МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ, ОБ ИЗУЧЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИИ В ШКОЛЕ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ, ОБ ИЗУЧЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИИ В ШКОЛЕ Мусайбеков Р.К.1, А.О. Даутов 2 1ак.доцент, магистр естест. наук, КГУ им. Ш.Уалиханова, Казахстан 2 докторант специальности математика, КГУ им. Ш.Уалиханова, Казахстан Аннотация.  Статья   посвящена   визуолизации   текущей   ситуации   в   изучении   тригонометрии. Расматриваем   основу     тригонометрии   как   эстетическое   воспитание   учащихся   во   время изучения   как   предмет,   представлены   программы   обеспечивающие   анализ   выполнения, рассмотрен единичняя окружность как основное средство изучения раздела школьного курса алгебра ­ тригонометрия. Ключевые слова: школьное обучение, тригонометрия, анализ школьных учебников по алгебре. Keywords: schooling, trigonometry, analysis of school textbooks on algebra. Совершенствование   учебного   процесса   идет   сегодня   в   направлении   т   увеличения активных методов обучения, обеспечивающих глубокое проникновение в сущность изучаемой проблемы, повышающих личное участие каждого обучающегося и его интерес к учению [1]. Определим,   что   такое   исследовательская   деятельность?   По   определению   И.А.Зимней   и Е.А.Шашенковой,   исследовательская   деятельность   —   это   «…деятельность,   которая регулируется   сознанием   и   активностью   личности,   направлена   на   удовлетворение познавательных, интеллектуальных потребностей, продуктом которой является новое знание, полученное в соответствии с поставленной целью и в соответствии с объективными законами и   наличными   обстоятельствами,   определяющими   реальность   и   достижимость   цели. Определение   конкретных   способов   и   средств   действий,   через   постановку   проблемы, вычленение объекта исследования, проведение эксперимента, описание и объяснение фактов, полученных   в   эксперименте,   создание   гипотезы   (теории),   предсказание   и   проверку полученного знания, определяют специфику и сущность этой деятельности» [2]. В.А.Далингер учебно­исследовательской   деятельности   дает   следующее   определение:  «...это   специально организованная   учебная   деятельность   под   руководством   педагога,   направленная   на исследование   различных   объектов   с   соблюдением   процедур   и   этапов,   близких   научному исследованию, но адаптированных к уровню познавательных возможностей школьников» [3]. К   такой   деятельности   учащихся   является   решение   задач   по   определенной   теме. Возьмем к примеру раздел тригонометрии в школьном курсе математики Чтобы научиться хорошо решать примеры, уравнения и неравенства по какой­либо определенной теме, надо тщательно изучить теоретический материал, владеть формулами, таблицами,   чертежами.   Умелое   сочетание   теоретического   и   практического   материала, использование формул – вот слагаемые успеха!  Материал,   который   связан   с   тригонометрическими   уравнениями   и   неравенствами, занимает значительное место в школьном курсе математики и нам известно, что эти темы широко   используются   в   определенных   разделах   математики,   в   том   числе   и   в   решении прикладных задач.  Тема  «Решение тригонометрических уравнений» изучается в 10 классе, сразу после рассмотрения   темы  «Обратные   тригонометрические  функции»,   далее   изучаются тригонометрические неравенства [1]. В некоторых учебниках  изучение тригонометрических неравенств идет отдельной главой [2]. Наглядное   представление   об   элементах   тригонометрии   четко   и   отчетливо   можно получить с помощью единичной окружности [5].   C  помощью   данной   единичной   окружности   можно   выполнить   бесчисленное множество операций (действий): 1 переводить углы из градусной меры в радианную; 2 определять знаки соостветствующей тригоно­метрической функции в определенной четверти; 3 значения находить тригонометрических функций углов для синуса, косинуса, тангенса, котангенса; 4 судить об изменении синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла при изменении самого угла; 5 с   помощью   данной   окружности   можно   очень   хорошо   запомнить   формулы приведения; 6 решать уравнения и неравенства. Вот такой большой круг задач можно решить с помощью единичной окружности!!! Но   вместе   с   тем   надо   отметить,   что   с   помощью   единичной   окружности   можно вычислить   значения   тригонометрических   функций   для   углов     2 , k k    0, 1, 2,... совпадают со значениями соответствующих функций для угла . Например:  cos 405  cos   360   45    cos 45  2 2 sin  13 6  sin  6   2   sin  6  1 2 tg 390   tg   360   30    tg 30  ctg  17 4  ctg  4   4   ctg  4  1 ;     3 3 При   изучении   темы   «Тригонометрические   функции»         авторы   придерживаются следующего плана [8]: Глава «Тригонометрические функции» 1 Преобразование тригонометрических выражений  ­ тригонометрические функции числового аргумента ­ основные формулы тригонометрии 2 Основные свойства функций ­ функция ­ исследование функций 3 Основные свойства  тригонометрических  функций ­ периодичность тригонометрических  функций ­ исследование функции  ­ исследование функции  ­ исследование функции  ­ исследование функции  4 Решение тригонометрических уравнений и неравенств ­ арксинус, арккосинус и арктангенс ­ решение простейших тригонометрических уравнений ­ решение простейших тригонометрических неравенств ­ примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений. С   учетом   уровня   подготовленности   учащихся   нужно   предлагать   им дифференцированные задания, для чего можно использовать материал из [9], [10]. В ходе изучения данной темы с целью закрепления изученного материала необходимо проведение   самостоятельных   и   контрольных   работ.   Материал   для   составления   текстов самостоятельных и контрольных работ можно почерпнуть из [11] ­ [20]. Для учащихся со средним уровнем развития учитель может предложить задания типа:  Некоторые   «нетабличные»   значения   отдельных   функций   углов   можнно   вычислять, опираясь на табличные:     15 ;75 ;105   [7].   sin15   sin(45   30 )   sin 45 cos30    cos 45 sin 30    2 2 3 2  2 1 2 2  6 4  2 4 cos15   co s(45   30 )   cos 45  co s30   sin 45 sin 30    2 2 * 3 2  2 1 2 2 *  = 2 6  4 2 6  4           tg 15   tg (45   30 )    sin15  cos15  6  4   : 2 = 2 * 2 = 4 2 6 6  4 6  4 = 6 6   2 2 2 3 ctg 15   1  15 tg  1  2  3  2 3 2(4 3)  = 3 2  2 Из   этого   видно,   что   некоторые   «нетабличные»   значения   отдельных   функций   углов можнно вычислять, опираясь на табличные:   15 ;75 ;105   [7].   При   вычислении   значений   тригонометрических   функций   для   углов   в   75 воспользуемся формулой приведения: sin 75   sin(90     15 ) cos15   6  4   6   2 2  4 3   2  2   2 3 cos 75   co s(90     15 ) sin15 tg 75   tg (90     15 ) ctg 15 ctg 75   ctg (90     15 ) tg 15 Существует   другой   способ   для   вычисления   значений   тригонометрических   функций для углов в  : 75 sin 75   sin(30   45 )   sin 30 cos 45    co s30 sin 45    1 2 * 2 2  3 2 * 2 2 = o cos 75  o cos(45  o 30 )  o cos 45 cos30   o sin 45 sin 30 o  2 2 * 3 2  2 1 2 2 *  2 2 6  4 6  4 o 75 tg  tg o (45  o 30 )  o o 45 tg  tg 1  tg o tg 45 30 30 o  3 1 3 :  3 1 3   3 1  3 1  1  1  1 3 1 3  o 75 tg  o sin 75 o cos 75  6  4 2 : 6  4 2  6 6   2 2  2( 3 1) 2( 3 1)     3 1  3 1  (1­ый способ)  (2­ой способ) И   в   первом,   и   во   втором   способах   избавимся   от   иррациональности   в   знаменателе дроби:  3 1  3 1  ( 3 1)( 3 1) ( 3 1)( 3 1)        3 2 3 1  3 1 2(2   2 3)   2 3   Для сильно подготовленных учащихся можно предложить следующие задания [20]: С   помощью   единичной   окружности вычислить     значения   [6].  sin18 ,cos18 , 18 , tg   ctg  18 На   единичной   окружности   повернем ,   получим начальный   радиус­вектор     на   OA 18 радиус­вектор   r .   Затем   повернем   радиус­ OM вектор   на   угол     получим   радиус­вектор   r . 1OM Координаты точки М обозначим через х и у. Очевидно, что  .   M OM 1   36 Так как треугольник   равнобедренный, то  1M OM  OM M 1 биссектрису  угла  MD OMM 1 . Из курса геометрии известно, что    OMM 1   72 . Проведем  (1). Так как OM MM 1  OD DM 1 треугольники DOM и   DM  равнобедренные, то   и  OD MM 1 1M Следовательно,   (2) OD MM 1 OD DM DM MM ,   . 1 Учитывая теперь, что  ,  OM  1 MM 1 y 2 , из равенств (1) и (2) получим равенство: 1 2 y  2 y  1 2 y ,  2 4 y   1 2 , 4 y 2 y  2 y   1 0, y  .  5   1 4 Так как угол  18 является углом 1 четверти, то y  поэтому  0f .  Вспоминая y   5 1 4 теперь, что по определению  y , получим:   sin   sin18  .  5 1 4 Из треугольника ОМЕ находим, что    cos18  Используя равенства     10 2 5 1 4 . Учитывая, что  x x  1  2 y , имеем:  cos ;   tg   sin cos   ctg   cos sin   , можно найти значения     тангенса  и котангенса.     Зная значения тригониметрических функции, можно определить  СИНУС КОСИНУС 36, 72 и 144  градусов. Рассмотрим задачу из тригономитрического уравнения: 8π 3 arctg ( 2sinx )) = 1 cos ( 8π 3 arctg ( 2sinx ) = 2 πn,  n ∈Z arctg ( 2sinx ) = 3 4 n, n ∈Z tg (arctg ( 2sinx )) = 3 4 tg¿ n), n ∈Z 2sinx  =  3 4 tg¿ n), n ∈Z log2(¿¿sinx) 2 ¿ ¿ log2¿   tg3 4 n), n ∈Z  = sin x =  ¿ log2¿   tg3 4 n), n ∈Z x = (­1) k  arcsin (  ¿ log2¿   3 4 tg¿ n)) + πk,  k ∈Z Исходя   из   вышеуказанных   способов   решения,   можно   показать   красоту   решения множества тригонометрических задач с помощью прикладных программных приложении [21], что  эстетическое   воспитание  занимает  важное   место  в  процессе  формирования  личности. Если   при   этом   использовать   современные   технологии   представления,   эмпирического исследования функции, возможности которых позволяют показать красоту математических объектов в тригонометрии, гармоничность форм графических тел, то можно добиться еще больше результатов как в эстетическом воспитании, так и в математическом образовании в изучении раздела тригонометрии. Одним   из   лучших   средств   для   построения   и   изучения   эстетических   объектов математики в тригонометрии является пакеты с использованием программных продуктов, как:  Они   позволяют   раскрыть   в   полной   мере   все интеллектуальные   и   творческие   возможности   личностей   визуального   представления, развивает воображение, а также расширяет кругозор в области математики [22].  Mathematica,  Mathcad,  Mathlab. Проведенный   педагогами   и   применяя   пакеты   программ   для   решения тригонометрических   задач   по   математике   позволяет   сделать   вывод   о   большом   объеме представления решения и относительно небольшого внимания эмпирическому исследованию, выделенных на изучение тригонометрии, а также о большой доле формализма при изучении тригонометрии, состоящем в том, что усвоение предмета опирается, главным образом, на запоминание   и   представления.   На   наш   взгляд,   существующие   проблемы   можно   решить, учитывая следующие факторы: ­ необходима поддержка мотивации учащихся при изучении тригонометрии через пакет  информационно­коммуникационных технологий. Так, например, тригонометрические   вычисления   применяются   практически   во   всех   областях   геометрии, физики   и   инженерного   дела,   позволяют   измерять   расстояния   до   недалёких   звёзд   в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. А так же в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых   рынков,   электроника,   статистика,   биология,   медицина   (УЗИ,   КТ   и   МРТ), фармацевтика, ЯМР и т.д.; ­ мотивацию учащихся также можно повысить, выделив время на ознакомление   с   программными   продуктами  Mathematica,  Mathcad,  Mathlab,   для   более обширного развития науки о тригонометрии но и всей математики ­ следует добиваться у учащихся   отчетливых   геометрических   представлений,   связанных   с   единичным (тригонометрическим)   кругом   и   графиками   функций   через   продукты   графического начертания. Таким   образом,   использование   вышеперечисленных   инновационных   программных продуктов способствует эстетическому воспитанию, позволяет повысить интерес к обучению, развить   информационно­технологическую   культуру   и   логическое   мышление   в   разделе тригонометрия, сформировать оптимальный анализ поставленной задачи при ее решении. Литература: 1Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10­11 кл. сред. шк. / А. Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, и др.: Под ред. А.Н. Колмогорова. – 3­е изд. – М.: Просвещение, 1993. – 320 с.: ил. 2Алгебра и начала анализа,  10­11 класс, Башмаков М.И., 1992.  3Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8­9 классов. Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. – 4­е изд. – М.: Просвещение, 1997. – 271 с.: ил.   4Алгебра: Учеб.  для 9 кл. сред. шк. / Ю.Н. Макарычев, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского, ­ 2­е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 271 с.: ил.  5Мусайбеков   Р.К.,   Сапаева   М.Х.,   Масалитина   В.В.   Логикалық   ойлауды   дамытуда, математикалық   тіл   мәдениетін   қалыптастыруда   көрнекіліктің   тигізетін   әсері.   Мұғалім журналы. Ақмола облысы білім басқармасының жанындағы облыстық білім қызметкерлерінің біліктілігін арттыру және қайта даярлау институтының ақпараттық – әдістемелік бюллетені. 2009 ж. №2. 6Алгебра   для   9   класса:   Учеб.   пособие   для   учащихся   шк.   и   кл.   с   углубл. Изуч.математики / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С.Симонов, А.И. Кудрявцев; Под ред. Н.Я.Виленкина. – 3­е изд. – М.: Просвещение, 1999. – 384 с.: ил.  7Справочник   по   математике   для   средней   школы.   Цыпкин   А.Г.   /   Под   ред.   С.А. Степанова – 2­е изд. – М.: Наука. Главная редакция физико­математической литературы, 1981.  8Алгебра и начала анализа в 9­10 классах: Пособие для учителя / Л.О. Денищева, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев и др. – М.: 1988. – 272с. 9Мусайбеков   Р.К.   Методика   проведения   уроков   математики   (тригонометрия)   с использованием элементов многоуровневого обучения. – Кокшетау, 2006, ­ 101 с.  10 Статья по многоуровневым заданиям по триг. ур­ям 11 Говоров  В.М.,  Дыбов   П.Т.,  Мирошин  Н.В.,  Смирнова   С.Ф.  Сборник  конкурсных задач   по   математике   (с   методическими   указаниями   и   решениями).   –   М.:   Наука,   Главная редакция физико­математической литературы, 1983. – 384 с. 12 Сборник   задач   по   математике   для   подготовительных   курсов   ТУСУР:   Учебное пособие.   /   З.М.   Гольдштейн,   Г.А.   Корниевская,   Г.А.   Коротченко,   С.Н.Кудинова.   Томск: Томск. гос. ун­т систем управления и радиоэлектроники, 1998. – 199 с. 13 О.Ю.   Черкасов,   А.Г.   Якушев     Математика:   интенсивный   курс   подготовки   к экзамену. 3­е изд., испр. И доп. – М.: Рольф, Айрис­пресс, 1998. – 416 с., с илл. 14 Мерзляк А.Г. та ін. Алгебраичні тренажер: Посібник для шкілярів та абітуріентів / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полоньский, М.С. Якір. – К.: А.С.К., 1997. – 320 с.: 115 іл. 15 Д.Т. Письменный. Готовимся к экзамену по математике, г. Москва, Айрис, 1996 – 254 с. 16 3000 конкурсных задач по математике. 2­е изд., испр. И доп. – М.: Рольф, Айрис­ пресс, 1998. – 624 с., с илл. 17 Сборник задач по математике для поступающих в высш. технич. учеб. заведения / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А.Кордемский и др. : Под ред. М.И. Сканави. – 6­е изд. – Москва: ООО «Издательство АСТ». 18 Якушева Е.В., Попов А.В., Якушев А.Г. 2000 задач и упражнений по математике. Для школьников и абитуриентов. – М.: 1 Федеративная Книторговая Компания, 1998. – 448 с. 19 Дорофеев   Г.В.,   Муравин   Г.К.,   Седова   Е.А.   Математика,   11кл.   Подготовка   к письменному   экзамену   за   курс   средней   школы:   Решение   задач   с   методическими комментариями. – 2­е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2001. – 352 с.: ил.  20 Кривоногов   В.В.   Нестандартные   задания   по   математике:   5­11   классы.   –   М.: Издательство  «Первое сентября», 2003. – 224 с.: ил. 21 A. Dautov, K. Kozhabaev, A. Aktaeva, N. Gagarina, V. Ludwig, S.Zykrina  Esthetic education   in   mathematics   lessons   with   the   use   of   software   products   //  Proceedings   of   the   II International scientific conference "Convergent cognitive information technologies" (Convergent’ 2018), Moscow, Russia, Nov.29­2 Dec., 2018.­  cwpr Volume 2064,  ISSN: 2411­1473 ­ impact  ­  0.27,   SNIP 2017 ­ 0.287 22 Даутов А., Мусайбеков Р.Г.  Эстетическое воспитание на занятиях математики с использованием средств информационных технологий//   АНС «СибАК» : эмпирические исс.: "Личность //sibac.info/arhive­ nf=2018&science11&types      =1&conf=1&conf_type=conference общество" научный журн.    и