Методы интегрирования
Оценка 4.7

Методы интегрирования

Оценка 4.7
Презентации учебные
pptx
математика
11 кл +1
22.10.2021
Методы интегрирования
В презентации рассмотрены методы интегрирования: непосредственное, метод замены переменной. Материал по данной теме предназначен для студентов СПО 2 курс по программе "Элементы высшей математики"
Методы интегрирования 2 курс (1).pptx

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Свойства неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла

Свойства
неопределенного интеграла

Пример 1 𝒙− 𝒙 𝟒 −𝟐+𝟓 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒙=

Пример 1 𝒙− 𝒙 𝟒 −𝟐+𝟓 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒙=

Пример 1

𝒙− 𝒙 𝟒 −𝟐+𝟓 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒙=

Выражения в виде дроби под знаком интеграла, если только это не формулы,
Необходимо представить в виде суммы.
Для этого используем свойство: 𝒂±𝒃 𝒄 𝒂𝒂±𝒃𝒃 𝒂±𝒃 𝒄 𝒄𝒄 𝒂±𝒃 𝒄 = 𝒂 𝒄 𝒂𝒂 𝒂 𝒄 𝒄𝒄 𝒂 𝒄 ± 𝒃 𝒄 𝒃𝒃 𝒃 𝒄 𝒄𝒄 𝒃 𝒄

𝒙− 𝒙 𝟒 −𝟐+𝟓 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒙= 𝒙 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟒 𝒙 𝟐 − 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟓 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝒅𝒙=

𝟏 𝒙 − 𝒙 𝟐 −𝟐∙ 𝒙 −𝟐 +𝟓 𝒅𝒙= 𝟏 𝒙 𝒅𝒙− 𝒙 𝟐 𝒅𝒙−𝟐∙ 𝒙 −𝟐 𝒅𝒙+ 𝟓𝒅𝒙=

=𝒍𝒏𝒙− 𝒙 𝟑 𝟑 −𝟐∙ 𝒙 −𝟐+𝟏 −𝟐+𝟏 +𝟓𝒙+𝑪=𝒍𝒏𝒙− 𝒙 𝟑 𝟑 −𝟐∙ 𝒙 −𝟏 −𝟏 +𝟓𝒙+𝑪=

=𝒍𝒏𝒙− 𝒙 𝟑 𝟑 + 𝟐 𝒙 +𝟓𝒙+𝑪

Пример 2 𝟓 𝒙 𝟖 − 𝟏 𝒙 𝟕 𝒅𝒙= 𝒙 𝟖 𝟓 − 𝒙 −𝟕 𝒅𝒙=

Пример 2 𝟓 𝒙 𝟖 − 𝟏 𝒙 𝟕 𝒅𝒙= 𝒙 𝟖 𝟓 − 𝒙 −𝟕 𝒅𝒙=

Пример 2

𝟓 𝒙 𝟖 − 𝟏 𝒙 𝟕 𝒅𝒙= 𝒙 𝟖 𝟓 − 𝒙 −𝟕 𝒅𝒙=

Используем свойства степени:
𝒏 𝒂 𝒎 𝒏𝒏 𝒏 𝒂 𝒎 𝒂 𝒎 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒎𝒎 𝒂 𝒎 𝒏 𝒂 𝒎 = 𝒂 𝒎 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒎 𝒏 𝒎 𝒏 𝒎𝒎 𝒎 𝒏 𝒏𝒏 𝒎 𝒏 𝒂 𝒎 𝒏 ; 𝟏 𝒂 𝒏 𝟏𝟏 𝟏 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏 𝒂𝒂 𝒂 𝒏 𝒏𝒏 𝒂 𝒏 𝟏 𝒂 𝒏 = 𝒂 −𝒏 𝒂𝒂 𝒂 −𝒏 −𝒏𝒏 𝒂 −𝒏

= 𝒙 𝟖 𝟓 +𝟏 𝟖 𝟓 +𝟏 𝒙 𝟖 𝟓 +𝟏 𝒙𝒙 𝒙 𝟖 𝟓 +𝟏 𝟖 𝟓 𝟖𝟖 𝟖 𝟓 𝟓𝟓 𝟖 𝟓 +𝟏𝟏 𝒙 𝟖 𝟓 +𝟏 𝒙 𝟖 𝟓 +𝟏 𝟖 𝟓 +𝟏 𝟖 𝟓 𝟖𝟖 𝟖 𝟓 𝟓𝟓 𝟖 𝟓 +𝟏𝟏 𝒙 𝟖 𝟓 +𝟏 𝟖 𝟓 +𝟏 - 𝒙 −𝟕+𝟏 −𝟕+𝟏 𝒙 −𝟕+𝟏 𝒙𝒙 𝒙 −𝟕+𝟏 −𝟕𝟕+𝟏𝟏 𝒙 −𝟕+𝟏 𝒙 −𝟕+𝟏 −𝟕+𝟏 −𝟕𝟕+𝟏𝟏 𝒙 −𝟕+𝟏 −𝟕+𝟏 +C = 𝟓 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝟏𝟑 𝟓𝟓 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝒙𝒙 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝟏𝟑 𝟓 𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟑 𝟓 𝟓𝟓 𝟏𝟑 𝟓 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝟓 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝟏𝟑 𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟓 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝟏𝟑 + 𝒙 −𝟔 𝟔 𝒙 −𝟔 𝒙𝒙 𝒙 −𝟔 −𝟔𝟔 𝒙 −𝟔 𝒙 −𝟔 𝟔 𝟔𝟔 𝒙 −𝟔 𝟔 +C = 𝟓 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝟏𝟑 𝟓𝟓 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝒙𝒙 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝟏𝟑 𝟓 𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟏𝟑 𝟓 𝟓𝟓 𝟏𝟑 𝟓 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝟓 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝟏𝟑 𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟓 𝒙 𝟏𝟑 𝟓 𝟏𝟑 + 𝟏 𝟔 𝒙 𝟔 𝟏𝟏 𝟏 𝟔 𝒙 𝟔 𝟔𝟔 𝒙 𝟔 𝒙𝒙 𝒙 𝟔 𝟔𝟔 𝒙 𝟔 𝟏 𝟔 𝒙 𝟔 +C

Пример 3 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙−𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙− 𝟐𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐…

Пример 3 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙−𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙− 𝟐𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐…

Пример 3

𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙−𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝟑 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙− 𝟐𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 =

=−𝒄𝒐𝒔𝒙−𝟐∙ −𝒄𝒕𝒈𝒙 +𝑪=−𝒄𝒐𝒔𝒙+𝟐∙𝒄𝒕𝒈𝒙+𝑪

Пример 4

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙= 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙=𝟐∙ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙=𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙+𝑪

Иногда используются тригонометрические формулы:

Из этих формул можно выразить
или заменить нужную по
условию величину

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ

𝟏𝟏+ 𝒕𝒈 𝟐 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝟐 𝟐𝟐 𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝟏+ 𝒄𝒕𝒈 𝟐 𝒙= 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙

Из этих формул можно выразить…

𝒕𝒈 𝟐 𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒕𝒈 𝟐 𝟐𝟐 𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟏𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 −𝟏𝟏
𝒄𝒕𝒈 𝟐 𝒙= 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 −𝟏

Пример 5:

𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 −𝟏 𝒅𝒙= 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 − 𝒅𝒙=

=𝒕𝒈𝒙−𝒙+𝑪

Пример 6:

𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟏𝟐 ∙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟏𝟐 ∙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟏𝟐 ∙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒙 𝟏𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟏𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒙 𝟏𝟐 ∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒙 𝟏𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟏𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝟐𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟏𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒙 𝟏𝟐 𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒙 𝟔 𝒙𝒙 𝒙 𝟔 𝟔𝟔 𝒙 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟏𝟐 ∙𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝟐∙ 𝒙 𝟏𝟐 𝒅𝒙= 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝟔 dx=

=−𝟔𝟔𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒙 𝟔 𝒙𝒙 𝒙 𝟔 𝟔𝟔 𝒙 𝟔 + C

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ

Пример 7:

𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙=

Необходимо преобразовать произведение в сумму.
Для этого нужны формулы

𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜶𝜶∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜷𝜷= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 +𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 +𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒄𝒐𝒔 𝜶+𝜷 +𝒄𝒐𝒔 𝜶−𝜷
𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝜷𝜷= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 +𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝜶+𝜷 𝜶𝜶+𝜷𝜷 𝜶+𝜷 +𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝜶−𝜷 𝜶𝜶−𝜷𝜷 𝜶−𝜷 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 +𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷
𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜷= 𝟏 𝟐 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝜶+𝜷 +𝒔𝒊𝒏 𝜶−𝜷

При этом надо помнить свойства функций: sin(-x)= - sinx ; cos(-x) = cosx

𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙∙𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝟑𝟑𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙∙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒙+𝟑𝒙 +𝒄𝒐𝒔 𝒙−𝟑𝒙 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒙+𝟑𝒙 𝒙𝒙+𝟑𝟑𝒙𝒙 𝒙+𝟑𝒙 +𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒙−𝟑𝒙 𝒙𝒙−𝟑𝟑𝒙𝒙 𝒙−𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙+𝟑𝒙 +𝒄𝒐𝒔 𝒙−𝟑𝒙 dx=

= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙+𝒄𝒐𝒔 −𝟐𝒙 𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙𝒅𝒙+ 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙=

Используем свойство: 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒇𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒂𝒂𝒙𝒙±𝒃𝒃 𝒂𝒙±𝒃 𝒇 𝒂𝒙±𝒃 𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝟏 𝒂 𝟏𝟏 𝟏 𝒂 𝒂𝒂 𝟏 𝒂 ∙𝑭𝑭 𝒂𝒙±𝒃 𝒂𝒂𝒙𝒙±𝒃𝒃 𝒂𝒙±𝒃 +𝑪𝑪

= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟒𝟒𝒙𝒙+ 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙+𝑪𝑪= 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟖 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟒𝟒𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟖 𝟖𝟖 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝟖 + 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟒 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟒 +C

Метод замены переменной Это новый метод и его надо изучить

Метод замены переменной Это новый метод и его надо изучить

Метод замены переменной

Это новый метод и его надо изучить.
Он применяется когда под интегралом стоит
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

Вспомним, что такое сложная функция: y=f(g(x))

Примеры сложной функции:

𝑥 2 +2 3 𝑥 2 +2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +2 𝑥 2 +2 𝑥 2 +2 3 3 𝑥 2 +2 3 - степенная функция. Внутренняя функция: 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 +2

1−𝑐𝑜𝑠𝑥 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 1−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 - корень квадратный. Внутренняя функция: 1−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥

𝑠𝑖𝑛 3 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 3 3 𝑠𝑖𝑛 3 x - степенная функция. Внутренняя функция: sinx

Метод замены переменной Метод замены переменной заключается в том, что

Метод замены переменной Метод замены переменной заключается в том, что

Метод замены переменной

Метод замены переменной заключается в том, что
Надо привести подынтегральное выражение к
стандартному виду ( к формуле интегрирования).

Для этого надо:

1. Определить сложную функцию f(g(x))

2. Обозначить внутреннюю функцию новой
переменной t=g(x)

3. Найти дифференциал новой переменной t:
𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒈 / 𝒈𝒈 𝒈 / / 𝒈 / 𝒙 𝒙𝒙 𝒙 dx

4. Заменить все выражения с переменной х,
включая дифференциал dx , на выражения
через переменную t

5. Найти интеграл непосредственным
интегрированием и вернуться к подстановке, т.е. к переменной х

Метод замены переменной Пример 1 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙…

Метод замены переменной Пример 1 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙…

Метод замены переменной

Пример 1

𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒕= 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 / / 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕=𝟐𝟐𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒅𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝟐𝒙𝒅𝒙 , 𝒅𝒕 𝟐 =𝒙𝒅𝒙 =

= 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑 𝒕 𝟑 ∙ 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒕 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 ∙ 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟏 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟏 𝟐 𝒕 𝟑 𝒅𝒕= 𝟏 𝟐 ∙ 𝒕 𝟒 𝟒 𝒕 𝟒 𝒕𝒕 𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝒕 𝟒 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝟒 +𝑪𝑪= 𝒕 𝟒 𝟖 𝒕 𝟒 𝒕𝒕 𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒕 𝟒 𝒕 𝟒 𝟖 𝟖𝟖 𝒕 𝟒 𝟖 +𝑪𝑪=

= 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟒 𝟖 +𝑪

Функция 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟐 +𝟏 𝟑 - степенная сложная.
Внутренняя функция 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏.
Оббозначим её за t= 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏.
Тогда сама функция примет вид 𝒕 𝟑 𝒕𝒕 𝒕 𝟑 𝟑𝟑 𝒕 𝟑

Но! В подынтегральном выражении есть
ещё дифференциал dx.
Надо найти дифференциал dt.
Для этого используем формулу дифференциала : df= 𝑓 / 𝑓𝑓 𝑓 / / 𝑓 / dx
Тогда: 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 / / 𝒙 𝟐 +𝟏 / 𝒅𝒅𝒙𝒙, dt=2xdx,
Выразим xdx, так как это выражение есть в
интеграле 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒅𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒅𝒕 𝟐

Все подготовительные
этапы замены
выполняют вот таком виде

Возвращаемся к
переменной х

Метод замены переменной Пример 4 𝒄𝒐𝒔 𝟓 𝒙∙𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙, −𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒕 𝟓 −𝒅𝒕 = =− 𝒕 𝟓 𝒅𝒕=− 𝒕…

Метод замены переменной Пример 4 𝒄𝒐𝒔 𝟓 𝒙∙𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙, −𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒕 𝟓 −𝒅𝒕 = =− 𝒕 𝟓 𝒅𝒕=− 𝒕…

Метод замены переменной

Пример 4

𝒄𝒐𝒔 𝟓 𝒙∙𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙, −𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒕 𝟓 −𝒅𝒕 =

=− 𝒕 𝟓 𝒅𝒕=− 𝒕 𝟔 𝟔 +𝑪=− 𝒄𝒐𝒔 𝟔 𝒙 𝟔 +𝑪

Пример 5

𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝟏𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝟐𝒙 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝟐𝒙 = 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏+ 𝒆 𝒙 𝟐 = 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒕= 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 𝒆 𝒙 / / 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝟏𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒕𝒕 𝒕 𝟐 𝟐𝟐 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 𝒅𝒕 𝟏+ 𝒕 𝟐 =𝐚𝐚𝐫𝐫𝐜𝐜𝐭𝐭𝐠𝐠𝐭𝐭+𝐂𝐂=

=𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒕𝒕𝒈𝒈 𝒆 𝒙 𝒆𝒆 𝒆 𝒙 𝒙𝒙 𝒆 𝒙 +𝐂𝐂

Метод замены переменной Пример 2 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 =…

Метод замены переменной Пример 2 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 =…

Метод замены переменной

Пример 2

𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒕=𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / / 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒅𝒕𝒕=𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒕=𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒕= 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 = 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒕 𝒕 𝒕𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒕 𝒕 =𝟐𝟐 𝒕 𝒕 𝒕𝒕 𝒕 +𝐂𝐂=𝟐𝟐 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙 +𝐂𝐂

Пример 3

𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟑− 𝒙 𝟒 = 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒕𝒕=𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 / / 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒅𝒅𝒕𝒕=−𝟒𝟒 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝒅𝒅𝒙𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒙𝒙 𝒙 𝟑 𝟑𝟑 𝒙 𝟑 𝒅𝒅𝒙𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝟒 𝟒𝟒 𝒅𝒕 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 𝒕=𝟑− 𝒙 𝟒 𝒅𝒕= 𝟑− 𝒙 𝟒 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=−𝟒 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 , 𝒙 𝟑 𝒅𝒙=− 𝒅𝒕 𝟒 = −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒅𝒙𝒙 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 𝟒𝟒𝒕𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 −𝒅𝒙 𝟒𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝒕 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 𝒅𝒕 𝒕 =− 𝟏 𝟒 ∙𝐥𝐥𝐧𝐧𝐱𝐱+𝐂𝐂=

=− 𝟏 𝟒 𝟏𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟏 𝟒 ∙ 𝐥𝐧 𝟑− 𝒙 𝟒 𝐥𝐥𝐧𝐧 𝐥𝐧 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑𝟑− 𝒙 𝟒 𝒙𝒙 𝒙 𝟒 𝟒𝟒 𝒙 𝟒 𝟑− 𝒙 𝟒 𝐥𝐧 𝟑− 𝒙 𝟒 +C

Продолжите решения самостоятельно

Продолжите решения самостоятельно

Продолжите решения самостоятельно

Пример 6

𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑𝟑+𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝟓𝟓 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒕𝒕=𝟑𝟑+𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑𝟑+𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / / 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒅𝒅𝒕𝒕= _______________ 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙= 𝒕=𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝟑+𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕= _______________ =…

Пример 7

𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒂𝒂𝒄𝒄𝒓𝒓𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝟏𝟏− 𝒙 𝟐 𝒙𝒙 𝒙 𝟐 𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 𝒂𝒄𝒓𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙𝒅𝒙 𝟏− 𝒙 𝟐 = 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒕𝒕=𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒅𝒅𝒕𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒂𝒓𝒓𝒄𝒄𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / / 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒅𝒅𝒕𝒕=… 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… 𝒕=𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒕= 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒙 / 𝒅𝒙 𝒅𝒕=… = … … … … …

Пример 8

𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑙𝑛 3 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑙𝑛 3 3 𝑙𝑛 3 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑥𝑥 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑡𝑡= ln 𝑥 ln ln 𝑥 𝑥𝑥 ln 𝑥 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑑𝑑𝑡𝑡= ln 𝑥 / ln 𝑥 ln 𝑥 ln ln 𝑥 𝑥𝑥 ln 𝑥 ln 𝑥 ln 𝑥 / / ln 𝑥 / 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑑𝑑𝑡𝑡=… 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =… 𝑙𝑛 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 = 𝑡= ln 𝑥 𝑑𝑡= ln 𝑥 / 𝑑𝑥 𝑑𝑡=… =…

Жду ваши работы!

Жду ваши работы!

Жду ваши работы!