintfox.com/article/storija­pojavlenija­tekstovih­zadach.html [Дата  доступа: 12.10.2015] 6. Колягин Ю.М. Функции задач в обучении математике и развитие мышления  школьников / Советская педагогика,  № 6, 1974. 7. Магницкий Л.Ф.   Арифметика, 1703. 8. Овчинникова М.В. Методика работы над текстовыми задачами в начальных  классах– К.: Пед.пресса, 2001. 9. Стефанова Н.Л.  Методика и технология обучения математике. – М.: Дрофа,  2007.  10.Стойлова Л.П. Математика. – М.: Академия, 2002. 11.Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика. –  М: Школьная пресса, 2002. 12.Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научится решать задачи. – М.: Просвещение,  1989. 33 Схема 1. Классификация текстовых задач Приложение 1. По характеру объектов По отношению к теории практические математические стандартные нестандартные По характеру требования ЗАДАЧИ По содержанию По методу решения По специфике языка нахождение искомых преобразование доказательство экономические физические движение, работа смеси, сплавы арифметический алгебраический геометрические комбинированные текстовые сюжетные абстрактные 34 Приложение 2. Пример.  Чтобы   доставить   письмо   за   2   ч   40   мин   из   А   в   В,   расстояние между которыми 70,5 км, почтальон ехал сначала на велосипеде со скоростью 12,75 км/ч, а затем на мотоцикле со скоростью 67,5 км/ч. Сколько времени ехал почтальон на велосипеде и сколько на мотоцикле?  I (арифметический метод)  1)  12 3 4 ∙2 2 3  = 34 (км) ­ проехал бы почтальон, если бы все 2 ч 40 мин. Ехал на велосипеде;  2)   70,5   ­   34   =   36,5   (км)   ­   расстояние,   которое   осталось   бы   проехать   на мотоцикле; 3) 67,5 ­ 12,75 = 54,75 (км/ч) ­ разность скоростей мотоцикла и велосипеда;  4) 36,5 : 54,75 =  2 3  (ч) ­ он ехал на мотоцикле;  5) 2 2 3− 2 3  = 2 (ч) ­ ехал на велосипеде.  II (алгебраический метод)  Пусть х часов почтальон ехал на велосипеде, тогда ( 2 2 3−¿ х) ­ время движения на мотоцикле. Путь, пройденный на велосипеде 12,75  ∙  х км, а путь, пройденный на мотоцикле 67,5 ∙ ( 2 2 3−¿ х). Так как весь путь 70,5 км, составим уравнение:  12,75х + 67,5 ∙ ( 2 2 3−¿ х) = 70,5  Решая данное уравнение, получаем х = 2 (ч).  III (графический метод) На оси абсцисс откладывается время, на оси ординат ­ расстояние. В таком случае   абсцисса   любой   точки   графика   движения   указывает   момент   времени,   а 35 ордината той же точки ­ в каком месте пути в этот момент находится точка. Если на одном чертеже построены два графика движения, причем графики движения пересекаются в некоторой точке, то абсцисса точки пересечения показывает время встречи движущихся объектов, а ордината ­ место встречи.  Движение   на   велосипеде   задается   графиком   функции   s   =   12,75t,   на мотоцикле s = 67,5t + b . Учитывая, что график проходит через точку ( 2 2 3 ; 70,5   ),   находим   b   =   ­109,5.   Точка   пересечения   графиков   находится   решением системы уравнений: t = 2, s = 25,5. IV (геометрический метод)  Ot ­ ось времени, Оv ­ ось скорости; 12,75 ­ скорость велосипедиста, 67,5 ­ скорость   мотоциклиста;   t­   время,   затраченное   почтальоном   на   движение   на велосипеде.  Путь, пройденный почтальоном, можно представить в виде суммы площадей прямоугольников  S1  и  S2  или площадью прямоугольника со стороной 67,5 и без площади прямоугольника   S3  , то есть   S1  +   S2  =   S  = 70,5 (км) или 36 S   = 67,5 ∙2 2 3 −S3 .   S3    = (67,5 ­12,75)t, имеем 67,5 ∙2 2 3 −¿   (67,5   −¿ 12,75) ∙  t =70,5.t =2.   Таким образом, мы увидели, что существуют различные методы решения  текстовых задач, которые  позволяю решать задачи различными способами. Для  развития обучающихся целесообразно показывать, что та или иная задача может  быть решена несколькими различными методами, так как это позволит учащимся  лучше усваивать материал, развивать функциональное мышление детей, а также  умение отыскивать наиболее рациональные решения. 37