Методы вычисления кратных интегралов

«Методы вычисления кратных интегралов и их приложения» Грозный – 2017 г. Оглавление Введение.......................................................................................................................................................................3 §1.Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла..........................................................................................3 1.1.Объем цилиндрического тела..............................................................................................................................3 1.2.Масса плоской пластинки....................................................................................................................................5 §2.Определение двойного интеграла.........................................................................................................................7 §3. Свойства двойного интеграла и его существование.........................................................................................18 §4. Вычисление двойных интегралов.......................................................................................................................21 с помощью повторного интегрирования.................................................................................................................21 §5. Замена переменных в двойном интеграле.........................................................................................................37 §6. Двойной интеграл в полярных координатах.....................................................................................................40 §7. Приложения двойного интеграла.......................................................................................................................45 §8. Дополнительные свойства повторных интегралов...........................................................................................68 Заключение................................................................................................................................................................74 Список использованной литературы.......................................................................................................................75 2 Введение §1.Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла 1.1.Объем цилиндрического тела Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью  z  ;( yxf  0) , снизу – замкнутой областью  плоскости  D Oxy , с боков – цилиндрической поверхностью,  образующая которой параллельна оси  , а направляющей служит граница  Oz области  D  (см. рис.1.1). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его  объем  V . Для этого разобьем область  (проекция поверхности D  на  z  ;( yxf ) плоскость  Oxy ) произвольным образом на n областей  , площади которых  iD равны  iS i  ( ),1 n . Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями  ,  iD ограниченные сверху кусками поверхности   (на рис. 1.1 один из них  z  ;( yxf ) выделен).В своей совокупности они составляют тело Обозначив объем  .V столбика с основанием  iD  через  ,iV  получим  V 3 n   iV . i  1 произвольную   точку   и   заменим   каждый ) i yxM ( ; i i столбик прямым цилиндром с тем же основанием и   высотой   iD z  i .   Объем   этого   цилиндра ) i ( yxf ; i Рис. 1.1 приближенно   равен   объему   цилиндрического iV Возьмем   на столбика, т.е.   V i Тогда получаем )  S . i i ( yxf ; i каждой   площадке   iD V n      V i i  1 n i  1                 (1.1)  .S) i ( yxf i ; i Это равенство тем точнее, чем больше число   n   и чем меньше размеры «элементарных   областей»   iD .   Естественно   принять   предел   суммы   (1.1)   при условии, что число площадок  iD  неограниченно увеличивается  ( n ) , а каждая площадка стягивается в точку  (max id )0 , за объем  V  цилиндрического тела, т. е. V  или, согласно равенству (1.2), n   0 i 0 lim  n id max 4                              (1.2) )  S i i yxf ( ; i (1.3) V ;( yxf D ) dxdy . Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла [4]. 1.2.Масса плоской пластинки Необходимо найти массу     плоской пластинки   m D ,  поскольку известно что   ее   поверхностная   плотность   есть   непрерывная   функция yx ;( ) координат точки   ;( yx ) .  Разобьем пластинку     на   n   элементарных частей   D iD , площади которых обозначим через   i  ( ),1 n   В каждой области   возьмем iD iS произвольную точку  yxM ( i ; i  и вычислим плотность в ней: ) i . i yx ( ; i ) Если области  iD  достаточно малы, то плотность в каждой точке  iDyx ;( ) мало отличается от значения  i yx ; ( i ) . Считая приближенно плотность в каждой точке   области   iD постоянной,   равной   i yx ( ; i ) ,   можно   найти   ее   массу   : im 5 m i  ( yx i ; i )  S i . Так как масса  m  всей пластинки   равна  D m  вычисления имеем приближенное равенство n  i  1 , то для ее im                                             (1.4)  ( yx i i ; )  S i . m n   i  1 Точное   значение   массы   получим   как   предел   суммы   при   условии   и n : (max id )0 V  lim  n id max n   0 i 0  ( yx i ; i )  S i или, согласно равенству (1.2), m=∬ D γ(x;y)dxdy                                            (1.5) Итак,  двойной   интеграл   от   функции     численно   равен   массе yx ;( ) пластинки,   если   подынтегральную   функцию     считать   плотностью yx );( этой пластинки в точке   ;( yx ) .  В этом состоит физический смысл двойного интеграла. 6 §2.Определение двойного интеграла Обобщением   определенного   интеграла   на   случай   функций   двух переменных считается двойной интеграл.  z  ;( yxf ) .  Разобьем   область   на   D   n «элементарных   частей»     площади i  ( ),1 n iD которых   обозначим   через   ,   а   диаметры iS (наибольшее   расстояние   между   точками области) – через  (см. рис. 2.1). id Рис.2.1 Пусть   в   замкнутой области   D   плоскости   Oxy задана   непрерывная   функция Можно считать, что разбиение   на  D iD  осуществляется с помощью сети гладких или кусочно–гладких кривых, площади которых равны нулю. В каждой области   iD   выберем произвольную точку   , умножим ) i yxM ( i ; i значение   ; ( i yxf i )   функции   в   этой   точке   на iS и   составим   сумму   таких произведений: )1;1( y xf  S 1 )2;2( xf y  S 2  ... ( nynxf ; )      (2.1)  nS i n   1 ( iyixf ; )  iS . 7 Эта сумма называется интегральной суммой функции  в области  . D ;( yxf ) Рассмотрим   предел   интегральной   суммы   (2.1),   когда   n   стремится   к бесконечности таким образом, что  max id 0 . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области   на части, ни от выбора точек в них, D то   он   называется   двойным   интегралом   от   функции     по   области     и D ;( yxf ) обозначается   (или  ) dxdy  yxf ;( D dSyxf ;( )  D ). Таким образом, двойной интеграл определяется равенством   ;( yxf D ) dxdy  n 0  lim  n max id  0 0 i              (2.2) )  S . i i yxf ( ; i В этом случае функция  ;( yxf )  называется интегрируемой в области  ;D  – область интегрирования;   и  x y D  – переменные интегрирования;  (или  dS dxdy ) – элемент площади. Для всякой ли функции ;( yxf )   существует  двойной интеграл? На  этот вопрос отвечает следующая теорема. 8 Теорема   2.1.  (достаточное   условие   интегрируемости   функции).  Если функция   z  ;( yxf )   непрерывна   в   замкнутой   области   ,   то   она D интегрируема в этой области.  Замечание 2.1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в   области   интегрирования,   хотя   двойной   интеграл   может   существовать   не только для непрерывных функций. Замечание 2.2.  Из определения двойного   интеграла   следует,   что   для интегрируемой   в   области   D   функции координатным   осям   (см.   рис.   2.2).   При этом   S y x i i , равенство (2.2) можно i записать в виде [5] предел  интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области.   Таким   образом,   мы   можем разбивать   область     на   площадки D прямыми, параллельными Рис.2.2 yxf ;( ) dxdy   D               (2.3) . i ) i  y x i ( yxf ; i n   0 i 0 lim  n max id Пример 2.1.Вычислить двойной интеграл. (x3+y3)dxdy, ∬ (σ) если область  (σ)  ограничена линиями  y=1 2 x;y=x;x=4. Этот же интеграл вычислить, изменив порядок интегрирования. 9 К примеру 2.1 Решение. Необходимо представить на чертеже область  (σ).  Контур этой области пересекается всякой прямой, параллельной оси  Oy  в двух точках.  x3 ¿ ¿ ∬ (σ) ¿ Здесь   в   повторном   интеграле   внутреннее   интегрирование   производится   по переменной  y , а внешнее – по  x. Пределы интегрирования в повторном интеграле получены так: Область   (σ) , была спроектирована на ось   Ox. Получился отрезок   [0;4]. Этим   были   определены   нижний   предел   0   и   верхний   предел   4   изменения   оси   Ox   была переменной  xво внешнем интеграле. Затем на отрезке   [0;4] выбрана произвольная точка x, через которую проведена прямая, параллельная оси  Oy , и на ней рассмотрен отрезок KL, содержащийся в области  (σ) .Область  (σ) 10 ограничена   снизу   прямой   y=1 2 x, сверху   –   прямой y=x. Переменная   y изменяется   в   области   (σ)   от   ее   значения   1 2 x   на   нижней   части   контура OBC  до ее значения  x  на верхней части этого контура.(Уравнения линий, ограничивающих   область   (σ),   должны   быть   разрешены   относительно   той переменной, по которой вычисляется внутренний интеграл). Вычислим внутренний интеграл x3 (¿+y3)dy ¿ x ∫ 1 2 x при этом на x смотрим как на постоянную (x3+y3)dy=x3y+ y4 x ∫ 1 2 x 4| x ¿ 1 2 x=¿ x4)= 47 4(x4− 1 16 64 x4. ¿x3(x−1 2 x)+ 1 Вычислим теперь внешний интеграл: 4 47 64 x4dx= 47 ∫ 0 5| 4 64 ∙x5 ¿0=47 64∙45 5 =752 5 , а теперь на  y  смотрим как на постоянную. Этот же двойной интеграл вычислим, изменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем производить попеременной  x,  а внешнее – по переменной  y. 11 Из чертежа видно, что левая часть контура области  (σ)  – одна линия, а именно   y=x ,   а   его   правая   часть   состоит   из   двух   линий  OB  и   BC, определяемых   разными   уравнениями:   (OB)y=1 2 x,(BC)x=4.   В   этом   случае область   (σ)   следует   разбить   на   части   так,   чтобы   каждая   из   них   справа ограничивалась   тоже   одной   линией,   т.е.   линией,   определяемой   одним (σ1)−OAB  и (σ2)−ABC. аналитическим выражением. Такими частями будут  Область  (σ)  является суммой областей  (σ1)  и (σ2) . Интеграл представим как сумма интегралов ∬ (σ) (x3+y3)dxdy=∬ (σ1) (x3+y3)dxdy+∬ (σ2) (x3+y3)dxdy. Внутренние   интегралы   будем   вычислять   по   переменной   x .   Решая уравнения   линий,   ограничивающих   области   (σ1) (σ2)   и     относительно переменной  x,  получим, что область  1¿x=y;2¿x=2y;3¿y=2. (σ1)  ограничена линиями: Точка B имеет координаты (4,2). Область  (σ2)  ограничена линиями: 1¿y=2;2¿x=y;3¿x=4 Спроектировав каждую из областей интегрирования  (σ1) (σ2)  и   на ось, Oy   получим пределы внешних интегралов: в первом интеграле – 0 и 2, во втором интеграле 2 и 4. Выбрав на отрезке [0; 2] произвольную точку y   и проведя  через нее  прямую,  параллельную оси   Ox , замечем,  что в области 12 (σ1)   переменная   x   изменяется от ее значения, равного   y на левой части контура (т.е. на  OA ), до ее значения  2y  на его правой части (т.е. на OB ). (σ1) во   внутреннем Таким   образом,   при   интегрировании   по   области   интеграле пределами будут y  и  2y.  Поэтому I1=∬ (σ1) (x3+y3)dxdy=∫ dy∫ (x3+y3)dx. 2 0 2y y При   вычислении   внутреннего   интеграла   переменную   y   будем   считать величиной   постоянной   (а   пределы   интегрирования   есть   функции   переменной y,   т.е.   той   переменной,   которая   при   интегрировании   остается   величиной постоянной). 2y ∫ Вычислим внутренний интеграл: (x3+y3)dx=x4 4 +y3x|2y ¿y=¿ ¿ 1 4[(2y)4−y4]+y3(2y−y)=19 4 y4. y Получим   функцию   переменной   y ,   т.е.   той   переменой,   по   которой вычислим   внешний   интеграл.   Подставим   полученноe  выражение   под   знак внешнего интеграла: 5| 2 2 19 4 ∙y5 ¿0=152 5 y4dy= 19 5 . 0 I1=∫ Переменная  y по области  (σ2) изменяется на отрезке  [2;4], т.е. от 2 до 4. Чтобы определить, в каких  пределах  в  этой области изменяется переменная x,   возьмем   на   отрезке     произвольную   точку,   проведем   через   нее [2;4] 13 прямую, параллельную оси Ox , и заметим, что на левой части   AC контура области  (σ2)x имеет значение, равное y,  а направой его части  x=4. Таким образом, в области  (σ2)  пределами интегрирования по x будут y  и 4, а I2=∬ (σ2) (x3+y3)dxdy=∫ dy∫ (x3+y3)dx. 4 2 4 y Внутренний интеграл (в нем y  – величина постоянная!) (x3+y3)dx=x4 4 +y2x| 4 ¿y=¿ 4 ∫ y ¿ 1 4 (44−y4)+y3(4−y)=64+4y3− 5 4 y4. Получилась функция переменной   y,   т.е. той переменной, по которой вычислим   внешний   интеграл.   Подставим   полученное   выражение   под   знак внешнего интеграла: I2=∫ 4 (64+4y3−5 4 y4)dy=64y+y4− 1 2 4 y5| 4 ¿2=120 . Искомый интеграл равен сумме I1+I2=152 5 +120= 752 5 . Так   как   подынтегральная   функция   x3+y3   непрерывна,   то   результаты вычислений, не зависят от порядка интегрирования. Из   этого   примера   видно,   что   выбор   порядка   интегрирования   не безразличен. Выбрав рациональный порядок интегрирования, можно сократить вычисления. Пример 2.2. Вычислить двойной интеграл  ∬ (σ) (6xy2−12x2y)dxdy. 14 Область  (σ)  – квадрат со сторонами:  x=0;x=1;y=2;y=3. Этот же интеграл вычислить, изменив порядок интегрирования. Решение. Представим на чертеже область  (σ) К примеру 2.2 В повторном интеграле сначала внутренний интеграл вычислим по x , а внешний по  y (6xy2−12x2y)dxdy=¿ ¿ ∬ (σ) (6xy2−12x2y)dx. ¿∫ dy∫ 3 2 1 0 Вычислим внутренний интеграл 1 ∫ 0 (6xy2−12x2y)dx , при этом на  y  смотрим как на постоянную (6xy2−12x2y)dx=6y2∫ xdx−12y∫ x2dx=¿ 1 0 1 0 1 ∫ 0 ¿ 15 ¿3x2y2|1 0−4x2y|1 0=3y2−4y . Получилась функция переменной  y . Вычислим теперь внешний интеграл 3 y2dy−4∫ 3 2 ydy=¿ 3 2 (3y2−4y)dy=3∫ ∫ 2−2y2|3 ¿y3|3 2 2=27−18−8+8=9. Вычислим двойной интеграл, изменив порядок интегрирования:  внутреннее вычислим по переменной  –y , а внешнее по переменной  –x . (6xy2−12x2y)dxdy=∫ dx∫ (6xy2−12x2y)dy 1 0 3 2 ∬ (σ) Вычислим внутренний интеграл, при этом на  x  смотрим как на постоянную. y2dy−12x2∫ 3 2 ydy=¿ 3 3 ¿ 2 ∫ (6xy2−12x2y)dy=6x∫ ¿2xy3|3 2−6x2y2|3 2 2=54x−54x2−¿ −16x+24x2=38x−30x2. При интегрировании по переменной  y , получилась функция  x . Вычислим теперь внешний интеграл. 38x−30x2 1 xdx−30∫ 1 0 (¿)dx=38∫ 0 x2dx=¿ 1 0 ¿ ∫ 0−10x3|1 ¿19x2|1 0=19−10=9. 16 17 §3. Свойства двойного интеграла и его существование Процесс   построения   интеграла   в   области     повторяет   процедуру D определения интеграла функций одной переменной на отрезке. Аналогичны и свойства этих интегралов, и их доказательства. Перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми. 3.1. Постоянный   множитель   можно   выносить   за   знак   двойного интеграла.   yxfc ;( D ) dxdy  c  yxf ;( D , c  const . ) dxdy 3.2. Двойной интеграл суммы равен сумме двойных интегралов слагаемых.  f ( D ;( yx )  f 1 2 ;( yx )) dxdy   f 1 D ;( yx ) dxdy   f 2 D ;( yx ) dxdy . 3.3. Если область  D  разбить линией, а две области  1D такие, что   и   2D DDD  2 1 , а пересечение   и   1D 2D состоит   лишь   из   линии,   их   разделяющей (рис.3.1),то ;( yxf ) dxdy  D ;( yxf ) dxdy    D 1 ;( yxf ) dxdy .  D 2 18 Если   в   области   D имеет   место   неравенство то   и yxf ;( ) ,0 .   Если   в   области   функции   D ;( yxf ) и yx ;( ) ) dxdy  0  ;( yxf D удовлетворяют неравенству ;( yxf )  ;( yx ) ,то и  yxf ;( ) dxdy   D . dxdy yx );(   D 3.4.  так как  S   dS D . S n i  S i 1 3.5. Если функция   ;( yxf )   непрерывна в замкнутой области   , площадь D которой     то ,S mS  ;( yxf D ) dxdy  MS ,   где   и   m M   – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области  . D 3.6. Если   функция   ;( yxf ) непрерывна   в   замкнутой   области   ,   площадь D которой  ,S  то в этой области существует такая точка  , что и ( x ; 0 y 0 ) ;( yxf ) dxdy  D  ( yxf ; 0  Величину  )  S . 0 ( yxf ; 0 ) 0 ;( yxf ) dxdy ,  D 1 S 19 называют средним значением функции f(x;y) в области D[7]. а) существование двойного интеграла Если функция     непрерывна в области   D ;( yxf ) , ограниченной замкнутой линией, то её   яn  интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Двойной интеграл  yxf ;( ) dxdy  D ,  не   зависит   от   способа   разбиения   области   на   частичные   области D   и   от iS выбора в них точек  . iM Двойной интеграл, представляет собой число, зависящее только от подынтегральной   функции   и   области   интегрирования   и   не   зависящее   от обозначений переменных интегрирования, так что, например, ) dxdy yxf ;(  D vuf );(  D . dudv Убедимся, в том, что вычисление двойного интеграла может быть произведено посредством двух обыкновенных интегрирований. б) условия существования двойного интеграла Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла. 20 Теорема 3.1. Если функция     непрерывна в замкнутой области     то ,D ;( yxf ) двойной интеграл   существует. ) dxdy  yxf ;( D Теорема   3.2.  Если   функция   ;( yxf )   ограничена   в   замкнутой   области     и D непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл   существует [10]. ) dxdy  yxf ;( D §4. Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования Теорема 4.1. Если функция  ;( yxf )  непрерывна в замкнутой области  ,  D ограниченной   линиями   x  a , x  b , ( ba  ), )( xy 1  y xy )( 2 ,   где   и )(1 xy  – непрерывные функции и  , тогда  )( xy 1  )( xy 2 )(2 xy );( yxf dxdy  D b y 2 )( x        )( xy 1 a );( yxf dy dx     b a y 2 )( x   dx )( xy 1         (4.1) dy );( yxf Пусть функция   определена в области ;( yxf )   D ;( yx :) a  b , x )( xy 1  y ,)( xy 2 где  и  )(1 xy )(2 xy – непрерывные функции на отрезке  . ],[ ba 21 Область, в которой всякая прямая  параллельная оси  Oy , проходящая через внутреннюю точку области,   пересекает   границы   в   двух   точках, называется правильной относительно оси . Oy Аналогично определяется область  правильная  относительно оси : Ox   D ;( yx :) c  d y , yx )( 1  x ,)( yx 2 где функции   и  )(1 yx )(2 yx – непрерывные функции на отрезке  . ,[ dc ] Выражение вида  I D y 2 )( x        )( xy 1 b a yxf );(  называется повторным dy dx     интегралом от функции   по области . D ;( yxf ) Теорема 4.2. Двойной интеграл от непрерывной функции  по ;( yxf ) правильной области  D  равен повторному интегралу от этой функции по  области  . D 22  ;( yxf D ) dxdy  2 y b )( x       )( xy 1 a yxf ;( ) dy     dx  b a y 2 )( x  dx )( xy 1 ;( yxf . ) dy Если область правильная относительно оси , то двойной интеграл  Ox вычисляется как повторный вида  ;( yxf D ) dxdy  2 ( x y d       x 1 c y ( ) ;( yxf ) ) dx    dy  d c x 2 ( y  dy x 1 ( y ) ;( yxf ) .(4.2) ) dx Область   D называется   правильной   в   направлении   оси   ,   если   любая Oy прямая, параллельная оси  Oy , пересекает границу области не более чем в двух точках (рис.4.1б). Область   D   называется   правильной   в   направлении   оси   ,   если   любая Ox прямая, параллельная оси  Ox , пересекает границу области не более, чем в двух точках (рис. 4.1а). Если область правильна в направлении оси   и в направлении оси  то ,Oy Ox такая область называется правильной. Рис.4.1а                                             Рис.4.1б                                             Рис.4.1в 23 Пусть область  D  правильна в направлении оси   и  Oy yxf ;( 0 ) . Снизу она ограничена кривой  y  )(1 x , а сверху – ,  y  )(2 x – прямыми x  a , x  b , ( a  b ) .   ( x  )( 2 1 , а слева и справа ( x )) Будем   проводить   разбиение   области     прямыми,   параллельными   осям D координат.  Тогда   DS i  Dx i  Dy i   и   dS  dxdy   –  элемент   площади   в   декартовых координатах (рис.4.2). Рис. 4.2Рис. 4.3 Тогда используя геометрический смысл двойного интеграла, имеем:  – объём бруса.                           (4.3) ) dxdy  V  yxf ;( D Объём тела можно вычислить с помощью определённого интеграла через площадь поперечного сечения: 24