Microsoft Excel

1. Производная. 

Для решения многих инженерных задач часто требуется вычисление производных. При наличии формулы, описывающей процесс, это сложностей не вызывает: вычисляем производную и находим значения производной в разных точках. Однако на практике, зачастую есть несколько сотен или тысяч строк с данными, а никакой формулы нет? Поэтому выполняют численное дифференцирование.

Вспомним, что такое производная вообще:

Производной функции f(x) в точке x называется предел отношения приращения Δf функции в точке x к приращению Δx аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Таким образом, для расчета производной будем брать очень маленькие значения приращения аргумента, т.е. Δx.

Для того, чтобы найти приближённое значение производной в нужных нам точках (а у нас точки – это различные значения степени деформации ε) необходимо заменить значение реальной производной в точке x0 (f’(x0)=dy/dx (x0)) на отношение Δy/Δx=(f(x₀+ Δx) – f(x₀))/Δx.

То есть f '(x₀) ≈(f(x₀+ Δx) – f(x₀))/Δx.

Для вычисления этой производной в каждой точке мы производим вычисления с использованием двух соседних точек: первая с координатой ε0 по горизонтальной оси, а вторая с координатой x₀ + Δx, т.е. одна – производную в которой вычисляем и та, что правее. Вычисленная таким образом производная, называется разностной производной вправо (вперед) с шагом Δx.

Можем поступить наоборот, взяв уже другие две соседние точки: x₀ — Δx и x0, т.е интересующую нас и ту, что левее. Получаем формулу для вычисления разностной производной влево (назад) с шагом — Δx.

f '(x₀) ≈(f(x₀) – f(x₀—Δx))/Δx.

 Предыдущие формулы были «левые» и «правые», а есть еще одна формула, которая позволяет вычислять центральную разностною производную с шагом 2 Δx, и которая чаще других используется для численного дифференцирования:

f '(x₀) ≈(f(x₀+ Δx) – f(x₀— Δx))/2Δx.

2. Поиск локального экстремума функции

на указанном промежутке.

Для поиска экстремумов среди стационарных точек воспользуемся следующим утверждением: функция f(x) имеет максимум в точке х₂, если вблизи этой точки всем значениям х соответствуют меньшие значения, чем f(х₂). А если вблизи точки всем значениям х соответствуют большие значения, чем f(х₂), то функция имеет минимум в точке х= х₂. По рисунку точка х₂ является точкой экстремума, в данном случае – максимума.


Таким образом, при нахождении локального экстремума воспользуемся условием: если f(х₂)> f(х₁) и f(х₂)>f(х₃), значит точка х₂ является максимумом, если f(х₂)<f(х₁) и f(х₂)<f(х₃), значит точка х₂ – минимум.

3. Построение поверхностей.

В поверхностной диаграмме можно отразить данные, находящиеся в строках и столбцах листа. Поверхностную диаграмму целесообразно использовать для поиска наилучшего сочетания двух наборов данных. Для создания поверхностной диаграммы, как категории, так и ряды данных должны содержать числовые значения.

Поверхностные диаграммы делятся на следующие подтипы:

- Объемная поверхностная диаграмма. В объемных поверхностных диаграммах показаны изменения значений по двум измерениям в виде непрерывной кривой. Цветовые полосы в поверхностной диаграмме не отражают наборы данных — они указывают различие между значениями. В диаграмме такого типа используется трехмерное представление данных, которое можно представить в виде резинового листа, натянутого поверх столбцов объемной гистограммы. Как правило, такие диаграммы используются для отображения отношений между большими объемами данных, которые трудно показать иным способом.

- Проволочная поверхностная диаграмма. Если поверхность диаграммы не содержит выделенных цветом диапазонов, такая диаграмма называется проволочной поверхностной диаграммой. На ней отображаются только линии.

Данная диаграмма не очень удобна для восприятия, однако диаграммы такого типа полезны в том случае, если требуется быстро построить диаграмму по большим наборам данных.

- Контурная диаграмма. Контурными диаграммами называются поверхностные диаграммы, показанные сверху, которые напоминают двумерные топографические карты. В контурной диаграмме цветовые области отражают конкретные диапазоны значений. Линии контурной диаграммы соединяют интерполированные точки с равными значениями.

- Проволочная контурная диаграмма. Проволочные контурные диаграммы также являются поверхностными диаграммами, которые показаны сверху. В таких диаграммах отображаются только линии без выделенных цветом обла