Методика решения задач на простые и сложные проценты

Бойкова Анжелика Владимировна                                                                            учитель математики, физики                                                                            МКОУ Кармаклинская СОШ Методика решения задач на простой и сложный процентный рост. Полезно понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью процентов. Например,   в   сообщениях   «заработная   плата   бюджетникам   с   января повышена на 50%» и «заработная плата бюджетникам с января повышена в 1,5 раза» говорится об одном и том же. Точно так же, увеличить в 2 раза ­ это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза­   значит на 200%, уменьшить в 2 раза­ значит уменьшить на 50%. Следует запомнить: 100)а ∙а=(1+ p 100)с ∙с=(1− p 2) Если значение с уменьшилось на p%, то новое значение будет 1) Если значение а выросло на p%, то новое значение будет с− p 100 а+ p 100 3) Если А больше В на p%, то В;      А=(1+ p 100)В p 100 =А А=В+ p 100 Выразим из последней формулы p: p 100 ¿=А (1+ В р=А−В ∙100() В Эта формула даёт ответ на вопрос: на сколько процентов А больше,  чем В. 100 =А−В p В ; В−1;      ;           4) Если В меньше А на q%, то q 100 А;           В=(1− q 100)А; ∙100() В=А­ Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем  А, то из последней формулы, выразив q, получим q=А−В А Внимательный читатель заметил, что если А больше, чем В на p%, то это  не означает, что В меньше А на p%. Убедимся в этом высказывании ещё  раз, решив следующую задачу:                             В классе мальчиков на  25% больше, чем девочек. На сколько процентов девочек в этом классе  меньше, чем мальчиков? Читая данную задачу можно сразу дать ответ: на 25%. Но это не так. Решение: Пусть м­ количество мальчиков,   d­ количество девочек;  (м, d  ∈  N); 25%=  1 4 По условию м=d+  1 4 d;     м=  5 4 d 1 Тогда d=  5 )м;    d=м­  Ответ: девочек на 20% в классе меньше. м;     d=(1­  4 5 1 5 м;      1 5  =20% Простой процентный рост. Рассмотрим задачу. Пусть S­ ежемесячная квартплата, пеня составляет p % квартплаты за каждый день просрочки платежа, n­ число просроченных дней. Какую сумму должен заплатить человек после n дней просрочки? Решение: Обозначим   сумму,   которую   должен   заплатить   человек   после   n   дней просрочки Sn. За n дней просрочки пеня составит (pn)% от S или  pn 100 pn 100 S или, что то же самое,      (1+ pn 100 )S S, а всего придется заплатить S+  pn 100 ¿ S  Получим   Sn=(1+  Эта формула будет получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина   увеличивается   на   постоянное   число   процентов   за   каждый фиксированный   период   времени.   Эта   формула   имеет   специальное название: формула простого процентного роста. Рассмотрим задачу.  Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент внёс 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода? Решение:     Для   решения   задачи   подставим   в   формулу   величину процентной   ставки   p=2,   числа   месяцев   n=6   и   первоначального   вклада S=500:               S6=(1+  Ответ: через полгода будет 560 рублей. Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшится за   данный   период   времени   на   определённое   число   процентов.   В   этом случае    Sn=(1− pn Эта формула также называется формулой простого процентного роста. Хотя заданная величина в действительности убывает. Сложный процентный рост. 2∙6 100 ¿∙ 500=1,12 ∙ 500=560(руб.) 100 )S В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая   система   начисления   денег.   За   первый   год   нахождения внесённой суммы на счёте начисляется p% от неё. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги­ «проценты». p 100 S1=(1+  p 100 ) ∙ (1+  p 100 ) ∙ S=(1+ p 100 p 100 S=(1+  Если же он этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и   поэтому   в   конце   следующего   года   p%   начисляются   банком   уже   на новую,  увеличенную  сумму.  При   этом  ещё   говорят,  что   эти  проценты капитализируются.  При   такой   системе,   начисляются   «проценты   на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты. Решим   задачу   в   общем   виде.         Пусть   банк   начисляет   p%   годовых, внесённая сумма S рублей, а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна Sn рублей. P% от S составляет ( ∙S¿   рублей и через год на счёте окажется p 100 ¿∙S сумма  S1=S+  Через два года на счёте будет сумма p S2=S1+  100 )S1=(1+  p 100 )2 ∙ S p 100 )3S и так далее. Аналогично,  S3=(1+  Другими словами, справедливо равенство Sn=(1+  Эту   формулу   называют  формулой  сложного процентного  роста  или просто формулой сложных процентов.  Решим задачу. Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей? Решение: Подставим формулу Sn=(1+  Значение   процентной   ставки   p=10,   количество   лет   п=4   и   величину первоначального вклада S=5000 рублей. Получим S4=(1+  Ответ: через 4 года на счёте будет 7320,5 рублей. Полученная выше формула применима, естественно, не только к задачам о росте вклада, но и к любой ситуации, когда рассматривается  величина, которая   за   каждый   заданный   промежуток   времени   увеличивается   на определённое число процентов, считая от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определённое число процентов, считая от предыдущего   ее   значения,   в   формуле,   как   и   для   простого   роста, проявляется знак минус. Рассмотрим задачу. Численность населения в городе Т. В течение двух лет возрастала на 2% ежегодно.   В   результате   число   жителей   возросло   на   11312   человек. Сколько жителей было в городе Т. Первоначально? 10 100 )4 ∙ 5000=1,14 ∙ 5000=1,4641 ∙ 5000=7320,5(руб.) p 100 )nS p 100 )nS 2 100 )2=х+11312 Решение: Пусть х человек (х ∈ N) было первоначально. Тогда согласно условию 2 100 )2 или задачи через два года количество жителей составило    х(1+  (х+11312) человек. Получим уравнение: х(1+  х ∙ 1,022= х+11312 х(1,022­1)= 11312 х(1,02­1)(1,02+1)=11312 х=  х=280000 Ответ: 280000 жителей было в городе Т. Первоначально. 11312 0,02∙2,02 Список литературы 1. Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией Сканави М.И. М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и Образоване», «Альянс­В», 2003г. 2.     Г.Г.Гильмиева,   Р.Г.Хамитов.     Задачи   с   процентами.   Решаем   с легкостью. Учебно­методическое пособие, 2008г. Риц «Школа». Авторы:  Гильмиева Г.Г. ,учитель математики Гимназии №27 Вахитовского района г. Казани Амануллина З.А., учитель математики СОШ №150 Приволжского района г. Казани